Anual Uni_Semana 1_Geometría

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GEOMETRÍA
PLANA DE GEOMETRÍA
Tema:
- Triángulo I 
CONOCER LA DEFINICIÓN DEL TRIÁNGULO, SUS ELEMENTOS Y 
LAS DISTINTAS REGIONES RELATIVAS. 
RECONOCER LAS DIVERSAS RELACIÓN ENTRE LAS MEDIDAS 
ANGULARES DE UN TRIÁNGULO.
APLICAR TODO LO APRENDIDO EN PROBLEMAS TIPO EXAMEN 
DE ADMISONES.
La forma triangular en el desarrollo del ser 
humano ha sido de vital importancia, si nos 
remontamos a la edad primitiva, en esa era con todas 
las limitaciones de su tiempo, el hombre primitivo supo 
sacar provecho de la forma triangular para confeccionar 
sus herramientas de caza.
Conforme el ser humano se va desarrollando, con él, 
también se va desarrollando el conocimiento, así como, 
la manera de abstraer su entorno. En ese sentido la 
forma triangular también es parte de la vida del hombre 
como forma de expresión artística, matemática, hasta 
puede ser útil para salvar vidas.
Es la figura geométrica que se forma al unir
tres puntos no colineales mediante segmentos de recta.
𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝐴𝐴
𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬𝑬
• Vértices: 𝐴𝐴, 𝐵𝐵, 𝐶𝐶
• Lados: 𝐴𝐴𝐵𝐵, 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝑦𝑦 𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑵𝑵𝑬𝑬𝑬𝑬𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑬𝑬: ∆𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶
Tener en cuenta:
• La región que está limitada por el triángulo
se le denomina región interior.
Región
interior
• La parte externa al triángulo se denomina
región exterior.
Consideremos lo siguiente:
Físicamente, un
triángulo es una figura
hueca, como se puede
apreciar en la imagen:
Triángulo
Región interior Región exterior
En nuestro entorno podemos encontrar objetos que
representan al triángulo y a las dos regiones determinadas por
el triángulo, veamos:
TRIÁNGULO
DEFINICIÓN:
𝑻𝑻𝑻𝑻𝑵𝑵𝑻𝑬𝑬𝑻𝑻𝑻𝑻𝑬𝑬𝑬𝑬
𝑬𝑬𝑻𝑻𝑬𝑬𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑵𝑬𝑬
𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝐴𝐴
Región
interior
Región exterior 
relativo a 𝐴𝐴𝐵𝐵
Región exterior 
relativo a 𝐵𝐵𝐶𝐶
Región exterior 
relativo a 𝐴𝐴𝐶𝐶
Prolongación 
de 𝐶𝐶𝐴𝐴
Prolongación 
de 𝐴𝐴𝐶𝐶
Región triángular: Es la unión del triángulo con su región interior.
 Perímetro de la región triangular: 𝟐𝟐𝟐𝟐∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 = a + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
 Semiperímetro de la región triangular: 𝟐𝟐∆𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨𝑨 =
a + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐
2
a
𝑏𝑏
𝑐𝑐
ÁNGULOS ASOCIADOS AL TRIÁNGULO.
𝛼𝛼
𝛽𝛽
𝜃𝜃
𝛼𝛼, 𝛽𝛽, 𝜃𝜃
• Medida de los ángulos interiores:
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑧𝑧
• Medida de los ángulos exteriores:
𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧
𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝐴𝐴 𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑧𝑧
TRIÁNGULO
NOTA: El objetivo de conocer la región interior y exterior
asociado al triángulo, es para poder ubicar de manera
adecuada en los problemas textos, por ello también es
necesario considerar lo siguiente.
