AGUJEROS_DE_GUSANO_ATRAVESABLES_MATERIA_EXOTICA_Y_WARP__Soler_Vicente_Carlos

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FACULTAD DE CIENCIAS 
GRADO EN FÍSICA 
TRABAJO FIN DE GRADO 
CURSO ACADÉMICO 2022-2023 
 
 
TÍTULO: 
AGUJEROS DE GUSANO ATRAVESABLES, MATERIA EXÓTICA Y 
WARP DRIVES 
 
AUTOR: 
CARLOS SOLER VICENTE 
 
 
 
 
 
 
2 Trabajo de Fin de Grado
Resumen
En este trabajo se expondrán las principales características que debe cumplir un agu-
jero de gusano (o puente de Einstein-Rosen), concepto propuesto como una solución a
las ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General por primera vez por Al-
bert Einstein y Nathan Rosen en 1935, para ser hipotéticamente atravesable. Además, se
realizará un estudio de la naturaleza de la materia responsable de generar la estructura
geométrica de un agujero de gusano de estas características, comprobando que es necesa-
ria la existencia de lo que los físicos denominan materia exótica. Además, se abordarán
temas como la violación de las Condiciones de Energía, que son restricciones referidas al
contenido material considerado por la Relatividad General, en el interior de los agujeros
de gusano de estas características. Finalmente, se estudiarán rudimentos de los “Warp
Drives” o transporte por curvatura, haciendo especial énfasis en la solución o métrica de
Alcubierre, propuesta por el físico mexicano Miguel Alcubierre en el año 1994 mientras
realizaba su tesis doctoral, y sus consecuencias principales.
Carlos Soler Vicente 3
Abstract
In this work, the main characteristics that a wormhole (or Einstein-Rosen bridge) must
fulfill to be hypothetically traversable will be exposed. This concept was proposed as a
solution to the Einstein field equations of General Relativity for the first time by Albert
Einstein and Nathan Rosen in 1935. In addition, a study of the nature of the matter
responsible for generating the geometric structure of a wormhole of these characteristics
will be carried out, proving that the existence of what physicists call exotic matter is
necessary. Moreover, issues such as the violation of Energy Conditions, which are restric-
tions refered to the material content considered by General Relativity, inside wormholes
of these characteristics will be adrressed. Finally, rudiments of Warp Drives will be stu-
died emphasizing on the Alcubierre’s solution , proposed by the mexican physicist Miguel
Alcubierre in 1994 while he was doing his doctoral thesis.
4 Trabajo de Fin de Grado
Índice
1. Introducción 6
2. Geometría de un agujero de gusano atravesable 8
2.1. Métrica estática y con simetría esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. La física del “embedding” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Ecuaciones de estructura 13
3.1. Símbolos de Christoffel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2. Tensor de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.3. Tensor de Ricci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4. Curvatura escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.5. Tensor de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4. Contenido material responsable de generar la geometría 20
4.1. Ecuaciones de campo de Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2. Materia exótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5. Condiciones de atravesabilidad 26
5.1. Condiciones necesarias en las estaciones de partida y de llegada . . . . . . 26
5.2. Condiciones necesarias relacionadas con el viajero . . . . . . . . . . . . . . 30
6. Condiciones de Energía 37
7. Violación de las Condiciones de Energía en un agujero de gusano atra-
vesable 41
7.1. Violación de la NEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2. Violación de la WEC y la DEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3. Violación de la SEC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.4. Interpretación de la violación de las Condiciones de Energía . . . . . . . . 45
8. Fundamentos de los “Warp Drives” 45
Carlos Soler Vicente 5
8.1. Solución de Alcubierre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
8.2. Viaje superlumínico en el “Warp Drive” de Alcubierre . . . . . . . . . . . 52
8.3. Violación de las Condiciones de Energía debido a la métrica de Alcubierre . 54
9. Conclusiones 55
A. Ejemplo de cálculo de los símbolos de Christoffel 57
B. Cálculo de las componentes del tensor de Riemann 57
C. Componentes del tensor de Einstein para el “Warp Drive” de Alcubierre 58
6 Trabajo de Fin de Grado
1. Introducción
Desde la publicación de la teoría de la Relatividad General en 1915 1 por parte de Albert
Einstein, una gran cantidad de físicos de todo el mundo se ha planteado grandes preguntas
acerca de las poderosas predicciones que pueden extraerse de los fundamentos tanto físicos
como matemáticos de esta teoría, para muchos el mayor logro del conocimiento humano.
Entre estas poderosas predicciones destacan la existencia de agujeros negros, que el mismo
Einstein negaba a pesar de que poco después de la publicación de su teoría, el físico alemán
Karl Schwarzschild encontró una solución a las ecuaciones de campo de Einstein que los
describía de forma matemática 2. El propio Einstein pensaba que estas soluciones eran
simplemente consecuencias matemáticas de la teoría sin ningún sentido físico. No obstante,
años después con una gran investigación por parte de físicos especializados en el área de
la Relatividad General, se consiguieron realizar numerosas observaciones que únicamente
tenían sentido si eran provocadas por objetos muy compactos y muy masivos, donde los
mejores candidatos eran los agujeros negros. Estos estudios fueron convenciendo cada vez
a más físicos de todo el mundo de la existencia de dichos objetos tan misteriosos hasta
que hace pocos años, se pudo demostrar visualmente mediante fotografías 3.
En su búsqueda por exprimir al máximo la teoría, Einstein y Rosen, a partir del tra-
bajo realizado por Schwarzschild, reescribieron su solución utilizando otras coordenadas,
y se dieron cuenta de que, escrita de tal forma, esa solución representaba dos regiones
asintóticamente planas del universo cuyo centro (singularidad de Schwarzschild) inter-
pretaron como un “puente” que conectaba dichas regiones. Esta fue la primera idea de
agujero de gusano o puente de Einstein-Rosen que surgió. No obstante, esta construcción
1Teoría que completa a la de la Relatividad Especial, publicada también por Einstein en 1905, inclu-
yendo la gravedad en el marco relativista.
2Además de la solución de Schwarzschild, hubo otras soluciones representativas de agujeros negros,
como la de Kerr o la de Reissner-Nordstrom, pero esto no es especialmente relevante en el desarrollo de
este trabajo.
3En el año 2018 el Event Horizon Telescope logró realizar la primera fotografía de un agujero negro.
Se trató del agujero negro supermasivo situado en el centro de la galaxia M87. Además, en el año 2022
lograron fotografiar el agujero negro supermasivo situado en el centro de la Vía Láctea, Sagitario A*.
Carlos Soler Vicente 7
no representaba un agujero de gusano que pudiera ser atravesado, debido a la naturaleza
de la singularidad. Tras años de investigación, el físico estadounidense Kip S. Thorne y
su estudiante de doctorado Michael S. Morris 4, publicaron un artículo en 1987 donde
mostraron una solución que representaba un agujero de gusano atravesable. En este ar-
tículo se exponían las condiciones necesarias que habían de darse para que una civilización
avanzada fuera capaz de construir un objeto tan exótico, permitiendo su viaje a través de
lo que se denomina garganta del agujero de gusano, pudiendo así llegar a regiones muy
lejanas del universo mediante el atajo en el espacio tiempo que supondría la existencia de
estos objetos. Todas estas características van a ser principalmente el objeto de estudio de
este trabajo.
Observandola posibilidad de construir esta especie de túneles espaciotemporales, en los
que en cierta manera se podría viajar más rápido que la luz5, siempre y cuando la luz no
atravesara el agujero de gusano, el físico mexicano Miguel Alcubierre se preguntó si sería
posible algún tipo de transporte superlumínico sin necesidad de atravesar un agujero de
gusano. Este pensamiento le llevo a la obtención de su solución en 1994 a las ecuaciones de
campo de Einstein según la que en cierta manera, esto podía llevarse a cabo. La manera
de hacerle trampas a la Relatividad sin violarla, consistía en de alguna forma, contraer
el espacio de delante del viajero y expandir el de atrás. Puesto que no existe restricción
alguna para la velocidad con la que se puede expandir el espacio 6, de esta forma sería
posible físicamente viajar más rápido que la luz. Esta idea es la que se refleja en la solución
de Alcubierre y es el principal fundamento de los “Warp Drives”, cuyos rudimentos serán
estudiados también en este trabajo.
4Hubo otros físicos que estudiaron este tipo de puentes que unían dos regiones lejanas del espacio
tiempo, pero este trabajo se va a centrar en los agujeros de gusano que son potencialmente atravesables.
5La teoría de la relatividad prohíbe viajar más rápido que la luz y establece que esta es la velocidad
límite en el universo. No obstante, si se toma un atajo a través de la garganta de un agujero de gusano
que conecte dos regiones separadas millones de años luz, se podría llegar a este lugar más rápido que la
luz que no atraviese el agujero de gusano sin violar la teoría de la Relatividad, ya que es posible atravesar
la garganta a una velocidad moderada e inferior a la de la luz.
6La velocidad de la luz es el límite para la velocidad de la materia presente en el universo, no para el
propio espacio.
8 Trabajo de Fin de Grado
2. Geometría de un agujero de gusano atravesable
Para describir geométricamente un agujero de gusano atravesable se deben tener en
cuenta varios factores que permitan dicha atravesabilidad:
La métrica debe tener simetría esférica y ser estática, es decir independiente del
tiempo. Esto se impone principalmente para facilitar los cálculos y poder llevar a
cabo el estudio de forma adecuada.
La solución debe obedecer las ecuaciones de campo de Einstein.
Para ser una solución representativa de un agujero de gusano atravesable, este debe
tener una garganta que conecte dos regiones asintóticamente planas del espacio, que
denominaremos “upper universe” y “lower universe”.
Para ser atravesable, el agujero de gusano no ha de tener horizontes. Esto matemá-
ticamente implica que el término gtt de la métrica debe ser no nulo.
Las fuerzas de marea han de ser considerablemente pequeñas para que el viajero
puede atravesar el agujero de gusano sin ser descuartizado.
La solución ha de ser perturbativamente estable.
La materia responsable de generar la geometría del agujero de gusano debe ser
físicamente razonable, aunque en este trabajo se verá que en un agujero de gusano
de estas características se violan las principales Condiciones de Energía.
2.1. Métrica estática y con simetría esférica
Durante el desarrollo de este trabajo, la métrica que describe la geometría de un agujero
de gusano atravesable que va a ser utilizada es [1, 2, 3] , escrita en función del elemento
de línea,7
ds2 = −e2ϕ(r)dt2 + 1
1− b(r)
r
dr2 + r2(dθ2 + sin2θdϕ2). (1)
7Durante todo el desarrollo del trabajo se utilizarán unidades geometrizadas (G=c=1).
Carlos Soler Vicente 9
Puesto que ds2 = gαβdxαdxβ, la métrica que describe nuestro espacio-tiempo cuatridi-
mensional puede escribirse en forma matricial tal que:
gαβ =

