Combinacion_de_funciones

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214 CAPÍTULO 2 Funciones
2.7 Combinación de funciones
En esta sección se estudian diferentes formas de combinar funciones para construir
nuevas.
Sumas, diferencias, productos y cocientes
Dos funciones f y g se pueden combinar para formar nuevas funciones f g, f! g,
fg y f/g de una manera similar a la forma en que se suma, resta, multiplica y divide
números reales. Por ejemplo, se define la función f g por
La nueva función f g se llama suma de las funciones f y g; su valor en x es
. Por supuesto, la suma del lado derecho tiene sentido sólo si y 
están definidas, es decir, si x pertenece al dominio de f y también al dominio de g.
Así, si el dominio de f es A y el dominio de g es B, entonces el dominio de f g es
la intersección de estos dominios, es decir, A B. De manera similar, se puede de-
finir la diferencia f ! g, el producto fg, y el cociente f/g de las funciones f y g. 
Sus dominios son A B, pero en el caso del cociente se debe recordar no dividir 
entre cero.
g1x 2f 1x 2f 1x 2 g1x 2
1f g 2 1x 2 5 f 1x 2 g1x 2
Álgebra de funciones
Sean f y g funciones con dominios A y B. Entonces las funciones f g,
f ! g, fg y f/g se definen como sigue.
Dominio A B
Dominio A B
Dominio A B
Dominio 5x ! A " B 0 g1x 2 " 06 a f
g
b 1x 2 5 f 1x 2
g1x 2
 1fg 2 1x 2 5 f 1x 2g1x 2
 1f ! g 2 1x 2 5 f 1x 2 ! g1x 2
 1f g 2 1x 2 5 f 1x 2 g1x 2
Ejemplo 1 Combinaciones de funciones y sus dominios
Sean y .
a) Encuentre las funciones f g, f ! g, fg y f/g y sus dominios.
b) Encuentre y .
Solución
a) El dominio de f es y el dominio de g es . La intersección
de los dominios de f y g es
5x 0 x # 0 and x " 26 5 30, 2 2 # 12, q 2
5x 0 x # 065x 0 x " 26
1f/g 2 14 21f g 2 14 2 , 1f ! g 2 14 2 , 1fg 2 14 2
g1x 2 5 1xf 1x 2 5 1
x ! 2
La suma de f y g se define mediante
El nombre de la nueva función es 
“f g.” Por lo tanto, este signo 
representa la operación de adición de
funciones. El signo del lado derecho,
sin embargo, representa la suma de los
números y .g1x 2f 1x 2
1f g 2 1x 2 5 f 1x 2 g1x 2
y
SECCIÓN 2.7 Combinación de funciones 215
Así, se tiene
Dominio 
Dominio 
Dominio 
Dominio 
Hay que observar que en el dominio de f/g se excluye 0 porque .
b) Cada uno de estos valores existe porque x5 4 está en el dominio de cada función.
■
La gráfica de la función f g se puede obtener de las gráficas de f y g mediante
adición gráfica. Esto significa que se suman las coordenadas y correspondientes,
como se ilustra en el ejemplo siguiente.
Ejemplo 2 Uso de la adición gráfica
Las gráficas de f y g se muestran en la figura 1. Use la suma gráfica para trazar la
función f g.
Solución Se obtiene la gráfica de f g al “sumar gráficamente” el valor de 
a como se muestra en la figura 2. Esto se pone en práctica al copiar el
segmento de recta PQ en la parte superior PR para obtener el punto S sobre la 
gráfica de f g.
■
y
xP
f (x)
g(x)
y=(f+g)(x)
y=˝
y=Ï
f(x)
S
R
Q
Figura 2
Suma gráfica
g1x 2f 1x 2
 a f
g
b 14 2 5 f 14 2
g14 2 5
1
14 ! 2 2 14 5
1
4
 1fg 2 14 2 5 f 14 2g14 2 5 a 1
4 ! 2
b 14 5 1
 1f ! g 2 14 2 5 f 14 2 ! g14 2 5 1
4 ! 2
! 14 5 ! 
3
2
 1f g 2 14 2 5 f 14 2 g14 2 5 1
4 ! 2
 14 5
5
2
g10 2 5 0
5x 0 x " 0 and x # 26 a f
g
b 1x 2 5 f 1x 2
g1x 2 5
1
1x ! 2 21x
5x 0 x $ 0 and x # 26 1fg 2 1x 2 5 f 1x 2g1x 2 5 1x
x ! 2
5x 0 x $ 0 and x # 26 1f ! g 2 1x 2 5 f 1x 2 ! g1x 2 5 1
x ! 2
! 1x
5x 0 x $ 0 and x # 26 1f g 2 1x 2 5 f 1x 2 g1x 2 5 1
x ! 2
 1xPara dividir fracciones, invierta el 
denominador y multiplique:
 5 
1
1x ! 2 21x
 5 
1
x ! 2
#
1
1x
 
1/ 1x ! 22
1x
5
1/ 1x ! 2 2
1x/1
y
x
y=˝
y=Ï
Figura 1
y
y
y
y
216 CAPÍTULO 2 Funciones
Composición de funciones
Ahora, considérese una forma muy importante de combinar dos funciones para ob-
tener una nueva función. Suponga que y . Se puede definir
una función h como
La función h está compuesta de las funciones f y g de una manera interesante: dado
un número x, se aplica primero a la función g, luego se aplica f al resultado. En este
caso, f es la regla “sacar la raíz cuadrada”, g es la regla “elevar al cuadrado” después
sumar 1”, y h es la regla “elevar al cuadrado, a continuación sumar 1, luego sacar la
raíz cuadrada”. En otras palabras, se obtiene la regla h al aplicar la regla g y luego 
la regla f. En la figura 3 se muestra un diagrama de máquina para h.