𝐿𝐿𝑀𝑀
𝛼𝛼
𝜃𝜃
𝑥𝑥
𝑥𝑥 =
𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 + 𝛽𝛽 =
• Suma de medidas de los tres
ángulos internos
• Cálculo de una medida del
ángulo exterior
180°
𝜃𝜃
𝛼𝛼 𝛽𝛽
Teorema 𝟐𝟐
𝜃𝜃
𝛼𝛼 𝛽𝛽
𝐶𝐶𝐴𝐴
𝐵𝐵
• Por 𝐵𝐵, trazamos 𝑀𝑀𝐿𝐿 𝐴𝐴𝐶𝐶
𝛽𝛽
• Por ángulos alternos internos: 𝑚𝑚∢𝐿𝐿𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝛽𝛽
• En B por media vuelta:
∴ 𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 + 𝛽𝛽 = 180°
Vamos a demostrar que: 𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 + 𝛽𝛽 = 180°
180°−𝑥𝑥𝛼𝛼
𝜃𝜃
𝑥𝑥
𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝐴𝐴
Vamos a demostrar que: 𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 + 𝜃𝜃
• Completando medidas en el vértice C
• En el ∆ABC aplicando el teorema 1
𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 + (180° − 𝑥𝑥) = 180°
∴ 𝛼𝛼 + 𝜃𝜃 = 𝑥𝑥
• Por ángulos alternos internos: 𝑚𝑚∢𝑀𝑀𝐵𝐵𝐴𝐴 = 𝛼𝛼
𝛼𝛼 + 𝜃𝜃
Teorema 𝟏𝟏
Del gráfico se cumple:
Del gráfico se cumple:
𝛼𝛼
TEOREMAS FUNDAMENTALES
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 =
• Cálculo de la suma de
medidas de los ángulos
externos (Uno por cada
vértice).
Vamos a demostrar que: 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 360°
• Por 𝐵𝐵, trazamos 𝐵𝐵𝐵𝐵 𝐴𝐴𝐶𝐶
• Por ángulos correspondientes en A y B:
𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑥𝑥
𝑚𝑚∢𝑄𝑄𝐵𝐵𝐵𝐵 = 𝑧𝑧
• Finalmente por una vuelta en 𝐵𝐵:
∴ 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 360°
𝑥𝑥
a b
Del gráfico se cumple:
a + b = 𝑥𝑥 + 180°
Vamos a demostrar que: a + b = 𝑥𝑥 + 180°
180°−𝑥𝑥
𝑥𝑥
a b
𝐶𝐶𝐴𝐴
𝐵𝐵
• Completando medidas en el vértice B
• En el ∆ABC aplicando el teorema 3
a + b + (180° − 𝑥𝑥) = 360°
a + b − 𝑥𝑥 = 180°
• Finalmente: ∴ a + b = 𝑥𝑥 + 180°
360°
Teorema 𝟑𝟑
• Teorema adicional 
Del gráfico se cumple:
𝐵𝐵
𝐶𝐶𝐴𝐴
𝐵𝐵𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑄𝑄
𝑥𝑥
• Por ángulos correspondientes en B y C:
𝑧𝑧
TEOREMAS FUNDAMENTALES
< b < a + ca − c
• 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝐴𝐴 𝐷𝐷𝑇𝑇 𝑇𝑇𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝐸𝑇𝑇𝑇𝑇𝐸𝐸𝐶𝐶𝐸𝐸𝐴𝐴
c
b
a
Teorema 𝟒𝟒
Se cumple:
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
c
b
a
• El menor recorrido de ir de A hacia C es
𝐴𝐴𝐶𝐶 , otras trayectorias serán mayores, por
ejemplo 𝐴𝐴𝐵𝐵+𝐵𝐵𝐶𝐶 → b < a+c …(I)
• El menor recorrido de ir de B hacia C es
𝐵𝐵𝐶𝐶 , otras trayectorias serán mayores, por
ejemplo 𝐵𝐵𝐴𝐴+𝐴𝐴𝐶𝐶 → a < b+c → a─c < b …(II)
De (I) y (II): a─c < b < a+c
Vamos a demostrar que: a─c < b < a+c
Ten en cuenta que la diferencia que
se muestra (a ─ c) en el teorema
debe ser positiva o cero (en el caso
que haya lados de igual longitud).
