PRODUCTOS NOTABLES TEORIA

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PRODUCTOS NOTABLES
 CONCEpTO
Son aquellos productos que se pueden determinar directamente, sin necesidad de efectuar la operación de la 
multiplicación.
 pRINCIpALEs pRODUCTOs NOTABLEs
1. Binomio al cuadrado
Binomio suma al cuadrado:
(a + b)2 / a2 + 2ab + b2
Trinomio cuadrado 
perfecto
Binomio diferencia al cuadrado:
(a - b)2 / a2 - 2ab + b2
Trinomio cuadrado 
perfecto Atención
Tener en cuenta que es 
necesario identificar los 
términos para desarrollar sin 
inconvenientes los productos 
notables.
Potencia de potencia:
(am)n = am . n
n n n2 2 2= =
Nota
Ejemplos:
1. Desarrolla: (2x + 3y)2
Resolución:
	 Identificamos	 los	 términos	 de	 la	 expresión	
general:
(2x + 3y)2 = (2x)2 + 2(2x)(3y) + (3y)2 
 a b a2 2ab b2
Aplicamos	potencia	de	potencia	a	los	términos	
(2x)2 y (3y)2 del segundo miembro:
(2x + 3y)2 = 22x2 + 2(2)(3)xy + 32y2 
 = 4x2 + 12xy + 9y2
2. Desarrolla: (4x - 3y)2
Resolución:
Similar al ejemplo anterior, solo hay que tener 
en cuenta el signo negativo:
(4x - 3y)2 = (4x)2 - 2(4x)(3y) + (3y)2 
 a b a2 2ab b2
 = 42x2 - 2(4)(3)xy + 32y2 
 = 16x2 - 24xy + 9y2
2. Identidades de Legendre
 (a + b)
2 + (a - b)2 / 2(a2 + b2) (a + b)
2 - (a - b)2 / 4ab
Ejemplos:
1. Desarrolla: (x + 7n)2 + (x - 7n)2
Resolución:
Identificamos	términos:
(x + 7n)2 + (x - 7n)2 = 2((x)2 + (7n)2) 
 a b a b a2 b2
 = 2(x2 + 72n2) = 2(x2 + 49n2)
2. Desarrolla: (5x + 9y)2 - (5x - 9y)2
Resolución:
(5x + 9y)2 - (5x - 9y)2 = 4 . 5x . 9y 
 a b a b a b
 = 4(5)(9)xy = 180xy
3. Binomio suma por binomio diferencia (diferencia de cuadrados)
 (a + b)(a - b) / a
2 - b2
Ejemplo:
1. Desarrolla: (x3 + 1)(x3 - 1)
Resolución:
Identificamos	términos:
(x3 + 1)(x3 - 1) = (x3)2 - 12 = x6 - 1 
 a b a b a2 b2
Observación
1. De las identidades de 
Legendre:
(a + b)2 + (a - b)2 = 2(a2 + b2)
(a + b)2 - (a - b)2 = 4ab
Se deduce:
(a + b)4 - (a - b)4 = 8ab(a2 + b2)
2. (a - b)2 = (b - a)2
Ejemplo:
(9x - 2y)2 = (2y - 9x)2
4. Multiplicación de binomios con un término en común (identidad de Stevin)
 (x + a)(x + b) / x
2 + (a + b)x + ab
Veamos algunos ejemplos:
Es necesario tener en cuenta 
que si: 
(a + b)(a - b) / a2 - b2
Entonces también se cumple:
a2 - b2 / (a + b)(a - b)
Ejemplo:
9m2 - 49 = (3m)2 - 72 
 = (3m + 7)(3m - 7)
A este proceso de solución se 
le llama FACTORIZACIÓN, 
tema que se verá más 
adelante.
Nota
5. Binomio al cubo
Binomio suma al cubo Binomio diferencia al cubo
(a + b)3 / a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a - b)
3 / a3 - 3a2b + 3ab2 - b3
Ejemplos:
6. Identidades de Cauchy (otras formas de expresar un binomio al cubo)
 Binomio suma al cubo Binomio diferencia al cubo
 (a + b)
3 / a3 + b3 + 3ab(a + b) (a - b)
3 / a3 - b3 - 3ab(a - b)
Ejemplos:
7. Suma y diferencia de cubos
Suma de cubos Diferencia de cubos
(a + b)(a2 - ab + b2) / a3 + b3
Suma
 de cubos 
(a - b)(a2 + ab + b2) / a3 - b3
Diferencia 
de cubos
Ejemplos:
1. Desarrolla: (x + 3y)(x2 - 3xy + 9y2)
Resolución:
Dando	una	forma	adecuada	a	la	expresión	para	identificar	términos:
(x + 3y)(x2 - 3xy + 9y2) = (x + 3y)(x2 - (x)(3y) + (3y)2) = x3 + (3y)3 = x3 + 27y3 
 a b a2 ab b2 a3 b3
2. Desarrolla: (m - n2)(m2 + mn2 + n4)
Resolución:
 (m - n2)(m2 + m . n2 + (n2)2) = (m)3 - (n2)
3
 = m3 - n6 
 a b a2 ab b2 a3 b3
1. Desarrolla: (x + 8)(x + 3)
Resolución:
(x + 8)(x + 3) = x2 + (8 + 3)x + 8 . 3 
 
