Ejercicio4_a_TP1

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Matemática – Práctico 1 – Ejercicio 4 –a 1
SOLUCION Y COMENTARIOS
a. 2m <
m
1 < -m
Intentemos hallar un número real m que satisfaga esta desigualdad.
Por ejemplo:
 Si m = 2 es:
2
1
m
1
 ;
2m = 4
–m = 2
Entonces m = 2 no verifica 2m <
m
1 < -m pues es falso que 2
2
14 
 Si
2
1m  es:
2
m
1 
1m2 
2
1-m
Entonces
2
1m  no verifica 2m <
m
1 < -m pues es falso que
2
121 
Podemos seguir probando con otros números, pero puede suceder que no encontremos ninguno.
Es conveniente resolver las inecuaciones y hallar el conjunto de números reales que las satisfacen.
Para ello, usaremos las propiedades de orden entre números reales que ya utilizamos en el práctico
de revisión (ejercicios 22, 23 y 25), y que volveremos a utilizar en este ejercicio.
Lo hacemos así:
4. En cada uno de los siguientes casos da, si es posible, un número real m que satisfaga:
a. 2m <
m
1
< -m
b. m < 2m < m-1
c. m < - m-1 < -3m
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Matemática – Práctico 1 – Ejercicio 4 –a 2
El problema es hallar un número real m tal que 2m <
m
1 < - m
En principio debe ser m 0, pues
m
1 no está definido para m = 0 (no podemos dividir por cero).
Luego puede ser:
m > 0 ó m < 0
Para hallar la solución debemos considerar estas dos posibilidades.
1. m > 0
2m <
m
1 < - m
Multiplicando por m resulta:
2m2 < 1 < - m2 Recordá:
Si a < b y c es positivo (c > 0) entonces a c < b c
Como m > 0; m2 > 0 es – m2 < 0 Al multiplicar miembro a miembro, m2 < 0 por -1,
cambia el sentido de la desigualdad.
Luego:
0m1m2 22 
Hemos llegado a un ABSURDO pues por transitividad se obtiene 01 .
Entonces para m > 0 no existe ningún número real m que satisfaga 2m <
m
1
< - m.
Es 1S (1)
2. m < 0
2m <
m
1 < - m
Multiplicando por m resulta:
2m2 > 1 > - m2 Recordá:
Si a < b y c es negativo (c > 0) entonces a c > b c
Se tiene que cumplir:
- m2 < 1 y 2m2 > 1
 - m2 < 1 es verdadero siempre pues el cuadrado de un número
real es siempre mayor o igual que cero, por lo cual es
mayor que -1.
Entonces m puede tomar cualquier valor real negativo, según la condición inicial. (2)
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Matemática – Práctico 1 – Ejercicio 4 –a 3
 2m2 > 1
Dividiendo los dos miembros por 2 es:
2
1m2 
De donde
2
1m2 
Como para cualquier número real es mm2  , resulta:
2
2
2
1m 
Pero
2
2m  si y sólo si
2
2m  ó
2
2m 
Lo que equivale a decir que:
m  








2
2; ó m  







;
2
2
O bien:
















 ;
2
2
2
2;m
Como estamos trabajando con m < 0, sólo verifican esta condición los que pertenecen
al intervalo 








2
2; .
Luego 








2
2;m .
Como por (2), m puede tomar cualquier valor real negativo, trabajando con la
intersección de las soluciones parciales:
















 
2
2;
2
2;S 2 (3)
De (1) y (3)









2
2
;SSS 21
Entonces cualquier número real que pertenezca al intervalo 








2
2; satisface 2m <
m
1 < -m.
(Te sugerimos verificar la solución con algunos ejemplos)