UNIDAD_2_LIBRO_DISTRIBUCION_DE_PROBABILIDAD_PARA_VARIABLES_ALEARTORIAS

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Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 72 
 
 
DISTRIBUCIÓN DE 
PROBABILIDAD 
PARA VARIABLES 
ALEATORIAS 
 
 
 
 
 
 
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DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA VARIABLES ALEATORIAS 
Una distribución de probabilidad la podemos concebir como una distribución teórica de frecuencia, es decir, es una distribución que 
describe como se espera que varíen los resultados. Dado que esta clase de distribuciones se ocupan de las expectativas son modelos de 
gran utilidad para hacer inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. 
Variable Aleatoria.- Es aquella que asume diferentes valores a consecuencia de los resultados de un experimento aleatorio. 
Estas variables pueden ser discretas o continuas. Si se permite que una variable aleatoria adopte solo un número limitado de valores, se 
llama variable aleatoria discreta, por el contrario, si se le permite asumir cualquier valor dentro de determinados límites, recibe el nombre de 
variable aleatoria continua. 
⟹Cualquier regla que asocia un número con el resultado de un experimento un número correspondiente denominado variable aleatorio. 
VA.- Con frecuencia es útil resumir con un numero el resultado de un experimento aleatorio. 
La variable que asocia un número con el resultado de un experimento aleatorio se conoce como variable aleatorio. 
Otra forma de definir V.A. es decir que: es aquella que toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. 
Matemáticamente, una V.A. es una función que asigna un número real a cada resultado en el espacio muestral de un experimento aleatorio. 
Las V.A. se denotan con una letra mayúscula, tal como una 𝑿, y con una letra minúscula, como 𝒙, el valor posible de 𝑿. 
Una V.A. 𝑿 es una función definida en el espacio muestral 𝑺 = Ω, tal que a cada elemento 𝒘 ∈ Ω ó 𝒔 ∈ 𝑺 le asocia el número real 𝒙 = 𝑿(𝒘). El 
dominio de la V.A. 𝑿 es el espacio muestral Ω y el rango es el subconjunto de los números reales. 
⟹Un Experimento Aleatorio.- es aquel que proporciona diferentes resultados cuando se repita siempre de la misma manera. 
⟹El conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio recibir el nombre de espacio muestral. 
Espacio Muestral.- El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento estadístico denotado por: 
“𝑺” ó “Ω” 
Variable.- Se denomina variable a la entidad que puede tomar un valor, cualesquiera durante la duración de un proceso dado. Si la variable 
toma un solo valor durante el proceso se llama constante. 
Valor.- Es el número que la variable aleatoria asocia con un resultado particular. 
Distribución.- Es una lista que contiene el valor de la variable aleatoria y sus probabilidades correspondientes. 
⟹La variable aleatorio es una función que atribuye a cada evento elemental un número fijo por lo que su nombre correcto es el de función 
variable aleatoria. 
Variable Aleatoria.- Es una función que asocia un número real a cada elemento del espacio muestral. Es decir son aquellas que pueden diferir 
de una respuesta a otra. 
Una V.A. se puede calificar en: 
a) Variable Aleatoria Discreta.- Una variable discreta proporciona datos que son llamados datos cuantitativos discretos y son respuestas 
numéricas que resultan de un proceso de CONTEO. 
Si la variable aleatoria solo puede tomar un valor de un conjunto limitado de valores, entonces es una V.A.D. 
Una V.A. es discreta si se puede CONTAR los valores que ella toma. 
Se llama VAD cuando puede asumir solo ciertos valores, con frecuencia números enteros y resulta principalmente del CONTEO (su rango es 
un conjunto infinito o infinito numerables de valores) Por ejemplo: 
 La cantidad de alumnos regulares en un grupo universitarios. 
 El número de águilas en cinco lanzamientos de una moneda. 
 El número de clientes que ingresa a una casa comercial 
 Numero de circuitos en una computadora 
 El número de vehículos vendidos en un día, en un lote de autos. 
b) Variable Aleatoria Continua.- Es aquella que se encuentra dentro de un intervalo comprendido entre dos valores cualesquiera; esto puede 
asumir infinito número de valores y estos se puede MEDIR. 
En el otro extremo, si se puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo dado. 
Una VA es continua si se puede medir los valores que ella toma. 
Se llama VAC cuando su rango en un intervalo dentro de los números reales, es un conjunto infinito no numerable de valores reales 
(principalmente resulta de la medición) Por ejemplo: 
 La estatura de un alumno de un grupo universitarios. 
 El peso en gramos de una moneda. 
 La edad de un hijo de familia. 
 Las dimensiones de un vehículo. 
 La estatura de los clientes de una tienda 
DISTRIBUCIONES 
Distribución de Probabilidad.- Es una distribución teórica de frecuencias que describe como se espera que varíen los resultados de un 
experimento. Existen diferentes tipos de modelos que permiten describir el comportamiento de fenómenos estadísticos que permiten hacer 
inferencias y tomar decisiones en condiciones de incertidumbre. Se pueden clasificar en: 
 
 
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Distribuciones discretas.- Son aquellas donde las variables asumen un número limitado de valores, por ejemplo el número de año de estudio. 
𝑫𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂𝒔:{
𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 
𝑯𝒊𝒑𝒆𝒓𝒈𝒆𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂
𝑴𝒖𝒍𝒕𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 
𝑷𝒐𝒊𝒔𝒔𝒐𝒏 
 
Distribuciones continuas.- Son aquellas donde las variables en estudio pueden asumir cualquier valor dentro de determinados límites; por 
ejemplo, la estatura de un estudiante. 
𝑪𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂𝒔: {
𝑼𝒏𝒊𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 
𝑬𝒙𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂𝒍 
𝑵𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 
 
 
 
DISTRIBUCIONES DISCRETAS 
Variable aleatoria.- Se llama VA a toda ley (función) que asocia a cada elemento del espacio muestral un número real. 
Según sean los recorridos de las variables, estas se pueden clasificar en Discretas y Continuas. 
VAD ⟹ Solo puede tomar unos ciertos valores enteros. 
VAC ⟹ Puede tomar, al menos teóricamente, todos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real. 
Función de Probabilidad.- Se llama función de probabilidad de una VAD “𝑿” a la aplicación que asocia a cada valor (𝒙𝒊) de la 
variable su probabilidad 𝒑𝒊. 
Muy importante: En toda función de probabilidad se verifica: 
𝑷₁ + 𝑷₂ + 𝑷₃ +⋯……… . . 𝑷𝒏 = 𝟏 
Ya que se trata de la probabilidad del suceso cierto. 
Función de probabilidad de Variable Discreta: Si “𝑿” es una VAD, se llama función de probabilidad de “𝑿” a la función 𝒇 (𝒙𝒊) definida por: 
𝒇(𝒙𝒊) = 𝑷 [𝑿 = 𝒙𝒊], 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒙𝒊, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒕𝒐𝒅𝒐 𝒙𝒊 𝒒𝒖𝒆 𝒑𝒆𝒓𝒕𝒆𝒏𝒆𝒄𝒆 𝒂𝒍 𝒓𝒂𝒏𝒈𝒐: 
𝒙𝟏, 𝒙₂,…………𝒙𝒏 𝒅𝒆 𝑿; 𝒇(𝒙𝒊) 𝒅𝒆𝒃𝒆 𝒔𝒂𝒕𝒊𝒔𝒇𝒂𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒅𝒊𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔: 
① 𝒇(𝒙𝒊) ≥ 𝟎 ó 𝑷 [𝑿 = 𝒙] ≥ 𝟎 ; ② ∑ 𝒇(𝒙𝒊) = 𝟏 ó ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙) = 𝟏 
Si 𝑿 es una VAD cuya función de probabilidad es 𝒇(𝒙). Se llama función de distribución acumulada de prob. fda, a la función 𝑭(𝒙) definida por: 
𝑭 (𝒙) = 𝑷 [𝑿 ≤ 𝒙] = ∑ 𝑷 [𝑿 = 𝒙] 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒙 < ∞ 
Función de Distribución.- Sea 𝑿 una VAD cuyos valores suponemos ordenadas de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la 
variable 𝑿, y escribiremos 𝑭(𝒙), a la función: 
𝑭 (𝒙) = 𝒑 (𝑿 ≤ 𝒙) 
Aclaraciones: 
1) 𝑿 es un símbolo que representa a la VA en este caso discreta. 
2) 𝒙 es un número real cualquiera. 
3) 𝒑 (𝑿 ≤ 𝒙)se lee: “probabilidad de que una VA (𝒙) tome un valor menor o igual a (𝒙)” 
CONCLUSION: La función de probabilidad asocia a cada valor de la variable la probabilidad acumulada hasta ese valor. 
PROPIEDADES DE 𝑭(𝒙) 
1) 𝑭(𝒙) 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃.⟹ 𝟎 ≤ 𝑭(𝒙) ≤ 𝟏 
2) 𝑭(𝒙) = 𝒄𝒕𝒆.𝑬𝒏𝒕𝒓𝒆 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒕𝒊𝒗𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆. 𝑭𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒄𝒂𝒍𝒐𝒏𝒂𝒅𝒂. 
3) 𝑭(𝒙) = 𝟎 ∀ 𝒙 < 𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆. 
4) 𝑭(𝒙) = 𝟏 ∀ 𝒙 > 𝒂𝒍 𝒎𝒂𝒚𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 
5) 𝑭(𝒙) 𝒆𝒔 𝒄𝒓𝒆𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 
Función de Probabilidad de Variable Continua.- Si 𝑿 es una VAC, se llama función de densidad de probabilidad (fdp) de 𝑿 a la función 𝒇(𝒙) 
definida para todo 𝒙 que pertenece a los reales y que satisface las siguientes condiciones: 
1) 𝒇 (𝒙𝒊) ≥ 𝟎 → 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒆𝒔 + 
2) ∫ 𝒇(𝒙)
+∞
−∞
 𝒅𝒙 = 𝟏 → á𝒓𝒆𝒂 𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒆𝒔 𝟏 
3) 𝑷 [𝑨] = 𝑷 [𝒙 ∈ 𝑨] = ∫ 𝒇(𝒙)𝑨 𝒅𝒙, 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒖𝒂𝒍𝒒𝒖𝒊𝒆𝒓 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒗𝒂𝒍𝒐 𝑨 ⊂ ℝ 
Probabilidad equivalente a Área, Es decir: 
𝑨 = [𝒂, 𝒃] → 𝑷 [𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃] = á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒈𝒊ó𝒏 𝒍𝒊𝒎𝒊𝒕𝒂𝒅𝒂 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒆𝒍 𝒆𝒋𝒆 𝒙 𝒚 𝒍𝒂𝒔 𝒓𝒆𝒄𝒕𝒂𝒔 𝒙 = 𝒂, 𝒙 = 𝒃 
⟹ Si 𝑿 es una VAC cuya función de densidad de probabilidad de 𝑿 es 𝒇(𝒙). Se llama función de distribución acumulada 𝑭(𝒙) a la función 
definida por: 
𝑭(𝒙) = 𝑷 [𝑿 ≤ 𝒙] = ∫ 𝒇 (𝒙)
𝒙
−∞
 𝒅𝒕; 𝒑𝒂𝒓𝒂 − ∞ < 𝒙 ∞ 
𝑮𝒆𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒍𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒕𝒓𝒊𝒃𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒂𝒄𝒖𝒎𝒖𝒍𝒂𝒅𝒂 𝑭(𝒙) 𝒓𝒆𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒆𝒍 á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒆𝒃𝒂𝒋𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒄𝒖𝒓𝒗𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒊𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆𝒔𝒅𝒆 − ∞. 
 
