Tema 6

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Inferencia Estadística
1
I
Delia Montoro Cazorla. Dpto. de Estadística e I.O. Universidad de Jaén.
Capítulo 6. Introducción a
la Inferencia Estadística
6.1 Introducción
El principal objetivo de la Estadística es inferir o estimar características de
una población que no es completamente observable (o no interesa observarla
en su totalidad) a través del análisis de una parte de ella a la que llamamos
muestra. Las razones por las que generalmente se trabaja con muestras son
principalmente:
- Económicas.
- Tiempo: si la población es muy grande llevaría tanto tiempo analizarla
que incluso la característica de interés podría variar en ese período. Por
ejemplo, la tasa de paro.
- Destrucción: la medición de cierta característica podría llevar a la destruc-
ción del individuo. Por ejemplo, al estudiar la supervivencia de ciertos
animales a un tratamiento.
Lo que se hace entonces es analizar la muestra y extrapolar conclusiones
desde la muestra a la población. Ahora bien, para considerar válidas en la
población las conclusiones obtenidas en la muestra, ésta ha de representar bien
3
a la población (muestra representativa). Por lo tanto, la selección de la mues-
tra es de suma importancia, y para ello hay diversos métodos (métodos de
muestreo). Cuando se intuye que la característica en estudio puede presentar
valores homogéneos en la población, una forma de obtener una muestra repre-
sentativa es eligiéndola al azar. A este método de selección de la muestra se le
llama muestreo aleatorio simple y es el más sencillo.
Otros métodos de muestreo son: muestreo sistemático, muestreo por cuo-
tas, muestreo estratificado, muestreo por conglomerados, etc. El muestreo sis-
temático es una alternativa al muestreo aleatorio simple. Consiste en listar a los
individuos de la población y seleccionar a los individuos para la muestra de k en
k a partir de un individuo seleccionado al azar de entre los k primeros, para un k
determinado. El muestreo estratificado tiene sentido cuando la característica en
estudio no es homogénea en la población, presenta alta variabilidad. Entonces
la población se divide en subpoblaciones o estratos, distintos entre sí y dentro
de los cuales la característica se comporta de una forma homogénea. En cada
estrato se selecciona una muestra aleatoria simple, con tamaño en función del
tamaño del estrato, y la unión de todos los individuos seleccionados en cada
estrato constituye la muestra de la población. Por ejemplo, si sospechamos que
la característica en estudio en la población, como podría ser la opinión acerca
de los métodos anticonceptivos, puede variar en función de la edad, la selección
de la muestra debería hacerse a partir de estratos de edad. El muestreo por con-
glomerados consiste en dividir la población en subpoblaciones parecidas entre sí
y heterogéneas internamente, de forma que cada conglomerado incluya toda la
variabilidad presente en la población. El muestreo por cuotas se utiliza general-
mente como alternativa al muestreo estratificado, es más barato y no requiere
un listado de individuos para cada estrato. La selección de la muestra debe
hacerse simplemente respetando unas cuotas (o porcentajes) de individuos con
unas determinadas características, en proporción a las cuotas de individuos con
tales características en la población. Por ejemplo, supongamos que la opinión
acerca de métodos anticonceptivos puede variar además de por edad por sexo.
Una alternativa a la división de la población en estratos de edad y sexo, si cono-
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cemos la proporción de cada sexo y la distribución de la edad en la población, es
exigir que estas características aparezcan en la misma proporción en la muestra
que en la población. Esto conduciría a seleccionar la muestra respetando unas
cuotas fijas de hombres y mujeres por grupos de edad.
A la proporción de individuos en la población seleccionados en la muestra se
le llama fracción de muestreo, esto es, al cociente entre el tamaño muestral y el
tamaño de la población.
La Inferencia Estadística se puede clasificar en inferencia paramétrica e in-
ferencia no paramétrica. La inferencia paramétrica tiene lugar cuando se conoce
la distribución de la variable de estudio en la población, y el interés recae sobre
los parámetros desconocidos de la misma. La inferencia no paramétrica tiene
lugar si no se conoce la distribución y sólo se suponen propiedades generales de
la misma. Nosotros nos centramos en la inferencia paramétrica, y nuestro obje-
tivo será inferir o estimar parámetros poblacionales a partir de la información
que nos proporciona una muestra.
