MATE_2C_2019_Clave_de_correción_Cuarto_turno_Tema_3_02_10_2019

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Clave de corrección – Cuarto turno 02/10/2019 - Tema 3 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Cuarto turno – Tema 3 - 02/10/2019 
 
 
 
Solución 
Si 𝑥 pertenece al conjunto solución de la inecuación 
3(𝑥2 + 𝑥) − 7 ≥ 3𝑥 + 20 
3𝑥2 + 3𝑥 − 7 ≥ 3𝑥 + 20 
3𝑥2 + 3𝑥 − 3𝑥 ≥ 20 + 7 
3𝑥2 ≥ 27 
𝑥2 ≥ 9 ↔ √𝑥2 ≥ √9 ↔ |𝑥| ≥ 3 ↔ 𝑥 ≥ 3 ó 𝑥 ≤ −3 
Luego 
𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = (−∞; −3 ] ∪ [3 ; +∞) 
 
 
 
 
Solución 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 la función lineal que buscamos. 
Si el conjunto de negatividad es el intervalo (−∞; −2), por ser una función lineal, 
tenemos que 𝑓(−2) = 0, entonces: 
𝑎 ∙ (−2) + 𝑏 = 0 ↔ 𝑏 = 2𝑎 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Expresar como intervalo o unión de intervalos el conjunto solución de la 
inecuación 
3(𝑥2 + 𝑥) − 7 ≥ 3𝑥 + 20 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar la expresión de la función lineal cuyo conjunto de negatividad es 
el intervalo (−∞; −2) y cuya gráfica pasa por el vértice de la parábola 
𝑦 = 2𝑥2 − 8𝑥 + 13 
 
 
 
Clave de corrección – Cuarto turno 02/10/2019 - Tema 3 2 
Entonces, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 2𝑎 
La gráfica de la función (que es una recta) pasa por el vértice de la parábola 𝑦. 
Buscamos las coordenadas del vértice: 
𝑥𝑣 =
−(−8)
2 ∙ 2
= 2 
𝑦𝑣 = 2 ∙ (2)
2 − 8 ∙ (2) + 13 = 8 − 16 + 13 = 5 
𝑉 = (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) = (2; 5) 
 
Entonces, 𝑓(2) = 5 y 
𝑎 ∙ (2) + 2𝑎 = 5 
4𝑎 = 5 ↔ 𝑎 =
5
4
 ∴ 𝑏 =
10
4
=
5
2
 
 
La función lineal es 𝑓(𝑥) =
5
4
𝑥 +
5
2
 
 
 
 
 
Solución 
Por ser 𝑥 = 4 una raíz doble, 𝑥 = −1 una raíz simple y el grado del polinomio 𝑅 
es 3, dicho polinomio no tiene más raíces. Esto es porque si sumamos la 
multiplicidad de ambas raíces tenemos que 2 + 1 = 3 y el polinomio es de grado 
3. 
Entonces, 
𝑅(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 4)2(𝑥 − (−1)) = 𝑎(𝑥 − 4)2(𝑥 + 1) 
 
Para hallar el valor de 𝑎 usamos que 𝑅(6) = 56: 
𝑎(6 − 4)2(6 + 1) = 56 
𝑎(2)2(7) = 56 
28𝑎 = 56 → 𝑎 = 2 
Luego, 
𝑅(𝑥) = 2(𝑥 − 4)2(𝑥 + 1) 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el polinomio 𝑅 de grado 3 que tiene una raíz doble en 𝑥 = 4, una 
raíz simple en 𝑥 = −1, y se sabe también que 𝑅(6) = 56 
 
 
 
Clave de corrección – Cuarto turno 02/10/2019 - Tema 3 3 
 
 
 
Solución 
Para hallar el dominio y conjunto de ceros de la función 𝑔 debemos primero 
encontrar la expresión de la función 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ: 
𝑔(𝑥) = 𝑓 ∘ ℎ(𝑥) = 𝑓(ℎ(𝑥)) = (
3𝑥 − 1
𝑥 + 3
+ 1)
2
= (
3𝑥 − 1 + (𝑥 + 3)
𝑥 + 3
)
2
= (
3𝑥 − 1 + 𝑥 + 3
𝑥 + 3
)
2
= (
4𝑥 + 2
𝑥 + 3
)
2
 
𝑔(𝑥) = (
4𝑥 + 2
𝑥 + 3
)
2
 
 
La función está bien definida si el denominador no se anula, es decir, si 
𝑥 + 3 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ −3 
Luego, 𝐷𝑜𝑚(𝑔) = ℝ − {−3} 
 
Si 𝑥 pertenece al conjunto de ceros 𝐶0 de la función: 
𝑔(𝑥) = 0 ↔ (
4𝑥 + 2
𝑥 + 3
)
2
= 0 ↔ 4𝑥 + 2 = 0 ↔ 𝑥 = −
1
2
 
Luego, 𝐶0 = {−
1
2
} 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar el dominio y conjunto de ceros de la función 𝑔 = 𝑓 ∘ ℎ siendo 
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 1)2 ℎ(𝑥) =
3𝑥 − 1
𝑥 + 3