Ejercicio17_c_TP5

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Matemática
P
S
E
c
17. Escribí los intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y
ecuaciones de asíntotas, si las hay, de las siguientes funciones.
c. xcos3)x(h 2
ráctico 5 – Derivadas - EJERCICIO 17_c 1
OLUCION Y COMENTARIOS
n todos los casos procedemos buscando
 Dominio de la función.
 Derivada primera y dominio de la derivada primera.
 Puntos críticos.
 Damos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
 Damos máximos y mínimos de la función.
. xcos.3)x(h 2
 Dominio de la función.
Dom(h) = 
 Derivada primera y dominio de la derivada primera.
senx.xcos.6)x(h
)senx.(xcos.2.3)x(h
'
'


Dom(h’) = 
 Puntos críticos.
Igualamos a cero la derivada para hallar los puntos críticos:
enterokconkxenterokcon,k
2
x
0senx0xcos
0senx.xcos6





 Damos los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función.
Primero analizamos lo pedido en   ; y luego, como la función tiene período k (kZ),
extendemos a todo su dominio.
En   ; consideramos los intervalos 



 





 



 



  ;
2
y
2
;0;0;
2
;
2
;
Vemos que:
o x 



 
2
;  h’(x) < 0  h es decreciente. (Por ejemplo: en 3)x('hes
4
3x  )
o x 



  0;
2
 h’(x) > 0  h es creciente. (Por ejemplo: en 3)x('hes
4
x  )
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Matemática
Práctico 5 – Derivadas - EJERCICIO 17_c 2
o x 



 
2
;0  h’(x) < 0  h es decreciente. (Por ejemplo: en 3)x('hes
4
x  )
o x 



 ;
2
 h’(x) > 0  h es creciente. (Por ejemplo: en 3)x('hes
4
3x  )
Luego en   ; es h:
creciente en 



 



  ;
2
y0;
2
y decreciente en 



 



 
2
;0y
2
;
Considerando el dominio de h:
o h crece en Zkconk;k
2




 
o h decrece en Zkconk
2
;k 



 
 Damos máximos y mínimos de la función.
En el intervalo   ; h
o tiene mínimos 







  0;
2
y0;
2
o tiene máximo en (0; 3)
En su dominio, h alcanza los mínimos en Zkconk
2
x  y los máximos en x = (k,3)
con kZ.
 h no tiene asíntotas.
Un gráfico aproximado de la función es: