Cap 02

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Grado de las Expresiones 
Algebraicas 
 
 
DEFINICIONES PREVIAS: 
o MONOMIO : Expresión del tipo Racional 
entera de UN solo término 
Ejemplo: 
� ���� 4�� 
 
o POLINOMIO: Es aquella expresión 
matemática donde intervienen las 
operaciones de adición y sustracción para 
unir monomios. 
Ejemplo: 
����� 4�� � 7�� � 8�� 
 
GRADO DE UN POLINOMIO 
Se denomina grado a la característica relacionada 
con los exponentes de las variables de una 
expresión algebraica. Se distinguen dos tipos de 
grados: Grado Absoluto (GA) y Grado Relativo (GR). 
 
Para un Monomio: 
 
Grado Relativo: Es el exponente que afecta a la 
variable indicada. 
 
Grado Absoluto: Es la suma de los exponentes que 
afectan a todas las variables indicadas. 
Ejemplo: 
Dado el monomio F (x,y,z) = -52x9y5x 
GR(x) = 9 GR(y) = 5 GR(z) = 1 GA(F) = 15 
 
Para un Polinomio: 
Grado Relativo: Es el mayor exponente que afecta 
a la variable seleccionada en toda la expresión. 
 
Grado Absoluto: Es el grado absoluto 
(simplemente grado), del término de mayor grado 
en dicho polinomio. 
Dado el polinomio 
356427 yx5yx3yx7)y,x(P +−= 
GR(x) = 7 GR(y) = 6 GA = 10 
Nota: El grado del término independiente es cero. 
 
Representación general de polinomios de acuerdo 
al grado 
Considerando la variable "x" y las constantes a, b, c 
y d tal que a ≠ 0, tenemos : 
De grado cero: a 
De primer grado: ax + b 
De segundo grado: ax2 + bx + c 
De tercer grado: ax3 + bx2 + cx + d 
 
Grados en operaciones con polinomios 
Sean los polinomios P(x) de grado m, y Q (x) de 
grado n (con m > n), entonces: 
1. GA [P(x) ± Q (x) ] = m 
2. GA [P(x) . Q(x) ] = m + n 
3. GA 





)x(Q
)x(P = m − n 
4. GA r)]x(P[ = r.m 
5. GA 
r
m)x(Pr = , r ≠ 0 
 
POLINOMIOS ESPECIALES 
Ø Polinomio Homogéneo 
Es aquel polinomio cuyos términos tienen el mismo 
grado absoluto. A éste grado común se le denomina 
grado de homogeneidad. 
Ejemplo : 
P( x, y, z ) = x3 - 6x2y + 7xy2 - 9y3 
Es un polinomio homogéneo de grado 3 
PROPIEDAD: 
Sea ),( yxP un polinomio homogéneo de grado ""n 
Entonces: ),(),( yxpkkykxP n= 
 
Ø Polinomio Ordenado 
Con respecto a una variable, un polinomio está 
ordenado si los exponentes de esta variable lo 
están ya sea en forma ascendente o descendente, 
no necesariamente en forma consecutiva. 
Ejemplo: 
P(x,y) = x5y - x3y2 + xy3 , es un polinomio ordenado 
en forma descendente respecto a "x" y en forma 
ascendente respecto a "y". 
 
Ø Polinomio completo 
Con respecto a una variable, un polinomio es 
completo, si existen todos los exponentes de dicha 
variable, desde el exponente 0 hasta el grado del 
polinomio. 
 
Teorema: Si un polinomio es completo en una variable, 
entonces el número de términos es igual a su grado 
aumentado en 1, es decir: 
NT = GA + 1 
 
Ejemplo: 
 
 
 
 
 
164 
 
P(x) = 2 +x5 + 2x- π x4 + 4x3+ ( 2 -1)x2, es 
de quinto grado con seis términos. 
 
Ø Polinomio entero en “x” 
Es aquel que depende únicamente de la variable "x", 
siendo sus coeficientes números enteros. 
Ejemplo : 
P(x) = 3x3 + 2x2 - 1 , es un polinomio entero en "x" 
de tercer grado. 
 
Ø Polinomio mónico 
Es aquel polinomio entero en "x" que se 
caracteriza por que su coeficiente principal 
(coeficiente de la variable con mayor exponente) es 
igual a la unidad. 
Ejemplo : 
P(x) = x5 – 5x + 8, es un polinomio mónico de 
quinto grado. 
 
Ø Polinomios idénticos 
Dos o más polinomios en las mismas variables son 
idénticos, cuando tienen los mismos valores 
numéricos para cualquier valor que se le asigne a 
sus variables. 
Ejemplo: 
P(x,y) = (x+y)2-4xy 
Q(x,y) = (x-y)2 
Vemos que P y Q tienen el mismo valor numérico, y 
se denota por: P(x,y) ≡ Q(x,y) 
 
Teorema: Polinomios idénticos son aquellos cuyos 
términos semejantes poseen el mismo coeficiente. 
 
