Rtas (AC TP2 - Funciones y función lineal)

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Matemática
Material de uso exclusivamente educativo 1
PRÁCTICO 2. FUNCIONES
RESPUESTAS ACTIVIDADES COMPLEMENTARIAS
Introducción a funciones. Función lineal
Solución y comentarios
a) No lo es pues:
 para que la raíz cuadrada de un número real x esté definida debe ser x 0
 además como x está en el denominador de la fórmula, debe ser x distinto de cero.
Entonces no puede tener como dominio el conjunto de los números reales.
b) Para que sea una función se deben excluir del dominio los números que no cumplen la
condición anterior, esto es los números menores o iguales que cero. Redefinimos el dominio
para que sea función:
Debe ser Dom f = (0; +) = >0
La función queda definida por
x
x
)x(h;:h o 
 Las formas de resolución de los ejercicios pueden no
ser únicas. Si pensás que los podes resolver de otra
manera y no estás seguro consúltanos en los foros.
1. a. Decidí si la siguiente relación es una función. Justifica tu respuesta.
x
x)x(h;:h 
b. Si no lo es, redefinila para que lo sea sin cambiar la fórmula.
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Solución y comentarios
Para poder hallar los elementos del conjunto A debemos encontrar primero las fórmulas de cada
una de las funciones.
a) Buscamos al expresión de f
La función f verifica que f(1) = 2 y f(-4) = - 2 , esto es equivalente a decir que los pares ordenados
(1; 2) y (-4; -2) pertenecen a la gráfica de f.
Al ser f una función lineal, su expresión es:
f(x) = ax + b
Para determinar a y b, reemplazamos por los datos que tenemos:
Para (1; 2): 2 = a. 1 + b
Para (-4; -2): -2 = a (-4) + b
Nos queda un sistema de ecuaciones con incógnitas a y b.





ba42
ba2
Escribiendo b en función de a, es





ba42
ba2
Por lo que:
2 – a = - 2 + 4a
Y agrupando los términos semejantes:
2 + 2 = 4a + a
4 = 5a
5
4a 
Reemplazamos en la ecuación 2 – a = b:
b
5
6
b
5
4
2


Luego
5
6
x
5
4
)x(f 
2. Sea f la función lineal que verifica f(1) = 2 y f(-4) = - 2 y sea g la función lineal cuya gráfica es
la recta de pendiente
3
1
 y que pasa por P = (0; 1).
Hallá, analíticamente, el conjunto A = {x /f(x) g(x) }
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b) Buscamos la expresión de g.
De g conocemos que es una función lineal, luego es g(x) = ax + b
Como su gráfica es una recta de pendiente
3
1 podemos escribir;
bx
3
1)x(g 
Además la recta pasa por P = (0; 1). Lo que quiere decir que la ordenada al origen b es 1
(recordar que la ordenada al origen es el valor de y cuando x = 0)
Por lo que es 1x
3
1)x(g 
Así, tenemos que:
5
6
x
5
4
)x(f  y 1x
3
1
)x(g 
c) Hallamos analíticamente, el conjunto A = {x/f(x) g(x)}
Planteamos:
f (x) g(x)
1x
3
1
5
6x
5
4 
Y resolvemos la inecuación:
5
6
1x
3
1
x
5
4
 sumamos a ambos miembros x
3
1
y restamos
5
6
5
1
x
15
17
5
1
15
x5x12


15
17
:
5
1
x  dividiendo miembro a miembro por
15
17
17
3
x 
Por lo que;
A = 



  ;
17
3
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Solución y comentarios
a) Buscamos las ecuaciones de las dos opciones:
Para encontrar el costo del alquiler para la opción A, es suficiente con multiplicar la
cantidad de días por el costo por día:
y = 8 . 70 = 560
En el caso de la opción B, debemos considerar el costo por kilómetros recorridos: a los 30
dólares diarios le debemos sumar los kilómetros que recorren los amigos.
Entonces por 8 días, el alquiler tendría un costo de:
30 . 8 + 0,4 . kilómetros recorridos = 240 + 0,4 . kilómetros recorridos
Si llamamos x la cantidad de kilómetros recorridos, es:
y = 240 + 0,4 . x
Así, las ecuaciones son:
OPCIÖN A: y = 560
OPCION B: y = 240 + 0,4 . x
b) Analizamos a partir de qué recorrido es más conveniente la opción A que la B
Entendemos que la opción A sea más conveniente que la B significa ser más económica y
signifique menor gasto para los amigos.
Lo que equivale a planteamos;
560 < 240 + 0,4 x
Y resolvemos:
560 – 240 < 0,4 x
320 < 0,4 x
320 : 0, 4 < x
800 < x
Por lo que cuando se han recorrido más de 800 kilómetros es más conveniente la opción A.
3. Unos amigos se encuentran de vacaciones. Desean alquilar un auto y disponen de dos opciones:
OPCIÖN A: 70 dólares por día
OPCIÖN B: 30 dólares por día más 0.4 dólares por km recorrido.
Determiná a partir de qué recorrido es más conveniente la opción A que la B para el caso en
que se queden 8 días.