Sistemas de control - Sensibilidad, error, perturbación, razón de amortiguamiento, señales de prueba, respuesta transitoria, raíces en el plano

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD NORORIENTAL PRIVADA GRAN MARISCAL DE AYACUCHO
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA EN SISTEMAS
NÚCLEO BARCELONA
UNIDAD II ACTIVIDAD 1
Docente: 									Realizado por:
Ing. Vicenzo Mascia					Ismael Párica, V- 27.652.264
Octubre de 2021
ÍNDICE
INTRODUCCIÓN	3
CONTENIDO	4
Sensibilidad	4
Perturbación	6
Error	7
Error de posición	8
Error de velocidad	8
Error de aceleración	9
Señales de prueba	11
Razón de amortiguamiento	14
Raíces en el plano	17
Respuesta transitoria	20
CONCLUSIÓN	25
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS	27
INTRODUCCIÓN
Los sistemas de control pueden ser optimizados como cualquier otro sistema, para esto es necesario tener un entendimiento profundo de cada parte de los mismos, lo cual depende del tipo de sistema en estudio. Sin embargo, al representar los modelos matemáticos de dichos sistemas en el dominio s, se pueden evaluar sistemas de control físicamente distintos pero matemáticamente equivalentes. Estudiar los parámetros de las funciones de transferencia permite identificar las variables que le interesa optimizar al diseñador de sistemas, por ende los cambios que sean necesarios en el dominio s son traducidos de manera diferente para los sistemas físicos, hasta cierto punto.
Identificar estos parámetros puede hacerse mediante métodos analógicos o digitales, por motivos de conveniencia se prefieren herramientas de software que facilitan el estudio de dichos sistemas así como sus parámetros.
CONTENIDO
Sensibilidad
El concepto de sensibilidad es de primordial importancia en los sistemas de control, un sistema realimentado percibe el cambio en la salida debido a los cambios del proceso e intenta corregir la salida.
La sensibilidad del sistema se define como la relación del cambio porcentual en la función de transferencia del sistema respeto al cambio porcentual en la función de transferencia del proceso (parámetro del sistema). La función de transferencia del proceso para un cambio incremental pequeño la definiremos para este caso como:
Por tanto la sensibilidad se define:
Si tomamos el límite para cambios pequeños la ecuación queda:
Si aplicamos esta definición sobre el sistema:
La sensibilidad de H respecto a K se define como:
Perturbación
Una perturbación es una señal que puede afectar al valor de la salida de un 
sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se la denomina interna, 
mientras que una perturbación externa se genera fuera del sistema y constituye 
una entrada.
Los sistemas en lazo abierto son extremadamente sensibles a las 
perturbaciones, por lo que no cumplen sus funciones correctamente en presencia de 
estas. Los sistemas en lazo cerrado son mucho menos sensibles a las 
perturbaciones debido a que estas afectarán a la salida y, por la realimentación, el 
sistema tendrá conocimiento de esa perturbación como si fuera un error, 
procediendo a su corrección si es posible.
A la hora de diseñar los sistemas de control es conveniente tener en 
cuenta las perturbaciones que pueden aparecer. En ocasiones se realizan 
pruebas incluyendo perturbaciones para determinar la respuesta del sistema ante 
estas y poder implementar un control más robusto. Cuando un sistema está sujeto 
a múltiples perturbaciones, la respuesta a una señal escalón puede ser una 
prueba adecuada
Error
Un aspecto importante a tener en cuenta es el comportamiento de un sistema ante diversas entradas en régimen permanente. En cualquier sistema físico de control existe un error inherente, que es el error en estado estacionario en respuesta a determinados tipos de entradas. Puede ocurrir que un sistema presente o no error en régimen permanente ante diferentes entradas. 
Generalmente el error en régimen permanente sólo se suele definir en los sistemas controlados donde la referencia de entrada y la salida controlada son dimensionalmente coherentes, es decir, tienen las mismas unidades. Así, el error a lo largo del tiempo se define como la diferencia entre la entrada y la salida:
Así, el error en régimen permanente, ess se define como el límite cuando el tiempo tiende a infinito de la señal temporal del error.
Al error en régimen permanente se le suele llamar muchas veces simplemente error, y puede ser nulo, finito o infinito. Evidentemente es un valor con dimensión, y sus unidades son las mismas que las de la entrada y la salida.
De cara al control de sistemas, en general, lo deseable es que el error tienda a cero (o a una cantidad insignificante) lo más rápidamente posible. Así se garantiza que la salida controlada coincide con la referencia.
Error de posición
El error de posición en estado estacionario es el que se produce en el sistema ante una entrada escalón. Para el caso de escalón unidad, su valor es:
La constante Kp se llama coeficiente de error de posición y su valor es igual a la ganancia estática de la función de transferencia en lazo abierto del sistema o infinito, dependiendo del tipo del sistema. 