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Distribución de Probabilidad de Variable Continua 
Distribución de Probabilidad.- Las distribuciones de probabilidad de variable continua son distribuciones teóricas e idealizadas de las 
distribuciones estadísticas de variables continuas. 
 
Las distribuciones de probabilidad de probabilidad continua se definen mediante una función 𝒚 = 𝒇(𝒙) denominada función de probabilidad 
o función de densidad. 
La función de densidad de VA deben de cumplir una serie de propiedades: 
1) Deben ser positivas 𝒇 (𝒙) > 𝟎 para cualquier valor de la variable aleatorio en su campo de definición. 
2) Debe ser una función normalizada, es decir, el área encerrada por la curva en su campo de existencia y el eje de abscisas debe ser 
de la unidad. 
Debido a estas propiedades, la probabilidad de que la VA tome un valor comprendido en cualquier intervalo [𝒂, 𝒃] interior a su campo de 
existencia, es el área bajo la curva de dicho intervalo. 
 
𝑳𝒂 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒔𝒖𝒄𝒆𝒔𝒐 𝒑𝒖𝒏𝒕𝒖𝒂𝒍 𝒆𝒔 𝒄𝒆𝒓𝒐: 𝑷 [𝒙 = 𝒂] = 𝟎 
𝑪𝒐𝒎𝒐 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒆𝒄𝒖𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂: 𝑷 (𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = 𝑷 (𝒂 < 𝒙 < 𝒃) 
Distribución de Probabilidad.- si 𝑿 es una VA se llama Distribución de probabilidades a los pares ordenados de la forma: 
(𝒙𝒊, 𝑷 [𝑿 = 𝒙]) 𝑷 [𝑿 = 𝒙] = 𝑷 [𝑿] 
Media o Esperanza Matemática.- La esperanza matemática es un parámetro que describe la tendencia central de una VA 𝑿 y nos indica donde 
se ubica el centro, se denota por: 
𝑬 (𝑿), 𝝁 ⟹ 𝑻𝒂𝒎𝒃𝒊é𝒏 𝒔𝒆 𝒍𝒍𝒂𝒎𝒂 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 
𝒂) 𝑬(𝑿) =∑𝒙𝒊 ∗ 𝒇(𝒙𝒊) ; ó 𝝁 =∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊⟹ 𝝁𝒙 = 𝑬(𝒙) =∑𝒙 ∗ 𝑷(𝒙) → 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 
𝒏
𝒊=𝟏
𝑵
𝒊=𝟏
 
Cuando 𝑿 es una variable discreta, 𝒇(𝒙𝒊) es una función de probabilidad. 
𝒃) 𝑬(𝑿) = ∫ 𝒙 ∗ (𝒇(𝒙))𝒅𝒙
+∞
−∞
→
𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂, 𝒇(𝒙) 𝒆𝒔 𝒔𝒖 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
𝒅𝒆 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅. 
 
Propiedades de esperanza matemática: 
1) 𝑬 (𝒂) = 𝒂 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆. 
2) 𝑬 (𝑿 + 𝒂) = 𝑬 (𝑿) + 𝒂 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒎á𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 (𝒂) 
3) 𝑬 (𝒂 𝑿) = 𝒂𝑬 (𝒙) 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 “𝒂” 𝒑𝒐𝒓 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 
Varianza.- La varianza describe al grado de dispersión (ó variación) en una distribución, se representa por el símbolo. 
𝑽𝒂𝒓 (𝑿), 𝑽 (𝑿), 𝝈𝟐 → 𝒔𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒐: 
𝝈𝟐 = ∑ [(𝑿 – 𝝁)𝟐 ∗ 𝒇 (𝒙)] = ∑ (𝑿𝟐 ∗ 𝒇 (𝒙) – 𝝁𝟐) → 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 𝒆𝒔 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂. 
Otra forma: 
𝝈𝟐 = ∑𝒙𝒊
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
∗ 𝑷𝒊 − 𝝁
𝟐 =? 
 
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𝝈𝟐 = ∫ [(𝑿 – 𝝁)𝟐
+∞
−∞
∗ 𝒇 (𝒙)] = ∫ (𝑿𝟐 ∗ 𝒇 (𝒙)𝒅𝒙 – 𝝁𝟐)
+∞
−∞
→ 𝑪𝒖𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑿 𝒆𝒔 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂, 𝒔𝒊𝒆𝒎𝒑𝒓𝒆 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒈𝒓𝒂𝒍 𝒔𝒆𝒂𝒏 𝒖𝒏 #𝑹𝒆𝒂𝒍. 
Desviación estándar típica: 
 𝝈 = √𝝈𝟐 ó 𝝈 = √∑ 𝒙𝒊𝟐𝒏𝒊=𝟏 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁𝟐 
Valor Esperado.- El valor esperado de una VA es el equivalente a la media o promedio aritmético, que se utiliza para identificar el valor 
central de la VA. 
𝝁𝒙 = 𝑬 (𝒙) = ∑ 𝒙 ∗ 𝑷(𝒙) → 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒅𝒊𝒔𝒄𝒓𝒆𝒕𝒂. 
𝝁𝒙 = 𝑬 (𝒙) = ∫ 𝒙 ∗ 𝒇(𝒙)
+∞
−∞
𝒅𝒙 → 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒃𝒍𝒆 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒊𝒏𝒖𝒂. 
Es un promedio ponderado de los resultados que se esperan en el futuro. 
Funciones: 
Función de Probabilidad: 
Matemáticamente, es la función 𝑷 (𝑿 = 𝒙) que va desde el 
conjunto posible de los valores de la variable discreta 𝑿 al 
intervalo [𝟎, 𝟏] 
Propiedades: 
1) 𝑷 (𝑿 = 𝒙) ≥ 𝟎 
2) ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙) = 𝟏 
3) 𝑷 (𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙)𝒃𝒂 
4) 𝑷 (𝑿 ≤ 𝒂) = ∑ ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙)𝒂𝟎 
 
Función de densidad de Probabilidad: 
Matemáticamente, es aquella función de una VAC 𝑿 que cumple 
con las siguientes condiciones 
Propiedades: 
1) …………………………………… 
2) ∫ 𝒇(𝒙) ∗ 𝒅𝒙
+∞
−∞
= 𝟏 
3) 𝑷 (𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∑ 𝒇(𝒙) ∗ 𝒅𝒙
𝒃
𝒂 
4) …………………… . 
 
