3- Desarrollos limitados

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Desarrollos Limitados
Los polinomios de Taylor nos proporciona una buena forma de comprender el 
comportamiento de una función cerca de un punto en especifico y, por lo 
tanto, son útiles para evaluar límites complicados.
También veremos que existen integrales impropias que a pesar de no poder 
integrarse, es posible saber si convergen o divergen por medio de desarrollo 
limitado.
 
La pequeña de LandauO
A menudo es útil hablar sobre velocidad a la que algunas funciones cambian 
conforme su argumento crece (o se reduce), sin preocuparse demasiado por la 
forma detallada con la cual esta función va cambiando. Esto es lo que nos 
permite hacer la notación de las conocidas: " pequeña", denotadas por:O
 
O •( )
Es uno de los símbolos de Landau, que se usa para expresar simbólicamente 
que una función "en última estancia, es más pequeña que" (es decir, a medida 
que se toma algún tipo de límite)
 
Definición 1 ( de Landau)O
 
Sean y funciones definidas, el intervalo y sea . Se dice que f g I ⊆ R a ∈ R
 es "despreciable" frente a cuando tiende a si y solo si:f x( ) g x( ) x a
= 0lim
x→a
f x
g x
( )
( )
Se denota:
 
f x = O g x , cuando x → a( ) [ ( )]
 
Informalmente, significa que crece mucho más lento que y f x = O g x( ) ( ( )) f g
es insignificante si las comparamos. Se lee:
 
 es pequeña (de Landau) de cuando tiende "f x( ) O g x( ) x a"
 
Si no se indica lo contrario se asumen que , es decir:a = 0
 
 
 
f x = O g x = 0( ) [ ( )] ⇔ lim
x→0
f x
g x
( )
( )
Nota: Decir que , cuando tiende a significa también que la f x = O g x( ) [ ( )] x a
gráfica de "es más parecida" a la gráfica que en un intervalo f "y = 0" g
pequeño alrededor de .a
 
Teorema 1: Propiedades de la pequeña de LandauO
 
(1) f x = O 1 ⇔ f x = 0( ) ( ) lim
x→0
( )
 
(2) O f x = f x ·O 1[ ( )] ( ) ( )
 
(3) O f x ·O g x = O f x · g x[ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )]
 
O x ·O x = O x( n) m n+m
 
x ·O x = O xn m n+m
 
Nota: De acuerdo a las siguientes propiedades, se tiene que:
O x -O x = O x( ) ( ) ( )
En general:
O x -O x = O xn n n
 
 
 
 
 
Teorema 2: Propiedades la pequeña de LandauO
 
(4) O f x = O f x[ [ ( )]]m [ ( )]m
 
 
 
O x = O x n
m
nm
(5) O f x +O g x = O f x + g x[ ( )] [ ( )] [ ( ) ( )]
 
(6) ∀ 𝛼 ≠ 0, 𝛼 ·O x = O xn n
 
∀ 𝛼 ≠ 0, 𝛼 · x = O xn+1 n
 
 ∀𝛼 ≠ 0, 𝛼 · x = O x , donde ∈> 0n+∈ n
 
Teorema 3: Propiedades de la pequeña de LandauO
 
(7) n ⩽ m ⇒ O x +O x = O xn m n
 
n ⩽ m ⇒ O 𝛼 x + 𝛼 x = O x1
n
2
m m
 
(8) Si n ⩽ m
 
𝛼 x + 𝛼 x + 𝛼 x + ⋯ + 𝛼 x +O x = a x +O xn n n+1 n+1 n+2 n+2 m m n n n n
 
𝛼 + 𝛼 x + ⋯ + 𝛼 x +O x = 𝛼 + 𝛼 x + ⋯ a x +O x0 1 m m n 0 1 n n n
(9) Si q ⩾ 0
 
O x · 𝛼 x + 𝛼 x + ⋯ + 𝛼 x = O xn m m m+1 m+1 m+q m+q n+m
Nota: Informalmente, las últimas tres propiedades de la o pequeña, dicen que cuando 
hay combinación de distintas 𝒪´𝑠 la que domina es la que tiene la potencia de 𝑥 más 
pequeña.
 
Desarrollos limitados
 
En esta sección, se ofrecerá una versión alternativa del Teorema de Taylor. 
Para funciones de una variable, se proporciona una formulación diferente del 
término de error utilizando la notación de la " pequeña de Landau".O
 
 
 
Resto de Young
Definición 2: Desarrollo
Se dice que una función definida en admite un desarrollo f D ⊆ R → R
limitado de orden alrededor de si y solo si existen tales n a ∈ D a , a , ⋯ a0 1 n
que:
 
f x = a + a x - a + a x - a + a x - a + ⋯ + a x - a +O x - a( ) 0 1( ) 2( )2 3( )3 n( )n [ ]n
Cuando .x → a
El desarrollo es único cuando existe.
 
