4 Asintotas

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ASINTOTAS
Noción de límite Cuando se trabaja con funciones,
frecuentemente nos interesa averiguar el
comportamiento de una determinada función
cuando la variable x, se aproxima a un
cierto valor, por ejemplo a.
Podría pensarse que para averiguar esa cuestión bastaría con calcular el valor
de la función en el punto que se está considerando, es decir calcular f(a). Sin
embargo, en muchos casos ese cálculo no responde a la pregunta que nos
hacemos por diferentes motivos:
 Algunas veces a no pertenece al dominio
de la función, en este caso no es posible
calcular f(a) pero sí tiene sentido
interesarse por el comportamiento de la
función en las cercanías de a.
 En otras ocasiones a pertenece al
dominio de la función, pero el
comportamiento de la función cerca de a
difiere bastante del valor de f(a).
 Puede suceder también que el
comportamiento de la función sea
diferente a la izquierda y a la derecha del
punto a.
Trabajaremos con algunos ejemplos que nos permitan analizar las distintas
situaciones.
Ejemplo 1
Consideremos la función f(x) = x2 – 1, cuyo dominio son los números
reales. Nos interesa conocer el comportamiento de la función para
valores cercanos a 2 pero no iguales a dos.
Para poder analizar este comportamiento nos ayudamos construyendo
tablas que nos den el valor que toma la función si nos acercamos a 2
con valores de x cada vez más pequeños que 2 y con valores de x
cada vez mas grandes que 2.
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Si nos acercamos a 2 con
valores de x más pequeños que
2, tenemos
x f(x) = x2 -1
1 0
1,5 1,25
1,75 2,0625
1,9 2,61
1,99 2,9601
1,9999 2,99960001
1,9999999 2,99999960
Si nos acercamos a 2 con valores
de x más grandes que 2, tenemos
x f(x) = x2 -1
3 8
2,75 6,5625
2,5 5,25
2,1 3,41
2,005 3,020025
2,000005 3,00002
2,0000001 3,0000004
En las tablas, observamos que:
 Si nos acercamos a 2 con
valores de x más pequeños
que 2 (nos acercamos a 2 por
izquierda) los valores de f(x)
se acercan cada vez más a 3.
 Y si nos acercamos a 2 con
valores de x, más grandes
que 2 (nos acercamos a 2 por
la derecha) los valores de f(x)
se acercan cada vez más a 3.
Lo vemos gráficamente
Para esta función, vemos que a medida que x toma valores más
próximos a 2, f(x) toma valores cada vez más cerca de 3.
Esto se escribe simbólicamente de la siguiente manera:
3)x(flím
2x


Y se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 2 es 3”
Es importante señalar que al número 2 nos hemos aproximado
acercándonos por la izquierda (valores de x menores que 2) y por la
derecha (valores de x mayores que 2).
 Cuando queremos simbolizar, que x toma valores cercanos a 2
pero más pequeños que 2 esto es, x se aproxima a 2 por la
izquierda, lo indicamos así:
3)x(flím
2x


Que se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por izquierda es
3” y se lo llama límite lateral por izquierda.
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 Y, del mismo modo, cuando x toma valores cercanos a 2, pero
mayores que 2, esto es, x se aproxima a 2 por la derecha, lo
indicamos así:
3)x(flím
2x


Que se lee “el límite de f(x) cuando x tiende a 2 por derecha es 3”
y se lo llama límite lateral por derecha.
Como ambos límites laterales son iguales, decimos que la
función tiende 3 cuando x tiende a 2. Se expresa simbólicamente
3)x(flím
2x


Observación.
Al estudiar el límite de una función no se menciona el valor que toma
la función exactamente en el punto.
En el ejemplo, no importa cuál es el valor de f(2) sino el valor de f(x)
cuando x tiende a 2 (se acerca a 2).
Puede suceder que en ese punto, la función no esté definida.
Vemos el siguiente ejemplo.
Ejemplo 2
Consideremos la función
1x
2x2
)x(f
2


