MATE_2C_2019_Clave_de_correción_Cuarto_turno_Tema_1_02_10_2019

Vista previa del material en texto

Clave de corrección – Cuarto turno 02/10/2019 - Tema 1 1 
Matemática 
Clave de corrección primer parcial 
Cuarto turno – Tema 1 - 02/10/2019 
 
 
 
Solución 
Si 𝑥 pertenece al conjunto solución de la inecuación 
𝑥2 + 3𝑥 − 5 > 3(𝑥 − 1) 
𝑥2 + 3𝑥 − 5 > 3𝑥 − 3 
𝑥2 + 3𝑥 − 3𝑥 > −3 + 5 
𝑥2 > 2 ↔ √𝑥2 > √2 ↔ |𝑥| > √2 ↔ 𝑥 > √2 ó 𝑥 < −√2 
Luego 
𝐶𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛 = (−∞; −√2 ) ∪ (√2 ; +∞) 
 
 
 
 
Solución 
Sea 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 la función lineal que buscamos. 
Si el conjunto de positividad es el intervalo (−∞; −1), por ser una función lineal, 
tenemos que 𝑓(−1) = 0, entonces: 
𝑎 ∙ (−1) + 𝑏 = 0 ↔ −𝑎 + 𝑏 = 0 → 𝑎 = 𝑏 
Entonces, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑎 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Expresar como intervalo o unión de intervalos el conjunto solución de la 
inecuación 
𝑥2 + 3𝑥 − 5 > 3(𝑥 − 1) 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar la expresión de la función lineal cuyo conjunto de positividad es el 
intervalo (−∞; −1) y cuya gráfica pasa por el vértice de la parábola 
𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 1 
 
 
 
Clave de corrección – Cuarto turno 02/10/2019 - Tema 1 2 
La gráfica de la función (que es una recta) pasa por el vértice de la parábola 𝑦. 
Buscamos las coordenadas del vértice: 
𝑥𝑣 =
−(−4)
2 ∙ 1
= 2 
𝑦𝑣 = (2)
2 − 4 ∙ (2) + 1 = 4 − 8 + 1 = −3 
𝑉 = (𝑥𝑣; 𝑦𝑣) = (2; −3) 
 
Entonces, 𝑓(2) = −3 y 
𝑎 ∙ (2) + 𝑎 = −3 
3𝑎 = −3 ↔ 𝑎 = −1 
 
La función lineal es 𝑓(𝑥) = −𝑥 − 1 
 
 
 
 
Solución 
Por ser 𝑥 = 1 una raíz triple, 𝑥 = −3 una raíz doble y el grado del polinomio Q es 
5, dicho polinomio no tiene más raíces. Esto es porque si sumamos la 
multiplicidad de ambas raíces tenemos que 3+2=5 y el polinomio es de grado 
5. 
Entonces, 
𝑄(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 1)3(𝑥 − (−3)2 = 𝑎(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)2 
 
Para hallar el valor de 𝑎 usamos que 𝑄(2) = 50: 
𝑎(2 − 1)3(2 + 3)2 = 50 
𝑎(1)3(5)2 = 50 
25𝑎 = 50 → 𝑎 = 2 
Luego, 
𝑄(𝑥) = 2(𝑥 − 1)3(𝑥 + 3)2 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el polinomio 𝑄 de grado 5 que tiene una raíz triple en 𝑥 = 1, una 
raíz doble en 𝑥 = −3 y se sabe también que 𝑄(2) = 50 
 
 
 
Clave de corrección – Cuarto turno 02/10/2019 - Tema 1 3 
 
 
Solución 
Para hallar el dominio y conjunto de ceros de la función h debemos primero 
encontrar la expresión de la función ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔: 
ℎ(𝑥) = 𝑓 ∘ 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)) = (3 ∙
1
𝑥 + 2
− 1)
2
= (
3
𝑥 + 2
− 1)
2
= (
3 − (𝑥 + 2)
𝑥 + 2
)
2
= (
1 − 𝑥
𝑥 + 2
)
2
 
ℎ(𝑥) = (
1 − 𝑥
𝑥 + 2
)
2
 
 
La función está bien definida si el denominador no se anula, es decir, si 
𝑥 + 2 ≠ 0 ↔ 𝑥 ≠ −2 
Luego, 𝐷𝑜𝑚(ℎ) = ℝ − {−2} 
 
Si 𝑥 pertenece al conjunto de ceros 𝐶0 de la función: 
ℎ(𝑥) = 0 ↔ (
1 − 𝑥
𝑥 + 2
)
2
= 0 ↔ 1 − 𝑥 = 0 ↔ 𝑥 = 1 
Luego, 𝐶0 = {1} 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Hallar el dominio y conjunto de ceros de la función ℎ = 𝑓 ∘ 𝑔 siendo 
𝑓(𝑥) = (3𝑥 − 1)2 𝑔(𝑥) =
1
𝑥 + 2