Supongamos que estudiamos una variable X =Nivel de glucosa en sangre en
ayunas en una población de diabéticos y sabemos que presenta una distribución
N(µ, 8), donde µ es un parámetro de la distribución y es desconocido. Además
sabemos que coincide con la media poblacional, µ = E(X). De haber medido
la característica X en todos los individuos de la población, claramente cono-
ceríamos el valor de µ. Como no es el caso, debemos hacernos una idea acerca
del valor de µ en base a la información que nos proporciona una muestra selec-
cionada al azar de la población. Los problemas de inferencia que pueden darse
son: de estimación, en los que se busca un valor (estimación puntual) para µ
o un conjunto de valores posibles para el mismo (estimación por intervalos de
confianza), y de contraste, cuyo objetivo es comprobar si es cierta o falsa cierta
hipótesis formulada sobre el parámetro µ. En este tema vemos cómo estimar
puntualmente y por intervalos de confianza un parámetro. En el tema siguiente
estudiamos constrastes de hipótesis.
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6.2 Estimación puntual
El problema de estimación puntual, según coméntabamos consiste en asignar
un valor a un parámetro poblacional (media, varianza, proporción) en base
a la información que nos proporciona una muestra seleccionada al azar de la
población.
Ejemplo 6.1: Supongamos que queremos estudiar el nivel de glucosa en san-
gre en ayunas en diabéticos, y esta variable X sigue una distribución N(µ, σ),
siendo µ y σ la media y desviación típica poblacional respectivamente, y de-
sconocidas al no haber podido o no haber medido esta variable sobre toda la
población diabética. Tendremos que estimar un valor para µ y σ. Con este
fin, seleccionamos una muestra aleatoria de n diabéticos, y X1, ...,Xn serían los
niveles de glucosa correspondientes a cada individuo. En principio X1, ...,Xn
son variables aleatorias, independientes, con distribución N(µ, σ), y pasan a ser
números en el momento en que a cada uno de esos individuos le medimos el
nivel de glucosa en sangre. A los resultados obtenidos, x1, ..., xn, se le llama
realización de la muestra (X1 = x1, ...,Xn = xn).
Nos centramos en la estimación del parámetro µ. ¿Cómo estimarlo a partir
de la muestra?. Como µ es la media poblacional, parece lógico poder estimarla
a partir de la media muestral. La media muestral viene dada por
−
X =
X1 + ...+Xn
n
,
y, al ser utilizada para estimar la media poblacional µ, recibe el nombre de
estimador de µ. Es una variable aleatoria, y por lo tanto presentará una dis-
tribución de probabilidad. En el momento que consideramos la realización de
la muestra x1, ..., xn pasa a ser un número:
−
x =
x1 + ...+ xn
n
,
y
−
x es la estimación puntual de µ.
ˆ
µ =
−
x
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Si los niveles de glucosa observados para 10 individuos que constituyen la
muestra son: 163,102,146,131,128,130,146,109,115,210, entonces
ˆ
µ =
163 + ...+ 210
10
= 138
Análogamente, el mejor estimador para la varianza poblacional σ2 es la
varianza muestral S2, cuya expresión es
S2 =
nX
i=1
(Xi − µ)2
n− 1 ,
y
s2 =
nX
i=1
(xi − −x)2
n− 1
es la estimación puntual de σ2,
ˆ
σ2 = s2
Para la muestra anteriorresulta:
s2 = 979.55
Si lo que queremos es estimar una proporción p de individuos en la población
que verifican una determinada condición, el mejor estimador para p es la pro-
porción muestral, dada por
ˆ
p =
X
n
,
siendo X el número de individuos que verifican tal condición en la muestra.
