EXPRESIONES RACIONALES - Carlos Tomas Santana Colin

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Unidad 2: EXPRESIONES RACIONALES. 
2.1 Propiedades. 
2.1.1 La expresión radical. 
Considere la expresión radical: √𝑏
𝑛
 
Donde: 
 b=radicando 
n=índice 
√ = signo radical 
La raíz cuadrada de un número positivo "𝑎", descrita como "√𝑎" es un numero 
positivo "𝑥" ; tal que "𝑥2 = 𝑎". 
La raíz cubica de un número "𝑎", escrita como raíz "√𝑎
3
" es el número "𝑥" tal que 
"𝑥3 = 𝑎". 
Las expresiones radicales que tienen índices 2, 4,6… o cualquier número par, 
reciben el nombre de raíces pares. 
Las expresiones radicales que tienen índices 3, 5,7… o cualquier número impar, se 
denominan raíces impares 
Para cualquier número real "𝑎", se tiene: √𝑎2 = |𝑎| 
2.1.2 Radicales de productos y cocientes. 
Para números reales positivos "𝑎 𝑦 𝑏" , se tiene: 
i) ( √𝑎
𝑛
)( √𝑏
𝑛
) = √𝑎𝑏
𝑛
 (regla del producto para radicales) 
ii) 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 = √
𝑎
𝑏
𝑛
 (regla del cociente para radicales) 
Ejemplos: 
 
 
11 
1) √203 = {
√1
3
√20
 3
√4
3
√5
 3
√2
3
√10
 3
 
2) √𝑥7
3
{
√𝑥
3
∙ √𝑥6
3
← 𝑥2 √𝑥
3
√𝑥3 ∙
3
√𝑥4
 3
√𝑥3 ∙
3
√𝑥4
3
← 𝑥 ∙ √𝑥4
3
 
3) 
√𝑥3
√𝑥
= √
𝑥3
𝑥
= √𝑥2 = 𝑥 
2.2 Operaciones 
2.2.1 Simplificación. 
Ahora que conocemos la regla del producto y del cociente para radicales, las 
usaremos para simplificar radicales. 
Procedimientos: 
1. Si el radicando contiene un coeficiente distinto de uno, escríbalo como el 
producto de dos números, uno de los cuales es la potencia perfecta del 
índice. 
2. Escriba cada factor variable como producto de dos variables, donde uno de 
los cuales sean de la máxima potencia perfecta de la variable del índice. 
3. Utilice la regla del producto para escribir la expresión radical como un 
producto de radicales. Coloque todas las potencias perfectas (números y 
variables) bajo el mismo radical. 
4. Simplifique el radical que contienen las potencias perfectas. 
Ejemplos: 
1) √54
3
= √(27)(2)
3 = 3√2
3
 
2) √8 = √(2)(4) = √2 √4 = 2√2 
3) √32 = √(4)(8) = √4 √8 = 4√2 
 
 
12 
4) √16
3
 = √8
3
 √2
3
 = 2√2
3
 
5) √𝑥6
3
 = 𝑥2 
6) √𝑦20
5
 = 𝑦4 
7) √28 = √(4)(7) = 2√7 
8) √600 = √(25)(24) = 5√24 
9) √24
3
= √(8)(3)
3
= 2√3
3
 
2.2.2 Multiplicación y División. 
Para multiplicar radicales, se utiliza la regla del producto y después con 
frecuencia se simplifica el nuevo radical. 
Para dividir radicales, se utiliza la regla del cociente y luego se simplifica el nuevo 
radical. 
Ejemplos: 
1) √2𝑥
3
∗ √4𝑥2
3
= √8𝑥3
3
= 2𝑥 
2) √4
3
√14
3
= √56
3
= √(8)
3
√7
3
= 2√7
3
 
3) (5 − √6)(5 + √6) = 25 − √36 = 25 − 6 = 19 
4) (2 − √10)(2 − √10) = 22 − (√10)2 = 4 − 10 = −6 
5) 
√3
3
√81
3 = √
3
81
3
= √
1
27
3
=
1
3
 
6) √5𝑎𝑏2
3
 √25𝑎4
3
𝑏12= √(5𝑎𝑏2)(25𝑎4𝑏12
3
) = √125𝑎5𝑏14 
𝟑
= √125𝑎5𝑏14 
𝟑
 
 √125
𝟑
 √𝑎5
3
 √𝑏14
3
= √125
𝟑
 √𝑎3
3
 √𝑎2
3
 √𝑏12
3
 √𝑏2
3
= 5𝑎𝑏4 √𝑎2𝑏2
3
 
Ejercicios: 
1) √9𝑥7𝑦10
3
 √6𝑥4𝑦3 
3
= 9𝑥3𝑦4 √𝑥2𝑦
3
 
2) √3𝑥9𝑦12
4
 √54𝑥4𝑦7
4
= 3𝑥3𝑦4 √𝑥
4
𝑦3 
3) √𝑥24𝑦30𝑧9
5
 √𝑥13𝑦8𝑧7
5
= 𝑥7𝑦7𝑧3 √𝑥2𝑦3𝑧2
5
 
 
 