OTROS MODOS DE FORMULAS EN DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES: 
a) 𝟎 ≤ 𝑷 (𝒙𝒊) ≤ 𝟏 ∀ 𝒙𝒊 
La probabilidad para todo valor que asume la VA Xi será mayor o igual a cero pero menor que uno. 
b) La suma de todas las probabilidades asociadas a todos los valores que toma la variable 𝑿, es igual a la unidad. 
∑𝑷(𝒙𝒊) = 𝟏 ↔ ∫ 𝑷(𝒙𝒊)𝒅𝒙 = 𝟏
+∞
−∞
𝒏
𝟏
 
EJEMPLO#213 Un dado trucado tiene la siguiente función de probabilidad: 
𝑿𝒊 1 2 3 4 5 6 
𝑷𝒊 0,1 0,15 0,15 0,15 0,15 0,30 
Calcular: 
a) Parámetros de la distribución. 
b) Representar gráficamente la función de probabilidad y la de distribución 
c) 𝑷 (𝟑 ≤ 𝒙 ≤ 𝟓) 
a) Parámetros de distribución: 
𝑿𝒊 𝑷𝒊 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 
1 0,1 0,10 0,1 
2 0,15 0,30 0,60 
3 0,15 0,45 1,35 
4 0,15 0,60 2,40 
5 0,15 0,75 3,75 
6 0,30 1,80 10,80 
 ∑𝑷𝒊 = 𝟏 ∑ 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟒 ∑ 𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟏𝟗 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂: 𝝁 = ∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊 
𝒏
𝒊=𝟏
 = 𝟒 ; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂: 𝝈𝟐 = ∑𝒙𝒊
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
∗ 𝑷𝒊 − 𝝁
𝟐 = 𝟏𝟗 − 𝟒𝟐 = 𝟑 
Desviación Típica: 
𝝈 = √∑𝒙𝒊
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
∗ 𝑷𝒊 − 𝝁
𝟐 = √𝟏𝟗 − 𝟒𝟐 = √𝟑 = 𝟏,𝟕𝟑𝟐𝟎 
b)Función de probabilidad (𝑷(𝒙) ) y función de distribución (𝑭(𝒙) ). 
𝑿𝒊 𝑷𝒊 𝑭(𝒙) = 𝑷 (𝒙 ≤ 𝒙𝒊) 
1 0,1 0,1 
2 0,15 0,25 
3 0,15 0,40 
4 0,15 0,55 
5 0,15 0,70 
6 0,30 1,00 
 
 
 
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𝒄) 𝑷 (𝟑 ≤ 𝑿 ≤ 𝟓) = 𝑭 (𝟓) – 𝑭 (𝟐) 
= 𝑷 (𝒙 ≤ 𝟓) – 𝑷 (𝒙 ≤ 𝟐) 
= 𝟎, 𝟕𝟎 – 𝟎, 𝟐𝟓 
= 𝟎, 𝟒𝟓 
= 𝟒𝟓%EJEMPLO#214 El número de motos de cuatro ruedas solicitadas en renta en una caseta de alquiler de motos en las orillas del rio pirai 
durante un periodo de 50 días se identifica en la tabla siguiente: 
Demanda (X) Número de días a) Construir la función de probabilidad 
b) Determinar el valor esperado 
c) Graficar la función de probabilidad 
d) Determinar: 𝑷(𝒙 = 𝟓); 𝑷(𝒙 ≥ 𝟑); 𝑷(𝒙 < 𝟔); 𝑷(𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟖) 
 𝑷(𝟒 < 𝒙 < 𝟔) 
 
3 6 
4 10 
5 15 
6 9 
7 6 
8 4 
SOLUCIÓN: 
Demanda 
(x) 
Probabilidad 
P(x) 
Valor Esperado 
[𝑿 ∗ 𝑷(𝒙)] 
𝑭(𝒙) c)Graficando la función de probabilidad: 
 
3 0,12 0,36 0,12 
4 0,2 0,80 0,32 
5 0,3 1,50 0,62 
6 0,18 1,08 0,80 
7 0,12 0,84 0,92 
8 0,08 0,64 1 
 1 E(x) = 5,22 
b)El valor esperado es 5,22 motos. 
d)Determinado los siguientes probabilidades: 
𝑷(𝒙 = 𝟓) = 𝑭(𝟓) = 𝟎, 𝟔𝟐 = 𝟔𝟐% → 𝑺𝒖 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 (𝑽𝑬) = 𝑽𝑬 = 𝟏,𝟓 
𝑷(𝒙 ≥ 𝟑) = 𝟏 − 𝑷(𝒙 < 𝟑) = 𝟏 − 𝑭(𝟐) = 𝟏 − 𝟎 = 𝟏 = 𝟏𝟎𝟎% → 𝑺𝒖 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 (𝑽𝑬) = 𝑽𝑬 = 𝟓,𝟐𝟐 
𝑷(𝒙 < 𝟔) = 𝑭(𝟔) = 𝟎, 𝟏𝟐 + 𝟎, 𝟐𝟎 + 𝟎, 𝟑𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟐 = 𝟔𝟐% → 𝑺𝒖 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒐 (𝑽𝑬) = 𝑽𝑬 = 𝟐, 𝟔𝟔 
𝑷(𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟖) = 𝑷(𝒙 < 𝟖) − 𝑷(𝒙 < 𝟓) = 𝑭(𝟕) − 𝑭(𝟒) = 𝟎, 𝟗𝟐 − 𝟎, 𝟑𝟐 = 𝟔𝟎% → 𝑷(𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟖) = 𝟎, 𝟑𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟖 + 𝟎, 𝟏𝟐 = 𝟔𝟎% → 𝑽𝑬 = 𝟑, 𝟒𝟐 
𝑷(𝟒 < 𝒙 < 𝟔) = 𝟔𝟐% → 𝑽𝑬 = 𝟏, 𝟓𝟎 (𝑨𝑪𝑼𝑴𝑼𝑳𝑨𝑫𝑶) 
EJEMPLO#215 Aplicaciones a la toma de decisiones: Una florista estima su venta diaria de docenas de rosas de la forma siguiente: 
VENTA ESTIMADA 
DIARIA EN DOCENAS 
PROBABILIDAD DE LA 
VENTA ESTIMADA 
La florista debe ordenar las rosas con un día de anticipación. Las rosas 
que no se venden en un día se pierden. Si el costo de las rosas es de 10 
Bs por docena y su precio de venta es de 30 Bs por docena. ¿Cuántas 
docenas debe ordenar la florista para minimizar su perdida diaria? 
 
12 0,50 
13 0,40 
14 0,10 
SOLUCIÓN: 
𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 = 𝟏𝟎𝑩𝒔 𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝑽𝒆𝒏𝒕𝒂 = 𝑷𝑽 = 𝟑𝟎𝑩𝒔 𝑼𝑻 = 𝑷𝑽 − 𝑪 = 𝟑𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟐𝟎𝑩𝒔 𝑷𝑽 = 𝑼𝑻 + 𝑪 ↔ 𝟑𝟎 = 𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 ↔ 𝟑𝟎 = 𝟑𝟎 
Posibilidad de 
vender 
Posibles opciones de tener rosas C⟹Sobran=10; UT⟹Faltan=20 
12 13 14 A11 = 0 A12 = 1(10) A13 = 2(10) 
A21 = 1(20) A22 = 0 A23 = 1(10) 
A31 = 2(20) A32 = 1(20) A33 = 0 
 
12 0 10 20 
13 20 0 10 
14 40 20 0 
Tabla de perdidas condicionales: PC=perdida condicional; PE=perdida esperada: Cuadro de Pérdidas Esperadas: 
POSIBLES 
VENTAS 
PROBABILIDAD 
DE CADA VENTA 
12 13 14 
Datos auxiliares: 
20(0,40)=8 10(0,50)=5 20(0,50)=10 
40(0,10)=4 20(0,10)=2 10(0,40)=4 
PC PE PC PE PC PE 
12 0,5 0 0 10 5 20 10 
13 0,40 20 8 0 0 10 4 
14 0,10 40 4 20 2 0 0 
 1 12 7 14 
Debemos vender/comprar diariamente 13 docenas de rosas, debido este ocasionará la menor perdida esperada en el futuro: 
 𝑷𝑬 = 𝟕 
 