Así por ejemplo, la proporción de diabéticos con un nivel de glucosa mayor
que 110 mg/l se estima en:
ˆ
p =
8
10
= 0.8
Lógicamente, al estimar un parámetro o característica poblacional por un
parámetro muestral generalmente cometemos un error, al que se denomina error
de muestreo. Siempre debemos acompañar a una estimación de una medida de
su precisión. A la desviación típica del estimador se le llama error típico de
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estimación. La precisión del estimador es igual a la inversa del error típico
de estimación. En el caso de la media el error de muestreo viene dado por
E =
¯̄̄̄
µ−
−
X
¯̄̄̄
y el error típico por
σ√
n
.
La precisión en la estimación depende fundamentalmente del tamaño de la
muestra (n) y de la variabilidad en la población (σ2). A mayor tamaño muestral
menor error o mayor precisión y a mayor variabilidad mayor error.o menor
precisión.
En la estimación de la proporción poblacional, el error de muestreo es E =¯̄̄
p− ˆp
¯̄̄
y el error típico de la estimación viene dado por
r
p(1− p)
n
.
6.3 Distribuciones de muestreo (poblaciones nor-
males)
Decíamos que al ser el estimador de un parámetro poblacional una variable
aleatoria, presentará una distribución de probabilidad. Vemos a continuación
algunos resultados que indican la distribución de la media muestral, la vari-
anza muestral y la proporción muestral en una población normal. También se
obtienen las distribuciones de la diferencia de medias muestrales, cociente de
varianzas muestrales y diferencia de proporciones muestrales en dos poblaciones
normales e independientes.
6.3.1 Media muestral
• Sea X1, ...,Xn una m.a.s. de una población X con distribución N(µ, σ).
Entonces,
−
X =
X1 + ...+Xn
n
→ N
µ
µ,
σ√
n
¶
,
al ser combinación lineal de variables normales e independientes.
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6.3.2 Varianza muestral
• Sea X1, ...,Xn una m.a.s. de una población X con E(X) = µ y V ar(X) =
σ2. El estadístico varianza muestral se define como
S2 =
nX
i=1
(Xi − µ)2
n− 1
• Sea X1, ...,Xn una m.a.s. de una población X con distribución N(µ, σ).
Entonces:
(n− 1)S2
σ2
→ χ2n−1
y
−
X y S2 son independientes.
6.3.3 Diferencia de medias muestrales
Sea X1, ...,Xn1 una m.a.s de una población X, e Y1, ..., Yn2 una m.a.s. de una
población Y. Suponemos que las poblaciones X e Y son independientes y con
distribuciones normales N(µ1, σ1) y N(µ2, σ2) respectivamente.
Se pueden presentar los siguientes casos:
(a) σ21, σ
2
2 conocidas:
−
X −
−
Y → N
µ1 − µ2,
s
σ21
n1
+
σ22
n2
 ,
o equivalentemente
Z =
−
X −
−
Y − (µ1 − µ2)q
σ21
n1
+
σ22
n2
→ N(0, 1)
(b) σ21 = σ
2
2 = σ
2 desconocidas:
T =
−
X −
−
Y − (µ1 − µ2)
Sp
q
1
n1
+ 1n2
→ tn1+n2−2,
siendo
Sp =
s
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
y S21 y S
2
2 las varianzas muestrales de X e Y respectivamente.
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6.3.4 Cociente de varianzas muestrales
Sea X1, ...,Xn1 una m.a.s de una población X, e Y1, ..., Yn2 una m.a.s. de una
población Y. Suponemos que las poblaciones X e Y son independientes y con
distribuciones normales N(µ1, σ1) y N(µ2, σ2) respectivamente.
Entonces,
F =
S21
σ21
S22
σ22
→ Fn1−1,n2−1
Estudiamos además la distribución de una proporción muestral y de la difer-
encia de dos proporciones muestrales, con muestras procedentes de poblaciones
independientes.
• Proporción muestral
Sea X1, ...,Xn una m.a.s. de una población X. Sea p la proporción de
inviduos en la población que presentan una determinada característica, y
ˆ
p la proporción muestral. Entonces,
ˆ
p→ N(p,
r
p(1− p)
n
)
Nota: El número de individuos que presentan la característica en la mues-
tra sigue una distribución B(n, p), que con n suficientemente grande se
puede aproximar a una N(np,
p
np(1− p)). Por lo tanto, la proporción
muestral sigue también una distribución Normal con los parámetros ar-
riba indicados.
