Anual Uni_Semana 5_Geometría

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GEOMETRÍA
PLANA DE GEOMETRÍA
Tema: Aplicaciones de la
congruencia de triángulos II
UTILIZAR ADECUADAMENTE LAS APLICACIONES DEL TEOREMA 
DE LOS PUNTOS MEDIOS Y MEDIANA RELATIVA A LA 
HIPOTENUSA.
RELACIONAR ADECUADAMENTE LAS MEDIDAS ANGULARES
Y LAS LONGITUDES DE LOS TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS DE
8°; 37°/2; 53°/2; 15°; 16° ETC .
CONSOLIDAR LO APRENDIDO EN LA RESOLUCIÓN DE
PROBLEMAS TIPO EXAMEN DE ADMISIÓN UNI.
En las estructuras, sean de madera o
metálica, existe todo un estudio previo para
la colocación del material de tal manera que
permita distribuir las fuerzas y dar resistencia
a dichas construcciones.
tornapunta
APLICACIONES DE LA 
CONGRUENCIA.
• Teorema de los puntos
medios.
• Teorema de la mediana
relativa a la hipotenusa.
• Triángulos rectángulos
notables y aproximados.
𝐵𝐵
𝐶𝐶𝐴𝐴
El segmento que tiene por extremos los puntos
medios de dos lados de un triángulo se
denomina BASE MEDIA, el cual es igual a la
mitad de la longitud del tercer lado y es paralelo
a dicho lado.
𝑁𝑁𝑀𝑀
𝑎𝑎
𝑎𝑎 𝑏𝑏
𝑏𝑏
Si 𝐴𝐴𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝐵𝐵 y 𝐵𝐵𝑁𝑁 = 𝑁𝑁𝐶𝐶
2𝑚𝑚
𝑚𝑚
→ 𝑀𝑀𝑁𝑁: Base media
Se cumple:
𝑴𝑴𝑴𝑴 𝑨𝑨𝑨𝑨
Además:
𝑨𝑨𝑨𝑨 = 𝟐𝟐(𝑴𝑴𝑴𝑴)
OBSERVACIÓN SUGERENCIA
𝑃𝑃
𝑄𝑄
𝑅𝑅
𝑇𝑇
𝓂𝓂
𝓂𝓂
Si 𝑄𝑄𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑃𝑃 y trazamos 𝑇𝑇𝑇𝑇 𝑄𝑄𝑅𝑅
→ 𝑇𝑇𝑇𝑇: Base media
𝑎𝑎 𝑏𝑏
Se cumple:
𝒂𝒂 = 𝒃𝒃
Se traza
𝑊𝑊𝑈𝑈
𝑉𝑉
𝐿𝐿
𝐾𝐾
→ 𝑉𝑉𝑊𝑊: Base media
𝑇𝑇
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
TEOREMA DE LOS PUNTOS MEDIOS
L1
L2
𝑃𝑃
𝑎𝑎
𝐴𝐴
𝑁𝑁
𝑀𝑀
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑏𝑏
2𝑚𝑚
𝑥𝑥
𝑥𝑥
DEMOSTRACIÓN:
Vamos a demostrar que:
