4to Trabajo A Sanchez secc13

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República Bolivariana de Venezuela 
Ministerio del Poder Popular para la Educación Superior 
Universidad Nacional Experimental Politécnica 
Antonio José de Sucre 
 
 
 
 
 
 
 
Método de Newton Raphson y Optimización 
 
 
 
 
 
 
 
Alumno: 
Angélica Sánchez 29.944.695 
Profesora: Francy Jiménez 
 Asignatura: Calculo I 
Sección: 13 
 
Método de Newton-Raphson. 
Es un algoritmo para encontrar aproximaciones de los ceros o raíces de una 
función real de variable real continúa en un intervalo cerrado y derivable en un 
intervalo abierto, también es usada para encontrar los máximos o mínimos de una 
función. Si f (a) y f (b) tienen signos distintos; según el teorema del valor 
intermedio existe un número real; a r b; así que f(r) = 0. R es una raíz de la 
función (f) que está entre a y b. Trazamos la recta tangente a la curva, Esto es 
equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que 
contiene al punto ( , f ( )) y cuya pendiente coincide con la derivada en el punto 
f’ ( ). La aproximación a la raíz, se logra de la intersección de la función lineal 
con el eje de abscisas. En lenguaje matemáticamente: 
Sea f: [a, b] → 
f’ ( ) = 
 
 
 
En la formula se puede observar que es una aproximación a para el 
cero (x) de la función. 
Si además se acepta que tiende a la raíz, se ha de cumplir que 
f ’ ( ) = 0, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo. 
Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puede 
interpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación que 
f (x) = 0 se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo: 
 Se escoge h (x) de manera que (r es la 
raíz buscada). Dado que es: 
 
Entonces: 
 
 
 
 
 
 
Como h (x) no tiene que ser única se encoge de la forma más sencilla: 
 
 
 
 
Por lo tanto, imponiendo los subíndices: 
 
 
 
 
Esta es la fórmula que se utilizara para la búsqueda de las raíces. 
Ejemplo: 
La ecuación tiene única raíz en el intervalo [-1,0]. Utiliza 
el método de NEWTON-RAPHSON para obtener esta raíz con cuatro decimales correctos 
 
1º iteración 
i) f (x) = - 0,2314374887 
f '(x) = 2,050652 
ii) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2º Iteración x1 = - 0,5871395592 
i) f (x) = 2,631751139 x 
f '(x) = 2,085002 
ii) 
 
 
 
 
 
 
Resumiendo en la tabla 
Iteración Error 
1 -0,7 -0,587139 0 
2 -0,587139 -0,588402 0,112860 
3 -0,588402 -0,588402 1,26229x 
4 -0,588402 0,588402 1,223269x 
 
 
 
Optimización 
Optimizar una función consiste en encontrar los valores máximos y mínimos de 
una función real de variable real, (esto significa que hay que encontrar los valores 
en el dominio de la función para los cuales se alcanza el máximo y mínimo en el 
rango). El proceso de optimización hace parte de una de las aplicaciones más 
importante de la derivada. Un problema de optimización puede ser representado 
de la siguiente forma: 
Dada una función → 
Buscar: un elemento 
ó 
Los pasos para resolver este tipo de ejercicios son: 
 De las condiciones del problema extraer o plantear la función a maximizar o 
minimizar. 
 En el caso de que en el problema intervengan más de una variable, 
plantear ecuaciones que relacionen las distintas variables del sistema. 
 Despejar una variable de la ecuación y sustituirla en la función de modo que 
nos quede una función con una sola variable. 
 Encontrar los extremos locales (esto significa que debemos igualar la 
función a cero y resolver la ecuación resultante). 
 Realizar la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido. 
Ejemplo: 
De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que 
tome área máxima. 
 
La función que tenemos que optimizar o más específicamente maximizar es la 
función que está definida por el área del triángulo. Ya que el triángulo es isósceles, 
su base es el lado 2y y su altura la podemos calcular usando el teorema de 
Pitágoras, así obtenemos 
 
 
 
 
 
 
 √ 
Con la condición de que el perímetro del triángulo mide 12m podemos relacionar 
las variables: 
 
Este resultado lo podemos sustituir en la función: 
 √ √ √ 
Para hallar los extremos locales, derivamos, igualamos a cero y calculamos las 
raíces. 
 
 
√ 
 → 
 
√ 
 
Finalmente con el criterio de la segunda derivada podemos comprobar nuestro 
resultado. Recordemos que si la segunda derivada tiene signo negativo, entonces 
obtendremos un máximo local y si la segunda derivada tiene signo positivo 
tendremos un mínimo local. Así realizamos la 2ª derivada y evaluamos en 2, ya 
que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea 
cero. 
 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
 
 
 √ 
 
 √ 
 
 
Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo. La base (2y) mide 4m y 
los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triángulo de área máxima 
sería un triángulo equilátero.