5

Vista previa del material en texto

55 
 
Desde que el hombre prehistórico inventó la rueda para sus toscos vehículos, se puso en evidencia la 
necesidad de estudiar el movimiento que ésta describía - el movimiento circular - para así aprovechar al máximo 
las bondades del mismo. Más de dos mil quinientos años antes de nuestra era, los babilonios distinguían ya entre 
la velocidad lineal y angular, y estos elementos cinemáticos eran de empleo corriente incluso en el tiempo de 
Galileo, conocimientos que bien fueron aprovechados por Newton cuando más adelante plantearía las bases de 
la Mecánica. 
 
Hoy en día se cuentan miles de máquinas que emplean en su diseño o en parte de este el movimiento 
circular; una pequeña muestra la constituyen no sólo las ruedas de los vehículos, si no también los armoniosos y 
precisos engranajes de un reloj, los rodillos de captura de papel de las impresoras o fotocopiadoras, las 
plataformas donde se mueven los discos o los que imprimen movimiento a los discos compactos y casettes ya sea 
de música o video, los sistemas de registro en los sismógrafos analógicos, entre otros. 
 
Compenetrémonos, en este fascinante estudio, cuya importancia ya se ha expuesto. 
 
CONCEPTO: El movimiento circular es el tipo de movimiento en el cual la partícula tiene como trayectoria una 
circunferencia (Movimiento Lineal) y el radio de giro barre simultáneamente, un ángulo central 
(Movimiento angular). 
 
La figura muestra el desplazamiento de una partícula del punto A hacia el punto B, describiendo un arco 
de circunferencia S (Movimiento lineal) y un ángulo central θ (Movimiento angular). 
 
La relación entre el arco S y el ángulo central θ está dada por: 
 
 S = θ R ................................. (1) 
 
 Donde S y R se miden en unidades de longitud y θ en radianes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RADIÁN: Ángulo central cuya longitud de arco correspondiente es numéricamente igual al radio. 
 
Si S = R ⇒ θ = 
R
R
R
S
= = 1 rad 
 
En una revolución (1 rev), la partícula describe como arco S, la longitud de la circunferencia, es decir: 
 
 S = 2 π R donde π = 3,1416 (aproximadamente) 
 
 Pues bien, de la relación (1), tenemos: 
 
 θ = rad2
R
R2
R
S
π=π= 
 
 Entonces: 
 
 1 rev = 2 π rad = 360° 
 
 
Cinemática II: Movimiento Circunferencial 
 
 
 
 
56 
 
CONCEPTOS IMPORTANTES: 
 
Desplazamiento angular
→
θ : Es una magnitud física vectorial, de módulo correspondiente al ángulo central 
descrito por el móvil y de dirección perpendicular al plano de giro. 
 
 
 
Velocidad Lineal o Tangencial: Es una magnitud física vectorial, tangente a la trayectoria, en cada punto cuyo 
módulo es: 
 
 
t
SV = (M.C.U.) 
 
Aceleración Tangencial: Magnitud física vectorial que se define como la variación del módulo de la 
velocidad tangencial por unidad de tiempo. Su módulo es: 
 
 
t
VVaT 0
−
= 
 
 
Aceleración Centrípeta: Magnitud física vectorial cuya dirección es hacia el centro de la 
circunferencia. Es responsable del cambio de la dirección de la velocidad. Su 
módulo instantáneo es: 
 
R
VaC
2
= 
 
Velocidad Angular: Magnitud física vectorial definida como el desplazamiento angular por unidad 
de tiempo. 
 
 
t
→
→
=
θω (M.C.U.) 
 
 
 
 
 
Aceleración Angular: Magnitud física vectorial definida como la variación de la velocidad angular 
por unidad de tiempo. 
 