Si un sistema posee en lazo abierto dos polos en el origen (es decir, N = 2), entonces se dice que dicho sistema es de tipo II. El tipo es una característica que se puede decir de cualquier función de transferencia, pero es mejor referirla a todo el sistema controlado (a través de su función de transferencia en lazo abierto).
Error de velocidad
El error de velocidad en estado estacionario es el que se produce en el sistema ante una entrada rampa. Para el caso de rampa con pendiente unidad, su valor es:
La constante Kv se llama coeficiente de error de velocidad. Su valor es igual a cero, o bien igual a la ganancia estática de la función de transferencia en lazo abierto del sistema, o bien infinito, dependiendo del tipo del sistema.
Error de aceleración
El error de aceleración en estado estacionario es el que se produce en el sistema ante una entrada parabólica. Para el caso de parábola unidad, su valor es:
La constante Ka se llama coeficiente de error de aceleración. Su valor es igual a cero, o bien igual a la ganancia estática de la función de transferencia en lazo abierto del sistema, o bien infinito, dependiendo del tipo del sistema.
Estas fórmulas de errores son aplicables a los sistemas de control con realimentación negativa unitaria.
Señales de prueba
Debido a que rara vez se conoce con anticipación el conjunto completo de señales que pueden entrar a un sistema de control, es común el uso de un conjunto de señales, que son bien conocidas y definidas, y cuya forma permite evaluar algunas características muy particulares del desempeño en el dominio del tiempo del sistema. 
Son múltiples las señales de pruebas que se pueden emplear. Las señales de prueba que se usan regularmente son funciones escalón u(t), rampa, parábola, impulso, senoidales, etc. 
Con estas señales de prueba, resulta simple efectuar el análisis matemático y/o experimental de los sistemas de control, entre otras características, debido a que son señales son funciones del tiempo muy simples. 
 Es típico que en el análisis de la respuesta temporal se emplee la forma de la entrada a la que el sistema estará sujeto con mayor frecuencia bajo una operación normal. Esto determina cuál de las señales de entrada típicas se debe usar para analizar las características del sistema.
· Función rampa: Se emplea cuando se supone que las entradas para un sistema de control son funciones del tiempo que cambian en forma gradual.
· Función escalón unitario: Se emplea cuando se supone que el sistema estará sujeto a perturbaciones repentinas.
· Función impulso: Esta señal es adecuada si se supone que el sistema estará sujeto a entradas de choque.
Razón de amortiguamiento
Consideremos un diagrama de bloques simplificado de un sistema de segundo orden:
El cual tiene una función de transferencia del tipo:
Que puede reescribirse como: 
Los polos en lazo cerrado son complejos si B2-4JK<0 y son reales si B2-4JK≥0. En el análisis de una respuesta transitoria, es conveniente escribir:
Donde σ se denomina atenuación, ωn, frecuencia natural no amortiguada, y ζ, factorde amortiguamiento relativo del sistema. El factor de amortiguamiento relativo ζ es el cociente entre el amortiguamiento real B y el amortiguamiento crítico Bc=2√JK o bien
En términos de ζ y ωn, el sistema se convierte en el siguiente:
Y la función de transferencia se escribe como
Esta forma se denomina forma estándar del sistema de segundo orden. Para diferentes valores de ζ la función de transferencia se ve afectada de la siguiente manera:
Lo cual se presenta en la siguiente tabla:
Raíces en el plano
La característica básica de la respuesta transitoria de un sistema en lazo cerrado se relaciona estrechamente con la localización de los polos en lazo cerrado. Si el sistema tiene una ganancia de lazo variable, la localización de los polos en lazo cerrado depende del valor de la ganancia de lazo elegida.
Los polos en lazo cerrado son las raíces de la ecuación característica. Si esta tiene un grado superior a 3, es muy laborioso encontrar sus raíces y se requerirá de una solución con computadora.
 W. R. Evans diseñó un método sencillo para encontrar las raíces de la ecuación característica, que se utiliza ampliamente en la ingeniería de control. Este método se denomina método del lugar de las raíces, y en él se representan las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro del sistema.
Para un sistema dado, se ejemplificará el método por medio del programa de simulación MATLAB:
Primero, se obtiene la ecuación característica:
 A continuación, se ordena la ecuación tal que el parámetro de interés aparezca como el factor multiplicativo, de la forma
 Se utiliza la ecuación del sistema obtenida previamente, la cual se escribe como
Donde num es el polinomio del numerador y den es el polinomio del denominador. Es decir:
Ambos vectores deben escribirse en potencias decrecientes de s. Una orden de MATLAB que se usa para dibujar los lugares de las raíces es:
 Con esta orden se dibuja en pantalla la gráfica del lugar de las raíces. El vector de ganancias K se determina de forma automática. Para los sistemas definidos en el espacio de estados, rolocus(A,B,C,D) dibuja el lugar de las raíces del sistema con el vector de ganancias automáticamente determinado.	