 .
Su dominio es Dom(f) = - {1}
Como 1 no pertenece al dominio de la función y por lo tanto f(1) no
está definida, nos interesa estudiar cuál es el valor al que se
aproximan los valores de la función cuando x se aproxima a 1.
Construyamos una tabla en la que x se aproxime a 1 por la izquierda
de él y otra en la que se aproxime a 1 por la derecha.
x < 1 x > 1
x
1x
2x2
)x(f
2



0 2
0,5 3
0,75 3,5
0,9 3,8
0,99 3,98
0,9999 3,9998
0,9999999 3,9999998
x
1x
2x2
)x(f
2



2 6
1,75 5,5
1,5 5
1,1 4,2
1,005 4,01
1,000005 4,00001
1,0000001 4,0000002
Observamos que cuando nos acercamos a x = 1 por la izquierda o
por la derecha los valores de f(x) se aproximan a 4 (tienden a 4).
Graficamos la función:
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Puede observarse que aunque
la función no está definida para
x = 1, cuando x toma valores
muy cercanos a 1, la función se
aproxima a 4.
Lo expresamos:
4)x(flím
1x


Ejemplo 3
Consideremos ahora la función:






1xsi1x
1xsix)x(f
2
El dominio de esta función son los números reales: Dom(f) = .
La función tiene la particularidad que a la izquierda de 1 y a la
derecha de 1 los valores de f(x) se calculan usando distintas
fórmulas.
Así, si x = -1, como es x < 1, debemos calcular su imagen usando
que f(x) = x2.
Por lo que es f(-1) = (-1)2 = 1
Y si x = 2, al ser x > 1; buscamos su imagen usando que para x > 1
f(x) = -x + 1.
Por lo que es f(2) = -1
En particular, la función está definida para x = 1 y es f(1) = 0.
(Calculamos su imagen sabiendo que para x 1 es f(x) = -x + 1).
Nos interesa analizar qué sucede con los valores de la función
cuando x se aproxima a 1 por izquierda y por derecha.
Construyamos una tabla en la que x se aproxime a 1 por la izquierda
de él y otra en la que se aproxime a 1 por la derecha de 1.
x < 1
X f(x) = x2
0 0
0,5 0,25
0,75 0,5625
0,9 0,81
0,99 0,9801
0,9999 0,99980001
0,9999999 0,9999998
x > 1
x f(x) = -x+1
2 -1
1,75 -0,75
1,5 -0,5
1,1 -0,1
1,005 -0,005
1,000005 -0,000005
1,0000001 -0,0000001
Observamos que cuando x se aproxima a 1 por la izquierda, la
función toma valores cada vez más cercanos a 1.
1)x(flím
1x


Y cuando x se aproxima a 1 por la derecha, la función toma valores
cada vez más cercanos a 0.
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Escribimos: 0)x(flím
1x


Como los valores a los que tiende la función cuando x se aproxima a
1 son distintos si lo hace por la derecha o por la izquierda, decimos
que la función no tiene límite para x = 1.
El gráfico de la función es:
Ejemplo 4
Para la función del
gráfico, determiná:
a) Su dominio
b) )x(flím
0x 
)x(flím
3x 
)x(flím
1x
Respondemos observando el gráfico:
a) Al observar el gráfico vemos que f está definida para todos los
valores de x excepto para x = -3 .
Por lo tanto es Dom(f) = - {-3}
b) )x(flím
0x 
Cuando x tiende a cero por la izquierda los valores de la
función se acercan a -2.
2)x(flím
0x


Del mismo modo, cuando x tiende a cero por la derecha los
valores de la función se acercan a -2.
2)x(flím
0x


Como es 2)x(flím)x(flím
0x0x


,
entonces f(x) tiende a -2 cuando x tiende a cero:
2)x(flím
0x


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Calculamos )x(flím
3x 
La función no está definida para x = - 3. Pero, al acercarnos a –
3 tanto por la izquierda como por la derecha, los valores que
toma f(x) se acercan cada vez más a 1.
1)x(flím)x(flím
3x3x