−e2ϕ(r) 0 0 0
0
(
1− b(r)
r
)−1
0 0
0 0 r2 0
0 0 0 r2sin2θ
 (2)
Como puede apreciarse, se trata de una métrica estática, al ser independiente del tiem-
po, y con simetría esférica, lo que facilitará los cálculos y la interpretación física que se
le dará a los mismos. A la función ϕ(r) se le denomina función de “redshift”, ya que está
relacionada con el corrimiento al rojo gravitacional. Por otro lado, a la función b(r) se
le conoce con el nombre de función de forma, debido a que se encuentra estrechamen-
te relacionada con la forma geométrica del agujero de gusano, que suele ser mostrada
mediante lo que se conoce como diagramas de “embedding”. Ambas funciones dependen
exclusivamente de la coordenada radial.
La ubicación de la garganta del agujero de gusano será representada por el valor mínimo
de la coordenada radial r, que será denominado r0. El hecho de la existencia de este mínimo
de la coordenada radial, implica que r no es monótona, ya que decrece desde +∞ hasta un
valor mínimo r0. Además, la garganta viene caracterizada por el hecho de que la función
de forma evaluada en ella, es igual al mínimo de la coordenada radial, es decir, b(r0) = r0.
Como se puede apreciar, en la garganta, el término grr de la métrica se vuelve divergente
debido a la singularidad coordenada que aparece en la garganta del agujero de gusano.
No obstante, la distancia propia radial, que se define tal que
l(r) = ±
∫ r
r0
1√
1− b(r)
r
dr (3)
debe ser finita en todos los puntos del espacio. La distancia propia radial, tal y como se
define, decrece desde l = +∞ en el “upper universe” hasta l = 0 en la garganta, y después
desde l = 0 hasta l = −∞ en el “lower universe”.
En relación con otro de los puntos importantes para que el agujero de gusano pueda
ser hipotéticamente atravesable, la ausencia de horizontes, ha de tenerse claro en primer
10 Trabajo de Fin de Grado
lugar cómo identificarlos. Los horizontes son aquellas superficies donde el término gtt de
la métrica que define las características del espacio-tiempo, cumple gtt → 0. Este hecho
tiene el significado físico de que, en el horizonte, el tiempo propio transcurrido durante
cualquier instante de tiempo coordenado se cancela.8
Una vez definida la ausencia de horizontes de forma matemática, en nuestra descripción
de los agujeros de gusano atravesables, esto significa que gtt = −e2ϕ(r) ̸= 0 para todos los
puntos del espacio, lo que quiere decir que la función de “redshift” ϕ(r) ha de ser finita en
todo el espacio.
2.2. La física del “embedding”
Una parte importante del estudio de los agujeros de gusano consiste en el uso de los
conocidos como diagramas de “embedding” o diagramas de inserción [1, 2], lo que permite
representar estas superficies exóticas y estudiar su forma. Así, procediendo de esta manera
se podrán extraer conclusiones y detalles matemáticos sobre la función de forma b(r) que
en cierta manera caracteriza la forma geométrica del agujero de gusano.
Para comenzar con esta parte del estudio de los agujeros de gusano atravesables, nos
situaremos en un instante fijo de tiempo t y prestaremos interés a la superficie tridimen-
sional que describe la métrica de nuestro espacio-tiempo. Debido a la simetría esférica de
la solución considerada, puede tomarse sin pérdida de generalidad, un corte en el plano
ecuatorial θ = π/2. De esta forma, el elemento de línea correspondiente se escribirá de la
forma:
ds2 =
dr2
1− b(r)
r
+ r2dϕ2. (4)
Para visualizar este corte bidimensional, lo que buscamos es representar de alguna
manera en el espacio tridimensional una superficie que tenga la misma geometría que la
representada por 4. Para ello, vamos a representar el espacio euclídeo mediante coordena-
8Esto de forma más descriptiva quiere decir que cualquier tipo de información que se de en el horizonte,
no alcanzará a un obsrvador externo. Un ejemplo es aquello que le sucede a la luz en un agujero negro,
ya que cuando el horizonte de sucesos atrapa la luz, esta no puede escapar hacia el exterior impidiendo
que un observador externo pueda detectarla.
Carlos Soler Vicente 11
das cilíndricas (θ, ϕ, z). De esta manera, la métrica del espacio tridimensional expresada
en estas coordenadas tiene la forma:
ds2 = dz2 + dr2 + r2dϕ2. (5)
A continuación, lo que vamosa hacer es incrustar nuestro corte bidimensional del
agujero de gusano en el espacio euclídeo tridimensional. Para ello, lo primero que se ha
de tener en cuenta es que, en el espacio tridimensional, el agujero de gusano tiene una
ecuación de superficie z = z(r). De esta forma, diferenciando, se puede reescribir 5 tal
que:
ds2 = dr2 +
(
dz
dr
dr
)2
+ r2dϕ2 =
[
1 +
(
dz
dr
)2]
dr2 + r2dϕ2. (6)
Puesto que queremos que las representaciones de nuestro corte bidimensional y del es-
pacio euclídeo tridimensional representen geométricamente el mismo objeto, comparando
4 y 6 se llega a la ecuación
1 +
(
dz
dr
)2
=
1
1− b(r)
r
⇒ dz
dr
= ±
(
r
r − b(r)
− 1
)1/2
= ±
(
r − b(r)
b(r)
)−1/2
⇒
⇒ dz
dr
= ±
(
r
b(r)
− 1
)−1/2
. (7)
Esta ecuación diferencial es la que describe la superficie tridimensional en el espacio
euclídeo del agujero de gusano, que como se puede observar, depende estrechamente de
la función de forma, de ahí su nombre.
De esta ecuación pueden extraerse dos de las condiciones más importantes a la hora
de representar un agujero de gusano atravesable:

r = b(r) = r0 ⇒
dz
dr
→ ∞
r → ∞ ⇒ dz
dr
→ 0.
(8)
La primera condición nos está diciendo que en la garganta (r = r0), la superficie es
vertical, ya que la derivada de z con respecto a la coordenada radial se hace infinito. La
12 Trabajo de Fin de Grado
Figura 1: Diagrama de “embedding” de una sección bidimensional a lo largo del plano ecuatorial
con t = cte y θ = cte de un agujero de gusano atravesable. Wormholes, Warp Drives and Energy
Conditions. Volume 189. Springer. 2017.
segunda condición nos dice que cuando nos encontramos lo suficientemente lejos de la
garganta del agujero de gusano (r → ∞) el espacio es asintóticamente plano, ya que la
derivada en este caso se hace cero. Juntando estas dos condiciones, el significado físico que
encontramos es que el agujero de gusano tiene una garganta, donde la superficie es verti-
cal, que separa dos regiones del espacio asintóticamente planas, condición que habíamos
impuesto al comienzo de este trabajo para tener un agujero de gusano atravesable.
Otra condición que se debía cumplir, es que la coordenada radial disminuyera desde el
infinito hasta un mínimo en la garganta 9, lo que quiere decir que:
d2r
dz2
∣∣∣∣
r→r0
> 0. (9)
A esta condición se le conoce como condición de expansión o de “flare out”, ya que
el espacio se expande desde la garganta hasta ser asintóticamente plano en los “upper
universe” y “lower universe”.
9Observando las condiciones que reflejan 8 y 9, con un poco de imaginación, uno puede visualizar
la superficie como una especie de embudo o cilindro que se va expandiendo desde un mínimo hasta sus
“bases”, donde el espacio comienza a ser asintóticamente plano.
Carlos Soler Vicente 13
Una vez introducida esta condición, vamos a ver qué significa matemáticamente. Para
ello vamos a comenzar diferenciando el término r
b(r)
:
d
dz
(
r
b(r)
)
=
dr
dz
b(r)− r db(r)
dz
2b2
=
dr
dz
b(r)− rb′(r)dr
dz
2b2
=
dr
dz
(
b− b′r
2b2
)
.
A continuación, de 7 se deduce que dr
dz
= ±
(
r
b(r)
− 1
)1/2
, por lo que diferenciando esta
expresión, se obtiene:
d2r
dz2
= ±1/2
(
r
b(r)
− 1
)−1/2
d
dz
(
r
b(r)
)
=
b− b′r
2b2
,
donde la ’ indica una derivada respecto a la coordenada radial. Aplicando 9, la condición
matemática que se obtiene es:
d2r
dz2
∣∣∣∣
r→r0
=
b− b′r
2b2
∣∣∣∣
r→r0
> 0, (10)
que es la condición de “flare out”. Esta condición será de gran relevancia cuando hablemos
de las Condiciones de Energía y la violación de las mismas en la garganta de un agujero
de gusano atravesable.
3. Ecuaciones de estructura
Como es obvio, nuestro modelo de agujero de gusano atravesable debe satisfacer las
ecuaciones de campo de Einstein de la Relatividad General, por lo que en este apartado
se introducirán todos los objetos matemáticos necesarios para escribir dichas ecuaciones
utilizando la métrica que hemos empleado para representar nuestro modelo. A partir de
esta, será necesario obtener cosas como los símbolos de Christoffel, el tensor de Riemann,
el tensor de Ricci, la curvatura escalar y el tensor de Einstein. [1, 2, 4, 5, 6]
14 Trabajo de Fin de Grado
3.1. Símbolos de Christoffel
Los símbolos de Christoffel se pueden obtener a partir de una métrica general de la
forma 10:
Γαβγ =
1
2
gαµ(gµβ,γ + gγµ,β − gβγ,µ). (11)
Utilizando nuestra métrica 1, los símbolos de Christoffel no nulos son:
Γtrt = ϕ
′ Γrtt =
(
1− b
r
)
ϕ′e2ϕ
Γrrr =
b′r − b
2r(r − b)
Γrθθ = −r + b
Γrϕϕ = −(r − b)sin2θ Γθrθ = Γ
ϕ
rϕ =
1
r
Γθϕϕ = −sinθcosθ Γ
ϕ
θϕ = tanθ.
Además, tal y como se definen los símbolos de Christoffel, se cumple que Γαβγ = Γαγβ.
3.2. Tensor de Riemann
A partir de los símbolos de Christoffel, el tensor de curvatura de Riemann se define de
la siguiente forma:
Rαβγδ = Γ
α
βδ,γ − Γαβγ,δ + ΓαλγΓλβδ − ΓαλδΓλβγ. (12)
Con los símbolos de Christoffel obtenidos en el caso anterior, las 24 componentes no
nulas del tensor de Riemann que se obtienen para nuestra métrica son:
10Merece la pena aclarar que los símbolos de Christoffel tienen esta expresión si trabajamos con la
conexión afín de Levi-Civita, no en cualquier caso. No obstante no vamos a entrar en más detalles
relacionados con este tema ya que en Relatividad General suele darse por hecho que se trabaja con dicha
conexión. Además, la coma indica una derivada parcial. Es decir gαβ,γ =
∂gαβ
∂xγ .
Carlos Soler Vicente 15

