03 Trabajo Práctico Nro 3 (FUNCIONES VECTORIALES)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 3 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(FUNCIONES VECTORIALES) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
2 
 
FUNCIONES VECTORIALES 
Recordemos que las funciones vectoriales son funciones 𝐹: 𝐴 → 𝐵 con 𝐴 ⊂ ℝ y 𝐵 ⊂ ℝ2 o 𝐵 ⊂
ℝ3 
Por ejemplo, en la función vectorial 𝐹(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝐼 + 𝑦(𝑡) 𝐽, donde 𝑥(𝑡) e 𝑦(𝑡) son funciones 
escalares porque el dominio y la imagen de éstas están incluidas en ℝ, cada 𝑡 del dominio de 𝐹 
se relaciona con un vector en ℝ2 
En este otro ejemplo, en la función vectorial 𝐹(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝐼 + 𝑦(𝑡) 𝐽 + 𝑧(𝑡) 𝐾, donde 𝑥(𝑡), 𝑦(𝑡) 
y 𝑧(𝑡) son funciones escalares porque el dominio y la imagen de éstas están incluidas en ℝ, cada 
𝑡 del dominio de 𝐹 se relaciona con un vector en ℝ3 
Ejercicio 14 
En este ejercicio nos piden hallar el dominio de las funciones vectoriales que nos presentan. 
Debemos saber que el dominio de una función vectorial es la intersección de los dominios de las 
funciones escalares de las componentes. 
 a) 
𝐹(𝑡) =
2
𝑒𝑡 − 1
 𝐼 + sen 𝑡 𝐽 
Identificamos a 𝑥(𝑡) y a 𝑦(𝑡) y a sus dominios: 
𝑥(𝑡) =
2
𝑒𝑡 − 1
 𝐷𝑥 = ℝ − {0} 
𝑦(𝑡) = sen 𝑡 𝐷𝑦 = ℝ 
En consecuencia, el dominio de 𝐹 es: 𝐷𝐹 = 𝐷𝑥 ∩ 𝐷𝑦 = ℝ − {0} 
c) 
𝐹(𝑡) = ln(𝑡 + 1) 𝐼 + √1 − 𝑡 𝐽 +
1
𝑡
 𝐾 
Identificamos a 𝑥(𝑡), a 𝑦(𝑡) y a 𝑧(𝑡) y a sus dominios: 
𝑥(𝑡) = ln(𝑡 + 1) 𝐷𝑥 = (−1 ; +∞) 
𝑦(𝑡) = √1 − 𝑡 𝐷𝑦 = (−∞ ; 1] 
𝑦(𝑡) =
1
𝑡
 𝐷𝑧 = ℝ − {0} 
En consecuencia, el dominio de 𝐹 es: 𝐷𝐹 = 𝐷𝑥 ∩ 𝐷𝑦 ∩ 𝐷𝑧 = (−1 ; 0) ∪ (0 ; 1] 
Ejercicio 15 
En este ejercicios nos piden las ecuaciones paramétricas y la trayectoria. Debemos saber que, 
dada la función vectorial 𝐹(𝑡) = 𝑥(𝑡) 𝐼 + 𝑦(𝑡) 𝐽, las ecuaciones paramétricas son: 
3 
 
{
𝑥 = 𝑥(𝑡)
𝑦 = 𝑦(𝑡)
 𝑡 ∈ 𝐷𝐹 
La trayectoria es la curva formada por los puntos (𝑥(𝑡); 𝑦(𝑡)) con 𝑡 ∈ 𝐷𝐹 
 a) 
𝐹(𝑡) = (−2 + 3𝑡) 𝐼 + (1 − 4𝑡) 𝐽 
El dominio de 𝐹 es ℝ 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥 = 𝑥(𝑡) = −2 + 3𝑡
𝑦 = 𝑦(𝑡) = 1 − 4𝑡
 𝑡 ∈ ℝ 
La ecuación de la trayectoria la obtenemos por eliminación del parámetro 𝑡 
𝑥 = −2 + 3𝑡 ⇒ 𝑥 + 2 = 3𝑡 ⇒
𝑥 + 2
3
= 𝑡 
𝑦 = 1 − 4𝑡 ⇒ 𝑦 − 1 = −4𝑡 ⇒
𝑦 − 1
−4
= 𝑡 
Igualamos: 
𝑥 + 2
3
=
𝑦 − 1
−4
 
