Ejercicio4_b_ TP1

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Matemática
Matemática – Práctico 1 – Ejercicio 4 - b 1
SOLUCION Y COMENTARIOS
b. m < 2m < m-1
El problema es hallar un número real m tal que m < 2m < m-1.
Como
m
1m 1  , en principio debe ser m 0, pues
m
1 no está definido para m = 0 (no podemos
dividir por cero).
Luego puede ser:
m > 0 ó m < 0
Para hallar la solución debemos considerar estas dos posibilidades.
1. m > 0
m < 2m < m-1
Multiplicando por m 0 los dos miembros de la desigualdad, se obtiene:
m2 < 2m2 < 1 Si a < b y c es positivo (c > 0) entonces a c > b c
Equivale a:
1m2 2  y 22 m2m 
O bien:
2
1m2  y 22 mm20  Dividimos por 2 en la primera desigualdad y
restamos m2 miembro a miembro en la segunda.
2
1
m2  y 2m0 
Analizamos:
 2m0 
Como todo cuadrado es mayor o igual que cero, pedir que sea mayor que cero, es pedir
que no sea cero, pero no lo es por la restricción planteada al comienzo 0m  .
Luego, cualquier número real m > 0 satisface esta condición. (1)

2
1m2 
4. En cada uno de los siguientes casos da, si es posible, un número real m que satisfaga:
a. 2m <
m
1
< -m
b. m < 2m < m-1
c. m < - m-1 < -3m
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Matemática
Matemática – Práctico 1 – Ejercicio 4 - b 2
Podemos escribir:
2
2
2
1m2 
Como para cualquier número real es mm2  , resulta:
2
2m 
Pero
2
2m  si y sólo si
2
2m
2
2  .
Lo que equivale a decir que:
m  







2
2;
2
2-
Entonces tenemos que m + (por (1)) ; m  







2
2;
2
2- y m > 0.
Luego 








2
2;0m .
Por lo que es: 








2
2;0S1 (2)
2. m < 0
m < 2m < m-1
Si multiplicamos miembro a miembro por m 0 resulta:
1m2m 22  Pues si a < b y c es negativo (c > 0) entonces a c > b c
O bien:
22 m2m  y 1m2 2 
Restando m2 en la primera desigualdad:
2m0  y
2
1
m2 
La primera condición es un ABSURDO ya que no existe ningún número real cuyo cuadrado sea
menor que cero.
Entonces es: 2S (3)
De (1) y (3)









2
2;0SSS 21
Entonces cualquier número real que pertenezca al intervalo 







2
2;0 satisface m < 2m < m -1 .
(Te sugerimos verificar la solución con algunos ejemplos)