MATEMATICA Material de repaso para el primer parcial

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MATEMÁTICA 
 
Material de repaso para el primer parcial 
 
2 Cuatrimestre 2018 
 
 
1. Hallar analíticamente todos los valores de 𝑘  ℝ para que la distancia entre los puntos 𝐴 = (4𝑘; −4) y 
𝐵 = (3; 3𝑘) sea igual a 5. 
 
2. Hallar analíticamente los puntos del plano donde se cortan las funciones: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 − 3 𝑦 𝑔(𝑥) = −2𝑥 − 1 
 
3. Hallar el conjunto de números reales donde se verifica que 𝑓(𝑥) > 𝑔(𝑥) siendo 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 − 2 
 
4. Hallar analíticamente el conjunto de negatividad de la siguiente función: 
𝑓(𝑥) =
𝑥 − 5
4 − 𝑥
 
 
5. Hallar 𝑎 para que la función definida por 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑎𝑥 + 5 alcance un mínimo en (2; 1). 
 
6. Encontrar el valor “a” de manera que las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) tengan exactamente un solo punto de 
intersección, siendo: 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 + 4 
𝑔(𝑥) = 𝑥 + 𝑎 
 
7. Dada la función 𝑓(𝑥) =
2𝑥−5
𝑥+1
 hallar la función inversa 𝑓−1(𝑥) e indicar el dominio de ambas 
funciones. 
 
8. El consumo de oxígeno (en milímetros por minuto) para una persona que camina a “𝑥” kilómetros por 
hora está dado por la función 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 10𝑥2 + 5𝑥 + 20, mientras que el consumo de oxígeno para 
una persona que corre a “𝑥” kilómetros por hora está dado por la función 𝑔(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 38. Se 
sabe que cuando “𝑥 = 1” el consumo de oxígeno es idéntico. ¿Existen otros valores de “𝑥” para los 
cuales el consumo de oxígeno es el mismo? 
 
9. Representar en el plano el siguiente conjunto: 
𝐴 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒: 𝑦 − 1 > 0 ; 3𝑥 − 1 < −2𝑥 + 4} 
 
10. Siendo 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 𝑎𝑥2 − (𝑏 − 1)𝑥 + 𝑎, determinar los valores de 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 para que se cumpla que 
𝑓(0) = 2 y el punto 𝑃 = (2, −4) pertenezca a la gráfica de 𝑓. 
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11. Hallar, si existe, la ecuación de la asíntota horizontal (hallando previamente el valor de 𝑎 ∈ 𝑅), de la 
función 𝑓(𝑥) =
4−3𝑎2𝑥
5𝑎𝑥−2
 
sabiendo que tiene una asíntota vertical en 𝑥 = −2/5 
 
12. Sea 𝑓(𝑥) =
5𝑥+1
𝑥−2
, hallar 𝑓−1(𝑥). 
 
13. Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
𝑥 + 2
2𝑥 + 1
 𝑦 𝑔(𝑥) = √𝑥 
hallar 𝑔 ∘ 𝑓 y 𝑓 ∘ 𝑔 
 
14. Dadas las funciones 𝑓 y 𝑔 definidas por 
𝑔(𝑥) = √2𝑥 y 𝑓(𝑥) = 9𝑥2 − 4 
Encontrar la fórmula de 𝑔 ∘ 𝑓 y indicando su dominio. 
 
15. Resolver y representar gráficamente el conjunto solución de la inecuación |2 − 4𝑥| > 6 
 
16. Dada 𝑓(𝑥) = 3𝑥 + 7 y sabiendo que 𝑓(𝑎 − 2) = 5. ¿Cuál es el valor de 𝑎? 
 
17. Dadas las funciones 
𝑓(𝑥) =
2
3𝑎 − 𝑥
 𝑦 𝑔(𝑥) =
1
𝑥
 
hallar el valor de 𝑎 ∈ ℝ para que ℎ(−1) = 2 siendo ℎ(𝑥) = 𝑔(𝑓(𝑥)) 
 
18. Determinar analíticamente el valor de la constante 𝑎 ∈ ℝ para que el conjunto solución de la inecuación 
|5𝑥 − 𝑎| ≤ 3 sea igual al intervalo [−
1
5
; 1] 
 
19. Se sabe que 𝑥 = 1 es raíz del polinomio 𝑃(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥2 + 𝑥 − 6. 
Hallar los intervalos de positividad y negatividad. 
 
20. Determinar el dominio y el conjunto imagen de la función 𝑓(𝑥) = 1 + 2√2𝑥2 − 2