Ejemplos de crecimiento, decrecimiento, extremos relativos

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Ejemplos de crecimiento, 
decrecimiento, extremos 
relativos
Teórico práctico:Estudio de funciones
Matemática. Comisiones 3 y 4
Profesora: Christiane Ponteville
Ejemplo 1
𝑓 𝑥 =
1
3
𝑥3 −
3
2
𝑥2 + 2𝑥 + 7 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
Hallamos: 𝑓′ 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 2 𝐷𝑜𝑚 𝑓′ = ℝ
Buscamos los puntos críticos:
𝑓′ 𝑥 = 0 ⇔ 𝑥2 − 3𝑥 + 2 = 0
Resolvemos la ecuación y obtenemos como soluciones: 𝑥 = 1 ∨ 𝑥 = 2
Ptos críticos de f : 1; 2 ya que son los puntos del dominio donde se anula la 
derivada y, además, la derivada está definida en todos los números reales.
Muy importante hallar los 
dominios de la función y su
derivada para el análisis posterior.
Puntos críticos: valores del dominio de f 
en los cuales la derivada no está definida o 
vale 0
Ejemplo 1: Armamos intervalos teniendo en cuenta puntos críticos y 
continuidad de la derivada en los cuales se conserva el signo de la derivada:
• −∞; 1 : 𝑓′ 0 = 02 − 3.0 + 2 = 2 > 0 ⇒ 𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
• 1; 2 : 𝑓′
3
2
=
3
2
2
− 3.
3
2
+ 2 = −
1
4
< 0 ⇒ 𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
• 2;+∞ : 𝑓′ 3 = 32 − 3.3 + 2 > 0 ⇒ 𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
Ejemplo 1:Conclusiones
• Intervalos de crecimiento: −∞; 1 ; 2;+∞
• Intervalos de decrecimiento: 1; 2
• Se alcanza un máximo relativo en x=1 con 𝑓 1 =
47
6
≈ 7,83
• Se alcanza un mínimo relativo en x=2 con 𝑓 2 =
23
3
≈ 7,66
Veamos el 
gráfico
Ejemplo 1
Observar los 
valores de los 
extremos relativos
obtenidos en el 
gráfico
Son extremos 
relativos, no 
absolutos.
Ejemplo 2
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
Hallamos: 𝑓′ 𝑥 = ቊ
1 𝑠𝑖 𝑥 > 2
−1 𝑠𝑖 𝑥 < 2
𝐷𝑜𝑚 𝑓′ = ℝ− 2
Buscamos los puntos críticos: 
La función derivada de f no se anula en ningún punto. Por lo tanto: 
Ptos críticos de f : 2 (pues la derivada no existe en este valor).
Observar que:
𝐷𝑜𝑚 𝑓′ ⊂ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Ejemplo 2: Armamos intervalos teniendo en cuenta puntos críticos y 
continuidad de la derivada en los cuales se conserva el signo de la derivada
• −∞; 2 : 𝑓′ 𝑥 = −1 < 0 ⇒ 𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
• 2;+∞ : 𝑓′ 𝑥 = 1 > 0 ⇒ 𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
Ejemplo 2: Conclusiones
• Intervalos de crecimiento: 2;+∞
• Intervalos de decrecimiento: −∞; 2
• Se alcanza un mínimo relativo en x=2 con 𝑓 2 = 0
Ejemplo 2
El mínimo 
relativo, es 
absoluto.
Ejemplo 3
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
= 𝑥−1 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 0
Hallamos: 𝑓′ 𝑥 = −1. 𝑥−2 = −
1
𝑥2
𝐷𝑜𝑚 𝑓′ = ℝ− 0
Buscamos los puntos críticos: 
La función derivada de f no se anula en ningún punto y está definida en todos 
los puntos del dominio de f. Por lo tanto, esta función no tiene puntos críticos. 
Ejemplo 3: Ya que la función no tiene puntos críticos, consideramos los 
intervalos de continuidad de la derivada :
• −∞; 0 : 𝑓′ 𝑥 = −
1
𝑥2
< 0 ⇒ 𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
• 0;+∞ : 𝑓′ 𝑥 = −
1
𝑥2
< 0 ⇒ 𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
Ejemplo 3: Conclusiones
• Intervalos de decrecimiento: −∞; 0 ; 0;+∞
• No tiene extremos relativos
Ejemplo 3
Observar que el 
decrecimiento debe ser 
definido por intervalos
Ejemplo 4
𝑓 𝑥 =
1
𝑥2
= 𝑥−2 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ − 0
Hallamos: 𝑓′ 𝑥 = −2 𝑥−3 = −
2
𝑥3
𝐷𝑜𝑚 𝑓′ = ℝ− 0
Buscamos los puntos críticos: 
Teniendo en cuenta el dominio de la función y que la función derivada de f no 
se anula en ningún punto, esta función no tiene puntos críticos. 
Ejemplo 4: Ya que la función no tiene puntos críticos, consideramos los 
intervalos de continuidad de la derivada :
• −∞; 0 : 𝑓′ −1 = −
2
−1 3
= 2 > 0 ⇒ 𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
• 0;+∞ : 𝑓′ 1 = −
2
1 3
= −2 < 0 ⇒ 𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
Ejemplo 4: Conclusiones
• Intervalo de decrecimiento: 0;+∞
• Intervalo de crecimiento: −∞; 0
• No tiene extremos relativos
Ejemplo 4
No tiene extremos
relativos
Ejemplo 5
𝑓 𝑥 = 3 𝑥 = 𝑥
1
3 𝐷𝑜𝑚 𝑓 = ℝ
Hallamos: 𝑓′ 𝑥 =
1
3
𝑥
1
3
−1 =
1
3
𝑥−
2
3 =
1
3
3
𝑥2
𝐷𝑜𝑚 𝑓′ = ℝ− 0
Buscamos los puntos críticos: 
La función derivada de f no se anula en ningún punto, pero no está definida en 
x=0. Por lo tanto, tiene un punto crítico en x=0 (recordar que pertenece al 
dominio de f).
Ejemplo 5: Construimos los intervalos considerando punto crítico y de
continuidad de la derivada :
• −∞; 0 : 𝑓′ 𝑥 =
1
3
3
𝑥2
> 0 ⇒ 𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
• 0;+∞ : 𝑓′ 𝑥 =
1
3
3
𝑥2
> 0 ⇒ 𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑒
Observar que al tener una potencia par todos
los valores que toma la derivada son positivos
Ejemplo 5: Conclusiones
• Intervalos de crecimiento: −∞; 0 ; 0;+∞
• No tiene extremos relativos
Ejemplo 5
No tiene extremos
relativos en x=0