 
 
t
→→
→ −
= 0
ωω
α 
 Si: ( )cte MCUVα =
r
 
 
 
 
 
 
 
La aceleración total de la partícula está dada por: 
 
a = 2 2 C
T C
T
a
a a tg
a
+ β = 
Unidad: m/s 
Unidad: m/s2 
Unidad: m/s2 
Unidad: rad/s 
Unidad: rad/s2 
 
R 
→
θ →
ω 
 
 
 
57 
 
De allí que la velocidad angular es constante en módulo, dirección y sentido 
 
 
 La relación entre los módulos de la velocidad tangencial y la velocidad angular está dada por: V = ω R 
 
 La relación entre los módulos de la aceleración tangencial y la aceleración angular está dada por: aT = α R 
 
En esta ecuación R, V y aT se expresan en unidades lineales, m, m/s y m/s2 respectivamente; mientras que 
θ, ω y α, deben expresarse en unidades angulares rad, rad/s y rad/s2, respectivamente. 
 
 
 
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (MCU) 
 
 
Un cuerpo describe un MCU cuando presenta las siguientes características: 
 
Son constantes en módulo: 
 Velocidad tangencial 
Velocidad angular 
Aceleración centrípeta 
 
Es decir: 
 
 V = cte. ⇒ aT = 0 
 ω = cte. ⇒ α = 0 
 ac = V2/R = cte. ⇒ a = ac 
 
 
 
 
 
 
 De estas características, resultan las fórmulas: 
 
 
 
π
θ
=
π
=
2R2
SN : Nº de vueltas ; θ = radianes 
 
V = 
T
R2π : T es el periodo: Tiempo empleado en una revolución 
 
 ω = f2
T
2
π=
π : f es la frecuencia: Número de revoluciones en la unidad de tiempo (s-1 = Hz) 
 
 ω = 
t
0θ−θ 
 
 2
2
2
2 4V
T
RR
R
aC
π
ω === 
 
 
 
 
 
58 
 
De allí que la aceleración angular es constante en módulo, dirección y sentido. 
 
 
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO (MCUV) 
 
 
Un cuerpo describe un MCUV cuando presenta las siguientes características: 
 
 Son variables en módulo: 
Velocidad tangencial 
Velocidad angular 
Aceleración centrípeta 
Aceleración total 
 
Es decir: 
 
 aT = cte ⇒ V es variable 
 α = cte ⇒ ω es variable 
 
 ac ≠ cte ⇒ a = 2 2
T C
a a+ es variable 
 
 
Son constantes en módulo: 
Aceleración tangencial. 
Aceleración angular 
 
 
 
 
 
 
 
De estas características, resultan las fórmulas: 
 
 
Magnitudes lineales Magnitudes angulares 
 
V = V0 + aT t ω = ωo + α t 
 V2 = 2oV + 2 aT S ω2 = ωo2 + 2 α θ 
 S = Vo t + 1/2 aT t2 θ = ωo t + 1/2 α t2 
 t
2
VVS o 




 +
= t
2
o 




 ω+ω=θ 
 
Cabe recordar que la relación entre magnitudes lineales y magnitudes angulares son: 
 
 S = θ R 
 V = ω R 
aT = α R 
 
 
 
59 
 
 
TRANSMISIÓN DE MOVIMIENTOS 
 
 
En muchas de las máquinas ya mencionadas anteriormente, se utiliza el movimiento de uno de sus 
componentes para transmitir movimiento a otro que también lo necesitan; entre las formas básicas para este 
fin, tenemos: 
 
a) Cuando tienen diferente eje de rotación; el movimiento se transmite por contacto directo o a través de 
fajas o ingrenajes. 
 
 
• Sus velocidades y aceleraciones tangenciales en los puntos de 
contacto, poseen módulos iguales. 
 
 V1 = V2 è ω1 r1 = ω2 r2 
 
2T1T
aa = è α1 r1 = α2 r2 
 
 
 
 
 
 
• El número de vueltas que da cada una es inversamente proporcional a 
su radio 
 
N1 r1 = N2 r2 
 
 
 
 
b) Cuando tienen el mismo eje de rotación. El movimiento se transmite a través del eje común. 
 