−
4
3
(𝑥 + 2) = 𝑦 − 1 
−
4
3
𝑥 −
8
3
+ 1 = 𝑦 
−
4
3
𝑥 −
5
3
= 𝑦 
Como 𝑥 depende de 𝑡, tenemos que saber qué valores puede tomar 𝑥, es decir, debemos 
determinar la imagen de la función 𝑥, es decir 𝑥(𝑡). Como en este caso 𝑥(𝑡) = −2 + 3𝑡, el 
dominio es ℝ, así que la imagen también es ℝ, por lo tanto la trayectoria es toda la recta 
𝑦 = −
4
3
𝑥 −
5
3
 con 𝑥 ∈ ℝ; 𝑦 ∈ ℝ y su representación gráfica es: 
4 
 
 
𝐹(𝑡0) = 𝐹(0) = (−2 + 3 ∙ 0) 𝐼 + (1 − 4 ∙ 0) 𝐽 = −2 𝐼 + 𝐽 
𝐹(𝑡1) = 𝐹(1) = (−2 + 3 ∙ 1) 𝐼 + (1 − 4 ∙ 1) 𝐽 = 𝐼 − 3 𝐽 
Observar que los puntos 𝐴 = (−2 ; 1) y 𝐵 = (1 ; −3) están sobre la trayectoria (sobre la recta). 
b) 
𝐹(𝑡) = (−2 + 3𝑡2) 𝐼 + (1 − 4𝑡2) 𝐽 
El dominio de 𝐹 es ℝ 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥 = 𝑥(𝑡) = −2 + 3𝑡2
𝑦 = 𝑦(𝑡) = 1 − 4𝑡2
 𝑡 ∈ ℝ 
La ecuación de la trayectoria la obtenemos por eliminación del parámetro 𝑡 
𝑥 = −2 + 3𝑡2 ⇒ 𝑥 + 2 = 3𝑡2 ⇒
𝑥 + 2
3
= 𝑡2 
𝑦 = 1 − 4𝑡2 ⇒ 𝑦 − 1 = −4𝑡2 ⇒
𝑦 − 1
−4
= 𝑡2 
Igualamos, llegando a la misma expresión que en el ejercicio anterior: 
𝑥 + 2
3
=
𝑦 − 1
−4
 
−
4
3
(𝑥 + 2) = 𝑦 − 1 
−
4
3
𝑥 −
8
3
+ 1 = 𝑦 
−
4
3
𝑥 −
5
3
= 𝑦 
5 
 
Ahora tenemos que determinar la imagen de la función 𝑥, siendo 𝑥(𝑡) = −2 + 3𝑡2, como 𝑡2 ≥
0 entonces 3𝑡2 ≥ 0, así −2 + 3𝑡2 ≥ −2. La imagen de 𝑥 es [−2 ; +∞) y entonces la trayectoria 
es una semirecta: 
La trayectoria es: 
{
𝑦 = −
4
3
𝑥 −
5
3
𝑥 ∈ [−2 ; +∞)
𝑦 ∈ (−∞ ; 1]
 
La imagen de 𝑦 podemos encontrarla a partir de 𝑥 o podemos hacer el mismo análisis que hicimos 
para 𝑥 
 c) 
𝐹(𝑡) = (√𝑡 − 3) 𝐼 + (1 − 𝑡) 𝐽 
El dominio de 𝐹 es [0 ; +∞) 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥 = 𝑥(𝑡) = √𝑡 − 3
𝑦 = 𝑦(𝑡) = 1 − 𝑡
 𝑡 ≥ 0 
La ecuación de la trayectoria la obtenemos por eliminación del parámetro 𝑡 
𝑥 = √𝑡 − 3 ⇒ 𝑥 + 3 = √𝑡 ⇒ (𝑥 + 3)2 = 𝑡 
𝑦 = 1 − 𝑡 ⇒ 𝑦 − 1 = −𝑡 ⇒ −𝑦 + 1 = 𝑡 
Igualamos: 
(𝑥 + 3)2 = −𝑦 + 1 
𝑦 = −(𝑥 + 3)2 + 1 
Ahora que tenemos la ecuación de la trayectoria determinamos las imágenes de las funciones 𝑥 
e 𝑦 
6 
 