También:
Donde p =
a + b + c
2
b < p
El menor recorrido entre dos puntos es
mediante el segmento de recta que une a dichos puntos.
Postulado:
Vamos a demostrar que: b < p
b < a+cSabemos que:
+bb+b < a+c + b
2b < 2p
b < p
TEOREMAS FUNDAMENTALES
NOTA:
¿Por qué la hipotenusa tiene la 
mayor longitud que los catetos?
Con el teorema de
la correspondencia se deduce,
ya que a la hipotenusa se le
opone el mayor de los tres
ángulos internos .
Vamos a demostrar si a > b → α > β
TEOREMAS FUNDAMENTALES
↔
Si a > b
• 𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑀𝑀𝐴𝐴 𝐷𝐷𝑇𝑇 𝐶𝐶𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝑇𝐸𝐸𝐵𝐵𝑇𝑇𝐸𝐸𝐷𝐷𝑇𝑇𝐸𝐸𝐶𝐶𝐸𝐸𝐴𝐴
Teorema 𝟓𝟓
Se cumple:
Al mayor lado se le opone la mayor
medida angular y viceversa.
α > β
β
𝑏𝑏
α
a
a c
b
Respuesta:
Del dato a > b se deduce que:
En CB existe un punto P tal que CP = b
El ∆ ACP es isósceles
→ m∡𝐶𝐶𝐴𝐴𝐵𝐵= m∡𝐶𝐶𝐵𝐵𝐴𝐴=θ
En el vértice A se observa: α > θ …(I)
En el ∆ APB por ∡exterior: θ > β …(II)
De (I) y (II): → α > β
α β
𝐴𝐴
𝐶𝐶
𝐵𝐵
b
θ
θ
a
b
𝐵𝐵
𝑥𝑥 𝑦𝑦
b b
Si un triángulo
tiene dos ángulos
de igual medida,
se cumple que:
𝑥𝑥 = 𝑦𝑦
𝐵𝐵
𝐴𝐴 𝐵𝐵
𝜃𝜃
β
Todo ángulo externo del triángulo es 
mayor que los internos no adyacentes
Se cumple:
θ > β
α > θ > β
a
b
𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 =
𝛽𝛽
𝛼𝛼
𝜃𝜃
𝜔𝜔
𝑥𝑥
𝜃𝜃𝛼𝛼
𝛽𝛽
𝑥𝑥 = 𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 + 𝜃𝜃
𝜃𝜃 + ω
180°─ 𝛼𝛼 ─ 𝛽𝛽 180°─ 𝜃𝜃 ─ 𝜔𝜔
𝛼𝛼+ 𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝛼𝛼
𝜃𝜃
𝜔𝜔𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝑀𝑀
𝐸𝐸
𝐶𝐶
𝑥𝑥
𝛽𝛽
𝛼𝛼 𝜃𝜃
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐷𝐷𝐵𝐵
En el ∆ ABC: 𝑚𝑚∡𝐵𝐵𝐶𝐶𝐴𝐴 = 180° ─ 𝛼𝛼 ─ 𝛽𝛽
En el ∆ CMN: 𝑚𝑚∡𝑀𝑀𝐶𝐶𝐸𝐸 = 180° ─ 𝜃𝜃 ─ 𝜔𝜔
En C: por opuestos por el vértice 
180°─ 𝛼𝛼 ─ 𝛽𝛽 =180°─ 𝜃𝜃 ─ 𝜔𝜔
─ 𝛼𝛼 ─ 𝛽𝛽 =─ 𝜃𝜃 ─ 𝜔𝜔
𝜃𝜃+𝜔𝜔 = 𝛼𝛼+ 𝛽𝛽
En el ∆ ABP por ∡exterior: 𝑚𝑚∡𝐵𝐵𝐵𝐵𝐷𝐷 = 𝛼𝛼+ 𝛽𝛽