Si se quiere dibujar los lugares de las raíces con las marcas ‘o’ o bien ‘x’, es necesario usar la orden siguiente: 
Es instructivo dibujar los lugares de las raíces mediante las marcas 'o' o bien 'x', debido a que cada polo en lazo cerrado calculado se muestra de forma gráfica; en alguna parte de los lugares de las raíces estas marcas se muestran de una forma densa y en otra parte aparecen separadas.
MATLAB produce su propio conjunto de valores de ganancias que se utilizan para obtener una gráfica del lugar de las raíces. Lo consigue mediante una rutina interna de adaptación del tamaño de paso. Asimismo, MATLAB usa la característica automática de fijar la escala del eje de la orden plot.
Respuesta transitoria
Una vez conocida la respuesta en el tiempo de un sistema (cualquier sistema), determinamos que la misma está compuesta por dos partes: la respuesta transitoria y la respuesta de estado estacionario, por lo tanto, la respuesta se puede escribir como:
La respuesta transitoria ytr(t) se define como la parte de la respuesta en el tiempo que va desde el estado inicial hasta un estado final en el que tiende a cero cuando ha pasado un tiempo muy largo. De manera que ytr(t) tiene la propiedad:
El control de la respuesta transitoria es necesariamente importante, porque significa que es la parte del comportamiento dinámico del sistema y representa la desviación entre la respuesta de salida y la entrada o la respuesta deseada, antes que el estado estable sea alcanzado, ésta debe ser inmediatamente controlada porque puede causar problemas o afectar negativamente el comportamiento del sistema.
 Con frecuencia, las características de desempeño de un sistema de control se especifican en términos de la respuesta transitoria para una entrada de escalón unitario, puesto que ésta es muy fácil de generar y es suficientemente drástica.
 La respuesta transitoria de un sistema para una entrada escalón unitario depende de las condiciones iniciales, por conveniencia al comparar las respuestas transitorias de varios sistemas, es muy práctico usar la condición inicial cero (sistemas en reposo), por lo cual todas las salidas y todas las derivadas con respecto al tiempo son cero. De este modo las características de respuesta se comparan con facilidad.
Al especificar las características de la respuesta transitoria de un sistema de control para 
una entrada escalón unitario, es común especificar lo siguiente:
1. Tiempo de retardo (td): Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance 	la primera vez la mitad del valor final.
2. Tiempo de levantamiento (tr): Tiempo requerido para que la respuesta pase del 10% al 90%, del 5% al 95% o del 0% al 100% de su valor final. Para sistemas subamortiguados de segundo orden, por lo común se usa el tiempo de levantamiento de 0 a 100%. Para sistemas sobreamortiguados, suele usarse el tiempo de levantamiento de 10 a 90%.
3. Tiempo pico (tp): Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico del sobrepaso.
4. Sobrepaso máximo (Mp): Es el valor pico máximo de la curva 
de respuesta, medido a partir de la unidad. Si el valor final en estado estable de la respuesta es diferente de la unidad, es común usar el porcentaje de sobrepaso máximo. La cantidad de sobrepaso máximo indica de manera directa la estabilidad relativa del sistema.
5. Tiempo de asentamiento (ts): Es el tiempo que se requiere para que la curva de respuesta alcance un rango alrededor del valor final del tamaño especificado por el porcentaje absoluto del valor final y permanezca dentro de él. Se relaciona con la mayor constante de tiempo del sistema de control.
Ejemplo
Se tiene un sistema con la siguiente función de transferencia:
Y se pretende encontrar la respuesta del mismo para una entrada pulso unitario. Entonces, hacemos lo siguiente:
Vemos la gráfica resultante:
Para una entrada de rampa unitaria, sólo se cambia:
Y se tiene la siguiente gráfica:
CONCLUSIÓN
 Se entiende que todo sistema de control va más allá de identificar los modelos matemáticos y sus funciones de transferencia. Como diseñador de sistemas, crear un sistema de control óptimo requiere llevar a cabo modificaciones constantes al modelo físico, las cuales modifican el modelo matemático, y por ende, la función de transferencia, sensibilidad, intervalo de error, tiempos de respuesta, entre otros.
 Modificar un aspecto del sistema modifica a todos los demás en menor o mayor grado, entonces se vuelve necesario determinar una combinación eficiente de cambios que incidan en los parámetros de interés de tal manera que cumplan con los requisitos operacionales establecidos previo al diseño del sistema.