Si √𝑡 ≥ 0 ⇒ √𝑡 − 3 ≥ −3 ⇒ 𝑥 ∈ [−3 ; +∞) 
Si 𝑡 ≥ 0 ⇒ −𝑡 ≤ 0 ⇒ 1 − 𝑡 ≤ 1 ⇒ 𝑦 ∈ (−∞ ; 1] 
Así, la trayectoria resulta: 
{
𝑦 = −(𝑥 + 3)2 + 1
𝑥 ∈ [−3 ; +∞)
𝑦 ∈ (−∞ ; 1]
 
𝐹(4) = (√4 − 3) 𝐼 + (1 − 4) 𝐽 = −1 𝐼 − 3 𝐽 
𝐹(9) = (√9 + 3) 𝐼 + (1 − 9) 𝐽 = 0 𝐼 − 8 𝐽 
𝐴 = 𝐹(9) y 𝐵 = 𝐹(4) 
 d) 
𝐹(𝑡) = 𝑒𝑡 𝐼 + 𝑒2𝑡 𝐽 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = 𝑒𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑒2𝑡
 𝑡 ∈ ℝ 
La trayectoria es 𝑦 = 𝑒2𝑡 = (𝑒𝑡)2 = 𝑥2 
{
𝑦 = 𝑥2
𝑥 ∈ (0 ; +∞)
𝑦 ∈ (0 ; +∞)
 
 
7 
 
Señalemos que el punto (0 ; 0) no pertenece a la trayectoria. 
e) 
𝐹(𝑡) = 3 𝐼 + 5𝑡 𝐽 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = 3
𝑦(𝑡) = 5𝑡
 𝑡 ∈ ℝ 
Vemos que 𝑥 es constante dado que para cualquier 𝑡 vale 3, mientras que 𝑦 toma todos los 
números reales. Así, la trayectoria es entonces la recta vertical: 
{
𝑥 = 3
𝑦 ∈ ℝ
 
𝐹(−2) = 3 𝐼 − 10 𝐽 
𝐹(0) = 3 𝐼 + 0 𝐽 
𝐴 = 𝐹(−2) y 𝐵 = 𝐹(0) 
 f) 
𝐹(𝑡) = 5 cos 𝑡 𝐼 + 5 sen 𝑡 𝐽 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = 5 cos 𝑡
𝑦(𝑡) = 5 sen 𝑡
 𝑡 ∈ ℝ 
8 
 
Para obtener la trayectoria tenemos que utilizar la relación pitagórica: 
sen2 𝑡 + cos2 𝑡 = 1 
Entonces elevamos al cuadrado 𝑥 e 𝑦 
𝑥2 = 25 cos2 𝑡 
𝑦2 = 25 sen2 𝑡 
Ahora sumamos: 
𝑥2 + 𝑦2 = 25 cos2 𝑡 + 25 sen2 𝑡 = 25(cos2 𝑡 + sen2 𝑡) = 25 
Tenemos que determinar las imágenes de 𝑥 e 𝑦 
−1 ≤ cos 𝑡 ≤ 1 ⇒ −5 ≤ 5 cos 𝑡 ≤ 5 ⇒ 𝑥 ∈ [−5 ; 5] 
−1 ≤ sen 𝑡 ≤ 1 ⇒ −5 ≤ 5 sen 𝑡 ≤ 5 ⇒ 𝑦 ∈ [−5 ; 5] 
Entonces la trayectoria es: 
{
𝑥2 + 𝑦2 = 25
𝑥 ∈ [−5 ; 5]
𝑦 ∈ [−5 ; 5]
 