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EJEMPLO#216 Una empresa vende equipos y accesorios de telecomunicaciones MOTOROLA, la demanda mensual de estos accesorios se 
distribuye de la siguiente manera: 
X 10 12 14 18 
 P(x) 0,4 0,2 0,35 0,05 
Si cada accesorio cuesta 50$us y se vende a un 40% más por cuestiones por impuesto, determine cuántos de estos accesorios deberán tener 
un stock mensualmente para minimizar las perdidas esperadas. 
SOLUCIÓN: 
Costo = 50$us/ud 
Precio = 50 + 50(0,40) = 704$us/ud 
Por sobrar = costo = 50$us 
Por faltar = precio – costo = 70 – 50 = 20$us 
Datos auxiliares: 
No Falta ni sobra A11 = 0 Sobran 2: A12 = 2(50) = 100 
Faltan 2: A21 = 2(20) = 40 No Sobra ni falta: A22 = 0 
Faltan 4: A31 = 4(20) = 80 Faltan 2: A32 = 2(20) = 40 
Faltan 8: A41 = 8(20) = 160 Faltan 6: A42 = 6(20) = 120 
 
Sobran 4: A13 = 4(50) = 200 Sobran 8: A14 = 8(50) = 400 
Sobran 2: A23 = 2(50) = 100 Sobran 6: A24 = 6(50) = 300 
No sobra ni falta A33 = 0 Sobran 4: A34 = 4(50) = 200 
Faltan 4: A43 = 4(20) = 80 No Sobra ni falta: A44 = 0 
 
⟹ Para encontrar las pérdidas esperadas, se realiza la operación: ∑𝒙 . 𝑷(𝒙) 
E (10) = 0,40(0) + 0,2(40) + 0,35(80) + 0,05(160) = 44 
E (12) = 0,40(100) + 0,2(0) + 0,35(40) + 0,05(120) = 60 
E (14) = 0,40(200) + 0,2(100) + 0,35(0) + 0,05(80) = 104 
E (18) = 0,40(400) + 0,2(300) + 0,35(200) + 0,35(0) = 290 
Se toma la decisión de tener 10 accesorios en stock mensualmente debido a que este valor ocasionará la menor perdida esperada en el futuro. 
EJEMPLO#217 Selección de empleados 𝑷 (𝑿 = 𝒙) =? 
Dos empleados se seleccionan al azar (con reemplazo) de una lista de la cual 70% de los empleados son hombres. 
SOLUCIÓN: 
El # 𝑿 de hombres en la muestra es un VA 
Los resultados del experimento son: (h, h); (h, m); (m, h); (m, m) 
“𝑿” es una variable aleatoria. 
X = 2 ⟹ Si se presenta el resultado (h, h) 
X = 1 ⟹ Si ocurre cualquiera de los resultados (h, m) ó (m, h) 
X = 0 ⟹ Si el resultado es (m, m) 
 
Distribución de “𝑿” 
𝑷 (𝑿 = 𝟐) = 𝑷 ((𝒉, 𝒉) 𝒔𝒆𝒂 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐)) = 𝟎, 𝟒𝟗 
𝑷 (𝑿 = 𝟏) = 𝑷 ((𝒉,𝒎) ó 𝑷 (𝒎,𝒉) 𝒔𝒆𝒂 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐)) = 𝟎, 𝟐𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟏 
= 𝟎, 𝟒𝟐 
𝑷 (𝑿 = 𝟎) = 𝑷 ((𝒎,𝒎) 𝒔𝒆𝒂 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒅𝒐)) = 𝟎, 𝟎𝟗 
𝑺𝒐𝒏 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒐𝒓𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒂 𝟗, 𝟒𝟐 𝒚 𝟒𝟗; 𝟗%,𝟒𝟐% 𝒚 𝟒𝟗% 
 
 
Distribución de “𝑿” Selección de Empleados 𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝑿
𝟎
𝟏
𝟐
 
 𝑫𝒊𝒔𝒕.𝑫𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃.𝑫𝒆 𝑿.
𝟎, 𝟎𝟗
𝟎, 𝟒𝟐
𝟎, 𝟒𝟗
− − − − −− − − −
𝟏𝟎𝟎%
 
RESULTADO 
MUESTRAL 
VALOR DE “𝑿” CUANTOS 
HOMBRES SE ESCOGEN 
DISTRIBUCION DE 
PROBABILIDAD DE 𝑿 
(h, h) 2 (0,70) (0,70) = 0,49 
(h, m) 1 (0,70) (0,30) = 0,21 
(m, h) 1 (0,30) (0,70) = 0,21 
(m, m) 0 (0,30) (0,30) = 0,09 
 
 
 P(x) 10 12 14 18 
⟹ }
𝑯𝒂𝒃𝒍𝒂𝒓𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒊𝒂𝒍 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒓𝒆𝒇𝒆𝒓𝒊𝒓𝒏𝒐𝒔 𝒂 𝒄𝒅𝒂 𝒄𝒆𝒍𝒅𝒂,
𝒏𝒐𝒔 𝒑𝒓𝒆𝒈𝒖𝒏𝒕𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒔𝒊 𝒔𝒐𝒃𝒓𝒂𝒏 ó 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂𝒏, 𝒚 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝒔.
𝒚 𝒕𝒆𝒏𝒆𝒎𝒐𝒔 𝒆𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒅𝒓𝒐.
 
 
10 0,40 0 100 200 400 
12 0,20 40 0 100 300 
14 0,35 80 40 0 200 
18 0,05 160 120 80 0 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 79 
 
EJEMPLO#218 Encontrar la distribución del número de errores: El experimento es auditar tres cuentas en un archivo de cuentas por pagar. 
Sea 𝑬𝒊 el resultado de que la cuenta 𝒊 − é𝒔𝒊𝒎𝒂 auditada este errada y 𝑶𝒊 denote el resultado de que no hay error, 𝒊 = 𝟏, 𝟐 𝒚 𝟑 
Sea 𝑿 una variable aleatoria (una variable de conteo) que nos da el número de cuentas equivocadas encontradas en el auditaje. Puesto que 
hay tres cuentas que debe auditarse 𝑿 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, ó 𝟑. ¿Cuál es la distribución de probabilidad de 𝑿? 
Supongamos por información previa que el 10% de las cuentas en el archivo contiene errores. 
𝑷 (𝑬𝒊) = 𝟎, 𝟏𝟎 → 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒆𝒓𝒓𝒂𝒅𝒂 
𝑷 (𝑬𝒊) = 𝟎, 𝟗𝟎 → 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒏𝒐 𝒉𝒂𝒚 𝒆𝒓𝒓𝒐𝒓 
Construcción de la Distribución de Probabilidad de 𝑿: errores Auditados. 
(1) 
ASIGANCION DE LA 
PROBABILIDAD 𝑷(𝑺) 
(2) 
RESULTADO 
MUESTRAL 𝑺 
(3) 
VALORES DE 
𝑿: 𝒙 
(4) 
𝑷 (𝑿 = 𝒙) 
(0,1) (0,1) (0,1) = 0,001 (E1, E2,E3) 3 0,001 
(0,1) (0,1) (0,9) = 0,009 (E1, E2, O3) 
2 
 
0,027 (0,1) (0,9) (0,1) = 0,009 (E1, O2, E3) 
(0,9) (0,1) (0,1) = 0,009 (O1, E2, E3) 
(0,1) (0,9) (0,9) = 0,081 (E1, O2, O3) 
1 
 
