Claves Matematica Primer Parcial Segundo turno Tema 4

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Material e laborado por la cátedra de Matemática - UBAXXI 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
SEGUNDO TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 4 
TEMA 4 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Decidir si pertenece al conjunto 
 
siendo la función lineal que verifica que y cuya gráfica pasa por el punto . 
Justificar la respuesta. 
 
Respuesta 
Primero debemos hallar la función lineal . Tenemos que: 
 
Como 
 
Por otro lado, la gráfica de la función pasa por el punto 
 
y como 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Entonces 
 
 
 
 
 
 
 
Para ver si pertenece al conjunto debemos ver si se cumple que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como se cumple la desigualdad, pertenece al conjunto . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
SEGUNDO TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 4 
 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Dado el polinomio , hallar el valor de la constante si se sabe que 
 es raíz del polinomio. 
Hallar el conjunto de positividad del polinomio. 
 
Respuesta 
Dado que es raíz del polinomio se verifica que 
 
Entonces, 
 
Las raíces de la cuadrática son y , entonces 
 
Por otro lado, aplicando diferencia de cuadrados tenemos que: 
 
Por lo tanto, el polinomio factorizado es 
 
Aplicando el Teorema de Bolzano y reemplazando por algún valor, analizamos el conjunto de positividad. 
Por ejemplo, en x = 0 el polinomio alcanza un valor positivo. Considerando que el polinomio tiene raíces 
simples se deduce que: 
 = (- 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar el dominio e imagen de la función inversa de 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
SEGUNDO TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 4 
 
 
 
 
 
Respuesta 
Hallamos la función inversa de f(x): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Haciendo un cambio en el nombre de la variable, la función inversa es 
 
 
 
 
 
 
 
El dominio de la función inversa coincide con la imagen de la función . 
Dado que para todo tenemos que 
 
 
 
 
Por lo tanto, el dominio de la función inversa es 
 
La gráfica correspondiente a la función es una parábola. 
Para determinar la imagen de la función inversa podemos calcular el vértice de dicha parábola: 
 
 
 
 
Observamos que el coeficiente principal es positivo, por lo tanto, la parábola es cóncava hacia arriba. 
 
 
 
 
Otra manera de encontrar el conjunto imagen: 
Para todo x en el dominio de la función inversa se verifica que 
 
 
 
entonces 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
SEGUNDO TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
y por lo tanto 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dados los conjuntos ; hallar analíticamente 
el conjunto 
 
Respuesta 
Primero vamos a hallar analíticamente cuales son los valores de que pertenecen al conjunto . 
Tenemos que , entonces: 
 
 
 
 
 
Ahora vamos a hallar cuales son los valores de que pertenecen al conjunto . 
 
 
 
 
 
Entonces, 
 
Ahora debemos hallar el conjunto :