Teorema 4: fórmula de Taylor con resto de Young
Sea definida en y sea , entonces cuando f ∈ C D( ) D ⊆ R R→ a ∈ D x a→
 
f x = f a + f′ a x - a + ⋯ + x - a ´+O x - a( ) ( ) ( )( )
f a
n!
n( )( )
( )n [( )]n]
La ecuación (1) es llamada Fórmula de Taylor con resto de Young, y también 
corresponde al desarrollo limitado de orden y centro de la función .n x = 1 f x( )
Es decir, en la definición 2: a =k
f a
k!
k( )( )
Para una función con desarrollo limitado centrado en y de orden , es f x( ) a n
posible que no tenga fórmula de Taylor de centro y orden . Por ejemplo, si a n
alguna de sus derivadas, es discontinua en , entonces no tiene f xk( )( ) a f x( )
desarrollo de Taylor.
 
 
 
 
 
Cálculo sobre los desarrollos limitados
En este apartado se estudiará cómo se deruva o se integra una fórmula de 
Taylor con resto de Young.
 
Teorema 5
Si tiene desarrollo limitado de orden y centro f x( ) n x = a
f x = a + a x - a + a x - a + ⋯ + a x - a +O x - a( ) 0 1( ) 2( )2 n( )n ( )n
 
 
(1)
Entonces:
a) El desarrollo límitado de la derivada corresponde a:
 
f′ x = a + 2a x - a + ⋯ + an x - a +O x - a( ) 1 2( ) n( )n-1 ( )n-1
 
b) El desarrollo limitado de la integral corresponde a:
 
f u du = a x - a + ⋯ + a +O x - a∫ ( ) 0( ) n x - a
n + 1
( )n+1
( )n+1
 
Sustitución en un desarrollo limitado
 
Teorema 6 
Si tiene desarrollo limitado de orden y centro f x( ) n x = 0
 
f x = a + a x + a x + ⋯ + a x +O x( ) 0 1 2 2 n n n
entonces:
 
f 𝛼 x - a = a + 𝛼 a x - a + ⋯ 𝛼 a x - a +O x - a( )s 0 1( )s n n( )ns ( )ns
es un desarrollo limitado de orden y de centro ."n · s" "x = a"
 
En general, si existe el límite: , entonces el desarrollo limitado de g x = 0lim
x→a
( )
 es: cuando .f g x[ ( )] a + ⋯ + a g x +O g x0 n[ ( )]n [ ( )]n] x a→
 
 
 
Cálculo de límites
 
Considere un límite de la forma , el cual presenta forma L = lim
x a→
f x
g x
( )
( )
indeterminada cuando , por ejemplo: .
0
0
x a→ lim
x 0→
-
-
1 + x3 1 + x4
1 + x5 1 + x6
 
 
3 4
5 6
Si se aplicara la regla de L'Hópital, se daría cuenta que no es posible resolverlo 
por ese medio. Ahora, si y admiten desarrollos limitados centrados f x( ) g x( )
en , de orden con coeficientes generales y respectivamente, entonces a n ak bk
el límite se puede calcular por medio de sus desarrollos limitados, por lo que el 
límite a calcular es:
 
L = lim
x a→
a + a x - a + ⋯ + a x - a +O x - a
b + b x - a + ⋯ + b x - a +O x - a
0 1( ) n( )
n ( )n
0 1( ) n( )
n ( )n
 
Fórmula
O x - a 0( )n ⏫⏪⏪x a→
 
Nota
Evitar que el límite quede expresado de la forma
 
=lim
x a→
O x - a
O x - a
( )n
( )n
lim
x a→
O 1
O 1
( )
( )
Ya que es una forma indeterminada en la cual no se puede determinar la 
0
0
convergencia.
 
Análisis de integrales impropias
 
Hay integrales impropias que se resuelven utilizando desarrollos limitados. Para 
ello considere uan función que admite un desarrollo limitado alrededor de f x( )
, es decir, se puede expresar de la forma: x = a
.f x = a + a x - a + ⋯ + a x - a +O x - a( ) 0 1( ) n( )n ( )n
 
Recuerde que si ignora el resto (en este caso de Young) entonces:
 
f x ∼ a + a x - a + ⋯ + a x - a( ) 0 1( ) n( )n
De esta manera, si continua, con asíntota vertical en f : a, b 0, +∞] ] → [ [
 entonces:x = a
 
 
 
f x dx ∼ a + a x - a + ⋯ + a x - a dx
b
a
∫ ( )
b
a
∫ 0 1( ) n( )n
esto es, que se comportan igual.