1 Derivadas

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DERIVADAS
Derivada de
una función
en un punto
Definición.
Si f(x) es una función continua y a es un punto de su dominio, la derivada de f en a se
define como:
ax
)a(f)x(flím
ax 


 Si el límite existe y es un número real, se dice que f es derivable en a. Al valor del
límite se lo llama derivada de f en a y se lo denota )a('f
 Si el límite no existe en a, esto es, cuando x tiende a a por izquierda y por derecha,
resulta que los límites laterales son distintos, decimos que la función no es
derivable en a.
 Al cociente
ax
)a(f)x(f


se lo llama cociente incremental. Por lo que la derivada de
la función en a es el límite cuando x tiende a a del cociente incremental.
 Como x está próximo a a podemos escribir que x = a + h siendo h un número
pequeño, en valor absoluto muy próximo a cero. Y es x - a = h
Por lo que podemos escribir a
ax
)a(f)x(f

 como
h
)a(f)ha(f 
Y entonces es
ax
)a(f)x(f
lím)a(f
0xx
'




=
h
)a(f)ha(f
lím
0h


El número )a('f es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a; f(a))
Llamamos recta tangente al grafico de una función en el punto (a; f(a)) a la recta que
pasa por ese punto y cuya pendiente es )a('f
Ejemplo 1.
 Calcular, usando la definición de derivada, )a('f si f(x) = x2 + 3 y a = 1
Solución.
Por definición es
h
)a(f)ha(flím)a('f
0h


En el este caso es a = 1, por lo que debemos hallar:
h
)1(f)h1(flím)1('f
0h


Para ello calculamos
f(1+ h) = (1+h) 2 + 3 = 1 + 2h + h2 + 3
= 2h + h2 + 4
f(1) = 12 + 3 = 4
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Reemplazamos en la fórmula:
h
hh2
lím
h
44hh2
lím)1('f
2
0h
2
0h





La última expresión podemos escribirla como:
)h2(lím
h
)h2(hlím
0h0h


Por lo que es
2)h2(lím
h
)1(f)h1(f
lím
0h0h



En consecuencia la pendiente de la recta tangente a la función en el punto
(a; f(a)) = (1; 4) es
2)a('f 
Observación.
Si en vez de calcular )a('f mediante
h
)1(f)h1(f
lím)1('f
0h



lo hacemos por la fórmula
1x
)1(f)x(f
lím)1('f
1x 



llegamos al mismo resultado:
1x
1xlím
1x
43xlím
1x
)1(f)x(f
lím)1('f
2
1x
2
1x1x 







Como es x2 – 1 = (x+1)(x-1) reemplazando es:
21xlím
1x
)1x)(1x(lím
1x
1xlím
1x
)1(f)x(flím)1('f
1x1x
2
1x1x








Ejemplo 2
Calcular, usando la definición de derivada, )a('f si f(x) = 3 - x y a = 0
Solución
Por definición es
h
)a(f)ha(f
lím)a('f
0h



Y siendo a = 0 es
h
)0(f)h0(flím)0('f
0h


Calculamos:
f(0+h) = 3 – (0+h) = 3 – h
f(0) = 3 – 0 = 3
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Reemplazando:
11lím
h
hlím
h
3h3lím
h
3h3lím
h
)0(f)h0(f
lím)0('f
0h0h0h0h0h




Luego es
1)0(f ' 
Al hallar la derivada de una función en un punto )a('f , dijimos que el número )a('f es la
pendiente de la recta tangente a la gráfica de f en el punto (a; f(a)).
Y además, llamamos recta tangente al grafico de una función en el punto (a; f(a)) a la
recta que pasa por ese punto y cuya pendiente es )a('f .
Para encontrar la ecuación de la recta tangente, usamos la expresión
)ax()a(f)a(fy ' 
Vamos a utilizar estos conceptos en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 3.
Calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de f(x) = x2 – x en (2; 2).
Hallar la ecuación de la recta y graficar la curva y la recta.
Solución:
Observamos que (a; f(a)) = (2; 2) por lo que es a = 2 y f(a) = 2.
Buscamos primero la pendiente de la recta hallando )a('f
 Pendiente de la recta tangente en a = 2
Sabemos que
h
)a(f)ha(flím)a('f
0h


En este caso es:
h
)2(f)h2(f
lím)2('f
0h



Calculamos:
f(2+h) = (2+h)2 – (2 – h) = 4 + 4h + h2 – 2 – h = 2 + 3h + h2
f(2) = 22 - 2 = 2
Luego:
3)h3(lím
h
)h3(h
lím
h
hh3
lím
h
2hh32
lím
h
)2(f)h2(f
lím)2('f
0h0h
2
0h
2
0h0h











