02 Trabajo Práctico Nro 2 (INTEGRALES INDEFINIDAS)

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Matemática 
1er. cuatrimestre del año 2020 
Trabajo Práctico Nro. 2 
Taller de Resolución de Problemas 
Compendio de problemas con resolución 
(INTEGRALES INDEFINIDAS) 
 
 
Este es un documento realizado por lxs docentes Marcela Araujo (Jefa de Trabajos Prácticos) y 
Mariano Reynoso (Ayudante) para lxs alumnxs de las comisiones 4 y 5 de la materia Matemática 
de las carreras de Farmacia y Bioquímica de la Facultad de Farmacia y Bioquímica de la 
Universidad de Buenos Aires. 
2 
 
INTEGRALES INDEFINIDAS 
Vamos a recordar algunas nociones sobre integrales. Recordemos que al integrar una función, 
nos devuelve otra función: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑔(𝑥) 
si 𝑔´(𝑥) = 𝑓(𝑥). Esto quiere decir que la derivada de la función que obtuvimos es la función que 
acabamos de integrar. Por ello, en algunos ambientes se dice que la integración es la operación 
inversa a la derivación, o también se la llama a la integral la “antiderivada”. Aquí hablaremos de 
integral. También puede ser que vean la siguiente notación: 
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) 
si 𝐹´(𝑥) = 𝑓(𝑥). Esta notación, esta forma de escribirlo es totalmente análoga a la anterior, 
solamente que hacemos uso de la mayúscula para evidenciar la relación entre funciones y se 
aplica en la pagina 8 del presente apunte. 
Recordemos también el cálculo de primitivas: 
1) 
∫ 0 𝑑𝑥 = 𝑐 
con 𝑐 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 
2) 
∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =  
𝑥𝑛+1
𝑛 + 1
+ 𝑐 
para 𝑛 ≠ −1 
3) 
∫
1
𝑥
𝑑𝑥  = ln 𝑥 + 𝑐 
4) 
∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 =  
𝑎𝑥
ln 𝑎
+ 𝑐 
5) 
∫ sen 𝑥 𝑑𝑥  = − cos 𝑥 + 𝑐 
 
3 
 
6) 
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝑐 
7) 
∫ 𝑐 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥  = 𝑐 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 
8) 
∫ 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 
Resolvamos algunas integrales donde podamos aplicar el listado de primitivas que vimos 
anteriormente: 
1) 
∫ (sen 𝑥 +
1
𝑥
) 𝑑𝑥 
∫ (sen 𝑥 +
1
𝑥
) 𝑑𝑥 = ∫ sen 𝑥 𝑑𝑥 + ∫
1
𝑥
𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + ln 𝑥 + 𝑐 
2) 
∫
1 + √𝑥 cos 𝑥 + 𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 
∫
1 + √𝑥 𝑐𝑜𝑠( 𝑥) + 𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = ∫
1
√𝑥
 𝑑𝑥 + ∫
√𝑥 cos 𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 + ∫
𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = 
= ∫ 𝑥−
1
2 𝑑𝑥 + ∫ 𝑐𝑜𝑠( 𝑥)𝑑𝑥 + ∫ 𝑥
1
2 𝑑𝑥 =
𝑥
1
2
1
2
+ sen 𝑥 +
𝑥
3
2
3
2
+ 𝑐 
 
∫
1 + √𝑥 cos 𝑥 + 𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 = 2𝑥
1
2 + sen 𝑥 +
2
3
𝑥
3
2 + 𝑐 
 
Otras integrales no se resuelven en forma inmediata y existen algunos métodos que se pueden 
aplicar para obtener la familia de primitivas. 
 