𝑀𝑀𝑁𝑁 // 𝐴𝐴𝐶𝐶
𝑀𝑀𝑁𝑁 = 𝐴𝐴𝐴𝐴
2
ó 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚
OBSERVACIÓN:
𝐴𝐴
𝐷𝐷 𝐶𝐶
𝐵𝐵𝑎𝑎
𝑎𝑎
Si 𝐿𝐿𝐿 // 𝐿𝐿2 y
𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐷𝐷 = 𝑎𝑎
𝐴𝐴𝐵𝐵𝐶𝐶𝐷𝐷: Paralelogramo
 Aprovechando 𝐵𝐵𝑁𝑁 = 𝑁𝑁𝐶𝐶 = 𝑏𝑏
Trazamos 𝐶𝐶𝑃𝑃 // 𝐴𝐴𝐵𝐵
 Entonces ∆𝑃𝑃𝐶𝐶𝑁𝑁 �= ∆𝑀𝑀𝐵𝐵𝑁𝑁 (𝐴𝐴. 𝐿𝐿.𝐴𝐴)
𝑁𝑁𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 y 𝑃𝑃𝐶𝐶 = 𝑎𝑎
 Por observación:
Como 𝐶𝐶𝑃𝑃//𝐴𝐴𝑀𝑀 y 𝐴𝐴𝑀𝑀 = 𝐶𝐶𝑃𝑃 = 𝑎𝑎
 𝐴𝐴𝑀𝑀𝑃𝑃𝐶𝐶: Paralelogramo
∴ 𝑀𝑀𝑁𝑁 // 𝐴𝐴𝐶𝐶
 Además:
𝑀𝑀𝑃𝑃 = 𝐴𝐴𝐶𝐶
2𝑥𝑥 = 2𝑚𝑚
∴ 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚
∴ 𝑀𝑀𝑁𝑁 = AC2
𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝛼𝛼
𝛼𝛼
𝑎𝑎
𝑀𝑀
𝑁𝑁
𝐿𝐿
𝑃𝑃
𝑎𝑎
𝑄𝑄
Se traza
𝑃𝑃𝑄𝑄 ∥ 𝑀𝑀𝑁𝑁
→ ∆𝑀𝑀𝑁𝑁𝐿𝐿 �= ∆𝑄𝑄𝑃𝑃𝐿𝐿
(𝐴𝐴𝐿𝐿𝐴𝐴)
→ 𝐴𝐴𝐷𝐷 = 𝐵𝐵𝐶𝐶
RECORDAR:
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
De la gráfica, 𝐵𝐵𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝐶𝐶 , 𝐴𝐴𝑁𝑁 = 𝑁𝑁𝑀𝑀 . Si
𝐵𝐵𝑁𝑁 = 27. calcule 𝑁𝑁𝑁𝑁.
𝐴𝐴 𝑁𝑁
𝑁𝑁
𝑀𝑀
𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝑃𝑃
27
Datos:
𝐵𝐵𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝐶𝐶 = 𝑎𝑎
𝐴𝐴𝑁𝑁 = 𝑁𝑁𝑀𝑀 = 𝑏𝑏
𝐵𝐵𝑁𝑁 = 27
𝑥𝑥
2𝑥𝑥
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝑏𝑏
 Trazamos 𝑀𝑀𝑃𝑃 // 𝑁𝑁𝑁𝑁
→ 𝑁𝑁𝑁𝑁: base media del ∆APM
𝑀𝑀𝑃𝑃 = 2𝑥𝑥 (Teorema de la Base media)
 Como 𝑀𝑀𝑃𝑃 // 𝐵𝐵𝑁𝑁
𝑀𝑀𝑃𝑃: base media del ∆HBC
𝑁𝑁𝐵𝐵 = 4𝑥𝑥 (Teorema de la Base media)
 Entonces:
𝐵𝐵𝑁𝑁 = 3𝑥𝑥 = 27
∴ 𝒙𝒙 = 𝟗𝟗
𝐴𝐴 𝑁𝑁
𝑁𝑁
𝑀𝑀
𝐶𝐶
𝐵𝐵
Se traza
𝑊𝑊𝑈𝑈
𝑉𝑉
𝐿𝐿
𝐾𝐾
→ 𝑉𝑉𝑊𝑊: Base media
RESOLUCIÓN: Nos piden 𝑁𝑁𝑁𝑁 = 𝑥𝑥
3𝑥𝑥
4𝑥𝑥
R
E
C
O
R
D
A
R
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
APLICACIÓN
En todo triángulo rectángulo, la longitud de la
mediana relativa a la hipotenusa es igual a la
mitad de la longitud de la hipotenusa.