Entonces f(x) tiende a 1 cuando x tiende a -3:
1)x(flím
3x


Y calculamos )x(flím
1x 
Si nos acercamos a 1 por la izquierda, los valores de la función
se aproximan a cero.
El límite de la función cuando x tiende a 1 por la izquierda es 0.
0)x(flím
1x


Pero si nos acercamos a x = 1 por la derecha, los valores de la
función se aproximan a 4.
El límite de función cuando x tiende a 1 por la derecha es 4.
4)x(flím
1x


Como los límites laterales son distintos, decimos que la función
no tiene límite cuando x tiende a 1.
Para recordar En los ejemplos considerados, el valor al cual tendía x así como el límite
obtenido erannúmeros reales, es decir valores finitos. En este caso suele
decirse que el límite es finito.
Decimos que una función f tiene límite finito L cuando x tiende a a si y sólo sí
los líimites por izquierda y por derecha en a coinciden. O sea:
L)x(flím)x(flím)x(flím
axaxax


En los ejemplos anteriores, al buscar a qué valores tiende la función,
cuando x se acerca a un número a, vimos que dichos valores se
acercan a un número real.
Pero esto no siempre es así. Analizaremos a continuación algunos
ejemplos.
Ejemplo 5
Consideremos la función
3x
1
)x(f

 cuyo dominio es Dom(f) =  -{3}
Como la función no está definida para x = 3, nos interesa estudiar qué
sucede con los valores de la función cuando x se aproxima a 3.
Ayudémonos con tablas:
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x < 3
x
3x
1
)x(f


2 -1
2,5 -2
2,75 -4
2,9 -10
2,99 -100
2,9999 -10000
2,9999999 -10000000,02
x > 3
x
3x
1
)x(f


4 1
3,75 1,333333333
3,5 2
3,1 10
3,005 200
3,000005 200000
3,0000001 10000000,02
Observamos que:
 a la izquierda de 3, y cerca de él, la función toma valores negativos,
cada vez más grandes en valor absoluto.
En este caso decimos que cuando x tiende a 3 por la izquierda la
función tiende a menos infinito.
Lo simbolizamos:

 3x
1lím
3x
 a la derecha de 3, la función toma valores positivos cada vez más
grandes.
En este caso decimos que cuando x tiende a 3 por la derecha la
función tiende a más infinito.
Lo simbolizamos

 3x
1lím
3x
A la derecha mostramos la gráfica de la
función.
Ejemplo 6
Analizamos el comportamiento de la
función cerca de x = 0 en el gráfico
adjunto.
La función está definida para los números
reales distintos que cero:
Dom(f) =  - {0}
Al acercarnos a x = 0 por la izquierda, la
función toma valores negativos, cada vez
más grandes en valor absoluto.


)x(flím
0x
También, al acercarnos a x = 0 por la derecha, la función toma valores
negativos, cada vez más grandes en valor absoluto.


)x(flím
0x
En este caso es: 

)x(flím)x(flím)x(flím
0x0x0x
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Asíntota vertical En general si f es una función tal que


)x(flímó)x(flím
axax
decimos que la recta x = a es una asíntota vertical de f.
En el ejemplo 5, la recta x = 3 es una asíntota vertical de f dada por
3x
1
)x(f


Y la función del ejemplo 6, tiene por asíntota vertical la recta x = 0
Ejemplo 7
Consideremos ahora la función:
3 x4
2
)x(f


que tiene por dominio Dom(f) =  - {4}
Sin hacer tabla de valores ni su gráfico, analizamos sus límites laterales
para x tendiendo a 4.
 Si x se aproxima a 4 por la izquierda, 3 x4  se aproximará a cero,
tomando valores positivos ya que 4 – x > 0 y f(x) se hará tan grande
como se quiera con tal de tomar valores de x cada vez más
próximos a 4 y que verifiquen que x < 4.
De esta forma