Ø Polinomios equivalentes 
Son aquellos polinomios que teniendo formas 
diferentes aceptan igual valor numérico para un 
mismo sistema de valores asignados a sus variables. 
Ejemplo. Dados los polinomios 
P(x,y) = (x + y)2 + (x - y)2 
Q (x,y) = 2(x2 + y2) 
Nótese que : P(x,y) y Q (x,y) son equivalentes 
y denotamos: 
P(x,y) �� Q (x,y) 
 
Ø Polinomio idénticamente nulo 
Es aquel que tiene sus coeficientes todos nulos. Su 
valor es cero para cualquier valor de la variable. 
Ejemplo: 
Si P(x) = ax4 + bx + c es idénticamente nulo. Se 
cumplirá que: a = b = c = 0 y se representa por : 
P(x) ≡ 0 
 
Valor numérico de un polinomio 
Es el valor que adquiere un polinomio cuando se le 
asigna un determinado valor a su variable. 
Ejemplo: 
Si P(x) = x3 – 5x2 + 4, entonces 
 P(1) = (1)3 – 5(1)2 + 4 = 0 
 P(-2) = (-2)3 – 5(-2)2 + 4 = 6 
 
Nota : 
La suma de los coeficientes del polinomio P(x) es 
P(1), es decir, 
Σ coef. de P(x) = P(1) 
El término independiente del polinomio P(x) es 
P(0), es decir 
T. I. de P(x) = P(0) 
 
 
 
EJERCICIOS RESUELTOS 
 
1. Hallar la suma de valores de “n” para los cuales 
la expresión. 
n
n
yx 2
128
2
210
34 −
−
 es un polinomio 
a) –14 b) 8 c) 6 d) 9 e) 3 
Solución 
Por ser polinomio: 
NyN n
n
∈∈
−
2
128
2
210
 
Sólo se cumple si: n = 1,2,3 
∑ n = 1+2+3 = 6 
 Respuesta : alternativa “c” 
 
2. En el polinomio homogéneo 
1n42n42n41n4 yxyyxx −−−− ++++ L que 
también es completo y ordenado se verifica que 
la suma de los grados absolutos de sus 
términos es de 240. Hallar su grado de 
homogeneidad: 
a) 4 b) 15 c) 16 d) 60 e) 4n 
Solución 
Por dato del problema : 
 
 
 
 
 
165 
 
∑ de los grados absolutos = 240, entonces 
 (4n−1) + (4n−1) + (4n−1) + LL + (4n−1) = 240 
como el polinomio es completo, homogéneo y 
ordenado, entonces : 
# de términos = G.A. + 1 
además G.A. = 4n − 1 
entonces # de términos = 4n 
luego 
 240)1n4()1n4()1n4(
vecesn4
=−++−+−
444444 3444444 21
L 
 4n(4n−1) = 240 
de donde n = 4 
luego el grado de homogeneidad es: 
4n−1 = 15 
Respuesta: alternativa “b” 
 
3. Dado el polinomio P(x) y Q(x), se sabe que los 
polinomios: P3(x).Q(x) y P3(x) ÷ Q2(x), son de 
grado 17 y 2 respectivamente. Hallar el grado 
de P(x).Q(x). 
a) 4 b) 6 c) 10 d) 15 e) 9 
Solución 
Sea P(x) un polinomio de grado m 
Sea Q(x) un polinomio de grado n 
Luego: P3(x).Q(x) = 3m + n 
 P3(x) ÷ Q2(x) = 3m – 2n 
Entonces: 3m + n = 17 
 3m – 2n = 2 
de donde m = 4 y n = 5 
entonces P(x).Q(x) es de grado: 
m + n = 9 
Respuesta: alternativa “e” 
 
4. En el polinomio 
 P(x + 1) = (3x+2)2n (5x+7)2 (4x+7) 
Se observa que: 
3∑ coef = 343 veces el término independiente 
Calcular el valor de n 
a) 4 b) 3 c) 1 d) 2 e) 0 
Solución 
I. ∑ coef = P(1) 
Si x = 0 
→ P(1) = 22n . 72 . 7 = 2n . 343 
II. T. Ind. = P(o) 
Si: x = -1 
→ P(o) = (-1)2n . (-5 + 7)2 . (-4 + 7)= 22 . 3 
Por dato: 3(22n . 343) = 343 . 22 . 3 
 n = 1 
Respuesta: alternativa “c” 
5. Determinar el valor de “k” si el polinomio 
5
202b
1a5
2b
ka2a y3yx2x)y,x(P
+
+++ +−= 
es homogéneo ; a < b < 9 , k ∈ Z 
Solución 
como P(x,y) es homogéneo entonces: 
5
20b1a
5
bkaa
222 +=++=++ ⇒
 
5
20b1a
5
b 22 +
=++ 
4
5
b1a
5
b 22
+=++ ⇒ a = 3 
 
luego como a < b < 9 entonces 3 < b < 9 y 
puesto que 
5
20b2 + debe ser entero por ser 
P(x,y) un polinomio, entonces b = 5. ahora 
5
20bkaa
22 +=++ ⇒ 12 + k = 9 
 ⇒ k = -3 
Respuesta: alternativa “c”