Cap 08

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Radicación en R
 
RADICACIÓN 
 
Es la operación matemática que consiste en 
hallar una expresión llamada RAIZ de tal manera 
que se cumpla, que al ser elevado esta a un número 
llamado INDICE resulta otra expresión 
denominado RADICANDO o cantidad subradical; es 
decir: 
 Zn r A r entonces 0 Apar es n"" si n +∈∀=↔=≥∧ n A
 
Donde: “r” es la raíz, 
 “n” es el índice, 
 “A” es el radicando ó cantidad subradical 
 
Ejemplo : 
 
 ( )
( ) 625=55=625
=100=
2−=2=
4 porque 
100 porque 1 100
3 (-2) porque - 32-
4 
2 
55 
 
 
SIGNOS DE UNA RAÍZ 
 Si +∈ Z n y r es la raíz, se presentan los 
siguientes casos en A n : 
 
 positivo Par # = + r 
 negativo # Par = # imaginario 
 parIm positivo # = + r 
 negativo # parIm = - r 
 
 
 
TEOREMAS DE RADICACIÓN EN R 
Sean a,b +0∈ R y m,n +∈ Z , entonces se tiene: 
a) Raíz de una potencia: n
p
n p aa = 
b) Potencia de una raíz: 
n pm
pn m aa =




 
c) Raíz de un producto: nnn b.ab.a = 
d) Raíz de un cociente: n
n
n
b
a
b
a
= 
e) Introducción de un factor a un radical 
 
n n.mnm baba = 
f) Raíz de raíz: m.nn m aa = 
 
 
CLASIFICACIÓN DE LOS RADICALES 
 
1. RADICALES HETEROGÉNEOS: Son aquellos 
radicales que tienen diferentes índices. 
Ejemplo : 
 5 xy30 ; 3 xy ; xz6 
 
2. RADICALES HOMOGÉNEOS: Son aquellos 
radicales que tienen igual índice. 
Ejemplos 
a) 5 5 5 6 x ; ab ; 16 + son homogéneos 
de índice 5 
b) 
3 23 3 xz yx 10 ; ab7 
7
4 ; yx 5 son 
homogéneos de índice 3 
 
3. RADICALES SEMEJANTES: Son aquellos 
radicales que son homogéneos y tienen misma 
cantidad subradical. 
Ejemplo: 
a) 3 3 3 28721 ; 28
4
11 ; 286− 
b) 6 5736 5736 573 zyx 
5
8 ; zyx13- ; zyx24
 
PRINCIPIO FUNDAMENTAL 
Sean +∈≥ Z pn, y 0 a : 
Si r a r a np mpn m =⇒= 
 
HOMOGENIZACIÓN DE RADICALES: 
Para homogenizar radicales con índices diferentes, 
se calcula el M.C.M. de los índices, el cuál será el 
nuevo índice y luego se utiliza el principio 
fundamental. 
 
Ejemplo: Homogenizar: 
9 546 435 2 z x ; z y ; y x 
 
Solución : MCM (5, 6, 9) = 90 
 
90 504090 604590 1836 z x ; z y ; yx
 
 
 
 
 
 
195 
 
Ejemplo : 
¿Cuál de los radicales 7 5 8 ; 4 ; 2 posee 
menor valor aritmético? 
 
Solución : Hallamos el MCM (2, 5, 7) = 70 
Homogenizamos: 
3070 2870 3570 2 ; 2 ; 2 
Luego, el radical 2870 2 = 5 4 posee menor 
valor aritmético 
 
 
 
RAIZ DE UN MONOMIO 
 
Para extraer la raíz enésima de un monomio, se 
extrae la raíz del coeficiente y luego se dividen los 
exponentes de las partes literales entre el índice 
de la raíz. 
 
Ejemplo : 
3/813/633 816 yx.27yx27 = = 272yx3 
 
RAIZ CUADRADA DE UN POLINOMIO 
 
Dado un polinomio P(x) de grado par. Hallar su raíz 
cuadrada. Consiste en hallar otros dos polinomios 
llamados raíz cuadrada q(x) y residuo R(x) de tal 
manera que: )x(R)x(q)x(P 2 += 
 
 Esquema: 
 P(x) q(x) 
 R(x) 
 
 Donde: P(x) : es el polinomio radicando 
 q(x) : es la raíz 
 R(x) : es el residuo 
Para extraer la raíz cuadrada de un polinomio, se 
debe tener presente: 
 
a) El polinomio radicando generalmente debe ser 
completo y ordenado en forma descendente y si 
faltase algún término se puede completar con 
ceros. 
 
b) Se divide en periodos de dos en dos empezando 
por la derecha. 
 
c) Se extrae la raíz cuadrada del primer término, 
que viene a ser el primer término de la raíz 
cuadrada obtenida. 
 
d) Se eleva al cuadrado el término obtenido y se 
le cambia de signo, escribiéndolo debajo de su 
correspondiente semejante en el polinomio. 
 
e) Se baja el primer periodo, a continuación se 
duplica la raíz obtenida hasta el momento. 
 
f) Se divide el primer término del resto obtenido 
hasta ese momento, entre el primer término 
de la raíz que se duplicó. 
 
g) El valor obtenido, es el segundo término de la 
raíz que se esta obteniendo. Se procede los 
pasos e,f,g. 
 
h) El resto debe ser de grado menor que la raíz 
obtenida. 
 