 34x x4
2
lím
 SI x se aproxima a 4 por la derecha, 3 x4  se aproximará a cero,
tomando valores negativos ya que 4 – x < 0 y f(x) será negativa, y se
hará en valores absolutos, tan grande como se quiera con tal de
tomar valores de x cada vez más próximos a 4 y que verifiquen que
x > 4.
De esta forma

 34x x4
2lím
Y la función tiene una asíntota vertical en x = 4, aunque no exista el
límite de f cuando x tiende a 4.
Ejemplo 8
Consideremos nuevamente la función
3x
1
)x(f

 cuyo dominio es
Dom(f) =  -{3}
Nos interesa conocer qué es lo que sucede con los valores de la
función cuando x toma valores cada vez más grandes en valor
absoluto.
Hacemos una tabla, para valores de x positivos suficientemente grandes
y otra para valores de x negativos, cada vez más pequeños.
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Para valores de x positivos suficientemente grandes
x 3x
1
)x(f


10 0,142857142857143
100 0,0103092783505155
1000 0,00100300902708124
10000 0,000100030009002701
100000 0,0000100003000090003
1000000 0,00000100000300000900
Para valores de x negativos suficientemente pequeños
x
3x
1
)x(f


-10 -0,07692307692307690000
-100 -0,00970873786407767000
-1000 -0,00099700897308075800
-10000 -0,00009997000899730080
-100000 -0,00000999970000899973
-1000000 -0,00000099999700000900
Observamos que:
 Para valores positivos de x suficientemente grandes vemos que los
valores de
3x
1
)x(f

 son positivos y tan cercanos a cero como se
desee.
En este caso decimos que cuando x tiende a más infinito la función
tiende a cero.
Lo simbolizamos
0
3x
1
lím
x


 Para valores negativos de x suficientemente pequeños vemos que los
valores de
3x
1)x(f

 son negativos y tan cercanos a cero como se
desee.
En este caso decimos que cuando x tiende a menos infinito la función
tiende a cero.
Lo simbolizamos
0
3x
1lím
x


En el dibujo, observamos que
a medida que nos alejamos de
x = 3 hacia la derecha o hacia
la izquierda, el gráfico de la
función se acerca cada vez
más a la recta y = 0
En este caso, decimos que la
recta y = 0 es una asíntota
horizontal de la función
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Asíntota
horizontal
En general si f es una función tal que
k)x(flímók)x(flím
xx


siendo k un número real, y = k es una asíntota horizontal de f.
Observación:
Una función puede;
 no tener asíntotas
horizontales
 tenerlas sólo a la izquierda
 o sólo a la derecha
 o tenerlas a ambos lados
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Ejemplo 9
Calcular la asíntota horizontal de
3x
2x)x(f


Resolvemos:
Primero que nada vemos que el dominio de f es Dom(f) =  -{-3}.
Para hallar la asíntota horizontal, debemos ver qué pasa con la función
cuando x tiende a más infinito y cuando x tiende a menos infinito.
Tratemos de hacerlo sin recurrir a una tabla.
Busquemos primero
3x
2x
lím
x 


Cuando x toma valores cada vez más grandes (x+) tanto el tanto el
numerador como el denominador de
3x
2x

 se hacen infinitamente grandes,
por lo que no podemos decir cómo se comporta la función.
Intentamos otro camino.
Si en la expresión
3x
2x

 dividimos numerador y denominador por x 0,
podemos escribir:
x
3
1
x
2
1
x
3x
x
2x
3x
2x








Observamos que cuando x toma valores cada vez más grandes, (x+),
tanto
x
3
como
x
2 se acercan a cero (tienden a 0) y
x
3
1y
x
2
1  se
acercan a 1 (tienden a 1), por lo que el cociente
x
31
x
2
1


también tiende a 1
Por lo tanto;
1
x
3
1
x
2
1
lím
3x
2x
lím
xx







De manera análoga, si x toma valores cada vez más pequeños (x  -) es
1
x
31
x
21
lím
3x
2x
lím
xx







Luego, como es 1)x(flím)x(flím
xx


la función tiene una asíntota
horizontal de ecuación y = 1.