Ejercicio7_c_d_TP6

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Matemática
P
S
D
P
c
d
7. Resolvé las integrales usando una sustitución.
c.  dx
x
xcos d. 
3 1seny
dyycos
ráctico 6 – Integrales - Ejercicio 7_c_d 1
OLUCION Y COMENTARIOS
ebemos encontrar la integral de una función que es composición de otras, es decir dx)x('g))x(g(f .
ara calcular estas integrales, se puede proceder mediante el cambio de variables siguiente:
 Llamamos u a g(x) y sustituimos todas las g(x) por u
 Sustituir g’(x)dx por du.
Con lo que la integral queda duu .
Luego se calcula la integral duu como si u fuese la variable de integración.
Y finalmente se reemplaza u por g(x) en la integral obtenida.
.  dxx
xcos
Observamos que xcos es la composición de las funciones f(x) = cos x y g(x) = x .
Llamando u a g(x) es u = x por lo tanto es dx
x
1
2
1du  .
Con lo que es:
  duucos2dxx
xcos
Y esta última integral es inmediata, con lo que:
Csenu2duucos2 
Finalmente, volviendo a la variable x:
Cxsen2dx
x
xcos

.  3 1seny
dyycos
La integral  3 1seny
dyycos
puede escribirse dyycos
1seny
1
3 
De este modo es más fácil ver que: (sen y + 1)’ = cos y
Entonces hacemos: sen y + 1 = u
cos y dy = du
Haciendo el cambio de variable en la integral:
duudu
u
1
dyycos
1seny
1 3
1
33 



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Práctico 6 – Integrales - Ejercicio 7_c_d 2
Esta última expresión puede integrarse inmediatamente:
Cu
2
3
Cu
1
3
1
1
duu
3
2
1
3
1
3
1






Entonces:
    C1seny
2
31seny
2
3dy
1seny
ycos 3 2
3
2
3