0,243 (0,9) (0,1) (0,9) = 0,081 (O1, E2, O3) 
(0,9) (0,9) (0,1) = 0,081 (O1, O2, E3) 
(0,9) (0,9) (0,9) = 0,729 (O1, O2, O3) 0 0,729 
1 1 
𝑷 (𝑶𝟏,𝑶𝟐, 𝒚 𝑬𝟑 𝒐𝒄𝒖𝒓𝒓𝒂) = 𝑷 (𝑶𝟏) ∗ 𝑷 (𝑶𝟐) ∗ 𝑷 (𝑬𝟑) = (𝟎, 𝟗) (𝟎, 𝟗) (𝟎, 𝟏) = 𝟎, 𝟎𝟖𝟏 
𝑷 (𝑿 = 𝟎) + 𝑷 (𝑿 = 𝟏) + 𝑷 (𝑿 = 𝟐) + 𝑷 (𝑿 = 𝟑) = 𝟏 
EJEMPLO#219 Predicción de Ventas: Sea 𝑺 las ventas de la semana próxima de QUADOSH. Obviamente “𝑺” es una variable aleatoria. 
Supongamos que el departamento de ventas ha mantenido un registro del número de cajas vendidas durante las 100 semanas anteriores. “𝑺” 
utilizando la historia pasada de ventas. Por ejemplo, predecimos que hay un 10% de chance de que las ventas de la semana próxima sean de 
107 cajas: 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟕) = 𝟏𝟎/𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟏. 
VENTAS DE QUADOSH DURANTE LAS ÚLTIMAS SEMANAS (NÚMERO DE CASOS) 
Cantidad Vendida “𝑺” Número de Semanas Distribución de “𝑺” 
100 2 2/100 = 0,02 
101 3 3/100 = 0,03 
102 7 7/100 = 0,07 
103 4 4/100 = 0,04 
104 13 13/100 = 0,13 
105 9 9/100 = 0,09 
106 9 9/100 = 0,09 
107 10 10/100 = 0,10 
108 10 10/100 = 0,10 
109 15 15/100 = 0,15 
110 18 18/100 = 0,18 
1155 unidades 100 semanas 1 
 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la próxima semana sean a lo sumo de 102 cajas? 
𝑷 (𝑺 ≤ 𝟏𝟎𝟐) = 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟎,𝟏𝟎𝟏, 𝟏𝟎𝟐) = 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟎) + 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟏) + 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟐) == 𝟎, 𝟎𝟐 + 𝟎, 𝟎𝟑 + 𝟎, 𝟎𝟕 = 𝟎, 𝟏𝟐 ó 𝟏𝟐% 
b) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la próxima semana sean menores que 100? 
𝑷 (𝑺 < 𝟏𝟎𝟎) = 𝟎 ó 𝟎% 
c) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la semana próxima sean iguales ó mayores que 100? 
𝑷 (𝑺 ≥ 𝟏𝟎𝟎) = 𝟏 ó 𝟏𝟎𝟎% 
d) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la semana siguiente sean iguales o menores que 110 cajas? 
𝑷 (𝑺 ≤ 𝟏𝟏𝟎) = 𝟏 ó 𝟏𝟎𝟎% 
e) ¿Cuál es la probabilidad de que las ventas de la semana siguiente estén entre 106 y 110 cajas? 
𝑷 (𝟏𝟎𝟔 < 𝑺 < 𝟏𝟏𝟎) = 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟕) + 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟖) + 𝑷 (𝑺 = 𝟏𝟎𝟗) 
 𝑷 (𝟏𝟎𝟔 < 𝑺 < 𝟏𝟏𝟎) = 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟓 ó 𝟑𝟓% 
 
 
 
 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 80 
 
Distribución de Probabilidad 
Función de Probabilidad 
𝑷 (𝑿 = 𝒙) 𝑿 [𝟎, 𝟏] 
Variable Discreta 
Propiedades: 
𝒂)𝑷 (𝑿 = 𝒙) ≥ 𝟎 
𝒃)∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙) = 𝟏 
𝒄)𝑷 (𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙)
𝒃
𝒂
 
𝒅)𝑷(𝒙 ≤ 𝒂) = ∑ 𝑷 (𝑿 = 𝒙)
𝒂
𝟎
 
Valor Esperado 
𝝁𝒙 = 𝑬 (𝒙) = ∑𝒙 ∗ 𝑷 (𝒙) 
Función de Densidad de Probabilidad 
Variable Continua 
Propiedades: 
𝒂)……………………………… .. 
𝒃) ∫ 𝒇(𝒙)
+∞
−∞
 𝒅𝒙 = 𝟏 
𝒄)𝑷 (𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃) = ∫𝒇(𝒙)𝒅𝒙
𝒃
𝒂
 
𝒅)………………………… 
Valor Esperado 
𝝁𝒙 = 𝑬 (𝒙) = ∫ 𝑿𝒇(𝒙)
+∞
−∞
 𝒅𝒙 
Distribución de Probabilidad Discreta 
La función de distribución de una VA se caracteriza por medio de dos números: su media y su varianza. 
Sea “𝑿” una VA sea: 𝑿𝒊 (𝒊 = 𝟏, 𝟐, 𝟑,… . 𝒏) los valores posibles que pueden tomar “𝒙” y sea 𝑷 (𝑿𝒊) = 𝑷 (𝑿 = 𝒙𝒊) la probabilidad de 
que 𝑿 adquiera el valor 𝑿𝒊. 
Si denotamos la media por �̅� y la varianza Var (𝑿), tenemos: 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝒙 = ∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 ; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 → 𝑽𝒂𝒓 (𝒙) = ∑(𝒙𝒊 − 𝒙)
𝟐 ∗ 𝑷(𝒙𝒊)
𝒏
𝒊=𝟏
↔∑𝒙𝒊
𝟐 ∗ 𝑷(𝒙𝒊)
𝒏
𝒊=𝟏
− (𝒙)𝟐 
EJEMPLO#220 Estimación de la tasa esperada de retorno: La tabla siguiente expresa la distribución de probabilidad de R, la tasa de retorno 
de una inversión que se debe lograr al comprar una maquina nueva. 
TASA POSIBLE DE RETORNO “R” DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DE (R) P (ri) 
r1 = 10% 0,25 
r2 = 12% 0,50 
r3 = 14% 0,25 
¿Cuál es el valor esperado o media de la tasa de retorno? 
¿Cuál es la varianza o dispersión esperada de la tasa de retorno R alrededor de suṜ? 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → �̅� = ∑𝒓𝒊 ∗ 𝑷(𝒓𝒊)
𝒏
𝒊=𝟏
= (𝟏𝟎%)𝑷(𝑹 = 𝟏𝟎%) + 𝟏𝟐% 𝑷(𝑹 = 𝟏𝟐%) + (𝟏𝟒%)𝑷(𝑹 = 𝟏𝟒%) = (𝟏𝟎%) (𝟎, 𝟐𝟓) + (𝟏𝟐%) (𝟎, 𝟓𝟎) + (𝟏𝟒%) (𝟎, 𝟐𝟓) 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝒙 = ∑𝒓𝒊 ∗ 𝑷(𝒓𝒊)
𝒏
𝒊=𝟏
= (𝟎, 𝟏𝟎) (𝟎, 𝟐𝟓) + (𝟎, 𝟏𝟐) (𝟎, 𝟓) + (𝟎, 𝟏𝟒) (𝟎, 𝟐𝟓) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟔 + 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 = 𝟏𝟐% 
¿ 𝑪𝒖á𝒍 𝒆𝒔 𝒍𝒂 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒐 𝒅𝒊𝒔𝒑𝒆𝒓𝒔𝒊ó𝒏 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒕𝒂𝒔𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒕𝒐𝒓𝒏𝒐 𝑹 𝒂𝒍𝒓𝒆𝒅𝒆𝒅𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒔𝒖 Ṝ? 
Calculo de la varianza de la tasa de retorno: 
Valores de 
R 
(𝑽𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑹)𝟐 = 𝒓𝒊
𝟐 Probabilidad 
𝑷(𝒓𝒊) 
𝒓𝒊
𝟐 ∗ 𝑷(𝒓𝒊) 
r1 = 10% 100 0,25 25 
r2 = 12% 144 0,50 72 
r3 = 14% 196 0,25 49 
 146 
𝑽𝒂𝒓(𝑹) =∑𝒓𝒊
𝟐 ∗ 𝑷(𝑹 = 𝒓𝒊)
𝟑
𝒊=𝟏
− (�̅�)𝟐 = 𝟏𝟒𝟔 − 𝟏𝟒𝟒 = 𝟐 ⟹ 𝑽𝒂𝒓(𝑹) = 𝟐 
EJEMPLO#221 Hallar la media y la varianza de una variable 𝑿 que tiene la siguiente función de probabilidad: 
X 2 3 4 
P 0,2 0,3 0,5 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → �̅� = 𝝁 = ∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟑(𝟎, 𝟑) + 𝟕(𝟎, 𝟓) = 𝟒, 𝟖𝟎 
𝝈𝟐 =∑𝒙𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
− (𝒙)𝟐 = [𝟐𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟑𝟐(𝟎, 𝟑) + 𝟕𝟐(𝟎, 𝟓)] − (𝟒, 𝟖𝟎)𝟐 = 𝟐𝟖 − 𝟐𝟖, 𝟒𝟎 = 𝟒, 𝟗𝟔 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 81 
 
EJEMPLO#222 Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente función de probabilidad: 
X 2 3 5 6 8 
P 0,2 0,10 0,40 0,2 0,10 
a) Hallar la función de distribución de dicha variable. 
b) Representar en un diagrama la función de distribución. 
c) Hallar la media y la desviación típica. 
a) La función de distribución o probabilidad acumulada (F(x)) 
Xi Pi 𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝑿𝒊) 
2 0,2 0,2 
3 0,1 0,3 
5 0,4 0,70 
6 0,2 0,90 
8 0,1 1 
 
 
c)Hallar la media y desviación: 
Xi Pi 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 
 
𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟐𝟓, 𝟑 
2 0,2 0,4 0,80 
3 0,1 0,3 0,90 
5 0,4 2,0 10 
6 0,2 1,2 7,2 
8 0,1 0,8 6,4 
 ∑𝑷𝒊 = 𝟏 ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟒, 𝟕 ∑𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁
𝟐 = 𝟑,𝟐𝟏 
 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝝁 = ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟒,𝟕𝟎 ; 𝑽𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 → 𝝈𝟐 = ∑𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁
𝟐 = 𝟑,𝟐𝟏 ; 𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑻í𝒑𝒊𝒄𝒂 → 𝝈 = 𝟏,𝟕𝟗𝟏𝟔 ≅ 𝟏,𝟕𝟗 
EJEMPLO#223 Considérese el experimento que consiste en lanzar dos dados y anotar el resultado de la suma de las caras superiores. Hallar 
Xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
Pi 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36 
a) La media y la desviación típica de la distribución. 
b) Sea 𝒙 La VA que expresa la suma del número de puntos de los dos dados, hallar las siguientes probabilidades: 
𝑷(𝒙 ≤ 𝟓); 𝑷(𝒙 ≥ 𝟏𝟎); 𝑭(𝟒); 𝑭(−𝟐); 𝑭(𝟏𝟗) 
La media y la desviación típica de la distribución: 
Xi Pi 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 
2 0,028 0,056 0,111 
3 0,056 0,167 0,500 
4 0,083 0,333 1,333 
5 0,111 0,555 2,778 
6 0,139 0,833 5 
7 0,167 1,167 8,167 
8 0,139 1,111 8,889 
9 0,111 1 9 
10 0,083 0,833 8,333 
11 0,056 0,611 6,722 
12 0,028 0,333 4 
 ∑𝑷𝒊 = 𝟏 ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟕 ∑𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓𝟒,𝟖𝟑 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝝁 =∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟕
𝒏
𝒊=𝟏
 ; 𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑻í𝒑𝒊𝒄𝒂 → 𝝈 = √∑𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 −𝝁
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
= √𝟓𝟒,𝟖𝟑− 𝟕𝟐 = 𝟐,𝟒𝟐 
Sea 𝒙 La VA que expresa la suma del número de puntos de los dos dados, hallar las siguientes probabilidades: 
𝑷(𝒙 ≤ 𝟓); 𝑷(𝒙 ≥ 𝟏𝟎); 𝑭(𝟒); 𝑭(−𝟐); 𝑭(𝟏𝟗) 
𝑷 (𝒙 ≤ 𝟓) = 𝑭 (𝟓) = 𝟏/𝟑𝟔 + 𝟐/𝟑𝟔 + 𝟑/𝟑𝟔 + 𝟒/𝟑𝟔 = 𝟏𝟎/𝟑𝟔 = 𝟓/𝟏𝟖 
𝑷 (𝒙 ≥ 𝟏𝟎) = 𝑷 (𝒙 < 𝟏𝟎̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅) = 𝟏 – 𝒑(𝒙 < 𝟏𝟎) = 𝟏− 𝑭(𝟗) = 𝟏 − [
𝟏
𝟑𝟔
+
𝟐
𝟑𝟔
+
𝟑
𝟑𝟔
+
𝟒
𝟑𝟔
+
𝟓
𝟑𝟔
+
𝟔
𝟑𝟔
+
𝟓
𝟑𝟔
+
𝟒𝟑𝟔
] = 𝟏 − [
𝟑𝟎
𝟑𝟔
] = 𝟏/𝟔 
𝑶𝒕𝒓𝒂 𝒎𝒂𝒏𝒆𝒓𝒂 𝒅𝒆 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒗𝒆𝒓: 𝑷 (𝒙 ≥ 𝟏𝟎) = 𝑭 (𝟏𝟎) = 𝟑/𝟑𝟔 + 𝟐/𝟑𝟔 + 𝟏/𝟑𝟔 = 𝟔/𝟑𝟔 = 𝟏/𝟔 
𝑭 (𝟒) =
𝟏
𝟑𝟔
+
𝟐
𝟑𝟔
+
𝟑
𝟑𝟔
=
𝟔
𝟑𝟔
=
𝟏
𝟔
 ; 𝑭 (−𝟐) = 𝟎 ; 𝑭 (𝟏𝟗) = 𝟏 𝑻𝒐𝒅𝒐 (𝒉𝒂𝒔𝒕𝒂 𝟏𝟐)⏟ 
𝟏 +
 𝒊𝒏𝒄𝒍𝒖𝒔𝒊𝒗𝒆 𝒎𝒆 𝒇𝒂𝒍𝒕𝒂 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒍𝒍𝒆𝒈𝒂𝒓 𝒂𝒍 𝟏𝟗⏟ 
𝟎=𝟏
= 𝟏 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 82 
 
EJEMPLO#224 Sea 𝑿 una VA discreta cuya función de probabilidad es: 
X 0 1 2 3 4 5 
P 0,1 0,2 0,1 0,4 0,1 0,1 
a) Calcular y representar gráficamente la función de distribución. 
b) Calcular las siguientes probabilidades: 𝒑 (𝒙 < 𝟒, 𝟓); 𝒑 (𝒙 ≥ 𝟑); 𝒑 (𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒, 𝟓) 
Xi Pi 𝑭𝒊 (𝒑(𝒙 ≤ 𝒙𝒊)) 
0 0,1 0,10 
1 0,2 0,30 
2 0,1 0,40 
3 0,4 0,80 
4 0,1 0,90 
5 0,1 1,00 
 
 
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒔𝒊𝒈𝒖𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔: 𝒑 (𝒙 < 𝟒,𝟓); 𝒑 (𝒙 ≥ 𝟑); 𝒑 (𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒, 𝟓) 
𝑷 (𝒙 < 𝟒,𝟓) = 𝒑 (𝒙 ≤ 𝟒) = 𝑭 (𝟒) = 𝟎, 𝟗𝟎 
𝑷 (𝒙 ≥ 𝟑) = 𝑷 (𝒙 < 𝟑̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = 𝟏 – 𝑷 (𝒙 < 𝟑) = 𝟏 – 𝑭 (𝟐) = 𝟏 – 𝟎, 𝟒𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟎 
𝑷 (𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒,𝟓) = 𝒑 (𝒙 < 𝟒,𝟓) – 𝒑 (𝒙 < 𝟑) = 𝑭 (𝟒) – 𝑭 (𝟐) = 𝟎, 𝟗𝟎 – 𝟎, 𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟑 
EJEMPLO#225 Sea 𝑿 una VA cuya función de probabilidad viene dada por 𝒑 (𝒙 = 𝒓) = 𝟏/𝟖; (𝒓 = 𝟐, 𝟑, … , 𝟗). Se pide hallar: 
a) La función de probabilidad. 
b) La función de distribución y su representación. 
c) La media y la desviación típica 
d) Las probabilidades 𝒑 (𝒙 ≥ 𝟔), 𝒑 (𝟒 < 𝒙 < 𝟕) 𝒚 𝒑 (𝒙 < −𝟑) 
a) 
 
Xi Pi 
2 1/8 
3 1/8 
4 1/8 
5 1/8 
6 1/8 
7 1/8 
8 1/8 
9 1/8 
b) 
 
Xi Fi 
2 1/8 
3 2/8 
4 3/8 
5 4/8 
6 5/8 
7 6/8 
8 7/8 
9 1 
 
c)La media y la desviación típica: 
Xi Pi 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 
2 0,125 0, 25 0,5 
3 0,125 0,375 1,125 
4 0,125 0,5 2 
5 0,125 0,625 3,125 
6 0,125 0,75 4,50 
7 0,125 0,875 6,125 
8 0,125 1 8 
9 0,125 1,125 10,125 
 ∑𝑷𝒊 = 𝟏 ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓, 𝟓 ∑𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟑𝟓,𝟓 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → 𝝁 =∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓,𝟓
𝒏
𝒊=𝟏
 ; 𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝑻í𝒑𝒊𝒄𝒂 → 𝝈 = √∑𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁
𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
= √𝟑𝟓,𝟓 − (𝟓,𝟓)𝟐 = 𝟐,𝟐𝟗 
d) 𝑷 (𝒙 ≥ 𝟔) = 𝒑 (𝒙 < 𝟔̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ ) = 𝟏 – 𝒑 (𝒙 < 𝟔) = 𝟏 – 𝑭 (𝟓) = 𝟏 −
𝟒
𝟖
= 𝟏 – 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟓 = 𝟓𝟎% 
𝑷 (𝟒 < 𝒙 < 𝟕) = 𝒑 (𝒙 < 𝟕)– 𝒑 (𝒙 ≤ 𝟒) = 𝑭 (𝟔)– 𝑭 (𝟒) =
𝟓
𝟖
−
𝟑
𝟖
= 𝟎, 𝟔𝟐𝟓 – 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟐𝟓% 
𝑷 (𝒙 < −𝟑) = 𝟎 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 83 
 
EJEMPLO#226 Una VA 𝑿 toma los valores 2, 4, 5, 7, 8, 9, con probabilidades 0,15; 0,12; 0,21; 0,25; 0,16; 0,11; representativamente. 
Comprobar si se trata de una función de probabilidad y en caso afirmativo, hallar su esperanza matemática (media) y los valores de su 
función de distribución para x=6 y x=9 
 
