Matematica-2C-v tapia-22-09-20

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GUIA DE APRENDIZAJE N°4 
ECUACIONES CUADRÁTICAS 
Departamento de Matemática 
Nombre del Profesor(a): Victor Tapia Guerrero 
 
Nombre del Estudiante: ……………………………………………………………………………Curso: 2° Medio C 
Nombre de la Unidad: Ecuaciones Cuadráticas. 
Objetivo de aprendizaje: Resolver problemas utilizando ecuaciones de segundo grado 
Tiempo de desarrollo: 60 minutos 
Dudas y consultas al mail: victor.tapia@colegioconcepcionsanpedro.cl 
Fecha de envío: viernes 25 de septiembre hasta las 18:00 hrs. Vía Classroom. 
Retroalimentación vía plataforma Google meet en horario estipulado por U.T.P. 
 
 
Resolución de problemas que involucran ecuaciones de segundo 
grado 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Recordamos que una ecuación de segundo grado (o ecuación cuadrática) es de la forma 
 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 𝑠𝑜𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑎 𝑛𝑜 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑠𝑒𝑟 0. 
 
Este tipo de ecuaciones tiene 2 soluciones. 
 
Para resolver un ejercicio correspondiente a ecuaciones de segundo grado teníamos distintos 
métodos. Los cuales son: 
 
• Factorización: Se factoriza la expresión cuadrática como producto de 2 expresiones de 
primer grado. Luego se iguala cada expresión a 0 y se despeja la incógnita en cada caso 
 
. 
• Completación de cuadrados: 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 se factoriza como un 
cuadrado de binomio igual a una constante. Luego se elimina el cuadrado obteniendo las 2 
soluciones de la ecuación. 
 
 
• Fórmula general: Se reemplazan los valores de a, b y c correspondientes a la ecuación en 
la fórmula 
𝑥 =
−𝑏±√𝑏2−4𝑎𝑐
2𝑎
 y de esta forma se encuentras las soluciones de la ecuación 
 
 
Es importante destacar que, sin importar el método utilizado para encontrar la solución de la 
ecuación, siempre encontraremos las mismas raíces. 
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A partir de lo aprendido de ecuaciones de segundo grado, podemos resolver distintos 
problemas, como, por ejemplo 
 
 
La suma de dos números es 5 y su producto es −84. Halla dichos números. 
 
𝐴𝑙 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑛 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑢𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑙𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑙𝑒𝑚𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟, 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 
 
{
𝑥 + 𝑦 = 5 
𝑥𝑦 = −84
 
 
Despejando y de la primera ecuación, tendríamos 𝒚 = 𝟓 − 𝒙 
 
Reemplazando en la segunda ecuación 𝒙(𝟓 − 𝒙) = −𝟖𝟒 
 
Resolviendo el producto 𝟓𝒙 − 𝒙𝟐 = −𝟖𝟒 
 
Reordenando se obtiene 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟖𝟒 = 𝟎 
 
 
Al realizar estos pasos, se obtuvo una ecuación cuadrática. 
 
Resolvemos la ecuación factorizando la expresión (𝒙 − 𝟏𝟐)(𝒙 + 𝟕) = 𝟎 
 
Así, las soluciones corresponden a: 
 
𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 ⇒ 𝒙 = 𝟏𝟐 
𝒙 + 𝟕 = 𝟎 ⇒ 𝒙 = −𝟕 
 
Una vez se obtienen los números correspondientes a las soluciones, reemplazamos en el despeje para 
encontrar el valor de 𝑦 en cada caso 
 
𝑺𝒊 𝒙 = 𝟏𝟐 ⇒ 𝒚 = 𝟓 − 𝟏𝟐 = −𝟕 
𝑺𝒊 𝒙 = −𝟕 ⇒ 𝒚 = 𝟓 − (−𝟕) = 𝟏𝟐 
 
Concluyendo que los números correspondientes son -7 y 12 
 
Una cosa importante es reemplazar los valores encontrados en la ecuación o en el sistema 
correspondiente para verificar que efectivamente los valores encontrados son correctos. 
 