• Diferencia de proporciones muestrales
Sea X1, ...,Xn1 una m.a.s de una población X, e Y1, ..., Yn2 una m.a.s. de
una población Y. Suponemos que las poblaciones X e Y son independi-
entes. Denotamos por p1 y p2 las proporciones poblacionales y por
ˆ
p1 y
ˆ
p2 las correspondientes proporciones muestrales.
Entonces:
ˆ
p1 − ˆp2 → N
p1 − p2,
s
p1(1− p1)
n1
+
p2(1− p2)
n1

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Por lo tanto:
Z =
ˆ
p1 − ˆp2 − (p1 − p2)q
p1(1−p1)
n1
+ p2(1−p2)n1
→ N(0, 1)
6.4 Estimación por Intervalos de Confianza
Una alternativa a estimar puntualmente un parámetro poblacional y especificar
la precisión de la estimación es dar un intervalo de posibles valores entre los
cuales tiene que estar el parámetro con una determinada precisión. Esta es la
idea de un intervalo de confianza.
Un intervalo de confianza se define como un intervalo de valores entre los
cuales se encuentra el parámetro con un cierto grado o nivel de confianza, que
fija el investigador y al que denotamos por 1− α.
En esta sección se da la expresión del Intervalo de Confianza para una media,
varianza y proporción de una población normal, así como para la diferencia de
medias, cociente de varianzas y diferencia de proporciones de dos poblaciones
normales e independientes.
6.4.1 Intervalos de Confianza para medias, vari-
anzas y proporciones
- Intervalo de confianza para la media de una normal
Sea X1, ...,Xn una m.a.s. de X → N(µ, σ).
Varianza conocida (σ20) µ ∈
·
−
x ± σ0√
n
z1−α2
¸
Varianza desconocida µ ∈
·
−
x ± S√
n
t1−α2 ,n−1
¸
- Intervalo de confianza para la varianza de una normal
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Media conocida (µ0) σ
2 ∈

nP
i=1
(xi − µ0)2
χ21−α2 ;n
,
nP
i=1
(xi − µ0)2
χ2α
2 ;n

Media desconocida σ2 ∈
"
(n− 1)S2
χ21−α2 ;n−1
,
(n− 1)S2
χ2α
2 ;n−1
#
- Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos pobla-
ciones normales e independientes
Sean X1, ...,Xn1 una m.a.s. de X → N(µ1, σ1) y Y1, ..., Yn2 una m.a.s. de
Y → N(µ2, σ2), independientes.
Varianzas conocidas µ1 − µ2 ∈
·
−
x − −y ± z1−α2
r
σ1
n1
+
σ2
n2
¸
Varianzas desconocidas pero iguales (σ2) µ1 − µ2 ∈
·
−
x − −y ± t1−α2 ;n1+n2−2Sp
r
1
n1
+
1
n2
¸
con
Sp =
s
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2
- Intervalo de confianza para el cociente de varianzas de dos pobla-
ciones normales e independientes
Medias conocidas
σ22
σ21
∈

n2P
i=1
(yi − µ2)2
n1P
i=1
(xi − µ1)2
n1
n2
Fα
2 ;n1,n2
,
n2P
i=1
(yi − µ2)2
n1P
i=1
(xi − µ1)2
n1
n2
F1−α2 ;n1,n2

Medias desconocidas
σ22
σ21
∈
"
S22Fα2 ;n1−1,n2−1
S21
,
S22F1−α2 ;n1−1,n2−1
S21
#
- Intervalo de confianza para una proporción
Sea X1, ...,Xn una m.a.s. de X → Bernoulli(p).
p ∈
ˆp± z1−α2
s
ˆ
p(1− ˆp)
n

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- Intervalo de confianza para la diferencia de proporciones
Sean X1, ...,Xn1 una m.a.s. de X → Bernoulli(p1) y Y1, ..., Yn2una m.a.s.