Xi Pi Fi 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 
2 0,15 0,15 0,30 
 4 0,12 0,27 0,48 
5 0,21 0,48 1,05 
7 0,25 0,73 1,75 
8 0,16 0,89 1,28 
9 0,11 1 0,99 
 ∑𝑷𝒊 = 𝟏 
 ∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓, 𝟖𝟓 
La condición suficiente para que sea una función de probabilidad es 
que ∑𝑷𝒊 = 𝟏 
Media o esperanza matemática: 
𝝁 =∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟓, 𝟖𝟓
𝒏
𝒊=𝟏
 
𝑿 = 𝟔 → 𝑭 (𝟔) = 
𝟎, 𝟒𝟖 + 𝟎, 𝟕𝟑
𝟐
 = 𝟎, 𝟔𝟎𝟓 = 𝟔𝟎, 𝟓% 
𝑿 = 𝟗 → 𝑭 (𝟗) = 𝟏 
EJEMPLO#227 Determinar la esperanza matemática y varianza de la variable aleatoria directa que tiene como función de distribución: 
𝑭 (𝒙) = 
{
 
 
 
 
𝟎 𝒔𝒊 𝒙 < 𝟐
𝟎, 𝟐 𝒔𝒊 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑
𝟎,𝟑 𝒔𝒊 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟓
𝟎,𝟕 𝒔𝒊 𝟓 ≤ 𝒙 < 𝟔
𝟎, 𝟗 𝒔𝒊 𝟔 ≤ 𝒙 < 𝟏𝟎
𝟏 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟏𝟎 }
 
 
 
 
 
Xi Fi Pi 
2 0,2 0,2 
3 0,3 0,3 – 0,2 = 0,10 
5 0,7 0,7 – 0,3 = 0,40 
6 0,9 0,9 – 0,7 = 0,20 
10 1 1 – 0,90 = 0,10 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 → �̅� = 𝝁 = ∑𝒙𝒊 ∗ 𝑷𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
= 𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟑(𝟎, 𝟏) + 𝟓(𝟎, 𝟒) + 𝟔(𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟎(𝟎, 𝟏) = 𝟒, 𝟗𝟎 ; 𝝈 = √𝟒, 𝟖𝟗 = 𝟐, 𝟐𝟏 
𝝈𝟐 =∑𝒙𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
− (�̅�)𝟐 = [𝟐𝟐(𝟎,𝟐) + 𝟑𝟐(𝟎, 𝟏) + 𝟓𝟐(𝟎, 𝟒) + 𝟔𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟏𝟎𝟐(𝟎,𝟏)] − [𝟒, 𝟗𝟎]𝟐 = 𝟐𝟖, 𝟗 − 𝟐𝟒, 𝟎𝟏 = 𝟒, 𝟖𝟗 
EJEMPLO#228 Un dado ha sido manipulado con el fin de alterar las posibilidades de obtener las diferentes caras. Así si 𝑿 representa la 
puntuación alcanzada en una tirada, se tiene: 
𝑷 (𝑿 = 𝟏) =
𝟏
𝟔
− 𝟐𝑲
𝑷 (𝑿 = 𝟐) =
𝟏
𝟔
− 𝑲
𝑷 (𝑿 = 𝟑) = 𝑷 (𝑿 = 𝟒) =
𝟏
𝟔
𝑷 (𝑿 = 𝟓) =
𝟏
𝟔
+ 𝑲
𝑷 (𝑿 = 𝟔) =
𝟏
𝟔
+ 𝟐𝑲 }
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑫𝒆𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒂𝒓 𝑲 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒍𝒂 𝒆𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒅𝒆 𝑿 𝒔𝒆𝒂 𝒊𝒈𝒖𝒂𝒍 𝒂 𝟒. 
𝑻𝒆𝒏𝒊𝒆𝒏𝒅𝒐 𝒆𝒏 𝒄𝒖𝒆𝒏𝒕𝒂 𝒍𝒂 𝒅𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊ó𝒏 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂: 𝝁 =∑𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊
𝒏
𝒊=𝟏
 
𝝁 = 𝟏 (
𝟏
𝟔
− 𝟐𝒌) + 𝟐(
𝟏
𝟔
− 𝒌) + 𝟑(
𝟏
𝟔
) + 𝟒 (
𝟏
𝟔
) + 𝟓(
𝟏
𝟔
+ 𝒌) + 𝟔(
𝟏
𝟔
+ 𝟐𝒌) = 𝟒 
𝝁 =
𝟏
𝟔
− 𝟐𝒌 +
𝟏
𝟑
− 𝟐𝒌 +
𝟏
𝟐
+
𝟐
𝟑
+
𝟓
𝟔
+ 𝟓𝒌 + 𝟏 + 𝟏𝟐𝒌 = 𝟒 
𝝁 =
𝟕
𝟐
+ 𝟏𝟑𝒌 = 𝟒 → 𝟏𝟑𝒌 = 𝟒 −
𝟕
𝟐
→ 𝟏𝟑𝒌 =
𝟏
𝟐
 𝒌 =
𝟏
𝟐
𝟏𝟑
=
𝟏
𝟐𝟔
 𝒌 =
𝟏
𝟐𝟔
 
𝑷(𝑿 = 𝟏) =
𝟕
𝟕𝟖
𝑷(𝑿 = 𝟐) =
𝟓
𝟑𝟗
𝑷(𝑿 = 𝟑) =
𝟏
𝟔
𝑷(𝑿 = 𝟒) =
𝟏
𝟔
𝑷(𝑿 = 𝟓) =
𝟖
𝟑𝟗
𝑷(𝑿 = 𝟔) =
𝟏𝟗
𝟕𝟖}
 
 
 
 
 
 
 
 
= 𝟏𝟎𝟎% (
𝝁 = 𝟏(
𝟏
𝟔
−
𝟐
𝟐𝟔
) + 𝟐 (
𝟏
𝟔
−
𝟏
𝟐𝟔
) +
𝟑
𝟔
+
𝟒
𝟔
+ 𝟓(
𝟏
𝟔
+
𝟏
𝟐𝟔
) + 𝟔(
𝟏
𝟔
+
𝟐
𝟐𝟔
)
𝝁 =
𝟕
𝟕𝟖
+
𝟏𝟎
𝟑𝟗
+
𝟕
𝟔
+
𝟒𝟎
𝟑𝟗
+
𝟏𝟗
𝟏𝟑
= 𝟒 𝝁 = 𝟒
) 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 84 
 
EJEMPLO#229 Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente ley de probabilidad: 
X 2 3 5 6 8 
𝑷𝒊 = 𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊) 0,20 - 0,40 - 0,10 
Teniendo en cuenta que la media de la distribución es 4,70. Calcular los valores de P (3) y P (6) 
Aplicamos la condición necesaria de las distribuciones de Probabilidad: 
∑𝑷𝒊 = 𝟏 ⟹ 𝑺𝒆 𝒐𝒃𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒄𝒐𝒏 𝒅𝒐𝒔 𝒊𝒏𝒄𝒐𝒈𝒏𝒊𝒕𝒂𝒔. 
∑𝑷𝒊 = 𝟏 ⟹ 𝟎, 𝟐 + 𝑷(𝟑) + 𝟎, 𝟒𝟎 + 𝑷(𝟔) + 𝟎, 𝟏𝟎⏟ 
 ∑𝑷𝒊 =𝟏
= 𝟏 
𝑷(𝟑) + 𝑷(𝟔) + 𝟎, 𝟕𝟎 = 𝟏 ↔ 𝑷(𝟑) + 𝑷(𝟔) = 𝟏 − 𝟎, 𝟕𝟎 ↔ 𝑷(𝟑) + 𝑷(𝟔) = 𝟎,𝟑𝟎❶(𝒍𝒂 𝒑𝒓𝒊𝒎𝒆𝒓𝒂 𝒆𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏) 𝝁 = 𝟒, 𝟕𝟎 
Con la definición de media se obtiene la segunda ecuación con la que plantea un sistema que permite calcular los valores pedidos. 𝝁 = ∑ 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊𝒏𝒊=𝟏 
𝟒, 𝟕𝟎 = 𝟐(𝟎, 𝟐) + 𝟑𝑷(𝟑) + 𝟓(𝟎, 𝟒) + 𝟔𝑷(𝟔) + 𝟖(𝟎, 𝟏) 
𝟒, 𝟕𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟎 + 𝟑𝑷(𝟑) + 𝟐 + 𝟔𝑷(𝟔) + 𝟎, 𝟖𝟎 
𝟒, 𝟕𝟎 = 𝟑, 𝟐𝟎 + 𝟑𝑷(𝟑) + 𝟔𝑷(𝟔) 
𝟑𝑷(𝟑) + 𝟔𝑷(𝟔) = 𝟏, 𝟓 ❷ 
Resolviendo como un sistema de ecuaciones de dos incógnitas: 
𝑷(𝟑) + 𝑷(𝟔) = 𝟎,𝟑
𝟑𝑷(𝟑) + 𝟔𝑷(𝟔) = 𝟏, 𝟓
} ⟹ 𝐏(𝟑) = 𝟎,𝟏𝟎 = 𝟏𝟎% 𝐏(𝟔) = 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟐𝟎% 
EJEMPLO#230 Una variable aleatoria discreta tiene la siguiente distribución de probabilidad: 
K 1 2 3 4 5 6 
𝑷(𝑿 = 𝑲) 1/9 1/18 1/9 5/18 1/6 - 
 Se pide: 
a) Completar la distribución de probabilidad 
b) Calcular la media y la desviación típica 
𝒂)
𝟏
𝟗
+
𝟏
𝟏𝟖
+
𝟏
𝟗
+
𝟓
𝟏𝟖
+
𝟏
𝟔
+ 𝑷(𝟔) = 𝟏 ↔
𝟏𝟑
𝟏𝟖
+ 𝑷(𝟔) = 𝟏 ↔ 𝑷(𝟔) = 𝟏 −
𝟏𝟑
𝟏𝟖
=
𝟓
𝟏𝟖
↔ 𝑷(𝟔) =
𝟓
𝟏𝟖
 