En el ∆ PCD por ∡exterior: 𝑥𝑥 = (𝛼𝛼+ 𝛽𝛽)+𝜃𝜃
𝑥𝑥 = 𝛼𝛼+𝛽𝛽+𝜃𝜃
Vamos a demostrar que: 𝛼𝛼+ 𝛽𝛽 = 𝜃𝜃+𝜔𝜔 Vamos a demostrar que: 𝑥𝑥 = 𝛼𝛼+𝛽𝛽+𝜃𝜃
TEOREMAS ADICIONALES
𝟏𝟏
𝟐𝟐
Se cumple:
Se cumple:
𝜃𝜃
𝛼𝛼
𝛽𝛽
𝜔𝜔
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝐷𝐷
𝐵𝐵
𝛼𝛼
𝛽𝛽
𝜃𝜃
𝜔𝜔
𝛼𝛼 𝛽𝛽
𝜃𝜃
𝜔𝜔
Del gráfico se cumple:
Del gráfico se cumple:
𝛼𝛼
𝜃𝜃
𝛼𝛼 𝛽𝛽
𝜔𝜔
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝐷𝐷
𝐵𝐵
𝑇𝑇
Por ∡𝑠𝑠 alternos internos: m∡𝐴𝐴 = m∡𝐵𝐵 = 𝛼𝛼
𝑄𝑄
Trazamos 𝐵𝐵𝑄𝑄 ∥ 𝐴𝐴𝐷𝐷
Como 𝐵𝐵𝑄𝑄 ∥ 𝐴𝐴𝐷𝐷 aplicamos teorema
Vamos a demostrar que: 𝛼𝛼+ 𝛽𝛽 = 𝜃𝜃+𝜔𝜔 Vamos a demostrar que: 𝛼𝛼+ 𝛽𝛽 = 𝜃𝜃+𝜔𝜔
𝛼𝛼+ 𝛽𝛽 = 𝜃𝜃+𝜔𝜔
En el ∆ APC: 𝑚𝑚∡𝑇𝑇𝐵𝐵𝐷𝐷 =
En el ∆ BPC: 𝑚𝑚∡𝑇𝑇𝐵𝐵𝐷𝐷 =
De (I) = (II):
𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 …(I)
𝜃𝜃+𝜔𝜔 …(II)
𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 = 𝜃𝜃+𝜔𝜔
TEOREMAS ADICIONALES
𝟑𝟑
𝟒𝟒
𝜃𝜃 + 𝜔𝜔𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 =
𝜃𝜃 + ω𝛼𝛼 + 𝛽𝛽 =
del serrucho P-B-C-D:
𝑒𝑒 𝑑𝑑
𝑐𝑐
𝑏𝑏
a
Del gráfico se cumple:
a + 𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 =180°
𝑥𝑥 𝑦𝑦
𝛼𝛼
𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝑥𝑥
𝑦𝑦
Del gráfico se cumple: Del gráfico se cumple:
𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦
𝑏𝑏+𝑑𝑑+𝑒𝑒
𝑏𝑏+𝑑𝑑+𝑒𝑒
𝑒𝑒 𝑑𝑑
𝑐𝑐
𝑏𝑏
a
𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝐷𝐷
𝑇𝑇
𝐵𝐵
Vamos a demostrar que: 𝑎𝑎+𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 = 180°En ACEP: 𝑚𝑚∡𝐴𝐴𝐵𝐵𝑇𝑇 = 𝑒𝑒 + 𝑏𝑏 + 𝑑𝑑
Por opuestos por el vértice en P
En el ∆ BDP: teorema fundamental
a+c +(𝑏𝑏+𝑑𝑑+𝑒𝑒)= 180°
a+c +𝑏𝑏+𝑑𝑑+𝑒𝑒 = 180°
TEOREMAS ADICIONALES
𝟓𝟓
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Número de diapositiva 9
	Número de diapositiva 10
	Número de diapositiva 11
	Número de diapositiva 12
	Número de diapositiva 13
	Número de diapositiva 14
	Número de diapositiva 15