Por lo que la pendiente de la recta tangente es )2('f = 3
 Ecuación de la recta tangente.
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La recta y la curva se intersecan en el punto (2; 2).
Por lo que el punto (2; 2) pertenece a la recta tangente.
Como la ecuación de la recta tangente es
y – f(a) = )a('f (x – a).
Reemplazamos
y – 2 = 3 (x – 2)
o bien ;
y = 3x – 4
 Graficamos la función y la recta tangente a la misma en el punto (3; 2)
Para determinar la recta tangente a una función en un punto de su dominio, seguimos
estos pasos:
 Calculamos la pendiente de la recta tangente calculando la derivada de la función
en el punto x = a.
 Usamos este resultado y el punto (a; f(a)) en la ecuación de la recta:
)ax()a('f)a(fy 
¿Existe
siempre la
derivada
en un
punto?
Veremos ahora que no siempre existe la derivada de una función en un punto del dominio.
Para que exista
h
)a(f)ha(f
lím)a(f
0h
' 

Debe existir el límite para x h y además ese límite debe ser un número real.
Ejemplo 4
Consideremos la función f(x) = |x| y veamos si es derivable en x = 0
Para ello, calculamos
h
)a(f)ha(flím
0h


Siendo a = 0 calculamos:
f(a+h) = f(0 + h) = |0 +h| = |h|
f(0) = |0| = 0
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Y reemplazamos
h
0h
lím
h
)a(f)ha(f
lím
0h0h




Como |h| = h si h 0 y |h| = -h si h < 0 por definición de la función módulo,
debemos considerar qué sucede en cada uno de estos casos, calculando los límites
laterales:
1
h
hlím
h
0hlím
h
0h
lím
1
h
h
lím
h
0h
lím
h
0h
lím
0h0h0h
0h0h0h


















Vemos que los límites laterales no
son iguales, por lo que no existe
h
0h
lím
0h


(recordemos que para que exista el
límite de una función en un punto los
límites laterales deben ser iguales).
Luego la función f(x) = |x| no es
derivable en x = 0
Ejemplo 5
Tampoco es derivable en x = 1 la función
del gráfico.
0
h
)a(f)ha(f
lím
1
h
)a(f)ha(f
lím
0h
0h






En este caso, los límites laterales para h0
son distintos por lo que no existe la
derivada de la función en x = 1.
Luego la función no es derivable en x = 1.
La función no es continua en x = 1 y
no es derivable en x = 1
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Ejemplo 6
La función 3 x)x(f  no es derivable en x = 0
Calculemos
h
)a(f)ha(flím
0h


, siendo a = 0
 f(a+ h) = f(0 + h) = f(h) = 3 h
 f(0) = 3 0 = 0
Y reemplazamos:

 3 20h
3
0h
3
0h
3
0h0h h
1lím
h
hlím
h
hlím
h
0hlím
h
)a(f)ha(flím
Como el límite no es finito concluimos que la
3 x)x(f  no es derivable en x = 0.
En este caso, la recta tangente es una recta
vertical, paralela al eje de ordenadas.
Para tener en
cuenta
De lo que hemos hecho hasta ahora podemos extraer algunas conclusiones.
1. La derivada de la función en un punto del dominio de la función es un
número real.
2. Para que exista la derivada en ese punto, la función debe ser continua en
ese punto.
3. Que una función sea continua en un punto no implica que sea derivable en
ese punto.
La derivada
como función
Hasta aquí calculamos la derivada de una función para un punto de su dominio. Podemos
preguntarnos ahora si es posible encontrar una función que nos dé el valor de la derivada
de cualquier punto x del dominio de la función.
Consideremos la función f(x) = x2 – x del ejemplo anterior.
En el ejemplo, calculamos )2('f y hallamos )2('f = 3
Calculemos ahora la derivada en los siguientes puntos:
a) x = -1
b) x = 0
c) x = 1
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La expresión que nos permite calcular la derivada en cada uno de esos puntos es, como
se ha visto:
h
)a(f)ha(flím)a('f
0h