4 
 
MÉTODO DE SUSTITUCIÓN 
Este método consta de realizar un cambio de variable que permita resolver la integral de una 
manera más sencilla, y la clave está en la elección de esa nueva variable. La nueva variable, que 
llamaremos 𝑢, será función de 𝑥, es decir 𝑢(𝑥). 
Vamos a hacer algunos ejercicios para ver cómo se aplica el método: 
1) 
∫ cos(𝑥 − 5) 𝑑𝑥 
Llamamos 𝑢(𝑥) = 𝑥 − 5 ⇒ 𝑑𝑢 = (𝑥 − 5)′𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 1 𝑑𝑥 
Aplicamos el concepto de diferencial y nos queda: 
∫ cos(𝑥 − 5) 𝑑𝑥 = ∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 
Entonces se resuelve la integral usando la variable 𝑢: 
∫ cos 𝑢 𝑑𝑢 = sen 𝑢 + 𝑐 
Y se vuelve a la variable original: 
∫ cos(𝑥 − 5) 𝑑𝑥 = sen(𝑥 − 5) + 𝑐 
2) 
∫(2𝑥 + 10)9 
En este caso es conveniente realizar la sustitución 𝑢(𝑥) = 2𝑥 + 10 
𝑑𝑢 = (2𝑥 + 10)′𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 ⇒
𝑑𝑢
2
= 𝑑𝑥 
Reemplazamos por la nueva variable y resolvemos la integral: 
∫(2𝑥 + 10)9 = ∫ 𝑢9
𝑑𝑢
2
=
1
2
∫ 𝑢9 𝑑𝑢 =
1
2
𝑢10
10
+ 𝑐 
Volvemos a reemplazar para volver a la variable 𝑥: 
∫(2𝑥 + 10)9 =
1
20
(2𝑥 + 10)10 + 𝑐 
 
5 
 
3) 
∫ 𝑥√𝑥2 + 5 𝑑𝑥 
En este caso tenemos una raíz multiplicada por 𝑥 y 𝑥 es la derivada de 𝑥2 + 5 (salvo constante). 
Pensemos que si observamos la derivada de una función, salvo constante, multiplicando a 𝑑𝑥 nos 
da la pauta que la sustitución se hace por dicha función. 
Entonces llamamos 𝑢(𝑥) = 𝑥2 + 5, 𝑑𝑢 = (𝑥2 + 5)′𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 ⇒
𝑑𝑢
2
= 𝑥 𝑑𝑥 
Ahora integramos con la nueva variable: 
∫ 𝑥√𝑥2 + 5 𝑑𝑥 = ∫ √𝑢
𝑑𝑢
2
=
1
2
∫ √𝑢 𝑑𝑢 =
1
2
∫ 𝑢
1
2 𝑑𝑢 =
1
2
𝑢
3
2
3
2
+ 𝑐 =
1
3
𝑢
3
2 + 𝑐 
Ahora volvemos a la variable 𝑥: 
∫ 𝑥√𝑥2 + 5 𝑑𝑥 =
1
3
(𝑥2 + 5)
3
2 + 𝑐 
 4) 
∫
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 
En este caso tenemos 
1
𝑥
 que multiplica al 𝑑𝑥, y que a su vez es la derivada de ln 𝑥, entonces 
llamamos 𝑢(𝑥) = ln 𝑥, 𝑑𝑢 = (ln 𝑥)′𝑑𝑥 ⇒ 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥, y escribimos la integral en función de la 
nueva variable 𝑢: 
∫
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 = ∫ 𝑢 𝑑𝑢 =
𝑢2
2
+ 𝑐 
Y volvemos a la variable original, es decir, a 𝑥: 
∫
ln 𝑥
𝑥
𝑑𝑥 =
1
2
(ln 𝑥)2 + 𝑐 
 