Figura 3
La máquina h está compuesta de la máquina g (primero) y después la máquina f.
En general, dadas dos funciones cualesquiera f y g, comience con un número x
en el dominio de g y encuentre su imagen . Si este número está en el domi-
nio de f, se puede calcular entonces el valor de . El resultado es una nueva 
función obtenida al sustituir g en f. Se llama la composición (o com-
puesta) de f y g y se denota mediante f g (“f compuesta con g”).
h1x 2 5 f 1g1x 22 f 1g1x 22
g1x 2g1x 2
gx
Entrada
f +œ
Salida
x+1
h1x 2 5 f 1g1x 22 5 f 1x2 1 2 5 2x2 1
g1x 2 5 x2 1f 1x 2 5 1x
Composición de funciones
Dadas dos funciones f y g, la función compuesta f g (denominada también
la composición de f y g) está definida por
1f g 2 1x 2 5 f 1g1x 22
El dominio de f g es el conjunto de todas las x en el dominio de g tal que 
está en el dominio de f. En otras palabras se define siempre que y
estén definidas. Se puede ilustrar f g por medio de un diagrama de flecha
(figura 4).
Figura 4
Diagrama de flechas para f g
x g(x) fÓ˝Ô
g f
f$g
f 1g1x 22 g1x 21f g 2 1x 2
g1x 2
Ejemplo 3 Determine la composición de funciones
Sea .
a) Encuentre las funciones f g y g f y sus dominios.
b) Halle y .
Solución
a) Se tiene
Definición de f g
Definición de g
Definición de f
y Definición de g f
Definición de f
Definición de g
Los dominios de f g y g f son .
b) Se tiene
■
Del ejemplo 3 se puede ver que, en general, f g g f. Recuerde que la nota-
ción f g significa que la función g se aplica primero y después f.
Ejemplo 4 Determine la composición de funciones
Si y , encuentre las siguientes funciones y sus dominios.
a) f g b) g f c) f f d) g g
Solución
a) Definición de f g
Definición de g
Definición de f
El dominio de f g es .
b) Definición de g f
Definición de f
Definición de g 5 32 ! 1x
 5 g11x 2
 1g f 2 1x 2 5 g1f 1x 22
5x 0 2 ! x " 06 5 5x 0 x # 26 5 1!q, 2 4
 5 14 2 ! x
 5 312 ! x
 5 f 112 ! x 2
 1f g 2 1x 2 5 f 1g1x 2 2
g1x 2 5 12 ! xf 1x 2 5 1x
 1g f 2 17 2 5 g1f 17 2 2 5 g149 2 5 49 ! 3 5 46
 1f g 2 15 2 5 f 1g15 2 2 5 f 12 2 5 22 5 4
!
 5 x2 ! 3
 5 g1x2 2
 1g f 2 1x 2 5 g1f 1x 2 2
 5 1x ! 3 2 2
 5 f 1x ! 3 2
 1f g 2 1x 2 5 f 1g1x 2 2
1g f 2 17 21f g 2 15 2
f 1x 2 5 x2 and g1x 2 5 x ! 3
SECCIÓN 2.7 Composición de funciones 217
En el ejemplo 3, f es la regla “elevar 
al cuadrado” y g es la regla “restar 3”.
La función f g primero resta 3 y 
después eleva al cuadrado; la función 
g f primero eleva al cuadrado y luego
resta 3.
y
Entonces
Definición de f g
Definición de g
Definición de f
■
Ejemplo 7 Una aplicación de la composición
de funciones
Un barco está viajando a 20 millas/h paralela a una ribera recta. El barco está a 
5 millas de la orilla. Pasa un faro a mediodía.
a) Exprese la distancia s entre el faro y el barco como una función de d, la 
distancia que ha recorrido el barco desde mediodía; es decir, encuentre f de 
modo que .
b) Exprese a d como una función de t, el tiempo transcurrido desde mediodía; es 
decir, encuentre g tal que .
c) Encuentre f g. ¿Qué representa esta función?