13 
4) √8𝑥4𝑦𝑧3
4
 √2𝑥2𝑦3𝑧7
4
= 2𝑥𝑦𝑧2 √𝑥2𝑧2
4
 
5) (8 + √2)(8 − √2) = 62 
2.2.3 Racionalización. 
Cuando el denominador de una fracción contiene una radical, generalmente 
simplificamos la expresión racionalizando el denominador, lo cual consiste en 
eliminar todos los radicales del denominador. 
Regla: 
 Multiplique el numerador y el denominador de la fracción por un radical, de 
tal manera que el radicando del denominador, se convierta en una potencia 
perfecta. 
Ejemplos: 
a) 
𝑥
4√3
= 
𝑥
4√3
∗
√3
√3
=
𝑥√3
4√32
=
𝑥√3
12
 
b) 
𝟓
√𝟑
𝟒 = 
 5
√3
4 ·
√27
4
√27
4 =
5 √27
4
√81
4 = 
5 √27
4
3
 
c) 
5
√𝑧2
4 = 
5
√𝑧2
4 ∗
√𝑧2
4
√𝑧2
4 =
5 √𝑧2
4
√𝑧4
4 =
5 √𝑧2
4
𝑧
 
d) 
𝟐
√𝟗𝟒
𝟕 = 
2
√94
7 ·
√93
7
 √93
7 =
2 √36
7
√97
7 =
2 √729
7
9
 
Cuando el denominador de una expresión racional es un binomio que contiene un 
radical, racionalizamos el denominador multiplicando el numerador y el 
denominador de la fracción por el conjugado del denominador. 
Ejemplos: 
a) 
13
4+√3
 = 
13
4+√3
∗
4−√3
4−√3
=
52−13√3
16−3
=
52−13√3
13
= 4 − √3 
b) 
 𝟏
𝟐+√𝟑
 = 
1
2+√3
·
2−√3
2−√3
=
2−√3
(2)2(√3)2
=
2−√3
4−√9
=
2−√3
4−3
=
2−1√3
1
= 2 − √3 
c) 
𝟑
𝟓−√𝟕
 = 
3
5−√7
·
5+√7
5+√7
=
15+3√7
25+√49
=
15+3√7
25+7
=
(5)(3)+3√7
32
=
5√7
32
 
 
 
14 
d) 
2
√3+1
=
2
√3+1
∗
√3−1
√3−1
=
2(√3−1)
3−1
=
2(√3−1)
2
= √3 − 1 
 
2.2.4 Adición y sustracción. 
Los radicales semejantes son aquellos que tienen el mismo radicando y el 
mismo índice, se pueden sumar y restar de manera similar a como se suman y se 
restan sus los términos semejantes (coeficientes numéricos). 
Ejemplo: 
2√𝑥
3
+ 8𝑥 + 4√𝑥
3
− 3 = 6√𝑥
3
+ 8𝑥 − 3 
 
Regla para sumar y restar radicales: 
1. Simplifique cada expresión radical. 
2. Combine (sume o reste) los radicales semejantes. 
Ejemplos: 
1) 5√24 + √54 = 5√4√6 + √9√6 = (5)(2)√6 + 3√6 = 13√6 
2) √500𝑥𝑦2 + 𝑦√320𝑥 = √5√100√𝑥√𝑦2 + 𝑦√64√5√𝑥 
 = 10𝑦√5𝑥 + 8𝑦√5𝑥 = 18𝑦√5𝑥 
3) 2√5𝑥 − 3√20𝑥 − 4√45𝑥 = 2√5√𝑥 − 3√4√5√𝑥 − 4√9√5√𝑥 
 = 2√5𝑥 − 3(2)√5𝑥 − 4(3)√5𝑥= 2√5𝑥 − 6√5𝑥 − 12√5𝑥 = −16√5𝑥 
4) 4√5
3
− 5√40
3
 = 4√5
3
− 5√8
3
√5
3
 = 4√5
3
− 5(2)√5
3
 = 4√5
3
− 10√5
3
 = −6√5
3
 
5) √108
3
+ √32
3
 = √27
3
√4
3
+ √8
3
√4
3
 = 3√4
3
+ 2√4
3
 = 5√4
3
 
6) √27
3
− 5√8
3
 = 3 − 5(2) = 3 − 10 = −7 
 
 
 
15 
2.3 Ecuaciones 
Las ecuaciones con radicales son aquellos que tienen la incógnita dentro del 
radical. 
 
2.3.1Soluciones de ecuaciones con un radical 
Para resolver ecuaciones con radiales: 
1) Escribe la ecuación de modo de que el radial que contiene a la variable quede 
solo aislado en un lado de la ecuación. 
2) Eleva cada lado de la ecuación a una potencia igual al índice del radical. 
3) Combina (agrupa y suma) los términos semejantes. 
4) Si la ecuación aun contiene un término como una variable en un radical, 
repite los pasos 1 a 3. 
5) Despeja la variable en la ecuación resultante. 
6) Verifique todas las soluciones en la ecuación original para evitar soluciones 
extrañas. 
Ejemplos: 
1) 
 
 
 
 
 
16 
Comprobación 
 
 
2) √2x+7 = 13 
√2x = 13 - 7 
(√2x)2 = 62 
2x = 36 
x = 36/2 
x = 18 
2.3.2 Solución de ecuaciones con suma de radicales