de Y → Bernoulli(p2).
p1 − p2 ∈
 ˆp1 − ˆp2 ± z1−α2
s
ˆ
pt(1− ˆpT )
n1
+
ˆ
pt(1− ˆpT )
n2
 ,
siendo
ˆ
pT =
n1
ˆ
p1 + n2
ˆ
p2
n1 + n2
Ejemplo 6.2: En una encuesta de 1500 personas se ha obtenido que pre-
sentan depresión el 32%. Se quiere calcular un intervalo de confianza para la
proporción de personas con esta enfermedad en la población, p, al 99.5% de
confianza. El intervalo de confianza para p al (1− α)100% de confianza es:ˆp± z1−α2
s
ˆ
p(1− ˆp)
n
 =
ˆp− z1−α2
s
ˆ
p(1− ˆp)
n
,
ˆ
p+ z1−α2
s
ˆ
p(1− ˆp)
n

Se observa que:
- El intervalo depende de la muestra seleccionada
- La amplitud del intervalo depende del error típicode estimación de p,s
ˆ
p(1− ˆp)
n
, y mide por lo tanto la precisión de la estimación. Concre-
tamente, el error cometido en la estimación de p por
ˆ
p viene dado por
E =
¯̄̄
p− ˆp
¯̄̄
y es menor o igual que z1−α2
s
ˆ
p(1− ˆp)
n
con una probabilidad
(1− α).
- A mayor tamaño muestral n, menor amplitud, y por lo tanto mayor pre-
cisión en la estimación. Asímismo, cuanto mayor es el nivel de confianza,
mayor es el intervalo. y menor precisión se obtiene.
Interpretación: De 100 intervalos que obtuviéramos, al poder ser cada
intervalo distinto según la muestra seleccionada al azar, (1-α) ∗ 100 de ellos
contendrían el verdadero valor de p.
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En este caso el nivel de confianza es del 99.5%, por lo que 1-α = 0.995 y
z1−α2 = z0.9975 = 3. La proporción muestral es
ˆ
p = 0.32 y el tamaño de la
muestra n = 1500. El I.C. para p al 99.5% es entonces:ˆp± z1−α2
s
ˆ
p(1− ˆp)
n
 = [0.32± 0.036] = [0.284, 0.356]
Por lo tanto, la proporción de individuos con depresión en la población estará
entre el 28.4% y el 35.6%, con una confianza del 99.5%.
En la estimación de p por
ˆ
p estamos cometiendo como mucho un error de
0.036 con una probabilidad de 0.995.
¿Cuál debería ser el tamaño de la muestra si se quiere que el error cometido
al estimar la proporción sea menor de 0.05 con una probabilidad 0.95?.
Sabemos que el error de estimación E =
¯̄̄
p− ˆp
¯̄̄
es menor o igual que
z1−α2
s
ˆ
p(1− ˆp)
n
con una probabilidad de (1 − α). En este caso 1-α = 0.95 y
α = 0.05. En consecuencia, el tamaño de muestra n para obtener un error en la
estimación inferior o igual a 0.05 con una probabilidad 0.95 debe ser:
z1−α2
s
ˆ
p(1− ˆp)
n
= 1.96
r
0.32(1− 0.32)
n
= 0.05
n =
µ
1.96
0.05
¶2
0.32(1− 0.32)
Ejemplo 6.3: Queremos estudiar la influencia que puede tener el tabaco
en el peso de los niños al nacer. Para ello se consideran dos grupos de mujeres
embarazadas, 35 no fumadoras y 27 fumadoras, y se obtienen los siguientes
datos sobre el peso de sus hijos X (en Kg):
Madres no fumadoras: n1 = 35
−
x1 = 3.6 S1 = 0.5
Madres fumadoras: n2 = 27
−
x2 = 3.2 S2 = 0.8
En ambos grupos los pesos de los recién nacidos proceden de sendas dis-
tribuciones normales e independientes, y suponemos que de idénticas varianzas.
Obtenemos un intervalo de confianza al 95% para el peso medio en cada grupo
y un intervalo de confianza para la diferencia de pesos medios.