Recordemos que la ecuación de una circunferencia de centro (𝑎 ; 𝑏) y radio 𝑟 es: 
(𝑥 − 𝑎)2 + (𝑦 − 𝑏)2 = 𝑟2 
Así, la representación gráfica de la trayectoria es una circunferencia de centro (0 ; 0) y radio 5 
𝐹(0) = 5 cos 0 𝐼 + 5 sen 0 𝐽 = 5 𝐼 + 0 𝐽 
𝐹 (
𝜋
2
) = 5 cos
𝜋
2
 𝐼 + 5 sen
𝜋
2
 𝐽 = 0 𝐽 + 5 𝐽 
𝐴 = 𝐹(0) y 𝐵 = 𝐹(
𝜋
2
) 
 
9 
 
Ejercicio 16 
En este ejercicio se pide lo mismo que en el ejercicio 15, la diferencia radica en que se da un 
dominio particular para cada función vectorial. 
 c) 
𝐹(𝑡) = 𝑡2 𝐼 + (−𝑡2 − 1) 𝐽 − 2 ≤ 𝑡 ≤ 0 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = 𝑡2
𝑦(𝑡) = −𝑡2 − 1
 − 2 ≤ 𝑡 ≤ 0 
La trayectoria es la recta 𝑦 = −𝑥 − 1 y debemos determinar las imágenes de 𝑥 e 𝑦 
−2 ≤ 𝑡 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 𝑡2 ≤ 4 ⇒ 𝑥 ∈ [0 ; 4] 
−2 ≤ 𝑡 ≤ 0 ⇒ 0 ≤ 𝑡2 ≤ 4 ⇒ 0 ≥ −𝑡2 ≥ −4 ⇒ −1 ≥ −𝑡2 ≥ −5 ⇒ 𝑦 ∈ [−5 ; −1] 
Entonces la trayectoria nos queda: 
{
𝑦 = −𝑥 − 1
𝑥 ∈ [0 ; 4]
𝑦 ∈ [−5 ; −1]
 
 e) 
𝐹(𝑡) = (4 + cos 𝑡) 𝐼 + ln(5 + cos 𝑡) 𝐽 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = 4 + cos 𝑡
𝑦(𝑡) = ln(5 + cos 𝑡)
 0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
 
La ecuación de la trayectoria es: 
𝑥 − 4 = cos 𝑡 
10 
 
𝑦 = ln(5 + cos 𝑡) ⇒ 𝑦 = ln(5 + 𝑥 − 4) ⇒ 𝑦 = ln(1 + 𝑥) 
Ahora determinamos las imágenes de 𝑥 e 𝑦 
0 ≤ 𝑡 ≤
𝜋
2
⇒ cos 𝑡 ∈ [0 ; 1] ⇒ (cos 𝑡 + 4) ∈ [4 ; 5] ⇒ 𝑥 ∈ [4 ; 5] 
(1 + 𝑥) ∈ [5 ; 6] ⇒ ln(1 + 𝑥) ∈ [ln 5 ; ln 6] ⇒ 𝑦 = [ln 5 ; ln 6] 
La trayectoria nos queda: 
{
𝑦 = ln(1 + 𝑥)
𝑥 ∈ [4 ; 5]
𝑦 = [ln 5 ; ln 6]
 
 
 