Rtrtr = −Rtrrt =
(
1− b
r
)−1
e−2ϕRrttr = −
(
1− b
r
)
e−2ϕRrtrt = −ϕ′′ +
b′r − b
2r(r − b)
ϕ′ − (ϕ′)2
Rtθtθ = −Rtθθt = r2e−2ϕRθttθ = −r2e−2ϕRθtθt = −ϕ′(r − b)
Rtϕtϕ = −Rtϕϕt = r2e−2ϕsin2θR
ϕ
ttϕ = −r
2e−2ϕsin2θRϕtϕt = −rϕ
′
(
1− b
r
)
sin2θ
Rrθrθ = −Rrθθr = −r2
(
1− b
r
)
Rθrrθ = r
2
(
1− b
r
)
Rθrθr =
b′r − b
2r
Rrϕrϕ = −Rrϕϕr = −r2
(
1− b
r
)
sin2θRϕrrϕ = r
2
(
1− b
r
)
sin2θRϕrϕr =
b′r − b
2r
sin2θ
Rθϕθϕ = −Rθϕϕθ = sin2θR
ϕ
θϕθ = −sin
2θRϕθθϕ =
b
r
sin2θ.
No obstante, tanto la interpretación física y los cálculos se simplifican utilizando una
base de vectores ortonormales que se interpretan como los vectores de un sistema de
referencia propio de un conjunto de observadores que permanecen en reposo en el sistema
de coordenadas (t, r, θ, ϕ) con (r, θ, ϕ) fijos. Esta base de vectores ortonormales se escribe
de la forma:

e⃗t̂ = e
−ϕe⃗t
e⃗r̂ =
(
1− b
r
)1/2
e⃗r
e⃗θ̂ = r
−1e⃗θ
e⃗ϕ̂ = (rsinθ)
−1e⃗ϕ.
(13)
De esta forma, se puede ver que
gαβ = e⃗α · e⃗βgα̂β̂ = e⃗α̂ · e⃗β̂ ⇒ gα̂β̂ =

−1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
 , (14)
por lo que la métrica expresada en esta base ortonormal es la misma que la que se utiliza
en Relatividad Especial, la métrica de Minkowski. Así resulta más sencillo trabajar a la
16 Trabajo de Fin de Grado
hora de aplicar propiedades tensoriales 11.
A continuación, lo que nos interesa es ver cómo expresar las coordenadas (t̂, r̂, θ̂, ϕ̂)
en función de las coordenadas (t, r, θ, ϕ). Para ello, consideremos un vector genérico A⃗.
Este vector puede ser expresado en las distintas bases, de forma queA⃗ = A
αe⃗α
A⃗ = Aµ̂e⃗µ̂
⇒ Aαe⃗α = Aµ̂e⃗µ̂.(15)
Supongamos una matriz genérica de transformación Λµα, de forma que las componentes
del vector A⃗ en ambas bases se relacionan entre sí tal que Aµ̂ = ΛµαAα. A partir de esta
relación, basándonos en 15 llegamos a
Aαe⃗α − ΛµαAαe⃗µ̂ = Aα (e⃗α − Λµαe⃗µ̂) = 0 ⇒ e⃗µ̂ =
(
Λ−1
)α
µ
e⃗α, (16)
donde {e⃗α} es la base ortogonal asociada a las coordenadas (t, r, θ, ϕ). Reescribiendo 16
en forma matricial y observando como están definidos los vectores de la base ortonormal
en 13, podemos ver cual es la forma de la matriz inversa de transformación:

e⃗t̂
e⃗r̂
e⃗θ̂
e⃗ϕ̂
 = Λ
−1

e⃗t
e⃗r
e⃗θ
e⃗ϕ
⇒
⇒ Λ−1 =

e−ϕ(r) 0 0 0
0
(
1− b(r)
r
)1/2
0 0
0 0 r−1 0
0 0 0 (rsinθ)−1
 . (17)
Una vez definida esta matriz, las coordenadas de la base {eα̂} se pueden escribir enfunción de las coordenadas de la base {eα} tal que ⃗̂x = Λx⃗, donde ⃗̂x es el vector de
coordenadas (t̂, r̂, θ̂, ϕ̂) y x⃗ tiene coordenadas (t, r, θ, ϕ). De esta forma, se obtiene la
relación:
11Como por ejemplo a la hora de subir y bajar índices con la métrica, ya que expresada en esta base
lo único que hay que hacer es multiplicar por ±1.
Carlos Soler Vicente 17

t̂ = eϕt
r̂ = r
(
1− b
r
)−1/2
θ̂ = rθ
ϕ̂ = rϕsinθ.
(18)
En este sistema de referencia propio los cálculos se simplifican enormemente, tanto
ahora como en puntos que estudiaremos más adelante, por lo que hasta nuevo aviso, este
será el sistema utilizado.
Utilizando la base {e⃗α̂} con sus respectivas coordenadas, queremos ver ahora qué forma
tienen las componentes del tensor de Riemann en dicha base. Para ello, no hay más que
utilizar la transformación de coordenadas característica de los tensores, que en el caso del
tensor de Riemann se expresa de la forma
Rα̂
β̂γ̂δ̂
=
∂xα̂
∂xα
∂xβ
∂xβ̂
∂xγ
∂xγ̂
∂xδ
∂xδ̂
Rαβγδ. (19)
Utilizando dicha transformación y la relación entre coordenadas 18, y aplicando las
propiedades del tensor de Riemann según las cuales
Rαβγδ = −Rβαγδ = −RαβδγRαβγδ = Rγδαβ , (20)
las 24 componentes no nulas del tensor de Riemann se pueden escribir de forma más
simplificada en esta base tal que:
18 Trabajo de Fin de Grado

Rt̂
r̂t̂r̂
= −Rt̂
r̂r̂t̂
= Rr̂
t̂t̂r̂
= −Rr̂
t̂r̂t̂
=
(
1− b
r
)[
−ϕ′′ + b
′r − b
2r(r − b)
ϕ′ − (ϕ′)2
]
Rt̂
θ̂t̂θ̂
= −Rt̂
θ̂θ̂t̂
= Rθ̂
t̂t̂θ̂
= −Rθ̂
t̂θ̂t̂
= −
(
1− b
r
)
ϕ′
r
Rt̂
ϕ̂t̂ϕ̂
= −Rt̂
ϕ̂ϕ̂t̂
= Rϕ̂
t̂t̂ϕ̂
= −Rϕ̂
t̂ϕ̂t̂
= −
(
1− b
r
)
ϕ′
r
Rr̂
θ̂r̂θ̂
= −Rr̂
θ̂θ̂r̂
= Rθ̂
r̂θ̂r̂
= −Rθ̂
r̂r̂θ̂
=
b′r − b
2r3
Rr̂
ϕ̂r̂ϕ̂
= −Rr̂
ϕ̂ϕ̂r̂
= −Rϕ̂
r̂r̂ϕ̂
= Rϕ̂
r̂ϕ̂r̂
=
b′r − b
2r3
Rθ̂
ϕ̂θ̂ϕ̂
= −Rθ̂
ϕ̂ϕ̂θ̂
= Rϕ̂
θ̂ϕ̂θ̂
= −Rϕ̂
θ̂θ̂ϕ̂
=
b
r3
.
3.3. Tensor de Ricci
Una vez obtenido el tensor de Riemann en el sistema de referencia propio de los ob-
servadores estáticos, el siguiente paso a la hora de describir las ecuaciones de estructura
es construir el tensor de Ricci, que aparece directamente en las ecuaciones de campo de
Eintein. El tensor de Ricci no es más que la contracción del tensor de Riemann en su
componente contravariante y la segunda componente covariante 12, es decir
Rα̂β̂ = R
µ̂
α̂µ̂β̂
= gµ̂δ̂Rδ̂α̂µ̂β̂. (21)
De esta forma, las componentes no nulas del tensor de Ricci son

Rt̂t̂ = R
r̂
t̂r̂t̂
+Rθ̂
t̂θ̂t̂
+Rϕ̂
t̂ϕ̂t̂
=
(
1− b
r
)[
ϕ′′ + (ϕ′)2 +
4r − 3b− b′r
2r(r − b)
ϕ′
]
Rr̂r̂ = R
t̂
r̂t̂r̂
+Rθ̂
r̂θ̂r̂
+Rϕ̂
r̂ϕ̂r̂
= −
(
1− b
r
)[
ϕ′′ + (ϕ′)2 +
b− b′r
2r(r − b)
ϕ′ +
b− b′r
r2(r − b)
]
Rθ̂θ̂ = R
t̂
θ̂t̂θ̂
+Rr̂
θ̂r̂θ̂
+Rϕ̂
θ̂ϕ̂θ̂
=
(
1− b
r
)[
b′r + b
2r2(r − b)
− ϕ
′
r
]
Rϕ̂ϕ̂ = Rθ̂θ̂.
12Las componentes contravariantes de un tensor son las que escribimos como superíndices, y las cova-
riantes como subíndices. Por ello, por ejemplo, el tensor de Riemann es 1 vez contravariante y 3 veces
covariante y los tensores métricos son siempre 2 veces covariantes.
Carlos Soler Vicente 19
3.4. Curvatura escalar
Una vez obtenido el tensor de Ricci, estamos en disposición de calcular la curvatura
escalar o escalar de Ricci, término que también aparece en las ecuaciones de Einstein, por
lo que es de gran relevancia. La curvatura escalar no es más que la traza del tensor de
Ricci, por lo que se obtiene tal que
R = Rα̂α̂ = g
α̂β̂Rα̂β̂. (22)
Basándonos en 22, realizando el cálculo se obtiene la siguiente expresión para la cur-
vatura escalar:
R = −Rt̂t̂ +Rr̂r̂ + 2Rθθ = −2
(
1− b
r
)[
ϕ′′ + (ϕ′)2 − b
′r + 3b− 4r
2r(r − b)
ϕ′ − b
′
r(r − b)
]
.
3.5. Tensor de Einstein
Debido a la relación entre materia, energía y geometría que describe la teoría de la
Relatividad General, Einstein pasó años buscando un objeto matemático que representara
la geometría del espacio-tiempo y que fuera proporcional al tensor energía-momento Tµν .
Puesto que el tensor energía-momento es de divergencia nula, es decir 13
T µν;ν = 0, (23)
lo que Einstein buscaba era un tensor que fuera también de divergencia nula, ya que debía
ser proporcional al tensor energía-momento. Tras años de búsqueda, Einstein definió su
tensor como
Gαβ = Rαβ −
1
2
Rgαβ, (24)
el cual cumple también que Gαβ;β = 0.
Una vez introducido el tensor de Einstein, teniendo calculadas las componentes del
tensor de Ricci y la curvatura escalar en el sistema de referencia propio de los observadores
en reposo (cuya métrica es la de Minkowski), podemos obtener las componentes no nulas
de este tensor en este sistema de referencia tal que:
13El punto y coma indica una derivada covariante. Por ejemplo, vα;β = v
α
,β + Γ
α
βγv
γ .
20 Trabajo de Fin de Grado