Si 𝐵𝐵𝑀𝑀 es la mediana
relativa a la hipotenusa
𝑀𝑀𝐴𝐴 𝐶𝐶
𝐵𝐵
Se cumple:
DEMOSTRACIÓN: Vamos a demostrar que:
𝐵𝐵𝑀𝑀 = AC2 ó 
𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑁𝑁
𝑚𝑚
𝑚𝑚
𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝐴𝐴 𝑀𝑀 𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝑥𝑥
𝑎𝑎 𝑎𝑎
• Como M es punto medio trazamos 𝑀𝑀𝑁𝑁 // 𝐴𝐴𝐵𝐵
𝑀𝑀𝑁𝑁 : BASE MEDIA
𝐵𝐵𝑁𝑁 = 𝑁𝑁𝐶𝐶 = 𝑚𝑚
𝑚𝑚∢𝑀𝑀𝑁𝑁𝐶𝐶 = 90°
• Por observación: El ∆𝐵𝐵𝑀𝑀𝐶𝐶 es isósceles ∴ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
OBSERVACIÓN:
𝑎𝑎 = 𝑏𝑏
𝑩𝑩𝑴𝑴 =
𝑨𝑨𝑨𝑨
𝟐𝟐
→ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
TEOREMA DE LA MEDIANA 
RELATIVA A LA HIPOTENUSA
90°−𝛼𝛼
90°− 𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝛼𝛼
90°−𝛼𝛼
90°− 𝛼𝛼 𝛼𝛼
𝛼𝛼
 OBSERVACIONES:
𝜃𝜃
𝑎𝑎 𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝜽𝜽 = 𝟗𝟗𝟗𝟗°
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑏𝑏
𝒂𝒂 = 𝒃𝒃
Se cumple:
Se cumple:
𝐴𝐴 𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝐴𝐴 𝐶𝐶
𝐵𝐵
32 32
32
5𝑎𝑎 5𝑎𝑎
5𝑎𝑎
Entonces cuando tenemos la longitud de la
hipotenusa, una opción es trazar la mediana
relativa a la hipotenusa.
 EJEMPLOS:
64
𝐿0𝑎𝑎
𝐿𝐿
𝑀𝑀
𝑁𝑁
𝑇𝑇
𝑃𝑃
𝑄𝑄
𝐿𝐿
𝑇𝑇
En el ⊿𝑀𝑀𝑁𝑁𝑇𝑇, si 𝑀𝑀𝐿𝐿 = 𝐿𝐿𝑁𝑁 = 𝑎𝑎
Del gráfico, si 𝑄𝑄𝑇𝑇 = 𝑃𝑃𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝐿𝐿
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
𝜙𝜙
𝑀𝑀𝐴𝐴 𝐷𝐷 𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝜙𝜙2𝜙𝜙
25 25
25
2𝜙𝜙
𝑥𝑥
En el gráfico, si 𝐷𝐷𝐶𝐶 = 50. calcule 𝐴𝐴𝐵𝐵
Dato:
𝐷𝐷𝐶𝐶 = 50
 Como se tiene la longitud de la
hipotenusa en el ⊿𝐷𝐷𝐵𝐵𝐶𝐶 , trazamos
𝐵𝐵𝑀𝑀 la mediana relativa a la
hipotenusa
𝐷𝐷𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝐶𝐶 = 𝐵𝐵𝑀𝑀 = 25
∴ ∆𝐵𝐵𝑀𝑀𝐶𝐶 es isósceles
→ 𝑚𝑚∢𝑀𝑀𝐵𝐵𝐶𝐶 = 𝜙𝜙
 Por ángulo externo en ∆𝐵𝐵𝑀𝑀𝐶𝐶
𝑚𝑚∢𝐷𝐷𝑀𝑀𝐵𝐵 = 2𝜙𝜙
Entonces: El ∆ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝑀𝑀 es isósceles
∴ 𝒙𝒙 = 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝐴𝐴 𝐷𝐷 𝐶𝐶
𝐵𝐵
𝜙𝜙2𝜙𝜙
RESOLUCIÓN
50
Nos piden 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝑥𝑥
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
APLICACIÓN
82°
74°
76°
𝐿5°
𝑏𝑏
4𝑏𝑏
𝐿4°
𝐿6°
37°/2
53°/2
𝑏𝑏
2𝑏𝑏
𝑏𝑏
3𝑏𝑏
7𝑏𝑏
24𝑏𝑏
𝑏𝑏
4𝑏𝑏
8°
𝑏𝑏
7𝑏𝑏
5𝑏𝑏 2
𝐿5°
𝑏𝑏
4𝑏𝑏
𝐿27°/2
𝐿43°/2
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS 
APROXIMADOS Y NOTABLES
𝜙𝜙
𝑥𝑥
𝑎𝑎 3𝑎𝑎
𝑎𝑎 4𝑎𝑎
𝑎𝑎 9𝑎𝑎
𝐿20°ℓ ℓ
𝑎𝑎
2𝑎𝑎
Veamos algunos
triángulos rectángulos
que no son notables,
pero que pueden
presentarse en los
problemas.
