MATE_2C_2019_Clave_de_correción_Cuarto_turno_Tema_2_02_10_2019

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Clave de corrección – Cuarto turno 02/10/2019 - Tema 2 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Cuarto turno – Tema 2 - 02/10/2019 
 
 
 
Solución 
Si 𝑥 pertenece al conjunto solución de la inecuación 
2(𝑥2 + 𝑥) − 3 ≥ 2𝑥 + 5 
2𝑥2 + 2𝑥 − 3 ≥ 2𝑥 + 5 
2𝑥2 + 2𝑥 − 2𝑥 ≥ 5 + 3 
2𝑥2 ≥ 8 
𝑥2 ≥ 4 ↔ √𝑥2 ≥ √4 ↔ |𝑥| ≥ 2 ↔ 𝑥 ≥ 2 ó 𝑥 ≤ −2 
Luego 
𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = (−∞; −2 ] ∪ [2 ; +∞) 
 
 
 
 
Solución 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 la función lineal que buscamos. 
Si el conjunto de negatividad es el intervalo (2; +∞), por ser una función lineal, 
tenemos que 𝑓(2) = 0, entonces: 
𝑎 ∙ (2) + 𝑏 = 0 ↔ 𝑏 = −2𝑎 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Expresar como intervalo o unión de intervalos el conjunto solución de la 
inecuación 
2(𝑥2 + 𝑥) − 3 ≥ 2𝑥 + 5 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar la expresión de la función lineal cuyo conjunto de negatividad es 
el intervalo (2; +∞) y cuya gráfica pasa por el vértice de la parábola 
𝑦 = 3𝑥2 − 6𝑥 + 5 
 
 
 
Clave de corrección – Cuarto turno 02/10/2019 - Tema 2 2 
Entonces, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 − 2𝑎 
La gráfica de la función (que es una recta) pasa por el vértice de la parábola 𝑦. 
Buscamos las coordenadas del vértice: 
𝑥𝑣 =
−(−6)
2 ∙ 3
= 1 
𝑦𝑣 = 3 ∙ (1)
2 − 6 ∙ (1) + 5 = 3 − 6 + 5 = 2 
𝑉 = (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) = (1; 2) 
 
Entonces, 𝑓(1) = 2 y 
𝑎 ∙ (1) − 2𝑎 = 2 
−𝑎 = 2 ↔ 𝑎 = −2 ∴ 𝑏 = 4 
 
La función lineal es 𝑓(𝑥) = −2𝑥 + 4 
 
 
 
 
Solución 
Por ser 𝑥 = −1 una raíz triple, 𝑥 = 3 una raíz simple y el grado del polinomio 𝑃 
es 4, dicho polinomio no tiene más raíces. Esto es porque si sumamos la 
multiplicidad de ambas raíces tenemos que 3+1=4 y el polinomio es de grado 
4. 
Entonces, 
𝑃(𝑥) = 𝑎(𝑥 − (−1))
3
(𝑥 − 3) = 𝑎(𝑥 + 1)3(𝑥 − 3) 
 
Para hallar el valor de 𝑎 usamos que 𝑃(0) = −21: 
𝑎(0 + 1)3(0 − 3) = −21 
−3𝑎 = −21 → 𝑎 = 7 
Luego, 
𝑃(𝑥) = 7(𝑥 + 1)3(𝑥 − 3) 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el polinomio 𝑃 de grado 4 que tiene una raíz triple en 𝑥 = −1, una 
raíz simple en 𝑥 = 3 y se sabe también que 𝑃(0) = −21 
 
 
 
Clave de corrección – Cuarto turno 02/10/2019 - Tema 2 3 
 
 
Solución 
Para hallar el dominio y conjunto de ceros de la función 𝑓 debemos primero 
encontrar la expresión de la función 𝑓 = 𝑔 ∘ ℎ: 
𝑓(𝑥) = 𝑔 ∘ ℎ(𝑥) = 𝑔(ℎ(𝑥)) = (2 ∙
𝑥 + 1
𝑥
+ 1)
2
= (
2𝑥 + 2
𝑥
+ 1)
2
= (
2𝑥 + 2 + 𝑥
𝑥
)
2
= (
3𝑥 + 2
𝑥
)
2
 
𝑓(𝑥) = (
3𝑥 + 2
𝑥
)
2
 
 
La función está bien definida si el denominador no se anula, es decir, si 𝑥 ≠ 0 
Luego, 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {0} 
 
Si 𝑥 pertenece al conjunto de ceros 𝐶0 de la función: 
𝑓(𝑥) = 0 ↔ (
3𝑥 + 2
𝑥
)
2
= 0 ↔ 3𝑥 + 2 = 0 ↔ 𝑥 = −
2
3
 
Luego, 𝐶0 = {−
2
3
} 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar el dominio y conjunto de ceros de la función 𝑓 = 𝑔 ∘ ℎ siendo 
𝑔(𝑥) = (2𝑥 + 1)2 ℎ(𝑥) =
𝑥 + 1
𝑥