Gt̂t̂ = Rt̂t̂ +
1
2
R =
b′
r2
Gr̂r̂ = Rr̂r̂ −
1
2
R = − b
r3
+
(
1− b
r
)
2ϕ′
r
Gθ̂θ̂ = Rθ̂θ̂ −
1
2
R =
(
1− b
r
)[
ϕ′′ + (ϕ′)2 − b
′r − b
2r(r − b)
ϕ′ − b
′r − b
2r2(r − b)
+
ϕ′
r
]
Gϕ̂ϕ̂ = Gθ̂θ̂.
Una vez hemos obtenido todos los objetos matemáticos que describen la geometría del
espacio-tiempo generada por nuestro agujero de gusano atravesable, estamos en disposi-
ción de estudiar cuál es el contenido material y energético responsable de generar dicha
geometría. Para ello nos basaremos en las ecuaciones de Einstein, que como se indicó al
comienzo del trabajo, es indispensable que se satisfagan si queremos construir un modelo
adecuado.
4. Contenido material responsable de generar la geo-
metría
En esta sección se va a llevar a cabo el estudio de la materia que caracteriza nuestro
agujero de gusano atravesable. Para ello, utilizando las ecuaciones de campo de Einstein,
obtendremos un determinado tensor energía-momento, que será el objeto matemático que
nos dará las características del material que genera la geometría que estamos estudiando.
[1, 2, 7, 5, 4]
4.1. Ecuaciones de campo de Einstein
Cuando en Relatividad General se habla de materia o energía, matemáticamente nos
estamos refiriendo al tensor energía-momento. Este tensor es el que describe el contenido
material relacionado con una determinada geometría, en este caso la de nuestro agujero
de gusano atravesable.
Carlos Soler Vicente 21
En primer lugar se puede relacionar la geometría del espacio-tiempo con la energía o
materia que la origina mediante las ecuaciones de campo de Einstein, cuya forma es 14
Gα̂β̂ = Rα̂β̂ −
1
2
Rgα̂β̂ = 8πTα̂β̂. (25)
En estas ecuaciones se puede ver claramente la equivalencia entre geometría y materia
de la que hablábamos anteriormente. De acuerdo con las componentes del tensor de Eins-
tein calculadas anteriormente, es fácil darse cuenta de que el tensor energía-momento que
describe la materia de nuestro agujero de gusano se trata de un tensor diagonal. La inter-
pretación física de sus componentes en el sistema de referencia propio de los observadores
estáticos en el que estamos trabajando, cuya base de vectores es ortonormal, resulta ser
muy sencilla. La componente Tt̂t̂ corresponde a la densidad de energía. La componente Tr̂r̂
se define como la negativa de la tensión radial, que a su vez es la negativa de la presión
radial. Por último, las componentes Tθ̂θ̂ y Tϕ̂ϕ̂ son las presiones generadas debido a la
materia de nuestro espacio-tiempo en las direcciones tangenciales. Estas dos componen-
tes, observando 25 son iguales, ya que las respectivas componentes del tensor de Einstein
obtenidas en el apartado anterior son idénticas. Matemáticamente:

Tt̂t̂ = ρ(r)
Tr̂r̂ = −τ(r) = pr(r)
Tθ̂θ̂ = Tϕ̂ϕ̂ = p(r),
(26)
donde ρ(r) es la densidad de energía, τ(r) es la tensión radial, pr(r) es la presión radial y
p(r) es la presión en las direcciones tangenciales, que es la misma en las direcciones e⃗θ̂ y
e⃗ϕ̂.
Como podemos ver, todas estas magnitudes dependen únicamente de la coordenada
radial. A partir de 25 y 26 podemos calcular el valor de estas cantidades que describen la
materia que origina nuestro agujero de gusano,obteniendo 15:
14Merece la pena destacar que existe un término extra en las ecuaciones, la constante cosmológica. No
obstante, en este modelo no se va a considerar.
15Recordemos que estos resultados se han obtenido en unidades geometrizadas G=c=1.
22 Trabajo de Fin de Grado

ρ(r) =
1
8π
b′
r2
τ(r) =
1
8π
[
b
r3
− 2
(
1− b
r
)
ϕ′
r
]
p(r) =
1
8π
(
1− b
r
)[
ϕ′′ + (ϕ′)2 − b
′r − b
2r2
(
1− b
r
)ϕ′ − b′r − b
2r3
(
1− b
r
) + ϕ′
r
]
.
Como podemos apreciar en las ecuaciones, el comportamiento de la materia que origina
el agujero de gusano depende estrechamente de la forma de este, ya que podemos observar
que la función de forma aparece de manera natural en las ecuaciones. Además, tanto la
función de “redshift” como sus derivadas tienen gran relevancia en las mismas.
Para resolver estas ecuaciones, pueden llevarse a cabo varias estrategias. La más con-
veniente y la que parece más lógica consistiría en imponer una determinada ecuación de
estado para la materia del agujero de gusano, y realizar elecciones adecuadas para las
funciones de forma y de “redshift”16. Una vez hecha esta elección, se pueden resolver las
ecuaciones sin mayores problemas.
Uno de los primeros puntos problemáticos fácil de detectar a la hora de describir la
materia necesaria para construir un agujero de gusano de estas características podemos
encontrarlo en la ecuación correspondiente a la tensión radial. Tal y como se define la
presión radial, se puede ver que, en la garganta del agujero de gusano se cumple
pr(r0) = −τ(r0) = −
1
8πr20
,
por lo que la presión radial resulta ser negativa. Otro punto conflictivo que será analizado
en el siguiente apartado tiene que ver con la negatividad de la densidad de energía medida
por observadores que atraviesen el agujero de gusano a velocidades cercanas a la de la luz.
Manipulando un poco las ecuaciones obtenidas, podemos escribir una ecuación de equi-
librio hidrostático. Para ello, en primer lugar, derivando con respecto a r la tensión radial
16En este trabajo no nos estamos centrando en soluciones determinadas, si no en toda la física que hay
en el caso general de estos agujeros de gusano, por lo que vamos a seguir con nuestro estudio general sin
considerar casos especiales.
Carlos Soler Vicente 23
se obtiene:
τ ′(r) =
1
8π
[
b′r − 3b
r4
− 2
[(
1− b
r
)
ϕ′′r − ϕ′
r2
− ϕ′ b
′r − b
r3
]]
.
Además, sumando las ecuaciones de la presión tangencial y la tensión radial y restando
las de la densidad de energía y la tensión radial, tenemos lo siguiente:

p+ τ =
1
8π
[(
1− b
r
)
ϕ′′ +
(
1− b
r
)
(ϕ′)2 − b
′r − b
2r2
ϕ′ −
(
1− b
r
)
ϕ′
r
+
3b− b′r
2r3
]
ρ− τ = 1
8π
[
b′r − b
r3
+ 2
(
1− b
r
)
ϕ′
r
]
.
Observando estas dos ecuaciones, y la ecuación correspondiente a la derivada radial
de la tensión radial, haciendo una pequeña manipulación podemos escribir finalmente la
ecuación
τ ′ = (ρ− τ)ϕ′ − 2
r
(p+ τ). (27)
La ecuación 27 corresponde a la ecuación relativista de Euler, que en pocas palabras
no es más que la ecuación de equilibrio hidrostático para la materia y la energía que
componen nuestro agujero de gusano atravesable.
4.2. Materia exótica
A continuación, vamos a continuar estudiando las características de la materia respon-
sable de generar el agujero de gusano y describiremos qué es lo que se entiende por materia
exótica. Para ello vamos a comenzar, basándonos en el estudio que realizaron Morris y
Thorne a finales del siglo XX [2], definiendo una función adimensional tal que
ξ(r) =
τ − ρ
|ρ|
. (28)
Esta función es conocida con el nombre de función de exoticidad, cosa que en este
apartado veremos por qué. A partir de esta función, utilizando las ecuaciones correspon-
dientes a la tensión radial y a la densidad de energía proporcionadas por las ecuaciones
de Einstein, podemos escribir la función exoticidad tal que
24 Trabajo de Fin de Grado
ξ =
1
8π
[
b
r3
− 2
(
1− b
r
)
ϕ′
r
− b′
r2
]
1
8π
|b′|
r2
=
b
r
− b′ − 2r
(
1− b
r
)
ϕ′
|b′|
.
Si recordamos, según la condición de “flare out” 10 que habíamos impuesto en el apar-
tado 2, mediante la cual imponíamos que el agujero de gusano tuviera un mínimo en la
garganta, es decir d2r
dz2
> 0 cuando r → 0, podemos reescribir la función exoticidad como
ξ =
d2r
dz2
2b2
r|b′|
− 2r
(
1− b
r
)
ϕ′
r
.
De esta forma, evaluando la función en la garganta el segundo término se cancela por
lo que tendremos:
ξ(r0) =
d2r
dz2
∣∣∣∣
r0
2b2(r0)
r0|b′(r0)|
> 0.
Esto quiere decir que , en la garganta del agujero de gusano se cumplirá
ξ(r0) =
τ(r0)− ρ(r0)
|ρ(r0|
> 0 ⇒ τ(r0) > ρ(r0). (29)
Esta restricción en la garganta nos está diciendo que la tensión radial debe ser tan
extremadamente grande como para exceder la densidad de masa-energía del agujero de
gusano, lo que a priori ya puede parecer algo conflictivo. La materia que cumple esta con-
dición en un agujero de gusano fue denominada por primera vez por Morris y Thorne como
materia exótica, ya que incumple ciertos requisitos que obedece la materia considerada
como físicamente razonable. Algunos de estos requisitos son las conocidas como Condi-
ciones de Energía, que más adelante definiremos y comprobaremos su incumplimiento por
parte de este tipo de materia.
Uno de los principales problemas que presenta este tipo de materia necesaria para la
construcción de un agujero de gusano atravesable, consiste en la posible medición de una
densidad de energía negativa por parte de un observador que atravesara el agujero de
gusano a velocidades considerablemente elevadas. Esto es lo que vamos a comprobar a
continuación.
Carlos Soler Vicente 25
Para comenzar, consideremos un observador que se mueve radialmente a velocidades
cercanas a la de la luz a través del agujero de gusano. De esta forma, consideraremos que
el viajero se mueve con velocidad radial constante v. Denotaremos como {e⃗α̂′} a la base
de vectores que definen el sistema de referencia comóvil con el viajero, cuyas coordena-
das espaciotemporales serán (t̂′, r̂′, θ̂′, ϕ̂′). Teniendo en cuenta esto, podemos expresar las
coordenadas de este sistema de referencia en función de las coordenadas del sistema de
referencia propio de los observadores en reposo caracterizado por la base {e⃗α̂} mediante
una Transformación de Lorentz, que bajo las condiciones que hemos considerado será:

t̂ = γ(t̂′ ± vr̂′)
r̂ = γ(r̂′ ± vt̂′)
θ̂ = θ̂′
ϕ̂ = ϕ̂′,
(30)
donde en unidades geometrizadas, γ = 1√
1−v2 .
Puesto que estamos interesados en ver la densidad de energía que mide el viajero,
tendremos que saber cuál es el tensor energía-momento correspondiente medido en su
sistema de referencia. Para ello, lo único que hay que hacer es utilizar las propiedades de
los tensores para cambiar de un sistema de referencia a otro, de forma que en el sistema
de referencia comóvil con el viajero, las componentes de Tµ̂′ν̂′ se escriben tal que:
Tµ̂′ν̂′ =
∂xµ̂
∂xµ̂′
∂xν̂
∂xν̂′
Tµ̂ν̂ . (31)
Para ver cúal es la densidad de energía, tenemos que calcular la componente temporal
de la diagonal del tensor, de forma que:
Tt̂′ t̂′ = ρ
′ =
∂xµ̂
∂xt̂′
∂xν̂
∂xt̂′
Tµ̂ν̂ = γ
2Tt̂t̂ + γ
2v2Tr̂r̂ ± 2γ2vTt̂r̂.
Sustituyendo los valores obtenidos en 26,
ρ′ = γ2ρ− γ2v2τ = γ2(ρ− v2τ).
26 Trabajo de Fin de Grado
Puesto que el viajero se mueve con una velocidad muy elevada, cercana a la de la luz, en
unidades geometrizadas esto quiere decir que v → 1. Por ello, en la garganta del agujero
de gusano, se tiene que
ρ′0 = γ
2(ρ0 − τ0) < 0, (32)
ya que tenemos como condición necesaria 29.
De esta forma hemos podido ver que la construcción de un agujero de gusano atravesa-
ble implicaría una serie de condiciones relacionadas con la materia-energía que lo compone
según las cuáles habría consecuencias conflictivas, como puede ser el caso de la aparición
de una densidad de energía negativa medida por un viajero que se aventure a atravesar
la garganta.
5. Condiciones de atravesabilidad
En esteapartado vamos a describir una serie de condiciones necesarias que han de darse
con el objetivo de que, refinando nuestro agujero de gusano, una supuesta civilización
avanzada que tuviera los recursos para la construcción de este objeto tan exótico fuera
capaz de atravesarlo, pudiendo así tomar un atajo en el tejido del espacio-tiempo para
viajar a lugares a los que sin un agujero de gusano llevaría millones de años llegar. [1, 2,
3, 8]
5.1. Condiciones necesarias en las estaciones de partida y de lle-
gada
Para comenzar con esta parte del trabajo, vamos a suponer que el viajero parte de una
estación situada en el “lower universe” y despúes de supuestamente atravesar el agujero
de gusano, llega a otra estación situada en el “upper universe”. La primera condición que
debemos imponer para que el viaje sea posible es que las estaciones estén situadas lo
suficientemente lejos como para evitar los efectos gravitacionales del agujero de gusano.
Esto quiere decir que el espacio donde se encuentran situadas dichas estaciones ha de ser
Carlos Soler Vicente 27
asintóticamente plano. Matemáticamente, esto quiere decir que b
r
≪ 1, según 8.
Una de las principales preocupaciones en Relatividad General a la hora de estudiar casos
como el que estamos analizando en este apartado es la del desfase temporal. Con desfase
temporal nos referimos a la relación que hay entre los intervalos de tiempo coordenado
y el tiempo propio de un observador determinado. Para analizar dicha relación, vamos a
considerar en primer lugar el vector cuadrivelocidad de los observadores que permanecen
en reposo en las estaciones. Este cuadrivector se puede expresar tal que
u⃗obs = (u
t, 0, 0, 0) =
(
dt
dτobs
, 0, 0, 0
)
. (33)
La componente temporal de la cuadrivelocidad la podemos calcular por normalización,
de forma que 17
u⃗obs · u⃗obs = −1 ⇒ gαβuαuβ = gtt(ut)2 = −e2ϕ(ut)2 = −1 ⇒ ut =
dt
dτobs
= e−ϕ. (34)
De esta forma hemos obtenido una relación entre el tiempo coordenado y el tiempo
propio de los observadores que permanecen en reposo en las estaciones.
Otra de las consecuencias que implica la consideración de que las estaciones se en-
cuentren en un espacio asintóticamente plano es que el corrimiento al rojo de las señales
emitidas desde las estaciones hacia el infinito sea muy pequeño 18.
Para ver cuál es la relación entre estas señales emitidas, lo primero que se debe hacer
es tener en cuenta la relación entre la energía de la luz emitida desde las estaciones y la
energía recibida por un observador situado en el infinito. Esta relación viene dada por [5]
Erec = |gtt|1/2Eem. (35)
Después de definir la relación entre ambas energías, podemos definir el parámetro de
corrimiento al rojo de la forma
17El producto del vector cuadrivelocidad por sí mismo es igual a −c2. Puesto que trabajamos con
unidades geometrizadas, en este caso es igual a -1.
18Las señales son ondas (de luz o sonido), las cuáles se ven afectadas por la curvatura del espacio-
tiempo. Por ello, puesto que como el espacio es asintóticamente plano, el desfase entre longitudes de onda
(“redshift” o corrimiento al rojo) es mínimo al no verse estas señales prácticamente afectadas.
28 Trabajo de Fin de Grado
z =
∆λ
λ
=
λrec − λem
λem
=
λrec
λem
− 1. (36)
Una vez obtenidas las expresiones 35 y 36 debemos relacionar las energías de la luz
emitida y recibida con sus correspondientes longitudes de onda. Sabiendo que la energía
de los fotones se puede escribir como E = hν = h
λ
19 , y utilizando 35, se obtiene una
relación sencilla entre las longitudes de onda de la luz emitida y recibida, que se puede
expresar de la siguiente forma:
Eem
Erec
=
λrec
λem
= |gtt|−1/2 = e−ϕ.
De esta manera, el corrimiento al rojo de las señales enviadas desde las estaciones al
infinito se escribe tal que
z = e−ϕ − 1.
Puesto que hemos dicho que el corrimiento al rojo ha de ser pequeño, observando la
expresión obtenida para el ’redshift’ impondremos que en el infinito |ϕ| ≪ 1. De esta
forma, el corrimiento al rojo de las señales se escribe finalmente como
z ≈ −ϕ.
Una vez expuesto esto, es fácil observar que al imponer condiciones sobre el corrimiento
al rojo gravitacional lo que realmente estamos imponiendo son condiciones relacionadas
con el desfase temporal que pudiera existir entre el tiempo coordenado y el tiempo propio
en las estaciones. Esto se puede ver de forma sencilla ya que al imponer la condición de
que el valor absoluto de la función de “redshift” en el infinito sea muy pequeño, lo que
estamos diciendo es que, observando 34,
dt
dτobs
= e−ϕ ≈ 1 ⇒ dt ≈ dτobs.
Por lo tanto, lo que estamos diciendo realmente es que el desfase temporal entre el tiem-
po coordenado y el tiempo medido por relojes situados en las estaciones sea prácticamente
nulo.
19En realidad es E = hcλ , pero como estamos trabajando en unidades geometrizadas c=1.
Carlos Soler Vicente 29
Una vez expuestas las condiciones relacionadas con el desfase temporal y el corrimiento
al rojo, lo siguiente que debemos estudiar es la aceleración de la gravedad percibida en las
estaciones. Lo primero que haremos será imponer que esta aceleración de la gravedad sea
menor o igual que la aceleración de la gravedad terrestre, con el fin de tener un modelo
coherente y adecuado para nuestra civilización avanzada.
Para comenzar, será necesario obtener el cuadrivector aceleración para los observadores
estáticos residentes en las estaciones. Este cuadrivector se puede obtener a partir del
cuadrivector velocidad obtenido anteriormente de la forma:
aαobs = u
α
obs;βu
β
obs =
(
uαobs,β + Γ
α
βγu
γ
obs
)
uβobs. (37)
Teniendo en cuenta la forma del vector cuadrivelocidad de estos observadores obtenido
en 33, podemos escribir las componentes de la cuadriaceleración tal que
aαobs = Γ
α
ttu
t
obsu
t
obs,
ya que el término uαobs,t es nulo al ser las componentes de la cuadrivelocidad únicamente
dependientes de la coordenada radial y no de la temporal. De esta forma, observando los
símbolos de Christoffel no nulos calculados a partir de la métrica estática y con simetría
esférica que estamos considerando, obtenidos al comienzo del trabajo, podemos ver que
la única componente no nula del vector cuadriaceleración es la componente radial y se
puede calcular tal que
arobs = Γ
r
ttu
t
obsu
t
obs =
(
1− b
r
)
ϕ′e2ϕe−2ϕ =
(
1− b
r
)
ϕ′.
Así, podemos escribir el cuadrivector aceleración como:
a⃗obs =
(
0,
(
1− b
r
)
ϕ′, 0, 0
)
. (38)
A partir del vector cuadriaceleración, la aceleración de la gravedad percibida por los
observadores en las estaciones no es más que 20
20La aceleración de la gravedad corresponderá al módulo del vector cuadriaceleración de los observa-
dores en reposo en las estaciones.
30 Trabajo de Fin de Grado
|g| = | (aαobsaobsα)
1/2 | = | (grrarobsarobs)
1/2 | =
∣∣∣∣∣∣
[(
1− b
r
)−1/2(
1− b
r
)2
ϕ′2
]1/2∣∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣
(
1− b
r
)3/4
ϕ′
∣∣∣∣∣ .
Puesto que las estaciones han de encontrarse en una región del espacio asintóticamente
plana, en ellas se cumple que b
r
→ 0, por lo que la condición que imponemos en cuanto
a la magnitud de la aceleración de la gravedad en las estaciones para que puedan darse
unas condiciones adecuadadas de atravesabilidad es tal que
|g| ≈ |ϕ′| ≤ g⊕, (39)
donde g⊕ es el valor de la aceleración de la gravedad terrestre. De esta forma, tenemos
una condición para la primera derivada radial de la función de “redshift”.
Una vez finalizado este apartado, podemos ver que las condiciones necesarias para la
atravesabilidad del agujero de gusano impuestas en las estaciones de partida y llegada,
donde se ha considerado desde el principio que el espacio es asintóticamente plano, están
sobre todo relacionadas con el desafase temporal entre tiempo coordenado y tiempo propio
de los observadores estáticos en ellas y con el corrimiento al rojo gravitacional.
5.2. Condiciones necesarias relacionadas con el viajero
En este apartado se van a definir una serie de condiciones necesarias, con suscorres-
pondientes consecuencias matemáticas, en relación con el viajero para que el viaje a través
del agujero de gusano sea físicamente posible.
En primer lugar, debemos ver cómo adecuar la aceleración que sufrirá el viajero al
atravesar nuestro agujero de gusano para conseguir que sea soportable por un ser humano.
Para ello, lo que haremos será imponer que la aceleración experimentada por el viajero
durante su viaje no exceda la aceleración de la gravedad terrestre, de forma similar a
cómo se ha hecho para el caso de la aceleración experimentada en las estaciones.
Carlos Soler Vicente 31
Para comenzar, vamos a considerar una base ortonormal que define el sistema de re-
ferencia propio del viajero, es decir, el sistema de referencia comóvil con él. Esta base la
denotaremos de la forma
{
e⃗0̂′ , e⃗1̂′ , e⃗2̂′ , e⃗3̂′
}
.
A continuación, vamos a suponer que el movimiento del viajero a través del agujero
de gusano es radial con velocidad v. Entonces, los vectores de la base del sistema comó-
vil se relacionan con los vectores de la base de los observadores estáticos mediante una
Transformación de Lorentz sencilla de la forma:
e⃗0̂′ = γe⃗t̂ ± γve⃗r̂
e⃗1̂′ = ±γe⃗r̂ + γve⃗t̂
e⃗2̂′ = e⃗θ̂
e⃗3̂′ = e⃗ϕ̂.
(40)
A partir de esta transformación es fácil ver que se trata de una base ortonormal, ya
que e⃗α̂′ · e⃗β̂′ = ηα′β′ .
En este sistema de referencia, está claro que la cuadrivelocidad del viajero es u⃗tra = e⃗0̂′
21, ya que este permanece siempre en reposo en su sistema de referencia comóvil y por
tanto la única componente no nula de la cuadrivelocidad es la componente temporal.
Aplicando ahora la condición de la ortogonalidad de los cuadrivectores aceleración y
velocidad y expresándolos en el sistema de referencia comóvil, podemos escribir:
a⃗tra · u⃗tra = 0a⃗tra = aα̂′ e⃗α̂′ ⇒ aα̂
′
e⃗α̂′ · e⃗0̂′ = 0 ⇒ a
0̂′ = 0.
Además, como el movimiento del viajero a través del agujero de gusano es radial, se
tiene que a2̂′ = a3̂′ = 0, de forma que el vector cuadriaceleración experimentado por el
viajero únicamente tiene componente radial. Así, se puede escribir como
a⃗tra = ae⃗1̂′ . (41)
El cuadrivector aceleración puede expresarse también en la base {e⃗α} . En esta base
21Escribimos el subíndice “tra” como abreviatura de “traveller”, para indicar que nos estamos refiriendo
a la cuadrivelocidad del viajero.
32 Trabajo de Fin de Grado
vamos a denotar las componentes de la cuadriaceleración de la manera (attra, artra, aθtra, a
ϕ
tra).
De esta forma vamos a realizar el cálculo a⃗tra · e⃗t 22:
⃗atra · e⃗t = (attrae⃗t + artrae⃗r + aθtrae⃗θ + a
ϕ
trae⃗ϕ) · e⃗t = gttattra = −e2ϕattra.
Además, puesto que el cuadrivector aceleración lo podemos expresar en varios sistemas
de referencia, según 41 tenemos que
a⃗tra · e⃗t = ae⃗1̂′ · e⃗t = ae
ϕe⃗1̂′ · e⃗t̂ = −γvae
ϕ,
donde se han utilizado 13 y 40. Una vez realizado el cálculo en ambos sistema de referencia,
podemos igualar las expresiones obteniendo:
−e2ϕattra = −γvaeϕ ⇒ attra = γvae−ϕ. (42)
Consideremos ahora la cuadrivelocidad de nuestro viajero en dos sistemas de referencia
diferentes, cuyas bases son {e⃗α} y la base de vectores del sistema de referencia de los
observadores estáticos {e⃗α̂}. De esta manera podemos escribir la cuadrivelocidad de dos
formas diferentes y equivalentes:
u⃗tra = u
µe⃗µ
u⃗tra = u
α̂e⃗α̂,
donde en la primera base la cuadrivelocidad tiene componentes uµtra = (uttra, urtra, uθtra, u
ϕ
tra),
y en la segunda uα̂tra = (ut̂tra, ur̂tra, uθ̂tra, u
ϕ̂
tra) = (γ, γv, 0, 0)
23, ya que como hemos visto
antes u⃗tra = e⃗0̂′ y al aplicar 40 se pueden escribir las componentes de la cuadrivelocidad
en el sistema {e⃗α̂}.
22Este cálculo lo realizamos para poder obtener un poco más adelante el valor de a, que es lo que
estamos buscando.
23Nos hemos quedado con el signo positivo por comodidad. Esto podemos hacerlo sin pérdida de
generalidad ya que el signo simplemente indica el sentido del movimiento en la dirección radial, cosa que
podemos imponer según nos convenga.
Carlos Soler Vicente 33
Lo que nos interesa ahora es ver cómo se escriben las componentes uµtra. Para ello, según
el cálculo anterior hemos obtenido que
u⃗tra = γe⃗t̂ + γve⃗r̂,
por lo que utilizando la transformación de vectores 13, podemos expresar la cuadriveloci-
dad del viajero en el sistema de referencia {e⃗µ} tal que
u⃗tra = γe
−ϕe⃗t + γv
(
1− b
r
)1/2
e⃗r.
De esta forma, las componentes de u⃗tra en este sistema las escribimos como uµtra =
(γe−ϕ, γv
(
1− b
r
)1/2
, 0, 0) .
Una vez tenemos las componentes de la cuadrivelocidad, podemos obtener el vector
cuadriaceleración del viajero en este sistema sabiendo que aα = uα;βuβ. Para la componente
temporal tenemos:
attra = u
t
tra;βu
β
tra = (u
t
tra,β + Γ
t
βγu
γ
tra)u
β
tra = u
t
tra,ru
r
tra + 2Γ
t
rtu
r
trau
t
tra =
=
(
1− b
r
)1/2
γv
d(γe−ϕ)
dr
+ 2ϕ′γ2v
(
1− b
r
)1/2
e−ϕ =
= γv
(
1− b
r
)1/2 [
2γϕ′e−ϕ +
d(γe−ϕ)
dr
]
= γv
(
1− b
r
)1/2 [
γϕ′e−ϕ + γ′e−ϕ
]
=
= γv
(
1− b
r
)1/2
d(γe−ϕ)
dr
= attra. (43)
Una vez obtenida la componente temporal de la cuadriaceleración de esta forma y
teniendo en cuenta la forma en la que la habíamos obtenido en 42, podemos igualar las
expresiones 42 y 43 para obtener el valor de a:
attra = γvae
−ϕ = γv
(
1− b
r
)1/2
d(γe−ϕ)
dr
⇒ a =
(
1− b
r
)1/2
eϕ
d(γe−ϕ)
dr
.
Puesto que como hemos visto anteriormente, a⃗ = ae⃗1̂′ y la base de vectores
{
e⃗α̂′
}
es
una base ortonormal, a es el módulo de a⃗, por lo que la condición que hemos impuesto
según la cual la aceleración sentida por el viajero no ha de exceder la aceleración de la
gravedad terrestre se traduce matemáticamente en:
34 Trabajo de Fin de Grado
|⃗a| =
∣∣∣∣∣
(
1− b
r
)1/2
eϕ
d(γe−ϕ)
dr
∣∣∣∣∣ ≤ g⊕. (44)
Una vez hemos visto la condición para la aceleración sentida por el viajero, vamos a
pasar al estudio de las fuerzas de marea que le afectan.
Para que nuestro viajero no sea descuartizado por las fuerzas de marea generadas
debido a los efectos gravitacionales del agujero de gusano, impondremos la condición de
que la aceleración de marea 24 que experimenta el viajero no exceda de nuevo el valor de
la aceleración de la gravedad terrestre.
Para comenzar, vamos a denotar como ξ⃗ al vector que separa dos partes diferentes del
cuerpo de nuestro viajero. Por lo tanto, este vector es puramente espacial en el sistema
de referencia propio del vajero, es decir, no tiene componente temporal en el sistema
caracterizado por la base de vectores
{
e⃗α̂′
}
.
Además, denotaremos como ∆aα̂′ a las componentes de la aceleración de marea expe-
rimentada por dos partes diferentes del cuerpo del viajero.
Una vez introducido esto, la aceleración de marea está estrechamente relacionada con
la ecuación de desviación de las geodésicas de la Relatividad General. Esta aceleración de
marea entre dos partes del cuerpo separadas por el vector ξ⃗, en el sistema de referencia
propio del viajero, viene dada por la ecuación 25:
∆aα̂
′
= −Rα̂′
β̂′γ̂′δ̂′
uβ̂
′
ξγ̂
′
uδ̂
′
. (45)
Esta ecuación, geométricamente, representa la aceleración relativa entre dos partículas
de prueba (en este caso son dos partes diferentes del cuerpo del viajero) separadas una
distancia ξ⃗ con cuadrivelocidad u⃗. Haciendo un análogo con la desviación de las geodésicas,
puesto que estas partículas siguen precisamente geodésicas a lo largo del espacio-tiempo,
24La aceleración de marea consiste en la diferencia de aceleraciones que experimentan, en este caso,
dos partes diferentes del cuerpo del viajero. Por ello es importante minimizar dichos efectos en nuestro
modelo de agujero de gusano atravesable, ya que si las fuerzas de marea fueran muy grandes podrían
desgarrar el cuerpo de nuestro pobre viajero.
25Vamos a quitar el subíndice “tra” por comodidad, pero en todo momento estamos hablando de
magnitudes referentes al viajero.
Carlos Soler Vicente 35
la ecuación representa de alguna manera el ritmo de separación entre ambas geodésicas.Este es, de alguna manera, el significado geométrico de esta aceleración de marea.
De esta forma, es sencillo pensar que si este ritmo de separación de las geodésicas entre
dos partes diferentes del cuerpo del viajero es muy elevado, es muy probable que el cuerpo
humano no lo soporte y pueda ser desgarrado sin piedad por el agujero de gusano.
Una vez explicado este concepto, vamos a proceder a calcular el valor de las compo-
nentes de la aceleración de marea. Para ello, en primer lugar debemos tener en cuenta
que las componentes de la cuadrivelocidad del viajero en su propio sistema de referen-
cia pueden ser escritas como uα̂′ = δα̂′0 , ya que en este sistema únicamente tendremos la
componente temporal como componente no nula y en unidades geometrizadas es igual a
1. Además, puesto que hemos dicho que el vector ξ⃗ es puramente espacial en este sistema
de referencia, tenemos que ξ0̂′ = 0. Con estas dos aclaraciones, la ecuación 45 puede ser
reescrita de la forma
∆aα̂
′
= −Rα̂′
0̂′γ̂′0̂′
u0̂
′
ξγ̂
′
u0̂
′
= −Rα̂′
0̂′γ̂′0̂′
ξγ̂
′
.
Una vez escrita la ecuación de esta forma, debemos calcular las componentes del tensor
de Riemann de interés, utilizando la transformación tensorial de dicho tensor para pasar de
las componentes en la base {e⃗α̂} a las componentes en la base
{
e⃗α̂′
}
. Dicha transformación,
basándonos en 19, se escribe de la forma:
Rα̂
′
0̂′γ̂′0̂′
=
∂xα̂
′
∂xα̂
∂xδ̂
∂x0̂′
∂xγ̂
∂xγ̂′
∂xν̂
∂x0̂′
Rα̂
δ̂γ̂ν̂
.
Mediante dicha transformación debemos calcular las componentes R1̂′
0̂′1̂′0̂′
, R2̂′
0̂′2̂′0̂′
y
R3̂
′
0̂′3̂′0̂′
.
En cuanto a la primera de ellas:
R1̂
′
0̂′1̂′0̂′
= Rr̂
t̂r̂t̂
= −
(
1− b
r
)[
−ϕ′′ − (ϕ′)2 + b
′r − b
2r(r − b)
ϕ′
]
.
Para la segunda:
R2̂
′
0̂′2̂′0̂′
= γ2Rθ̂
t̂θ̂t̂
+ γ2v2Rθ̂
r̂θ̂r̂
=
γ2
2r2
[
v2
(
b′ − b
r
)
+ 2(r − b)ϕ′
]
.
Por último, para la última componente tenemos:
36 Trabajo de Fin de Grado
R3̂
′
0̂′3̂′0̂′
= γ2Rθ̂
t̂θ̂t̂
+ γ2v2Rθ̂
r̂θ̂r̂
= R2̂
′
0̂′2̂′0̂′
.
Una vez calculadas las componentes del tensor de Riemann necesarias, las componentes
para la aceleración de marea entre dos partes diferentes del cuerpo de nuestro viajero
vendrán dadas por: 
∆a0̂
′
= 0
∆a1̂
′
= −R1̂′
0̂′1̂′0̂′
ξ1̂
′
∆a2̂
′
= −R2̂′
0̂′2̂′0̂′
ξ2̂
′
∆a3̂
′
= −R3̂′
0̂′3̂′0̂′
ξ3̂
′
.
Nuestra condición de atravesabilidad relacionada con las aceleraciones de marea con-
sistía en que estas no excedieran la aceleración de la gravedad, con el fin de minimizar
la posibilidad de que nuestro viajero fuera desgarrado por las mismas. De esta forma,
todas las componentes de la aceleración de marea entre dos partes diferentes del cuerpo
del viajero han de cumplir |aµ̂′| ≤ g⊕, obteniendo las siguientes condiciones:
∣∣∣∣(1− br
)[
−ϕ′′ − (ϕ′)2 + b
′r − b
2r(r − b)
ϕ′
]∣∣∣∣ |ξ1̂′| ≤ g⊕
∣∣∣∣ γ22r2
[
v2
(
b′ − b
r
)
+ 2(r − b)ϕ′
]∣∣∣∣ |ξ2̂′| ≤ g⊕
∣∣∣∣ γ22r2
[
v2
(
b′ − b
r
)
+ 2(r − b)ϕ′
]∣∣∣∣ |ξ3̂′| ≤ g⊕,
(46)
para cualquier vector ξ⃗ de separación entre dos partes cualesquiera del cuerpo del viajero.
La condición relacionada con la componente radial de la aceleración de marea, restringe
el valor de la función de ’redshift’, y las condiciones derivadas a partir de las componentes
tangenciales de la aceleración de marea, limitan la velocidad con la cual el viajero ha
de atravesar el agujero de gusano. Estas condiciones, en la garganta se ven de forma
más clara. Recordando que en la garganta se cumple que r = r0 y b(r0) = r0, podemos
reescribir las condiciones expuestas en 47 como:
Carlos Soler Vicente 37