11 
 
ECUACIÓN VECTORIAL Y ECUACIONESPARAMÉTRICAS DE UNA RECTA DE ℝ𝟐 
La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto 𝑃0 = (𝑥0 ; 𝑦0) y tiene la dirección del 
vector 𝑉 = 𝑣1 𝐼 + 𝑣2 𝐽 es: 
𝐹(𝑡) = 𝑃0 + 𝑡𝑉 𝑡 ∈ ℝ 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑡𝑣1
𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑡𝑣2
 𝑡 ∈ ℝ 
La ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos 𝑃0 = (𝑥0 ; 𝑦0) y 𝑃1 = (𝑥1 ; 𝑦1) es: 
𝐹(𝑡) = 𝑃0 + 𝑡(𝑃1 − 𝑃0) 𝑡 ∈ ℝ 
Ejercicio 17 
En este punto nos piden hallar la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas de las 
siguientes rectas [que]: 
a) Tiene la dirección del vector 3 𝐼 − 4 𝐽 y pasa por el punto (2 ; −1) 
Según lo que dijimos más arriba: 
𝐹(𝑡) = (2 ; −1) + 𝑡(3 ; −4) 
𝐹(𝑡) = (2 + 3𝑡 ; −1 − 4𝑡) 
𝐹(𝑡) = (2 + 3𝑡) 𝐼 + (−1 − 4𝑡) 𝐽 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = 2 + 3𝑡
𝑦(𝑡) = −1 − 4𝑡
 𝑡 ∈ ℝ 
b) Pasa por el punto (2 ; −3) y es paralela a la recta cuyas ecuaciones paramétricas son 
𝑥(𝑡) = −3 + 𝑡 e 𝑦(𝑡) = 5𝑡 
Teniendo en cuenta las ecuaciones paramétricas, el vector que determina la dirección de la recta 
es 𝑉 = (𝑣1 ; 𝑣2) = (1 ; 5): 
{
𝑥(𝑡) = 𝑥0 + 𝑡𝑣1 = −3 + 𝑡 ⇒ 𝑡𝑣1 = 1𝑡
𝑦(𝑡) = 𝑦0 + 𝑡𝑣2 = 5𝑡 ⇒ 𝑡𝑣2 = 5𝑡
 𝑡 ∈ ℝ 
Y como buscamos una paralela, utilizamos el mismo vector ya que la recta tiene la misma 
dirección. Así, la ecuación vectorial nos queda: 
𝐹(𝑡) = (2; −3) + 𝑡(1 ; 5) 
𝐹(𝑡) = (2 + 𝑡) 𝐼 + (−3 + 5𝑡) 𝐽 
Las ecuaciones paramétricas son: 
12 
 
{
𝑥(𝑡) = 2 + 𝑡
𝑦(𝑡) = −3 + 5𝑡
 𝑡 ∈ ℝ 
c) Pasa por los puntos (3 ; 2) y (−1 ; 1) 
Según lo que dijimos más arriba: 
𝐹(𝑡) = (3 ; 2) + 𝑡[(−1 ; 1) − (3 ; 2)] 
𝐹(𝑡) = (3 ; 2) + 𝑡(−4 ; −1) 
𝐹(𝑡) = (3 − 4𝑡 ; 2 − 𝑡) 
𝐹(𝑡) = (3 − 4𝑡) 𝐼 + (2 − 𝑡) 𝐽 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = 3 − 4𝑡
𝑦(𝑡) = 2 − 𝑡
 𝑡 ∈ ℝ 
e) Pasa por el punto (3; −5) y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos 
(1 ; −1) y (2 ; 3) 
La recta que pasa por los puntos (1 ; −1) y (2 ; 3) tiene a dirección dada por la resta de los 
vectores: 
𝑉 = (1 ; −1) − (2 ; 3) = (−1 ; −4) 
Si queremos una perpendicular necesitamos un vector 𝑊 tal que 𝑉 ∙ 𝑊 = 0, así elegimos uno, 
por ejemplo 𝑊 = (4 ; −1) 
La ecuación vectorial nos queda: 
𝐹(𝑡) = (3 ; −5) + 𝑡(4 ; −1) 
𝐹(𝑡) = (3 + 4𝑡) 𝐼 + (−5 − 𝑡) 𝐽 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = 3 + 4𝑡
𝑦(𝑡) = −5 − 𝑡
 𝑡 ∈ ℝ 
Ejercicio 18 
a) Pasa por (−1 ; 0 ; 2) y tiene la dirección del vector 2 𝐼 − 𝐽 + 3 𝐾 
En estos casos que implican ℝ3 nos manejamos de la misma manera que en ℝ2 
𝐹(𝑡) = (−1 ; 0 ; 2) + 𝑡(2 ; −1 ; 3) 
𝐹(𝑡) = (−1 + 2𝑡 ; 0 − 𝑡 ; 2 + 3𝑡) 
𝐹(𝑡) = (−1 + 2𝑡) 𝐼 + (−𝑡) 𝐽 + (2 + 3𝑡) 𝐾 
13 
 
Las ecuaciones paramétricas son: 
{
𝑥(𝑡) = −1 + 2𝑡
𝑦(𝑡) = −𝑡
𝑧(𝑡) = 2 + 3𝑡
 𝑡 ∈ ℝ