Ejemplo : Hallar la raíz cuadrada de: 
 4+20−229+310−4 xxxx 
 Solución 
4+20−229+310−4 xxxx 2+5−2 xx RAÍZ 
4− x 2( 2x ) = 2( 2x ) 
 229+310− xx xxx 5−=22÷310− 
 225−310 xx 225−310=55−22 xxxxx ))(( 
 4+20−24 xx 2 xxxx 10−22=5−2 )( 
 4−20+24− xx 2=22÷24 xx 
 RESTO 0 4−20+24−=2−2+10−22 xxxx )()( 
 
Por tener resto cero se dice que es raíz cuadrada 
exacta. 
Propiedades: 
Sean r(x) la raíz del polinomio P(x) y R(x) el 
resto, entonces: 
 
Grado de la Raíz = 
raíz la de Indice
Radicando del Grado 
 
Grado de Rmáx = Grado de la Raíz – 1 , 
donde R es el resto. 
 
 En n P(x) se presentan dos casos: 
a) Si n P(x) es exacta, entonces 
 )x(r)x(P n= y R(x) = 0 
 
b) Si n P(x) es inexacta, entonces 
 )x(R)x(r)x(P n += , donde: R(x) ≠ 0 
 
 
 
 
 
 
196 
 
RADICALES DOBLES 
Se llama así a aquellos radicales que dentro de un 
radical se encuentre otros radicales relacionados 
mediante adiciones o sustracciones, por lo general 
son de la forma 
 
 D C B A ; B A ±±±± 
 
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A 
SIMPLES 
 
I. RADICALES DE LA FORMA B A ± 
 
a) Primer Método: 
 
perfectoCuadradounserdebe"BA"Ademàs
A
−
=
±
+
=±
2
B - A C donde 
2
C -A 
 
2
C A 
 B 
2 
 
Ejemplo: Transformar: 72+11 
Solución: Calculamos el valor de C 
 
749721217211C 2 ==−=−= 
entonces: 
 29
2
711
2
7117211 +=−++=+ 
237211 +=+ 
 
b) Segundo Método (Forma Práctica): 
 
ba ,b a ba2 b a B A >±=±+=± 
Donde: A = a + b y b a2 B = 
 
Ejemplo: 
Transformar a radical simple: 26 11 − 
 
Solución: 26 11 − = 182 11 − = 
 
 9 + 2 9 x 2 
por lo tanto se descompone en 
 
 26 11 − = 2 - 3 2 - 9 = 
 
II. RADICALES DE LA FORMA 
 D C B A ±±± 
 
c b a D C B A ±±=±±± 
Donde: a + b + c = A, 
 D bc 2 ,C ac 2 ,B ab 2 === 
Ejemplo: Hallar la raíz cuadrada de: 
 E = 21 - 8 3 + 4 5 - 4 15 
Solución: 
 
 E = 154543821 −+− 
 = 60220248221 −+− 
 
 (4 + 5 + 12) 4 x 12 5 x 4 5 x 12 
 
 E = 4 + 5 - 12 = 2 + 5 - 2 3 
 
RACIONALIZACIÓN 
 
Se denomina racionalización Aquel proceso que 
permite transformar una fracción con denominador 
irracional en otra fracción equivalente cuyo 
denominador sea racional. 
 
FACTOR RACIONALIZANTE (F.R) 
Es la expresión irracional por la que hay que 
multiplicar a otra expresión irracional, para 
convertirla en racional. 
 
CASOS 
 
1. FRACCION DE LA FORMA : n mx
N 
El F.R. del denominador es de la forma: 
n m-nx , donde ( mn > ). 
 
Nota: Cuando (n < m) se debe simplificar el 
radical del denominador 
 
 
Ejemplo : Racionalizar 
3 25 yx4
x3E = 
Solución: 
Primero se debe simplificar el denominador ya 
que el exponente de x es mayor que el índice de 
la raíz. Luego: 
 
 3 
3 
3 223 22 yx
 yx
 
 yxx4
3x 
 yxx4
x3E
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
= 
 
 y4
 yx3
 
 yx 4
 yx3x
 E 
3 3 ⋅
=
⋅
= 
 F.R. 
 
 
 
 
 
197 
 
2. FRACCION DE LA FORMA: 
BA
N
±
 
Se racionaliza utilizando el criterio de la 
conjugada, para transformar el denominador en 
una expresión racional. 
 