 
• Las velocidades y aceleraciones angulares poseen la misma magnitud. 
 
ϖ = ω1 = ω2 è 
2
2
1
1
r
V
r
V
= 
 
α= α1 = α2 è 
2
2T
1
1T
r
a
r
a
= 
 
 
 
• Ambas ruedas registran el mismo número de vueltas a través del 
tiempo: 
 
N1 = N2 
 
 
 
 
 
 
 
 
60 
 
Ejemplos ilustrativos: 
 
1. El sistema gira con una velocidad angular de 4 rad/s tal como se muestra en la figura. Hallar la rapidez del 
bloque si: 
 Ra = 30 cm 
 Rb = 50 cm 
 a) 40 cm/s 
 b) 180 cm/s 
 c) 160 cm/s 
 d) 200 cm/s 
 e) 320 cm/s 
 
 Solución: 
 Para una polea móvil: 
 Vp = 2
VV ba + Vp = s/cm1602
200120
=
+ 
 Va = ω Ra = 4 x 30 = 120 cm/s ∴ Vbloque = 160 cm/s 
Vb = ω Rb = 4 x 50 = 200 cm/s Rpta. c 
 
2. Si el bloque A sube con una rapidez de 10 m/s. Determinar la rapidez con que sube el bloque B. Los radios 
de las poleas están en centímetros. (Dar la respuesta en m/s). 
 a) 10 
 b) 20 
 c) 30 
 d) 40 
 e) 50 RA = 5 cm 
 R1 = 20 cm 
 RB = 5 cm 
 R2 = 10 cm 
 
 
 
Solución: 
 WA= W1 W2 = WB 2
2
BVV
R RB
= 
 1
1
V VA
R RA
= V1 = 40 → V1 = V2 5
V
10
40 B= 
 V1 = V2 ∴ V2 = 40 VB = 20 m/s 
 ω2 = ω5 Rpta. b 
 
3. En la figura se insertan dos ruedas fijas que giran unidas por una correa de transmisión, los radiosson 15 y 
6 cm, si la rueda mayor gira a 180 RPM. 
 Hallar la frecuencia de la menor en RPM. 
a) 160 
b) 270 
c) 300 
d) 450 
e) 540 
Solución: 
VMayor = Vmenor 
 ωM x R = ωm x r 
180 x 15 = ω x 6 
 ω = 450 RPM 
 Rpta. d 
 
 
 
61 
 
 
4. Determinar la velocidad tangencial del móvil en un MCUV de 9m de radio, en el instante en que la 
aceleración lineal de la partícula forma un ángulo de 37° con su aceleración centrípeta. El valor de la 
aceleración angular es de 3 rad/s2 (dar la respuesta en m/s). 
 a)10 b) 20 c)12 d)15 e)18 
 
 Solución: 
 R = 9m 
 at = α R = 3 x 9 = 27 m/s2 
 α = 3 rad/s2 
 Pero : at = a Sen 37 
 27 = a x 
5
3 
 a = 45 m/s2 
 ac = Cos 37° 
 ac = 45 x 5
4 
 ac = 36 m/s2 
 ac= = R
V2 
 V2 = 36.9 
 
 V = 18 m/s 
 
 Rpta. e 
 
5.- Un disco parte del reposo con un movimiento de rotación uniformemente variado y durante los dos primeros 
segundos da 8 vueltas. ¿Cuántas vueltas da durante el primer segundo? 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 
 
Solución: 
 
Datos: V0=0; t1=2 s; N1=8 ; t2=1 s ; N2=? 
Se sabe que: 
θ=
2
1
αt2 → 2πN=
2
1
αt2 → 4πN= αt2 
Entonces: 
4πN1= αt12 y 4πN2= αt22 
Dividiendo miembro a miembro: 
=
1
2
N
N
2
1
2
2 t
t
 → N2=(t22/t12)N1 → N2=
4
1
 N1 → N2=2 
 
Rpta. b