3 Funciones monótonas

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Crecimiento y decrecimiento de funciones
Un aspecto importante en el estudio de una función consiste en analizar sus tendencias de crecimiento
o decrecimiento. Al clasificar las funciones tuvimos en cuenta que:
Intervalos de
crecimiento y
decrecimiento
Un intervalo A incluido en el dominio
de la función es un intervalo de
crecimiento de la función si para todo
x1; x2 que pertenecen a A, y x1< x2 es
f(x1) < f(x2)
Análogamente un intervalo B incluido en
el dominio de la función es un intervalo
de decrecimiento de la misma si para
todo x1; x2 que pertenecen a A, y x1< x2
es f(x1) > f(x2).
Dom f = [-3; 3]
La función crece en los intervalos
(-2; 0) y (2; 3)
Y decrece en los intervalos
(-3; 2) y (0; 2)
Definición La función f de A en  (donde A es
un subconjunto de ) se dice que
es creciente (o estrictamente
creciente) si al aumentar los
valores de la variable x también
aumentan los valores de f(x).
f: A   es creciente (o
estrictamente creciente) si se
verifica que para todo x1, x2
pertenecientes al dominio de la
función, si x1< x2 es f(x1) < f(x2).
La función f de A en  (donde A es
un subconjunto de ) se dice que
es decreciente (o estrictamente
decreciente) si al aumentar los
valores de la variable x disminuyen
los valores de f(x).
f: A   es decreciente (o
estrictamente decreciente) si se
verifica que para todo x1, x2
pertenecientes al dominio de la
función, si x1< x2 es f(x1) > f(x2).
Dom(f) = 
La función f es creciente en todo
su dominio.
Dom(f) = -{0}
La función f es decreciente en
todo su dominio.
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Dom(f) =  Esta función no es creciente ni
decreciente.
Para algunos intervalos del dominio
es:
Decreciente: si x (-2; 0)
Creciente: si x(-; -2) (0; +)
Constante en (-; -2) (todos los
elementos del dominio tienen la
misma imagen)
De las funciones que hemos estudiado, son ejemplos de este tipo de
funciones:
Crecientes Decrecientes
Las funciones lineales cuya
gráfica es una recta con pendiente
positiva.
Tal el caso de la función definida
por:
f: : f(x) = 3x + 2.
Algunas funciones cúbicas. Por
ejemplo:
f: : f(x) = x3 - 1.
Las funciones reales de variable real, tanto crecientes como decrecientes,
se llaman funciones monótonas.
En general una función será creciente en algunos subconjuntos de su
dominio y decreciente en otros. Esto no significa que toda función tenga
subconjuntos de crecimiento o decrecimiento (como en los dos últimos
ejemplos).
La función definida en 
mediante:
)1x()2x(2)x(f 2 
es creciente en
(-; 0) (2; +)
y decreciente en el intervalo
(0; 2)
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Si bien nos dedicaremos al estudio de la monotonía de las funciones en el
capítulo de derivadas, veamos cómo se demuestra que una función es
monótona.
Para ello usaremos que dados dos números reales a y b decimos que:
 a > b si a – b > 0
 a < b si a – b < 0
Ejemplo
La función f: definida por f(x) = -3x + 2 es decreciente pues para
todo x1; x2 en  tales que x1< x2 se verifica:
f(x2) – f(x1) = (-3x2 + 2) – (-3x1 + 2)
= -3x2 + 3x1
= -3(x2 - x1)
Como es x2 - x1 > 0 pues x1< x2 es -3(x2 - x1) < 0 resultando
f(x2) – f(x1) < 0 de donde f(x2) < f(x1).
En consecuencia la función f es decreciente en su dominio.