Ayudémonos con una tabla:
x = -1 x = 0 x = 1
f (a +h) (-1 + h) 2 –(-1+h)
1 - 2h + h2 +1 – h
2 - 3h + h2
(0 + h) 2 – (0 + h)
h2 - h
(1 + h) 2 – (1+h)
1 + 2h + h2 -1-h
h + h2
f(a) (-1)2 – (-1) = 2 02 – 0 = 0 (1)2 – (1)= 0
h
)a(f)ha(flím)a('f
0h

 h
2hh32
lím
2
0h


3
h
)h3(hlím
h
hh3lím
0h
2
0h




h
0hhlím
2
0h


1
h
)1h(hlím
h
hhlím
0h
2
0h




h
0hhlím
2
0h


1
h
)h1(hlím
h
hhlím
0h
2
0h




3)1('f  1)0('f  1)1('f 
Tenemos ahora:
3)1('f  1)0('f  1)1('f  3)2('f 
Si representamos los puntos en ejes cartesianos, observamos que están situados
sobre una recta.
Podemos comprobar que la ecuación de esa recta es y = 2x – 1
Pero entonces la recta de ecuación y = 2x -1 contiene a todos los puntos de la forma
(a; f’(a)) para cualquier a que pertenezca al dominio de la función, donde x = a es un
elemento cualquiera del dominio y f’(a) es la derivada de la función en el punto a.
Esta afirmación nos permite decir que para cualquier punto del dominio de f podemos
encontrar la derivada en ese punto, sólo reemplazando en
y = 2x – 1
Por ejemplo,
si x = 3; y = 2. 3 – 1 = 5
lo que significa que para el elemento x= 3 del dominio, la derivada en ese punto es 5. Esto
es 5)3('f 
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De este modo hemos encontrado una función que transforma cada x en 2x – 1.
A esta función la llamamos función derivada y la nombramos f’.
En el ejemplo anterior
f(x) = x2 – x
Es 1x2)x('f 
También se anota:
1x2)'xx( 2 
Definición Se llama función derivada de f a una función f’ que asocia a cada punto x la derivada de f
en ese punto, f’(x).
Notemos que.
 la derivada de una función f es ella misma una función, que puede ser utilizada
para hallar la pendiente de la recta tangente en el punto (x; f(x)) de la gráfica de f.
A partir del concepto de derivada de una función podemos deducir reglas que nos
permiten calcular las derivadas sin necesidad de recurrir cada vez al cálculo del límite.
Veremos cómo se llega a algunas de estas reglas haciendo uso de la definición de
derivada en un punto.
Ejemplo 7
Calculamos la derivada de la función constante f(x) = k (k es un número real)
Solución.
Nos proponemos calcular )a('f para a = x, siendo x un punto cualquiera del dominio de
f.
Recordemos que la función constante está definida para todos los números reales.
Como antes, calculamos
h
)a(f)ha(f
lím)a('f
0h



.
Por ser x = a, es f(a+h) = f(x+h) = k
f(a) = f(x) = k
ya que todos los elementos del dominio de f tienen por imagen al número real k.
Luego es: 0
h
0lím
h
kklím
h
)x(f)hx(flím)x('f
0h0h0h


Entonces, si f(x) = k es )x('f = 0
 Si f(x) = k (k es una constante) entonces 0)k()x(f '' 
Esto es, la derivada de una función constante es cero.
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Ejemplo 8
Calculamos la derivada de la función lineal f(x) = mx + b
Sea f(x) = mx + b. Calcular )a('f para a = x, siendo x un punto cualquiera de su
dominio.
Solución:
Recordemos que la función lineal tiene como dominio el conjunto de los números
reales. Luego x 
Como en los ejemplos anteriores calculamos
h
)a(f)ha(flím)a('f
0h


Por ser a = x, es f(a+ h ) = f(x+h) = m(x+h) + b.
f(a) = f(x) = mx + b
h
)bmx(b)hx(mlím)x('f
0h


Operando es:
mmlím
h
mh
lím
h
bmxbmhmx
lím)x('f
0h0h0h




Por lo tanto m)x('f  para cualquier número real x.
Además, el Dom(f) = Dom(f’) = 
 Si f(x) = mx + b entonces m)bmx()x(f '' 
Esto es, la derivada de una función lineal f(x) = mx + b es m)x(f ' 
Ejemplo 9.
Sea x)x(f  Calcular )a('f para a = x, siendo x un punto cualquiera de su dominio.
Solución:
El dominio de f son los números reales mayores o iguales que cero.
Por lo que x{0; +)
Calculamos:
h
)a(f)ha(flím)a('f
0h


Por ser a = x, es f(a+ h ) = f(x+h) = hx 
f(a) = x)x(f 
Luego;
h
xhxlím
h
)x(f)hx(f
lím)x('f
0h0h




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Multiplicando numerador y denominador por xhx 
)xhx(h
)xhx()xhx(lím
h
xhxlím
h
)x(f)hx(flím)x('f
0h
0h0h





El numerador es una expresión de la forma (a + b) (a – b) = a2 – b2
Si usamos esta igualdad el numerador nos queda:
hxhx
)x()hx()xhx()xhx( 22


Reemplazamos:
x2
1
)xhx(
1lím
)xhx(h
hlím
0h
0h







Luego es
x2
1
)x('f  .
Observamos que mientras que el dominio de f es Dom(f) = [0; +), el dominio de
la derivada es Dom(f ’) = (0; +).
Esto significa que no existe la derivada de la función cuando x es igual a cero.
En este caso, la recta tangente es vertical, por lo que su pendiente no está
definida en x = 0, como se observa en el gráfico.
 Si x)x(f  , x [0; +) entonces es
x2
1)x('f  , con x (0; +)
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De manera similar (aunque no siempre al alcance de este curso) puede mostrarse que:
1. Si f es derivable y c es un número real, entonces h(x) = c.f(x) es derivable y su
derivada es )x(f.c)x(h '' 
2. Si las funciones f y g son derivables y
 h(x) = f(x) + g(x), entonces )x(g)x(f)x(h ''' 
 h(x) = f(x) - g(x) , entonces )x(g)x(f)x(h ''' 
La derivada de una suma (o de la diferencia) de dos funciones derivables es la
suma (o diferencia) de sus derivadas.
3. Si f y g son dos funciones derivables y es h(x) = f(x) . g(x) entonces es derivable y
su derivada es )x(g.)x(f)x(g.)x(f)x(h '''  .
La derivada del producto de dos funciones es la derivada de la primera función
multiplicada por la segunda más la primera multiplicada por la derivada de la
segunda función.
4. Si f y g son dos funciones derivables y es g(x) 0, entonces
)x(g
)x(f
)x(h  es
derivable y su derivada es
 2
''
'
)x(g
)x(g..)x(f)x(g).x(f
)x(h


También pueden verificarse las siguientes reglas.
1. Si f(x) = k, con k entonces )x(f ' = 0
2. Si f(x) = mx + b, con m y m0 entonces )x(f ' = m
3. Si f(x) = x entonces )x(f ' = 1
4. Si f(x) = x2 entonces )x(f ' = 2x
5. Si f(x) = x3 entonces )x(f ' = 3x2
6. Si f(x) = xn , con n y n1 entonces )x(f ' = n xn-1
7. Si f(x) = lnx entonces
x
1)x('f 
8. Si f(x) = ex entonces )x(f ' = ex
9. Si f(x) = ax, con a>0 y a1, entonces )x(f ' = ax lna
10. Si f(x) = logax, con a>0 y a1, entonces alnx
1)x('f 
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11. Si f(x) = cosx entonces )x(f ' = -senx
12. Si f(x) = senx entonces )x(f ' = cosx
13. Si f(x) = tgx entonces xsec
xcos
1)x(f 2
2
' 
14. Si f(x) = ctgx entonces
xsen
1)x(f
2
'  = - cosec2x
Resolvemos a continuación varios ejemplos, utilizando las reglas anteriores.
Ejemplo 10
Calcular las derivadas de las siguientes funciones:
a) f(x) = 6x3 – 2x2
b) f(x) =
x
7x2 
c) f(x) =
3 2
2
x2
1x 
d) f(x) = (x2+1) cosx
Solución
a) f(x) = 6x3 – 2x2
La función f es la diferencia de funciones: h(x) = 6x3 y g(x) = 2x2.
El dominio de f es Dom(f) = 
Su derivada f’ es la diferencia de las derivadas de h y g.
)x('g)x(h)x(f '' 
Notemos que h(x) es el producto de una constante por una función, entonces
su derivada es '3' )x(6)x(h 
Para calcular '3 )x( usamos que 'n )x( = n xn-1
Entonces es '3 )x( = 3.x2
Luego '3' )x(6)x(h  = 6. 3. x2 = 18x2
En forma similar calculamos g’(x).
Y hallamos que es g’(x) = 4x
Entonces:
)x('g)x(h)x(f ''  = 18x2 – 4x
Por lo que la derivada de f(x) = 6x3 – 2x2 es )x(f ' = 18x2 – 4x
El dominio de f’ es Dom(f’) = 
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b) f(x) =
x
7x2 
La función f es la diferencia de funciones h(x) = x2 y
x
7)x(g 
El dominio de f es Dom(f ) = (0; +)
Su derivada f’ es la diferencia de las derivadas de h y g.
)x('g)x(h)x(f '' 
 Calculamos la derivada de h(x) = x2
Como h es el producto de una constante por una función, su derivada es
la constante por la derivada de la función.
Para derivar x , escribimos la raíz en forma de potencia: 2
1
xx  y
podemos aplicar la derivada de una potencia:
x
1
2
1x
2
1x
2
1x 2
1
1
2
1'
2
1