𝒃) 𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 ⟹ 𝝁 = ∑ 𝑿𝒊 ∗ 𝑷𝒊 = 𝟏 (
𝟏
𝟗
) + 𝟐(
𝟏
𝟏𝟖
) + 𝟑(
𝟏
𝟗
) + 𝟒(
𝟓
𝟏𝟖
) + 𝟓(
𝟏
𝟔
) + 𝟔 (
𝟓
𝟏𝟖
) =
𝟐𝟓
𝟔
= 𝟒,𝟏𝟔𝟔𝟕𝒏𝒊=𝟏 
𝑫𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊ó𝒏⟹ 𝝈 = √∑𝑿𝒊
𝟐 ∗ 𝑷𝒊 − 𝝁𝟐
𝒏
𝒊=𝟏
= √[𝟏𝟐 (
𝟏
𝟗) + 𝟐𝟐 (
𝟏
𝟏𝟖
) + 𝟑𝟐 (
𝟏
𝟗
) + 𝟒𝟐 (
𝟓
𝟏𝟖
) + 𝟓𝟐 (
𝟏
𝟔
) + 𝟔𝟐 (
𝟓
𝟏𝟖
)] − [
𝟐𝟓
𝟔
]
𝟐
= 𝟏,𝟔𝟎 
EJEMPLO#231 Hallar el rango Rx de las siguientes variables aleatorias: 
a) Obtener par al lanzar un dado: 
𝒏(𝑺) = 𝟔𝟏 = 𝟔 → 𝑺 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔} → 𝑹𝒙 = {𝟐,𝟒, 𝟔} 
𝟔 𝒂 𝒍𝒂 𝟏 𝒑𝒐𝒓𝒒𝒖𝒆 𝟔 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 𝒕𝒊𝒆𝒏𝒆 𝒆𝒍 𝒅𝒂𝒅𝒐 𝒚 𝒆𝒔 𝟏 𝒅𝒂𝒅𝒐 → 𝟔𝟏 
b) Obtener sello al lanzar 4 veces una moneda: 
𝒏(𝑺) = 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 → 𝑹𝒙 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 𝒔𝒆𝒍𝒍𝒐𝒔} 
2 a la 4 porque 2 caras tiene la moneda y es 4 lanzamientos de la misma 
c) Se lanzan 3 dados, obtener la suma: 
𝒏(𝑺) = 𝟔𝟑 = 𝟐𝟏𝟔 → 𝑹𝒙{𝟑, 𝟒, 𝟓,… , 𝟏𝟖} 
6 a la 3 porque 6 caras tiene el dado y es 3 dados (𝟏, 𝟏, 𝟏)⏟ 
𝟑
…… . (𝟔, 𝟔, 𝟔)⏟ 
𝟏𝟖
 
d) Se lanza un dado y una moneda, obtener resultado: 
Moneda ⟹C,S 
Dado ⟹ 1, 2, 3, 4, 5, 6 
𝒏(𝑺) = 𝟐𝟏 . 𝟔𝟏 = 𝟏𝟐 → 𝑹𝒙 = [𝟏𝑪,… , 𝟔𝑪, 𝟏𝑺, … . , 𝟔𝑺] 
e) Obtener producto bueno al elegir 3: 
𝒏(𝑺) = 𝟐𝟑 = 𝟖 → 𝑹𝒙 = [𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔] 
2 a la 3⟹2 tipos de productos (Buenos o Malo) y es 3 productos. 
f) Hallar la distribución de probabilidad de las VA: De obtener sello al lanzar: 4 veces una moneda 
𝒏(𝑺) = 𝟐𝟒 = 𝟏𝟔 → 𝑹𝒙 = [𝟎,𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒 𝒔𝒆𝒍𝒍𝒐𝒔] 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 85 
 
g) Hallar la distribución de probabilidad de las VA de obtener producto bueno al elegir 3: 
𝒏(𝑺) = 𝟐𝟑 = 𝟖 = 𝑹𝒙 = [𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑 𝒑𝒓𝒐𝒅𝒖𝒄𝒕𝒐𝒔 𝒃𝒖𝒆𝒏𝒐𝒔] → 𝑩𝑫(𝟐) 
 
h) Hallar la distribución de probabilidades acumulada de variables aleatorias de incisos f, g. 
 
EJEMPLO#232 Calcular el valor de C, para que las siguientes sean funciones de probabilidad discreta: 
𝒂)𝒇(𝒙) =
𝑪
𝑿
; 𝑹𝒙 = {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕} →∑𝒇(𝒙) = 𝟏 =
𝑪
𝟏
+
𝑪
𝟑
+
𝑪
𝟓
+
𝑪
𝟕
 
𝑪
𝟏
+
𝑪
𝟑
+
𝑪
𝟓
+
𝑪
𝟕
=
𝟏𝟎𝟓𝑪+𝟑𝟓𝑪+𝟐𝟏𝑪+𝟏𝟓𝑪
𝟏𝟎𝟓
=
𝟏𝟕𝟔𝑪
𝟏𝟎𝟓
 ↔ 𝟏 =
𝟏𝟕𝟔𝑪
𝟏𝟎𝟓
 ↔ 𝟏(𝟏𝟎𝟓) = 𝟏𝟕𝟔𝑪 ↔ 𝑪 =
𝟏𝟎𝟓
𝟏𝟕𝟔
 
𝑷𝒓𝒖𝒆𝒃𝒂 ⟹ 𝟏 =
𝟏𝟎𝟓
𝟏𝟕𝟔
𝟏
+
𝟏𝟎𝟓
𝟏𝟕𝟔
𝟑
+
𝟏𝟎𝟓
𝟏𝟕𝟔
𝟓
+
𝟏𝟎𝟓
𝟏𝟕𝟔
𝟕
↔ 𝟏 = 𝟏 𝑪𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆‼‼‼‼ 
𝒃)𝒇(𝒙) =
𝑪
𝒈𝒙
; 𝑹𝒙 = {𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑} → ∑𝒇(𝒙) = 𝟏 ↔
𝑪
𝒈𝟎
+
𝑪
𝒈𝟏
+
𝑪
𝒈𝟐
+
𝑪
𝒈𝟑
→ 𝑪 =
𝟕𝟐𝟗
𝟖𝟐𝟎
 
𝒄)𝒇(𝒙) =
𝑿
𝑪
; 𝑹𝒙 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓} → ∑𝒇(𝒙) = 𝟏 ↔
𝟏
𝑪
+
𝟐
𝑪
+
𝟑
𝑪
+
𝟒
𝑪
+
𝟓
𝑪
→ 𝑪 = 𝟏𝟓 
𝑬(𝑿) =∑𝑿𝒇(𝒙) → 𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂𝒏𝒛𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒆𝒎á𝒕𝒊𝒄𝒂 
𝝈𝟐 = ∑[𝑿 − 𝑬(𝒙)]²𝒇(𝒙) → 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒛𝒂 
𝝈 = √𝝈𝟐 → 𝒅𝒆𝒔𝒗𝒊𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏𝒅𝒂𝒓 
 
EJEMPLO#233 Calcular la esperanza matemática, varianza, desviación estándar en las distribuciones de probabilidad. 
 
 
 
 
Lic. Julio Vargas Herbas **UAGRM** ESTADÍSTICA INFERENCIAL 
CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 86 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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CARRERAS: CONTADURÍA PÚBLICA-INFORMACIÓN Y CONTROL DE GESTIÓN 87