6 
 
INTEGRACIÓN POR PARTES 
Este método se aplica considerando la siguiente igualdad: 
∫ 𝑢(𝑥)𝑣′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥)𝑣(𝑥) − ∫ 𝑢′(𝑥)𝑣(𝑥) 𝑑𝑥 
La idea es que si es complejo de encontrar la solución de la primera integral (término izquierdo 
de la igualdad), la segunda integral (término derecho de la igualdad) sea más fácil de calcular. 
Vemos unos ejemplos: 
 1) 
∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Acá tenemos un producto de funciones, en este método debemos decidir a cuál llamamos 𝑢 y a 
cuál 𝑣′. La idea es que 𝑣′ tiene que ser fácil de integrar y en este caso cualquiera de las dos es 
fácil de integrar, pero también interesa que 𝑢′ tenga una expresión más sencilla que 𝑢, por eso, 
en este caso conviene llamar 𝑢 a 𝑥: 
𝑢(𝑥) = 𝑥 ⇒ 𝑢′(𝑥) = 1 
𝑣′(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 
Si efectuamos los reemplazos de variables correspondientes: 
∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 
Entonces ahora nos quedó una integral inmediata de resolver: 
∫ 𝑥𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒𝑥 − 𝑒𝑥 + 𝑐 
 2) 
∫ 𝑥3 ln 𝑥 𝑑𝑥 
En este caso, la función que es fácil de integrar es la potencia, entonces: 
𝑢(𝑥) = ln 𝑥 ⇒ 𝑢′(𝑥) =
1
𝑥
 
𝑣′(𝑥) = 𝑥3 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
 
∫ 𝑥3 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥
𝑥4
4
− ∫
1
𝑥
𝑥4
4
𝑑𝑥 
∫ 𝑥3 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥
𝑥4
4
− ∫
𝑥3
4
𝑑𝑥 
∫ 𝑥3 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥
𝑥4
4
−
1
4
∫ 𝑥3 𝑑𝑥 
7 
 
∫ 𝑥3 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥
𝑥4
4
−
1
4
𝑥4
4
+ 𝑐 
∫ 𝑥3 ln 𝑥 𝑑𝑥 = ln 𝑥
𝑥4
4
−
𝑥4
16
+ 𝑐 
 3) 
∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 
En este caso, podemos considerar que cualquiera puede ser la función que vayamos a derivar o 
integrar porque realmente ambas expresiones son fáciles de integrar y derivar y sus expresiones 
finales no cambian (salvo la función trigonométrica, pero sigue siendo una función 
trigonométrica): 
𝑢(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑢′(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑣′(𝑥) = sen 𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ sen 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 
∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥(− cos 𝑥) − ∫ 𝑒𝑥(− cos 𝑥) 𝑑𝑥 
∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
Volvemos a aplicar el método de integración por partes en la integral que se encuentra en el 
término derecho de la igualdad. 
∫ 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
𝑢(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑢′(𝑥) = 𝑒𝑥 
𝑣′(𝑥) = cos 𝑥 ⇒ 𝑣(𝑥) = ∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 
∫ 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 sen 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 
Entonces: 
∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 sen 𝑥 − ∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 
∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 sen 𝑥 
2 ∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 sen 𝑥 
∫ 𝑒𝑥 sen 𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
(−𝑒𝑥 cos 𝑥 + 𝑒𝑥 sen 𝑥) + 𝑐 
Ahora vayamos a un ejercicio de la Guía de Trabajos Prácticos: 
 
8 
 
Ejercicio 1 
En este ejercicio, en el cual preferentemente trabajaremos con el ítem c, nos piden hallar la 
función 𝐹 que verifica: 
𝐹′(𝑥) = 𝑥3 − sen 𝑥 y 𝐹(0) =
1
2
 
Recordemos que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) entonces 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − sen 𝑥 
Lo primero que debemos hacer es hallar la primitiva: 
𝐹(𝑥) = ∫(𝑥3 − sen 𝑥) 𝑑𝑥 =
𝑥4
4
+ cos 𝑥 + 𝑐 
Ahora tenemos que calcular la constante 𝑐 para que la función en cero tome el valor 
1
2
: 
𝐹(𝑥) =
𝑥4
4
+ cos 𝑥 + 𝑐 
𝐹(0) =
04
4
+ cos 0 + 𝑐 = 1 + 𝑐 
1 + 𝑐 =
1
2
 
𝑐 = −
1
2
 
Entonces la función 𝐹 es: 
𝐹(𝑥) =
𝑥4
4
+ cos 𝑥 −
1
2
 
La anterior, la función 𝐹 es una primitiva, no es una familia de primitivas porque le dimos un valor 
a la constante 𝑐 gracias a una condición inicial 𝐹(0) =1
2
. 
 
La próxima clase seguiremos con las INTEGRALES DEFINIDAS.