MATE_2C_2019_Clave_de_correción_Primer_turno_Tema_1_01_10_2019

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Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 1 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Primer turno – Tema 1 - 01/10/2019 
 
 
 
Solución 
𝑓(𝑥) < 1 ↔ |3 − 2𝑥| < 1 
Por definición |𝑡| < 𝑎 ↔ −𝑎 < 𝑡 < 𝑎. 
Entonces 
|3 − 2𝑥| < 1 
−1 < 3 − 2𝑥 < 1 
restamos 3 a cada uno de los términos de la inecuación 
−4 < −2𝑥 < −2 
dividimos por −2, con lo cual cambia el sentido de las desigualdades 
−4
−2
>
−2𝑥
−2
>
−2
−2
 
2 > 𝑥 > 1 
Los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 𝑓(𝑥) < 1 son los valores que pertenecen al 
intervalo (1; 2) 
 
 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Hallar los valores de 𝑥 ∈ ℝ para los cuales 𝑓(𝑥) < 1 siendo 𝑓(𝑥) = |3 − 2𝑥| 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 1 2 
 
 
Solución 
La función cuadrática tiene como raíces a 𝑥1 = −1 y 𝑥2 = 3 (la gráfica de la 
función cruza al eje de las abscisas cuando la variable toma esos valores). 
Podemos expresar la función como 
𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − (−1))(𝑥 − 3) = 𝑎(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 
Nos falta hallar el valor de la constante "𝑎" . Para poder encontrar el valor de 
la constante necesitamos conocer un punto por el cual pasa la gráfica de la 
función cuadrática. 
El conjunto imagen es el intervalo (−∞; 2]. Esto nos está diciendo que el 
vértice de la parábola (gráfica de la función) se encuentra en el punto 𝑉 =
(𝑥𝑣; 2). 
La abscisa del vértice la hallamos a partir de las raíces: 
𝑥𝑣 =
𝑥1 + 𝑥2
2
 → 𝑥𝑣 =
−1 + 3
2
= 1 
El vértice es el punto 𝑉 = (1; 2). 
Evaluando en la función 
𝑦𝑣 = 𝑓(𝑥𝑣) 
2 = 𝑎(1 + 1)(1 − 3) 
2 = 𝑎 ∙ 2 ∙ (−2) → 𝑎 = −
1
2
 
La función pedida es 
𝑓(𝑥) = −
1
2
(𝑥 + 1)(𝑥 − 3) 
 
Otra manera de expresar la función 𝑓 es a partir de las coordenadas del 
vértice de la parábola: 
𝑓(𝑥) = −
1
2
(𝑥 − 1)2 + 2 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar la expresión de la función cuadrática que cruza al eje de las 
abscisas en 𝑥 = −1 y en 𝑥 = 3 y su imagen es el conjunto (−∞; 2] 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 1 3 
 
 
Solución 
Sacando factor común 𝑥2 tenemos que 
𝑃(𝑥) = (𝑥3 − 𝑥2)(𝑥 + 2) = 𝑥2(𝑥 − 1)(𝑥 + 2) 
Este polinomio se anula en 𝑥 = 0, 𝑥 = 1 y 𝑥 = −2 
Analizamos el signo del polinomio en los intervalos definidos por las raíces: 
(−∞; −2) , (−2; 0) , (0; 1), (1; +∞) 
- en el intervalo (−∞; −2) el signo de 𝑃 es positivo ya que 𝑃(−3) = 36 > 0. 
- en el intervalo (−2; 0) el signo de 𝑃 es negativo ya que 𝑃(−1) = −2 < 0. 
- en el intervalo (0; 1) el signo de 𝑃 es negativo ya que 𝑃 (
1
2
) = −
5
16
< 0. 
- en el intervalo (1; +∞) el signo de 𝑃 es positivo ya que 𝑃(2) = 16 > 0. 
El conjunto de positividad del polinomio es: 𝐶+ = (−∞; −2) ∪ (1; +∞) 
 
 
 
 
Solución 
Primero debemos hallar la expresión de la función ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓: 
ℎ(𝑥) = 𝑔 ∘ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) = (
4𝑥
3 − 𝑥
− 1) + 2 =
4𝑥
3 − 𝑥
+ 1 =
4𝑥 + (3 − 𝑥)
3 − 𝑥
=
3𝑥 + 3
3 − 𝑥
 
ℎ(𝑥) =
3𝑥 + 3
3 − 𝑥
 
La función ℎ está bien definida si el denominador no se anula. Para hallar el 
dominio pedimos que 3 − 𝑥 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ 3. 
Ejercicio 4(3 puntos) 
Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
4𝑥
3 − 𝑥
− 1 𝑔(𝑥) = 𝑥 + 2 
hallar el dominio y conjunto de ceros de la función ℎ = 𝑔 ∘ 𝑓 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el conjunto de positividad del polinomio 𝑃(𝑥) = (𝑥3 − 𝑥2)(𝑥 + 2) 
 
 
 
Clave de corrección – Primer turno 01/10/2019 - Tema 1 4 
Luego, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ − {3}. 
Para hallar el conjunto de ceros planteamos 
ℎ(𝑥) = 0 ↔ 
3𝑥 + 3
3 − 𝑥
= 0 ↔ 3𝑥 + 3 = 0 ↔ 𝑥 = −1 
Luego, 𝐶0 = {−1}.