|ϕ′(r0)| ≤
2g⊕r0
|1− b′||ξ1̂′|
γ2v2 ≤ 2g⊕r
2
0
|1− b′||ξ2̂′|
γ2v2 ≤ 2g⊕r
2
0
|1− b′||ξ3̂′|
.
(47)
De esta forma, hemos visto una serie de condiciones, tanto en las estaciones de partida
y llegada como en relación al viajero, que sería necesario considerar para que el viaje a
través del agujero de gusano fuera físicamente razonable.
6. Condiciones de Energía
En esta sección se van a introducir las principales Condiciones de Energía. [1, 7, 3,
5] Estas condiciones de energía son restricciones impuestas por la Relatividad General
que sirven como filtro para determinar qué tipo de materia puede considerarse como
físicamente razonable. Por ello, estas condiciones pueden catalogarse como aproximaciones
puramente fenomenológicas, ya que son consecuencia de las observaciones que se han ido
realizando a lo largo de la historia de la ciencia, y sobretodo desde la publicación de la
Teoría de la Relatividad. En las Condiciones de Energía reside el fundamento de que el
tensor energía-momento debe ser positivo en presencia de materia y que la gravedad es
siempre atractiva.
Para comenzar con el estudio de las principales Condiciones de Energía, puesto que
las ecuaciones de Einstein relacionan el contenido material de una región concreta del
espacio-tiempo con su propia geometría, vamos a considerar en primer lugar una expre-
sión puramente geométrica. Esta expresión corresponde con la ecuación de Raychaudhuri.
La ecuación de Raychaudhuri describe la focalización de una congruencia de geodésicas
temporales para una determinada geometría. Esta ecuación se escribe de la forma
38 Trabajo de Fin de Grado
dθ
ds
= ωabω
ab − σabσab −
1
3
θ −RabV aV b, (48)
donde θ es la expansión, ωab el tensor vorticidad, σab el tensor de corte, Rab el tensor de
Ricci y V a es el vector temporal unitario tangente a la congruencia de geodésicas.
Observando 48, supongamos que tenemos vorticidad nula. De esta forma, el único tér-
mino que puede ser positivo es el último. Analizando la ecuación en el caso de vorticidad
nula, es fácil darse cuenta de que si RabV aV b ≥ 0, la expansión decrece, de forma que en
el caso de observadores en caída libre, los cuales sigan geodésicas y únicamente experi-
menten la interacción gravitatoria, se irán acercando cada vez más según la ecuación de
Raychaudhuri. Este hecho puramente geométrico permite formular lo que se conoce como
condición de convergencia temporal (TCC).
Condición 1 (TCC) La gravedad es siempre atractiva:
RabV
aV b ≥ 0, (49)
para cualquier vector temporal V a.
Si combinamos la condición (TCC) con la formulación matemática de las ecuaciones
de Einstein, podemos enunciar la conocida como condición de energía fuerte (SEC):
Condición 2 (SEC) La gravedad es siempre atractiva en Relatividad General, por lo
que combinando la condición (TCC) con las ecuaciones de Einstein, se tiene:
(
Tab −
1
2
Tgab
)
V aV b ≥ 0, (50)
para cualquier vector temporal V a.
Analizando de forma matemática la condición (TCC), se puede llegar a la conocida
como condición de energía débil (WEC). En primer lugar, supongamos un vector gené-
rico V a temporal, de forma que V aVa ≤ 0. Según las ecuaciones de campo de Einstein,
formuladas en 25, podemos escribir
RabV
aV b = 8πTabV
aV b +
1
2
RV aVa ≥ 0.
Carlos Soler Vicente 39
Puesto que el producto escalar del vector V a consigo mismo es negativo, necesariamente
se tiene que
TabV
aV b ≥ 0,
para cualquier vector V a temporal. Si nos paramos a pensar en lo que quiere decir esta
relación, puesto que V a es temporal y por la forma del tensor energía-momento, lo que
podemos extraer de esta condición es que la densidad de energía medida por cualquier
observador ha de ser no negativa. De esta forma podemos enunciar la condición de energía
débil:
Condición 3 (WEC) La densidad de energía medida por cualquier observador es no
negativa, es decir:
TabV
aV b ≥ 0, (51)
para cualquier vector V a temporal.
Una vez obtenida la condición de energía débil podemos preguntarnos qué sucede en el
límite de los observadores nulos. Procediendo de la misma forma que en la obtención de la
condición de convergencia temporal, podemos suponer una congruencia de geodésicas nu-
las, que es el tipo de geodésica que sigue la luz, partiendo de la ecuación de Raychaudhuri
con vorticidad nula. Este caso es un límite particular de la condición TCC y requiere
queRabkakb ≥ 0, donde ka es un vector nulo, es decir el producto escalar de este vector
consigo mismo es 0.
De forma similar a como hemos obtenido la condición de energía débil, utilizando las
ecuaciones de Einstein y la condición anterior podemos escribir
Rabk
akb = 8πTabk
akb +
1
2
Rkaka ≥ 0.
Puesto que el producto escalar de ka consigo mismo es nulo, necesariamente se ha de
cumplir que
Tabk
akb ≥ 0.
Con esto, podemos enunciar la conocida como condición de energía nula (NEC):
40 Trabajo de Fin de Grado
Condición 4 (NEC) Las condiciones SEC y WEC se satisfacen en el límite de los ob-
servadores nulos:
Tabk
akb ≥ 0.
Una vez deducidas las condiciones SEC, WEC y NEC 26 a partir de la ecuación de
Raychaudhuri combinada con las ecuaciones de Einstein, volviendo a la no negatividad
de la densidad de energía expuesta en la condición WEC, podemos enunciar la última de
las condiciones principales de energía que vamos a considerar en este trabajo 27, conocida
como condición de energía dominante (DEC), que no es más que añadir la forma en la
que se propaga la energía a la condición WEC:
Condición 5 (DEC) La densidad de energía medida por cualquier observador es no
negativa y se propaga de manera causal:
TabV
aV b ≥ 0,
y TabV b ≤ 0.
Como se puede apreciar, la condición de energía dominante implica la condición de
energía débil y a su vez, la condición de energía nula.
Una vez expuestas las principales Condiciones de Energía, merece la pena mencionar
su importancia en diferentes campos de estudio, como por ejemplo a la hora de enunciar
algunos teoremas sobre agujeros negros, relacionados con las singularidades o su termo-
dinámica.
26Estas siglas se han puesto debido al nombre de las condiciones en inglés: “Strong Energy Condition”,
“Weak Energy Condition” y “Null Energy Condition” respectivamente.
27Existen más condiciones de energía a parte de las que estamos discutiendo, tanto clásicas como
cuánticas. No obstante, las de mayor interés para la realización de este trabajo quedan cubiertas con el
desarrollo realizado en esta sección.
Carlos Soler Vicente 41
7. Violación de las Condiciones de Energía en un agu-
jero de gusano atravesable
Una vez enunciadas las principales Condiciones de Energía en la sección anterior, va-
mos a llevarlas a nuestro estudio de los agujeros de gusano atavesables, donde podremos
comprobar que dichas condiciones se violan y extraeremos una serie de consecuencias de
lo que comporta la existencia de lo que hemos denominado materia exótica en la sección
4, necesaria para la existencia de estos objetos tan peculiares. [1, 2, 8, 7, 3]
7.1. Violación de la NEC
En primer lugar vamos a ver qué sucede con la condición de energía nula en el interior
de nuestro agujero de gusano. Para ello, veremos en primer lugar qué conclusiones mate-
máticas relacionadas con el contenido material expuesto por el tensor energía-momento
se extraen de esta condición, y posteriormente veremos si estas conclusiones se dan en un
agujero de gusano atravesable.
Para comenzar, es necesario especificar cuál es el tipo de tensor energía-momento que
estamos considerando. En nuestro modelo, al trabajar en la base ortonormal {e⃗α̂} que
describe el sistema de referencia de los observadores estáticos en el agujero de gusano,
obtenemos un tensor energía-momento que recibe el nombre de tensor de Hawking-Ellis
de tipo 1, en honor a los físicos Stephen Hawking y George Ellis, que llevaron a cabo dicha
clasificación. Este tipo de tensor se caracteriza por ser de la forma
Tαβ =