Ejemplo: Racionalizar: 
2 - 3
3 12M = 
 
( )
( )
( ) 2 3
2 3.
 2 - 3
 3 12 
2 - 3
3 12M
+
+
== 
( )6 3 12 
2 - 3
6 12 36 M +=+= 
 
3. FRACCIÓN DE LA FORMA: 
 
33 BA
N
±
 ó �
√��
�
∓ √��� � √��
� 
 
 
Se aplicarálo representado en el cuadro: 
 
�
√�� � √��
.
√��
�
∓ √��� � √��
�
√��
�
� √��� � √��
�
�
��√��
�
∓ √��� � √��
�
�
� � �
 
 
 
�
√��
�
∓ √��� � √��
� .
√�� � √��
√�� � √��
�
��√�� � √�� �
� � �
 
 
 
 
Ejemplo : Racionalizar 3 3 4 - 5
5 E = 
Solución:





 ++





 ++
⋅=
2 3 3 23 
2 3 3 23 
3 3 3 3 
45.45
45.45
 
)4- 5(
5 
4 -5
5 
( )
33 33 
33 3 
4 - 5
16 20 25 5 E ++= 
 
( )33 3 16 20 25 5 E ++= 
 
IV. FRACCIÓN DE LA FORMA: nn BA
N
±
 
 
Cuando el denominador irracional es un binomio 
cuyos radicales son índices mayores que 3, en este 
caso el factor racionalizante depende del índice y 
estará relacionado con los cocientes notables 
exactos. 
 
Veamos los siguientes casos: 
a) Si el denominador es de la forma: nn BA − 
tendrá como factor racionalizante a 
1nn3n3nnn2nn1nn B......BABAA
−−−−
++++ 
 
b) Si el denominador es de la forma nn BA + 
tendrá como factor racionalizante a 
 
1nn3n3nnn2nn1nn B......BABAA
−−−−
+−+− 
 
Resumen: 
a) Si “n” es par entonces 
 
 
 
 
b) Si “n” es impar entonces 
 
 
 
 
 
Ejemplo: Hallar el denominador racionalizado de: 
 2424 2528
6
−
 
 
Solución: 
 
1
.)R.F(2
3
.)R.F(6
2528
.R.F6
R.F
R.F.
2528
6
2528
6
24242424
==
−
=
−
=
− 
 
 el denominador racionalizado es 1 
 
Ejemplo: Hallar el denominador racionalizado de: 
 
2727 535
25
+
 
 
Solución: 
 
8
.).(5
40
.).(25
535
.).(25
..
...
535
25
535
25
27272727
RF
RFRF
RF
RF
=
=
+
=
+
=
+
 
 
el denominador racionalizado es 8 
 
 
 
 
 
 
 
198 
 
EJERCICIOS RESULTOS 
 
1) Descompner en radicales simples: 
 62213 2 −++−= xxxE 
Solución : 
Factorizando: 
 ( )( )23262 2 +−=−+ xxxx 
La suma de estos factores es: 
 ( ) ( ) 13232 −=++− xxx 
Entonces: 
 ( ) ( ) ( )( )2322232 +−+++−= xxxxE 
 232 ++−= xxE 
 
2) Simplificar : 
 E = 
21x
1xx1xx 4 24 2
++
−−+−+ 
Solución : 
Elevando al cuadrado : 
21x
)1x(x21xx1xxE
4 2222
2
++
−−+−−+−+
=
 
21x
21xx1xxE
22
2
++
+−−+−+
= 
Haciendo : 1xx1xxM 22 −−+−+= 
Elevando al cuadrado : 
)1x(x21xx1xxM 22222 −−+−−+−+= 
2x2M2 += 
Entonces : 1x2M += 
Reemplazando en “ 2E ” : 
21x
21x2E
2
2
++
++
= 
Factorizando tenemos : 
)21x(
)21x(2E2
++
++
= 
4 2E = 
 
 
3) Hallar el valor de : 
M = 2102786174 −++ 
Solución : 
 M = )2()5(2274 )8()3(217 −++ 
 = 
2
)25(223 −++ 
 = 25)12( 2 −++ 
 = 2512 −++ 
 
entonces 6M = 
 
4) Al racionalizar la expresión: 
35225
32
33 −+
=A el denominador entero 
simplificado que se obtiene es: 
a) 1 b) 2 c) 4 d) 16 e) 32 
 
Solución : Hacemos lo siguiente: 233 525 = y 
luego un cambio de variable: 3 5=a 
v El denominador tiene la forma: 
 ( )( )13322 −+=−+ aaaa ; entonces: 
 
 ( )( ) 21
21
33 1535
32
FRxFR
FRxFR.A
−+
= 
v Donde: 2331 3535 +−=FR y 
 155 3232 ++=FR 
Entonces: 
 
( )( ) 4432
32
1535
32 2121
3
21 FRxFR
))((
FRxFRxFRxFRxA ==
−+
= 
 
Por lo tanto el denominador es 4 
 Respuesta c 
 
5) Después de racionalizar: 
532
532
−+
++ ; el 
denominador de la fracción resultante es: 
a) 22 b) 12 c) 14 d) 16 e) 32 
 
Solución : 
 
Agrupando de manera conveniente el 
denominador, se reconoce el F.R. 
22
2
5)32(
)532(
5)32(
532
5)32(
532
−+
++
=
++
++
•
−+
++
 
22
)132()532(
132
132
)132(2
)532( 22 −++
=
−
−
•
+
++
=
Luego el dominador es 22 
 Respuesta a