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Sean X1 y X2 los pesos de recién nacidos en madres no fumadoras y fumado-
ras, respectivamente, con. X1 → N(µ1, σ1),X2 → N(µ2, σ2), independientes.
• I.C. al 95% para el peso medio de recién nacidos en madres no fumadoras:
µ1 ∈
·
−
x1 ± S1√
n1
t1−α2 ,n1−1
¸
=
·
3.6± 0.5√
35
t0.975,34
¸
• I.C. al 95% para el peso medio de recién nacidos en madres fumadoras:
µ2 ∈
·
−
x2 ± S2√
n2
t1−α2 ,n2−1
¸
=
·
3.2± 0.8√
27
t0.975,26
¸
• I.C. al 95% para la diferencia de medias:
µ1 − µ2 ∈
·
−
x1 − −x2 ± t1−α2 ;n1+n2−2Sp
r
1
n1
+
1
n2
¸
Hacemos cálculos intermedios,
Sp =
s
(n1 − 1)S21 + (n2 − 1)S22
n1 + n2 − 2 =
r
34 ∗ 0.25 + 26 ∗ 0.64
60
= 0.6473,
t0.975;60 = 2,
y el intervalo resulta:
µ1−µ2 ∈
"
3.6− 3.2± 2 ∗ 0.6473
r
1
35
+
1
27
#
= 0.40.±3316 = [0.068, 0.731],
con lo cual se puede decir que existen diferencias significativas entre ambos
pesos, y el hábito de fumar en las madres influye en el peso de los hijos.
Concretamente, el peso en que supera un hijo de madre no fumadora al de
otro de madre fumadora está comprendido entre los 0.068 kg y los 0.731
kg, con un nivel de confianza del 95%.
6.5 Ejercicios
1. Un psicólogo realiza un test para medir el tiempo de reacción de un sujeto.
Por experimentos anteriores conoce que el error de medida del test, dado
por su desviación típica es de 0.1 segundos. ¿Cuántas medidas debe hacer
al sujeto si se desea que con una probabilidad de 0.99 su error de estimación
sea menor que 0.05 segundos?.
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2. Se cree que la osteoporosis está relacionada con el sexo. Para ello se elige
una muestra aleatoria de 100 hombres mayores de 50 años y una muestra
de mujeres en las mismas condiciones. Se obtiene que 10 hombres y 40
mujeres presentan algún grado de osteoporosis. ¿Qué podemos concluir
con una confianza del 95%?.
3. Se ha medido el volumen diario de bilis (en litros) de 10 individuos sanos,
obteniéndose:
0.98, 0.85, 0.77, 0.92, 1.12, 1.06, 0.89, 1.01, 1.21, 0.77
Obtener un intervalo de confianza al 95% para la producción media diaria
de bilis en individuos sanos. Suponer que la muestra procede de una
población Normal.
4. La cantidad mínima requerida para que un anestésico surta efecto en una
intervención quirúrgica fue por término medio de 50mg, con una desviación
típica de 10.2 mg, en una muestra de 60 pacientes. Suponiendo que tal
cantidad sigue una distribución Normal:
a. Obtener un I.C. al 90% para la varianza poblacional.
b. Obtener un I.C. al 95% para la media poblacional.
5. Si realizamos una estimación de un parámetro mediante un intervalo de
confianza al 90% y obtenemos un intervalo de muy poca amplitud, ¿qué
se puede concluir?. Indica razonadamente cuáles de las siguientes afirma-
ciones son verdaderas o falsas:
(a) Va a ser muy difícil la obtención de una estimación fiable.
(b) El rango de valores entre los que está el parámetro, al 90%, es muy
pequeño.
(c) De 90 intervalos que hiciéramos con muestras al azar, 90 contendrían
el verdadero valor del parámetro.
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(d) Para poder obtener resultados satisfactorios, el nivel de confianza ha
de ser superior al 90%.
(e) Si el nivel de confianza hubiera sido del 95% la amplitud habría sido
todavía menor y por lo tanto mayor la precisión en la estimación.
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