ρ 0 0 0
0 p1 0 0
0 0 p2 0
0 0 0 p3
 . (52)
Este tipo de tensor consiste en un tensor diagonal, como ya hemos visto, cuya primera
componente corresponde a la densidad de energía y las otras tres componentes de la
42 Trabajo de Fin de Grado
diagonal equivalen a las presiones tanto radiales como laterales. 28
Una vez visto esto, para aplicar la condición NEC, lo primero que se ha de realizar es
tomar un vector genérico kα̂ nulo. Puesto que este vector es nulo, en el sistema ortonormal
tendremos que
gα̂β̂k
α̂kβ̂ = −(kt̂)2 + (kr̂)2 + (kθ̂)2 + (kϕ̂)2 = 0 ⇒ (kr̂)2 + (kθ̂)2 + (kϕ̂)2 = (kt̂)2.
De esta forma, al aplicar la condición de energía nula en este sistema de referencia, es
decir Tα̂β̂k
α̂kβ̂ ≥ 0, tendremos lo siguiente:
Tt̂t̂k
t̂kt̂ + Tr̂r̂k
r̂kr̂ + Tθ̂θ̂k
θ̂kθ̂ + Tϕ̂ϕ̂k
ϕ̂kϕ̂ ≥ 0 ⇒
⇒ ρ(kt̂)2 − τ(kr̂)2 + p
[
(kθ̂)2 + (kϕ̂)2
]
=
= (ρ− τ)(kr̂)2 + (ρ+ p)
[
(kθ̂)2 + (kϕ̂)2
]
≥ 0.
De este desarrollo matemático aplicado a nuestro tensor energía-momento se puede
extraer que, para el cumplimiento de la condición de energía nula se ha de satisfacer en
todo punto del espacio-tiempo ρ− τ ≥ 0ρ+ p ≥ 0.(53)
Con estas consecuencias de la condición NEC, podemos llegar a la conclusión de que
en el interior de un agujero de gusano se viola la condición de energía nula, ya que como
vimos en la sección 4, al definir la función exoticidad y desarrollarla matemáticamente
llegamos a la conclusión de que en la garganta del agujero de gusano, la tensión radial
debía exceder el valor de la densidad de energía, es decir τ(r0) ≥ ρ(r0), lo que resulta
incompatible con 53.
7.2. Violación de la WEC y la DEC
Una vez analizada la violación de la NEC, vamos a estudiar qué es lo que sucede tanto
con la condición de energía débil como con la condición de energía dominante. Merece la
28En nuestro estudio p1 = −τ y p2 = p3 = p, como ya hemos visto anteriormente.
Carlos Soler Vicente 43
pena destacar que la violación de la WEC supone también la violación de la DEC, ya que
la condición de energía dominante incluye la condición de energía débil.
Para llevar a cabo dicho estudio, en este caso debemos tomar un vector genérico V α̂
temporal unitario en nuestro sistema de referencia ortonormal, de forma que
gα̂β̂V
α̂V β̂ = −(V t̂)2 + (V r̂)2 + (V θ̂)2 + (V ϕ̂)2 = −1 ⇒ (V r̂)2 + (V θ̂)2 + (V ϕ̂)2 = (V t̂)2 − 1.
A continuación, al aplicar la condición de energía débil, es decir Tα̂β̂V
α̂V β̂ ≥ 0, tendre-
mos:
Tt̂t̂V
t̂V t̂ + Tr̂r̂V
r̂V r̂ + Tθ̂θ̂V
θ̂V θ̂ + Tϕ̂ϕ̂V
ϕ̂V ϕ̂ ≥ 0 ⇒
⇒ ρ+ (ρ− τ)(V r̂)2 + (ρ+ p)
[
(V θ̂)2 + (V ϕ̂)2
]
≥ 0.
De este desarrollo se puede apreciar que aplicando la condición de energía débil a
nuestro caso particular, el cumplimiento de dicha condición implica que en todo punto
del espacio-tiempo 
ρ ≥ 0
ρ− τ ≥ 0
ρ+ p ≥ 0.
(54)
Igual que sucedía con el caso de la condición de energía nula,la segunda desigualdad
de 54 se incumple en la garganta del agujero de gusano. Además, como se puede apreciar,
la condición de energía débil lleva implícita la positividad de la densidad de energía, cosa
que también se incumple en el caso de observadores que viajan de forma radial a través del
agujero de gusano a velocidades considerablemente altas, los cuales como hemos visto en la
sección 4, miden una densidad de energía negativa en la garganta del agujero de gusano.
De esta forma, hemos podido comprobar que la construcción de un agujero de gusano
atravesable tal y como estamos haciendo, implica también la violación de la condición de
energía débil.
44 Trabajo de Fin de Grado
7.3. Violación de la SEC
En este apartado, una vez estudiadas las violaciones de la NEC y la WEC, vamos a ver
que como es de esperar, en un agujero de gusano atravesable también se viola la condición
de energía fuerte. Puesto que la condición SEC, como se puede apreciar en 50, no es
más que la condición de energía débil con un término extra relacionado con la traza del
tensor energía-momento, lo que se va a obtener al aplicar dicha condición son los requisitos
mostrados en 54 más una nueva restricción relacionada con el término adicional, por lo
que es fácil ver que la condición de energía fuerte también se va a violar. Para visualizarlo,
tomando de nuevo un vector unitario temporal genérico V α̂ en el sistema de referencia
ortonormal, calculando el segundo término de 50, se obtiene:
−1
2
Tgα̂β̂ = −T = −(ρ− τ + 2p).
De esta forma, utilizando el desarrollo obtenidoen el apartado anterior correspondiente
a la condición WEK, aplicando de forma completa 50 la condición de energía fuerte se
traduce en nuestro problema tal que
ρ+ (ρ− τ)(V r̂)2 + (ρ+ p)
[
(V θ̂)2 + (V ϕ̂)2
]
+ (ρ− τ + 2p) ≥ 0,
de forma que las restricciones que se extraen de la condición de energía fuerte son