Cada sistema posee distintos grados de sensibilidad en lo que respecta a la entrada de datos o señales, lo que significa que a veces el sistema podría no detectar adecuadamente entradas que sean particularmente bajas o medirían de manera incorrecta señales muy grandes. Adicionalmente, no todas las entradas de los sistemas tienen la intención de ser transformadas; la perturbación es una especie de ruido que es introducido en el sistema e incrementa su entropía. En consecuencia, las operaciones del sistema se ven afectadas negativamente y la proporción de errores en la salida aumenta. 
La realimentación de los sistemas de polo cerrado disminuye la sensibilidad ante la perturbación, regulando el comportamiento errático al aplicar correcciones. Esto deja pendiente a la respuesta transitoria del sistema, la cual se desea mantener dentro de un intervalo aceptable. Ayuda en particular utilizar una razón de amortiguamiento, manipulando su valor tal que limite o “amortigüe” la amplitud de la curva de respuesta del sistema en su estado transitorio, sin embargo, una amortiguación excesiva puede ser contraproducentepara el desempeño del sistema a largo plazo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
· [04-10-2021; 10:40 a.m.] Hernández, R (2010). Introducción a los sistemas de control [Archivo PDF]. Recuperado de: https://drive.google.com/file/d/1jq-Bbx84Pm3mjDNfH4f3LYl6wey5XWwU/view?usp=drive_web&authuser=0
· [04-10-2021; 11:01 a.m.] Ogata, K (2010). Ingeniería de control moderna [Archivo PDF]. Recuperado de: https://drive.google.com/file/d/17jOukc8uwfgSTbcXimRCrT06ABm44rnQ/view?usp=drive_web&authuser=0
· [04-10-2021; 9:50 a.m.] Kuo, B. Sistemas de control automáticos [Archivo PDF]. Recuperado de: https://dademuchconnection.files.wordpress.com/2017/07/sistemas-de-control-automatico-benjamin-c-kuo.pdf
· [04-10-2021; 10:21 a.m.] Morales, R. Ramírez, R. (2013) Sistemas de control moderno. Vol 1: Sistemas de tiempo continuo [Archivo PDF]. Recuperado de: http://prod77ms.itesm.mx/podcast/EDTM/ID295.pdf 
· [04-10-2021, 1:21 p.m.] Carillo, A (2011). Sistemas Automáticos de Control Fundamentos Básicos de Análisis y Modelado. [Archivo PDF]. Recuperado de: http://150.185.9.18/fondo_editorial/images/PDF/CUPUL/SISTEMA%20DE%20CONTROL%20%201.pdf
· [04-10-2021 1:47 p.m.] Alberto,M. Perez, A. Elisa, Bioing (2008). INTRODUCCION A LOS SISTEMAS DE CONTROL Y MODELO MATEMÁTICO PARA SISTEMAS LINEALES INVARIANTES EN EL TIEMPO [archivo PDF]. Recuperado de: http://dea.unsj.edu.ar/control1b/teoria/unidad1y2.pdf
· [04-10-2021 2:23 p.m.] Gil, J. Díaz-Cordovés,A. (Agosto, 15 de 2010).FUNDAMENTOS DE CONTROL AUTOMATICO DE SISTEMAS CONTINUOS Y MUESTREADOS [Archivo PDF]. Recuperado de: https://core.ac.uk/download/pdf/83559623.pdf
· [04-10-2021 2:17 p.m.] Gonzales, F. (2016, Febrero 16). Respuesta Transitoria de Sistemas Lineales [Archivo PDF]. Recuperado de: https://www.researchgate.net/publication/294721368_Capitulo_3_Parte_1_Respuesta_Transitoria_de_Sistemas_Lineales
· [04-10-2021 3:16 p.m.] (s.f.) Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Diseño y métodos y estrategias de control [Archivo PDF]. Recuperado de: http://www.ieec.uned.es/investigacion/Dipseil/PAC/archivos/Informacion_de_referencia_ISE7_1_2.pdf
· [04-10-2021 4:10 p.m.]Crespo, M. Pendino, C. Dinámica de los sistemas físicos. [Archivo PDF]. Recuperado de: https://rephip.unr.edu.ar/bitstream/handle/2133/6469/21505-16%20TECNOLOGIA%20DE%20CONTROL%20Din%C3%A1mica%20de%20los%20sistemas%20f%C3%ADsicos.pdf?sequence=2
· [05-10-2021 8:35 a.m.] Olivas, E. Campos, G. (2002). Diseño de sistemas de control usando MATLAB-SIMULINK. [Archivo PDF]. Recuperado de: https://isp.uv.es/courses/manuals/02_ApuntesCursoControlCheste2002_secure.pdf
Enlace para la presentación: https://drive.google.com/file/d/18gij4To5zulCcXZJ1UfjdyllYkPU9zuw/view?usp=sharing