𝛽𝛽
𝜔𝜔
75°
5𝑘𝑘
𝐿2𝑘𝑘
8𝑘𝑘
𝐿5𝑘𝑘
20𝑘𝑘
2𝐿𝑘𝑘
𝝓𝝓 =
𝜷𝜷 =
𝝎𝝎 =
30°
�53° 2
�37° 2
𝓶𝓶 = ℓ 3 𝒙𝒙 = 30°
𝓶𝓶
⊿𝒔𝒔 Pitagóricos
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
90° − 𝛽𝛽
90° − 2𝛽𝛽 90° − 𝛽𝛽
APLICACIÓN
𝐷𝐷𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝛽𝛽
𝛽𝛽
𝐷𝐷𝐴𝐴
𝐵𝐵
𝐶𝐶
𝛽𝛽
𝛽𝛽
En el gráfico, si 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐷𝐷, calcule 𝛽𝛽
RESOLUCIÓN: Nos piden 𝛽𝛽
Del dato:
Sea 𝐴𝐴𝐵𝐵 = 𝐶𝐶𝐷𝐷 = 2ℓ
𝐸𝐸
 Completamos medidas angulares.
 En el ⊿𝐷𝐷𝐵𝐵𝐶𝐶 trazamos la mediana relativa a la hipotenusa 𝐵𝐵𝐸𝐸.
→ 𝐷𝐷𝐸𝐸 = 𝐸𝐸𝐶𝐶 = 𝐵𝐵𝐸𝐸 = ℓ
 Notamos que la 𝑚𝑚∢𝐴𝐴𝐵𝐵𝐸𝐸 = 90°
 Luego el ⊿𝐴𝐴𝐵𝐵𝐸𝐸 es notable de
53°/2
𝑏𝑏2𝑏𝑏
𝑏𝑏 5 �53° 2
R
E
C
O
R
D
A
R
�53° 2
→
53°
2
= 90° − 2𝛽𝛽
→ 2𝛽𝛽 =
𝐿27°
2
∴ 𝜷𝜷 =
𝟏𝟏𝟐𝟐𝟏𝟏°
𝟒𝟒
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
𝑃𝑃𝑀𝑀
𝑁𝑁
𝐿𝐿
2𝜆𝜆 𝜆𝜆
2𝜆𝜆 𝜆𝜆 𝑃𝑃𝑀𝑀
𝑁𝑁
𝐿𝐿
PROBLEMA
En el gráfico, 𝑀𝑀𝐿𝐿 = 𝐿𝐿𝑁𝑁, calcule el valor de𝜆𝜆
RESOLUCIÓN Nos piden 𝜆𝜆
Del dato: 𝑀𝑀𝐿𝐿 = 𝐿𝐿𝑁𝑁 = 𝒂𝒂
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝑎𝑎
𝜆𝜆
2𝜆𝜆
45°
 En el ∆𝑀𝑀𝐿𝐿𝑃𝑃, de lo recordado,
trazamos la ceviana interior 𝐿𝐿𝑇𝑇
𝑇𝑇
R
E
C
O
R
D
A
R
observación
 Para aprovechar la observación,
trazamos 𝑁𝑁𝑇𝑇
→ 𝑚𝑚𝑚𝑀𝑀𝑇𝑇𝑁𝑁 = 90°
 Luego ⊿𝑁𝑁𝑇𝑇𝑃𝑃 es notable de 45°
→ 𝑃𝑃𝑇𝑇 = 𝑇𝑇𝑁𝑁 = 𝑎𝑎
 Entonces⊿𝑀𝑀𝑁𝑁𝑇𝑇 es notable de 30°
∴ 𝝀𝝀 = 𝟏𝟏𝟐𝟐°
→ 2𝜆𝜆 = 30°
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
5 5
5
37°
𝑥𝑥
En el gráfico mostrado, calcule 𝑥𝑥
APLICACIONES DE LA CONGRUENCIA
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Número de diapositiva 9
	Número de diapositiva 10
	Número de diapositiva 11
	Número de diapositiva 12
	Número de diapositiva 13
	Número de diapositiva 14
	Número de diapositiva 15
	Número de diapositiva 16
	Número de diapositiva 17