ρ ≥ 0
ρ− τ ≥ 0
ρ+ p ≥ 0
(ρ− τ + 2p) ≥ 0.
(55)
Como era de esperar, la construcción de un agujero de gusano atravesable de la forma
en la que se ha realizado en este trabajo también viola la condición de energía fuerte.
Carlos Soler Vicente 45
7.4. Interpretación de la violación de las Condiciones de Energía
Una vez expuesto el hecho de que un agujero de gusano atravesable viola las principales
Condiciones de Energía, el siguiente paso consiste en intentar dar una interpretación física
a dicha violación.
Lo más sencillo para extraer las conclusiones pertinentes consiste en entender qué es lo
que sucede desde el punto de vista geométrico. El hecho de que en la garganta un observa-
dor mida una densidad de energía negativa, así como que en la garganta la tensión radial
exceda el valor de la densidad de energía, comportan como hemos visto la violación de
todas las Condiciones de Energía. Volviendo al punto de partida del surgimiento de estas
Condiciones de Energía, la ecuación de Raychaudhuri, el hecho de que la gravedad fuera
siempre atractiva implicaba la positividad del término RabV aV b, donde V a era un vector
temporal. Además, en el límite de los observadores nulos se mantenía la positividad de
este término. Dicha positividad era la responsable de la focalización de una congruencia
de geodésicas, al provocar que la expansión entre dos observadores decreciera debido a la
interacción gravitatoria. De esta forma, puesto que todas las Condiciones de Energía par-
ten de este hecho fundamental, su violación implica matemáticamente la no positividad
de RabV aV b. Este hecho provoca que, según la ecuación de Raychaudhuri, la expansión
con vorticidad nula entre dos observadores, en lugar de disminuir, aumente. Esto significa
que dos observadores sometidos a la interacción gravitatoria, en lugar de acercarse cada
vez más como indica la condición TCC, se alejan. Dicho esto, pensando en términos geo-
métricos, podemos entender la violación de las Condiciones de Energía como la aparición
de una especie de “antigravedad” provocada por el contenido material de la garganta del
agujero de gusano.
8. Fundamentos de los “Warp Drives”
Una vez finalizado el estudio de las características principales de los agujeros de gusano
hipotéticamente atravesables, vamos a introducir los fundamentos básicos de los “Warp
Drives” o transporte por curvatura. Este concepto surge del pensamiento acerca de la
46 Trabajo de Fin de Grado
posibilidad de viajar más rápido que la luz y no es más que un resultado teórico de la Re-
latividad General. En esta sección estudiaremos principalmente la métrica de Alcubierre,
que fue la primera solución matemática a las ecuaciones de campo de Einstein que descri-
bía una forma de viaje interestelar superlumínico, permitido por la Relatividad General.
La clave de la métrica de Alcubierre reside en el hecho de que es el propio espacio el que se
estira y se contrae a velocidades mayores que la luz y no el viajero quien se mueve a dichas
velocidades, cosa que la Relatividad no prohíbe. El viajero simplemente se encuentra en
el interior de lo que se conoce como burbuja “warp”, con simetría esférica, donde el motor
de curvatura o motor “warp” es el responsable de distorsionar el espacio-tiempo con el fin
de conseguir dicho desplazamiento superlumínico.
La solución de Alcubierre es, obviamente, una conclusión matemática de las ecuaciones
de Einstein únicamente. Esta solución presenta grandes problemas como por ejemplo la
necesidad de cantidades inmensas de materia con densidad de energía negativa, por lo que
a priori es improbable la construcción de un motor de dichas características. No obstante,
la solución de Alcubierre es interesante ya que, desde su publicación en 1994, abre un
amplio campo de investigación en el ámbito de la física teórica, donde se busca exprimir
al máximo las consecuencias de la Relatividad General. [1, 9, 10, 11, 12]
8.1. Solución de Alcubierre
El físico mexicano Miguel Alcubierre propuso en 1994 una solución a las ecuaciones de
Einstein según la cual es posible deformar el espacio-tiempo en una región similar a una
burbuja, con simetría esférica, de forma que dicha burbuja puede alcanzar velocidades
notablemente grandes debido a dicha deformación. Esta deformación consiste en la con-
tracción del espacio-tiempo delante de la burbuja, y su estiramiento detrás de la misma.
Puesto que no existe resticción alguna sobre la velocidad de expansión del propio espacio-
tiempo, Alcubierre pensó que esta podría ser una forma teórica de viajar más rápido que
la luz sin necesidad de violar la Relatividad.
Centrando nuestro estudio ahora en la métrica de Alcubierre y sus consecuencias, lo
primero que debemos hacer es introducir la formulación matemática de dicha solución.
Carlos Soler Vicente 47
La métrica de Alcubierre, en coordenadas cartesianas, se expresa en función del cuadrado
del elemento de línea ds2 de la siguiente forma 29:
ds2 = −dt2 + dx2 + dy2 + [dz − v(t)f(x, y, z − z0(t))dt]2. (56)
En dicha métrica, v(t) = dz0(t)
dt
es la velocidad de la burbuja “warp”, que se mueve a
lo largo del eje z. Como hemos mencionado anteriormente, esta velocidad será arbitraria,
ya que está relacionada con la velocidad a la que se estira o contrae el espacio-tiempo.
Además, f corresponde a la función de forma. Esta función de forma ha de cumplir los
requisitos de tener los valores f = 0 en el exterior de la burbuja y f = 1 en el interior de
la misma. Al imponer estas condiciones sobre la función de forma lo que estamos diciendo
es que el espacio fuera de la burbuja es asintóticamente plano, ya que al ser nula dicha
función, la métrica que describe el espacio-tiempo fuera de la burbuja es la métrica de
Minkowski.
La forma general de las funciones de forma escogidas por Alcubierre tiene simetría
esférica, es decir f(x, y, z − z0(t)) = f(r(t)), donde r =
√
x2 + y2 + (z − z0(t))2. 30
Básandonos en el estudio realizado por Alcubierre, vamos a considerar el caso específico
de la función de forma dada por
f(r) =
tanh[σ(r +R)]− tanh[σ(r −R)]
2tanh(σR)
. (57)
Los parámetros σ > 0 y R > 0 son arbitrarios. R representa el radio de nuestra burbuja
“warp” y σ puede interpretarse como un parámetro inversamente proporcional al espesor
de las paredes de la burbuja.
Es fácil darse cuenta que para valores lo suficientemente grandes de σ, es decir para
valores relativamete pequeños de la anchura de las paredes de la burbuja, la función se
aproxima rápidamente a una función escalón, es decir
29Nótese que, como se está realizando durante todo el trabajo, en el caso del estudio de los “Warp
Drives” también se trabaja con unidades geometrizadas G = c = 1.
30El punto z0(t) indica la posición del centro de la burbuja en el eje z.
48 Trabajo de Fin de Grado
lim
σ→∞
f(r) =
1, si r ∈ (0, R)0, si r ∈ (R,∞),(58)
que cumple justamente con el requisito que hemos impuesto al principio en relación con
la función de forma.
(a) Función de forma con σ = 5. (b) Función de forma con σ = 8.
(c) Función de forma con σ = 15. (d) Función de forma con σ = 20.
Figura 2: Funciones de forma para distintos valores de σ.
En todos los gráficos de la Figura 2 se ha tomado el radio de la burbuja como R = 1,
Carlos Soler Vicente 49
y como se puede apreciar, a medida que aumenta el valor de σ, la función de forma se
asemeja más a una función escalón, donde el salto se produce en el límite de la burbuja.
El siguiente paso en el estudio de la solución de Alcubierre consiste en ver de qué
manera se distorsiona el espacio-tiempo debido a la métrica propuesta. Para ello, en
primer lugar supongamos un observador