𝑬𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒄𝒂𝒔𝒐, −𝟕 + 𝟏𝟐 = 𝟓 & − 𝟕 × 𝟏𝟐 = −𝟖𝟒 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒂𝒎𝒃𝒂𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔. 
 
 
Hay que tener cuidado al momento de resolver problemas, principalmente cuando el contexto 
del ejercicio limita la existencia de algunas soluciones 
 
Por ejemplo, si un problema implica tiempo o dinero, no es posible obtener valores negativos 
puesto que no tiene sentido en el contexto del ejercicio, por lo que si alguna solución es negativa 
no la podemos usar. 
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Resuelve los siguientes problemas mediante el uso de ecuaciones cuadráticas. 
 
 
 
1) Encontrar dos números su suma sea 30 y su producto 221 
 
 
 
2) La suma de dos números es 10 y la suma de sus cuadrados es 58. Determina esos números 
 
 
 
3) Dos números naturales se diferencian en dos unidades y la suma de sus cuadrados es 580. 
¿Cuáles son esos números? 
 
 
 
4) Para cercar un terreno rectangular de 750 m² se han utilizado 110 m de cerca. Calcula las 
dimensiones del sitio. 
 
 
 
5) Dentro de 30 años la edad de Andrea será la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace 10 
años. ¿Cuántos años tiene Andrea hoy? 
 
 
 
6) Encontrar un número tal que dos veces su cuadrado exceda al propio número en 45. 
 
 
 
7) El perímetro de un rectángulo es 320 cm. Calcular su área si su largo es el triple de su ancho 
 
 
 
8) La diferencia entre los lados de un rectángulo es 70 cm. Calcular esos lados sabiendo que su 
diagonal mide 130 cm. 
 
 
 
9) La suma de los dígitos de un número de dos cifras es 9. Si se multiplica este número por otro 
cuyos dígitos están invertidos, el producto es 2430. Encontrar el número. 
 
 
 
 
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EJERCICIOS DE REPASO: ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO 
 
 
1.- ¿Cuáles son las raíces (soluciones) de la ecuación 𝑥 (𝑥 – 3) = 10? 
 
A) 3, 10 
B) -3, 10 
C) 2, 10 
D) 2, 5 
E) -2, 5 
 
 
2.- ¿Cuáles son las soluciones (o raíces) de la ecuación 𝑥2 + 6𝑥 – 16 = 0? 
 
A) 4 y -4 
B) 8 y -2 
C) -4 y -4 
D) 1 y -16 
E) 2 y -8 
 
 
3.- ¿Qué valor debe tener k en la ecuación 3𝑥2 – 5𝑘𝑥 – 2 = 0, para que una de sus raíces sea 
-2? 
 
A)0 
B)1 
C) -1 
D)-20 
E) -4 
 
4.- Las raíces de la ecuación 0523 2 =−− xx son: 
 
A) -5 y 3 
 
B) 2
3
10
y
−
 
 
C) 3
10
2 y−
 
 
D) 3
5
1 y−
 
 
E) 3
5
1
−
y
 
 
 
5 
 
 
5) Las raíces de la ecuación 
x
x 2
28
62
=
+
 son: 
A) -4 y -7 
 
B) -4 y 7 
 
C) -7 y 4 
 
D) 4 y 7 
 
E) 2 y 11 
 
 
 
6) Las raíces de la ecuación cuadrática 0132 2 =−− xx 
 
A) 4 y 1 
B) 1 y -0,5 
C) -1 y 0,5 
D) 1 y 0,5 
E) -4 y 2 
 
 
Resuelve el siguiente problema 
 
La edad de un padre es el cuadrado de la de su hijo. Dentro de 24 años la edad del padre será el 
doble de la de su hijo, ¿cuántos años tiene ahora cada uno?