 
Entonces es
x
1
x
1
2
1.2)x(h' 
 Calculamos la derivada de
x
7)x(g 
Podemosescribir
x
1.7)x(g 
Como g es el producto de una constante por una función, su derivada es
la constante por la derivada de la función.
Para calcular la derivada de
x
1 hacemos: 1x
x
1 
Luego, es  
2
211'1
x
1xx1x  
Entonces es
2
'
x
1.7)x(g 
Y
22
''
x
17
x
1
x
17
x
1)x('g)x(h)x(f 





 =
Por lo que la derivada de f(x) =
x
7x2  es
2
'
x
17
x
1)x(f 
El domino de la derivada es Dom(f’) = (0; +)
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UBA XXI – MÁTEMATICA - Derivadas 14
c) f(x) =
3 2
2
x2
1
x 
El dominio de f es Dom(f) = -{0}
La función f es suma de las funciones h(x) = x2 y g(x) =
3 2x2
1
por lo que su derivada es )x('g)x(h)x(f '' 
 La derivada de h(x) = x2 es h’(x) = 2x
 Calculamos la derivada de g(x) =
3 2x2
1
Para ello comencemos por escribir
3 23 2 x
1
2
1
x2
1
)x(g 
Y a la vez: 3
2
3
23 2
x
x
1
x
1 

Entonces
3 5
3
5
1
3
2'
3
2'
3 2
'
x
1
3
1x
3
1
x
3
2.
2
1x
2
1
x
1
2
1)x(g






















(Observen que para hallar g’ usamos las mismas propiedades que
en los ítems anteriores)
Luego es
3 5
''
x
1
3
1x2)x('g)x(h)x(f 
Por lo que la derivada de f(x) =
3 2
2
x2
1x  es
3 5
'
x
1
3
1x2)x(f 
d) f(x) = (x2+1) cosx
La función f es el producto de las funciones h(x) = x2+ 1 y g(x) = cosx
Entonces para derivar f usamos la regla del producto y es:
)x(g.)x(h)x(g.).x(h)x(f ''' 
 La derivada de h(x) = x2+ 1 es x2)x(h'  (usamos derivada de la
suma, derivada de una potencia y derivada de una constante)
 La derivada de g(x) = cosx es senx)x(g' 
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Luego es )x(g.)x(h)x(g.).x(h)x(f '''  = 2x.cosx +(x2+1)(-senx)
= 2x cosx – (x2 + 1) senx
Por lo que la derivada de f(x) = (x2+1) cosx es f ’(x) = 2x cosx – (x2 + 1) senx
Y además es Dom(f) = Dom(f ‘) = 
Ejemplo 11.
Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
1x
x
)x(f

 en el punto





3
2
;2
Solución :
Vimos que la ecuación de la recta tangente es:
)ax()a(f)a(fy ' 
donde (a; f(a)) es el punto de tangencia y )a(f ' es la pendiente de la recta.
En nuestro ejemplo es a = 2 y f(a) = f(2) =
3
2
y )2(f)a(f '' 
Por lo que es )2x()2(f
3
2
y ' 
Debemos calcular )2(f '
Calculamos la derivada de
1x
x
)x(f

 y luego la evaluamos en x = 2
Como f está expresada mediante un cociente entonces usamos la derivada del
cociente:
2222
''
'
)1x(
1
)1x(
.x1x
)1x(
1.x)1x.(1
)1x(
)1x(x)1x()x(
)x(f











Y 
  9
1
12
1
2f
2
' 


Reemplazando en la ecuación )2x()2(f
3
2
y '  nos queda que la ecuación de
la recta tangente a la gráfica de f en el punto 




3
2
;2 es:
)2x(
9
1
3
2y 
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Derivadas
sucesivas
Como la derivada de una función f es también una función, como tal podemos derivarla y
obtener de ella su derivada. A esta nueva función la llamamos derivada segunda de f.
Lo anotamos: f” (x)
Del mismo modo, al ser f” una función, podemos seguir derivándola y obtener la tercera,
cuarta … n-èsima derivada de f.
A estas nuevas funciones se las denomina funciones derivadas sucesivas de f.
Ejemplo 12.
Si f(x) = 3x4 – x3 + 5x2 – 3 sus derivadas sucesivas son:
 Derivada primera: f ’(x) = 12x3 – 3x2 + 10x
 Derivada segunda: f”(x) = 36x2 – 6x + 10
 Derivada tercera: )x(f ''' = 72x – 6
 Derivada cuarta: fV(x) = 72
 Las derivadas sucesivas son todas iguales a cero.