Solución Primero se traza un diagrama como en la figura 5.
a) Se pueden relacionar las distancias s y d mediante el teorema de Pitágoras. Así, s
puede ser expresada como una función de d por
b) Puesto que la nave está viajando a 20 millas/h, la distancia d que ha recorrido 
es una función de t como sigue:
c) Se tiene
Definición de f g
Definición de g
Definición de f
La función f g da la distancia del barco desde el faro como una función del
tiempo. ■
2.7 Ejercicios
 5 225 120t 2 2
 5 f 120t 2
 1fg 2 1t 2 5 f 1g1t 22
d 5 g1t 2 5 20t
s 5 f 1d 2 5 225 d 2
d 5 g1t 2
s 5 f 1d 2
 5 F1x 2
 5 14 x 9
 5 f 1x 9 2
 1f g 2 1x 2 5 f 1g1x 22
SECCIÓN 2.7 Composición de funciones 219
5 mi
tiempo 5 t
tiempo 5 mediodía
s d
Figura 5
1–6 ■ Encuentre f g, f ! g, fg y f/g y sus dominios.
1. ,
2. ,
3. ,
4. ,
5. , g1x 2 5 4
x 4
f 1x 2 5 2
x
g1x 2 5 2x2 ! 4f 1x 2 5 29 ! x2
g1x 2 5 11 xf 1x 2 5 24 ! x2
g1x 2 5 3x2 ! 1f 1x 2 5 x2 2x
g1x 2 5 x2f 1x 2 5 x ! 3 6. ,
7–10 ■ Encuentre el dominio de la función.
7. 8.
9. 10. k1x 2 5 1x 3
x ! 1
h1x 2 5 1x ! 3 2!1/4
g1x 2 5 1x 1 ! 1
x
f 1x 2 5 1x 11 ! x
g1x 2 5 x
x 1
f 1x 2 5 2
x 1
distancia 5 velocidad " tiempo
220 CAPÍTULO 2 Funciones
11–12 ■ Use la adición gráfica para bosquejar la gráfica de 
f g.
11.
12.
13–16 ■ Dibuje las gráficas de f, g y f g en una pantalla
común para ilustrar la suma gráfica.
13. ,
14. ,
15. ,
16. ,
17–22 ■ Use y para evaluar la
expresión.
17. a) b)
18. a) b)
19. a) b)
20. a) b)
21. a) b)
22. a) b)
23–28 ■ Use las gráficas de f y g para evaluar la expresión.
x
y
0
f
g
2
2
1g g 2 1x 21f f 2 1x 2
1g f 2 1x 21f g 2 1x 2
1g g 2 12 21f f 2 1!1 2
1g f 2 1!2 21f g 2 1!2 2
g1g13 22f 1f 14 22
g1f 10 22f 1g10 22
g1x 2 5 2 ! x2f 1x 2 5 3x ! 5
g1x 2 5 B1 !
x2
9
f 1x 2 5 14 1 ! x
g1x 2 5 13 x3f 1x 2 5 x2
g1x 2 5 1xf 1x 2 5 x2
g1x 2 5 11 ! xf 1x 2 5 11 x
x
y
0
f
g
x
y
0
f
g
23. 24.
25. 26.
27. 28.
29–40 ■ Encuentre las funciones, f g, g f, f f y g g y sus
dominios.
29. ,
30. ,
31. ,
32. ,
33. ,
34. ,
35. ,
36. ,
37. ,
38. ,
39. ,
40. ,
41–44 ■ Encuentre f g h.
41. , ,
42. , ,
43. , ,
44. , ,
45–50 ■ Exprese la función en la forma f g.
45.
46. F1x 2 5 1x 1
F1x 2 5 1x ! 9 2 5
h1x 2 5 13 xg1x 2 5 x
x ! 1
f 1x 2 5 1x
h1x 2 5 1xg1x 2 5 x ! 5f 1x 2 5 x4 1
h1x 2 5 x2 2g1x 2 5 x3f 1x 2 5 1
x
h1x 2 5 x ! 1g1x 2 5 1xf 1x 2 5 x ! 1
g1x 2 5 x
x 2
f 1x 2 5 2
x
g1x 2 5 14 xf 1x 2 5 13 x
g1x 2 5 x2 ! 4xf 1x 2 5 11x
g1x 2 5 2x ! 1f 1x 2 5 x
x 1
g1x 2 5 0 x 4 0f 1x 2 5 x ! 4
g1x 2 5 2x 3f 1x 2 5 0 x 0
g1x 2 5 1x ! 3f 1x 2 5 x2
g1x 2 5 2x 4f 1x 2 5
1
x
g1x 2 5 13 xf 1x 2 5 x3 2
g1x 2 5 x 1f 1x 2 5 x2
g1x 2 5
x
2
f 1x 2 5 6x ! 5
g1x 2 5 4x ! 1f 1x 2 5 2x 3
1f f 2 14 21g g 2 1!2 2
1f g 2 10 21g f 2 14 2
g1f 10 2 2f 1g12 2 2