Claves Matematica Primer Parcial Primer turno Tema 2

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Material e laborado por la cátedra de Matemática - UBAXXI 
 
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Material de uso exclusivamente didáctico 
 
 
 
 
CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
PRIMER TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 2 
TEMA 2 
 
Ejercicio 1 (2 puntos) 
Determinar analíticamente el valor de la constante 𝑏 ∈ ℝ para que el conjunto solución de la inecuación 
|3𝑥 − 𝑏| ≤ 2 sea igual al intervalo [
5
3
; 3] 
Respuesta 
Los extremos del intervalo del conjunto solución deben cumplir con las igualdades 
|3 ∙ (
5
3
) − 𝑏| = 2 𝑦 |3 ∙ 3 − 𝑏| = 2 
 
Busquemos el valor de 𝑏 ∈ ℝ que verifique ambas condiciones. 
 
Primero resolvemos la ecuación 
|3 ∙ (
5
3
) − 𝑏| = 2 
|5 − 𝑏| = 2 ⟺ 5 − 𝑏 = 2 ó 5 − 𝑏 = −2 
−𝑏 = −3 ó − 𝑏 = −7 
 𝑏 = 3 ó 𝑏 = 7 
Los valores de “𝑏” que son solución de la primera ecuación son 𝑏 = 3, 𝑏 = 7 
 
Ahora resolvemos la ecuación 
|3 ∙ 3 − 𝑏| = 2 
|9 − 𝑏| = 2 ⟺ 9 − 𝑏 = 2 ó 9 − 𝑏 = −2 
−𝑏 = −7 ó − 𝑏 = −11 
 𝑏 = 7 ó 𝑏 = 11 
Los valores de “𝑏” que son solución de la segunda ecuación son 𝑏 = 7, 𝑏 = 11 
 
El único valor de “𝑏” que es solución de las dos ecuaciones es 𝑏 = 7 
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
PRIMER TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 2 
Ejercicio 2 (3 puntos) 
Hallar el conjunto de ceros y el conjunto de positividad del polinomio 
𝑄(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥2 − 𝑥 + 2 
 
Respuesta 
Para hallar los intervalos de positividad y negatividad del polinomio debemos conocer primero todas las raíces del 
polinomio. 
Se puede verificar fácilmente que 𝑥 = 1 es raíz del polinomio. Entonces podemos dividir al polinomio 𝑄(𝑥) por 
(𝑥 − 1). 
 
 
 
 
 
𝑄(𝑥) = (𝑥 − 1)(𝑥2 − 𝑥 − 2) 
Buscamos ahora las raíces de la cuadrática 𝑥2 − 𝑥 − 2 
𝑥1,2 =
−(−1) ± √(−1)2 − 4 ∙ (1) ∙ (−2)
2 ∙ 1
=
1 ± √1 + 8
2
=
1 ± 3
2
 
𝑥1 = 2 ; 𝑥2 = −1 
 
El conjunto de ceros del polinomio es: 
𝐶0 = {−1; 1; 2} 
 
Debemos analizar el signo del polinomio en los intervalos 
(−∞; −1) (−1; 1) (1; 2) (2; +∞) 
En el intervalo (−∞; −1) el signo del polinomio es negativo ya que 𝑄(−2) < 0 
En el intervalo (−1; 1) el signo del polinomio es positivo ya que 𝑄(0) > 0 
En el intervalo (1; 2) el signo del polinomio es negativo ya que 𝑄 (
3
2
) < 0 
En el intervalo (2; +∞) el signo del polinomio es positivo ya que 𝑄(3) > 0 
 
Los intervalos de positividad del polinomio son: (−1; 1) ; (2; +∞) 
Los intervalos de negatividad son: (−∞; −1) ; (1; 2) 
 1 -2 -1 2 
1 1 -1 -2 
 1 -1 -2 0 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
PRIMER TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 2 
Ejercicio 3 (2 puntos) 
Hallar la ecuación de la recta que pasa por el vértice de la parábola 𝑦 = −5𝑥2 + 2𝑥 + 3 y cruza al eje de las 
abscisas en 𝑥 = 3. 
Respuesta 
Calculamos el vértice de la parábola 𝑦 = −5𝑥2 + 2𝑥 + 3 
𝑥𝑣 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑥𝑣 = −
2
2 ∙ (−5)
=
1
5
 
𝑦𝑣 == −5 (
1
5
)
2
+ 2 (
1
5
) + 3 = −
1
5
+
2
5
+ 3 
𝑦𝑣 =
16
5
 
Entonces, el vértice de la parábola es el punto 
𝑉 = (
1
5
;
16
5
) 
Si expresamos la ecuación de la parábola que estamos buscando en forma canónica tenemos que 
 𝑦 = 𝑎 . (𝑥 − 𝑥𝑣)
2 + 𝑦𝑣 
𝑦 = 𝑎 (𝑥 −
1
5
)
2
+
16
5
 
Sabemos que 𝑥 = 3 es raíz de la parábola (ya que cruza al eje de las abscisas en 𝑥 = 3), entonces podemos 
despejar el valor de la constante “𝑎” de la ecuación 
0 = 𝑎 (3 −
1
5
)
2
+
16
5
 
𝑎 (
14
5
)
2
= −
16
5
 
196
25
𝑎 = −
16
5
 ⟺ 𝑎 = −
16
5
∙
25
196
= −
20
49
 
 
Por lo tanto, la ecuación de la parábola es 
𝑦 = −
20
49
 (𝑥 −
1
5
)
2
+
16
5
 
 
 
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CLAVES DE CORRECCIÓN 
PRIMER EXAMEN PARCIAL DE MATEMÁTICA 
PRIMER TURNO 
 07/05/2018 – TEMA 2 
 
Ejercicio 4 (3 puntos) 
Dada la función 
ℎ(𝑥) = 2√3𝑥2 − 3 − 1 
hallar analíticamente el dominio y la imagen de la función. 
 
Respuesta 
Primero hallamos el dominio de la función. 
La función estará bien definida si el argumento de la raíz cuadrada es un número positivo. Entonces pedimos que 
3𝑥2 − 3 ≥ 0 ⟺ 3𝑥2 ≥ 3 ⟺ 𝑥2 ≥ 1 ⟺ |𝑥| ≥ 1 
⟺ 𝑥 ≥ 1 ó 𝑥 ≤ −1 ⇔ 𝑥 ∈ (−∞; −1] ∪ [1; +∞) 
El dominio de la función es el conjunto 
𝐷𝑜𝑚(ℎ) = (−∞; −1] ∪ [1; +∞) 
Para hallar el conjunto imagen debemos tener en cuenta que √𝑡 ≥ 0 (con 𝑡 ≥ 0). 
Entonces, para todo 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚(ℎ) se verifica que 
√3𝑥3 − 3 ≥ 0 
2√3𝑥3 − 3 ≥ 0 
2√3𝑥3 − 3 − 1 ≥ −1 
ℎ(𝑥) ≥ −1 
Luego, el conjunto imagen de la función es el intervalo [−1; +∞)