 a b a b a b
 = x2 + 11x + 24
2. Desarrolla: (m - 7)(m + 5)
Resolución:
Hacemos que lo propuesto tome forma de la 
identidad:
(m - 7)(m + 5) = (m + (-7))(m + 5) 
 = m2 + (-7 + 5)m + (-7)(5)
(m - 7)(m + 5) = m2 - 2m - 35
1. Desarrolla: (m + 7)3
Resolución:
Identificamos	términos:
 (m + 7)3 = m3 + 3m2 . 7 + 3 . m . 72 + 73 
 
 a b a3 a2 b a b2 b3
 = m3 + 21m2 + 147m + 343
2. Desarrolla: (m - 7)3
Resolución:
(m - 7)3 = m3 - 3m2 . 7 + 3m . 72 - 73 
 a b a3 a2 b a b2 b3
 = m3 - 21m2 + 147m - 343
1. Desarrolla: (2m2 + n)3
Resolución:
 (2m2 + n)3 = (2m2)
3
+ (n)3 + 3(2m2)(n)(2m2 + n) 
 
 a b a3 b3 a b a b
 = 8m6 + n3 + 6m2n (2m2 + n)
2. Desarrolla: (7m - n3)3
Resolución:
 (7m - n3)3 = (7m)3 - (n3)
3
 - 3(7m)(n3)(7m - n3) 
 
 a b a3 b3 a b a b
 = 343m3 - n9 - 21mn3(7m - n3)
 Efectuar
1. (x + 2)2 
2. (x + 5)2 
3. (3 + x)2 
4. (x - 4)2 
5. (x - 6)2 
6. (x - y)2 
7. (x + 2)2 + (x - 2)2 
8. (4 + a)2 + (4 - a)2 
9. (6 + a)2 - (6 - a)2 
10. (n + x)2 - (n - x)2 
11. (x + 5)(x - 5) 
12. (y + 2)(y - 2) 
13. (x + 1)(x - 1) 
14. (x2 + 2)(x2 - 2) 
15. (x3 + 5)(x3 - 5) 
16. (x + 9)(x + 2) 
17. (x + 4)(x + 3) 
18. (x + 2)(x + 7) 
19. (x - 5)(x + 10) 
20. (a + 2)3 
Problemas resueltos x
1 Efectúa: R = (x + 1)2 + (x + 2)2 - 2x(x + 3)
Resolución:
Desarrollamos los binomios al cuadrado: 
R = x2 + 2x + 1 + x2 + 4x + 4 - 2x2 - 6x
R = x2 + x2 - 2x2 + 2x + 4x - 6x + 1 + 4
 0 0
R = 0 + 0 + 5 & R = 5
2 Calcula: M = ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)7 5 5 7+ + - -
Resolución: 
En la expresión se observa diferencia de cuadrados:
M = ( 2) ( 2) ( 1) ( 1)7 7 5 5+ - + -
 
M = ( ) ( ) ( ) ( )7 2 5 12 2 2 2- -7 7A A
M = [7 - 4][5 - 1] & M = 3 # 4 & M = 12 
3 Efectúa: H = ( 1) ( 1)3 9 33 3 3+ - +
Resolución:
En la expresión se observa suma de cubos:
H = ( 1) ( 1)3 9 33 3 3+ - +
 a b a2 ab b2 
H = ( 1) (( ) ( ) (1) (1) )3 3 33 3 2 3 2+ - +
H = ( ) (1)33 3 3+ & H = 4
4 Efectúa: M = ( ) ( )10 2 100 20 43 3 3 3 3- + + 
Resolución:
En la expresión se observa diferencia de cubos:
M = ( ) (( ) ( ) ( ) ( )10 2 10 10 2 23 3 3 2 3 3 3 2- + + )
 a b a2 ab b2 
M = ( ) ( )10 23 3 3 3- = 10 - 2 & M = 8
5 Si ab = 8 y a2 + b2 = 20, además: a, b ! R+, entonces el valor de: 
(a + b)3 es:
 
Resolución:
Por binomio suma al cuadrado se sabe:
2a b a b ab2 2 2/+ + +_ i
Reemplazamos:
20 2a b 82+ = +_ _i i
36a b 2+ =_ i & a + b = 6
Nos piden: 6 216a b 3 3+ = =_ i
6 Si 4x y- = , además xy = 3; halla: x y3 3-
Resolución:
Por identidad de Cauchy:
3x y x y xy x y3 3 3/- - - -_ _i i
Nos piden x y3 3- , entonces:
3x y x y xy x y3 3 3- = - + -_ _i i
Reemplazamos datos:
3x y 4 3 43 3 3- = +_ _ _i i i
64 36x y3 3- = +
100x y3 3- =
7 Efectúa: x x x9 3 1 3 12 + + -_ _i i 
Resolución:
Por diferencia de cubos se sabe: a b a b a ab b3 3 2 2/- - + +_ _i i
Notamos que el problema es un caso de diferencia de cubos:
x x x9 3 1 3 12 + + -_ _i i ( ) ( ) ( ) ( ) (3 1)x x x3 3 1 12 2= + + -8 B
 a2 b2 a bab
 x3 13 3= -_ _i i
 27 1x3= -
8 Reduce: 1x x x x x x1 1 1 12 2- + + + - + +_ _ _ _i i i i
Resolución:
En el problema se observa simultáneamente suma y diferencia 
de cubos:
1x3 3-
Dif. de 
cubos:
1x x x x x x1 1 1 12 2- + + + - + +_ _ _ _i i i i
1x3 3+
Suma de 
cubos:
Entonces se convierte en:
1 ( ) 1 1x x x x x1 1 1 13 3 3 2 2 6 6- + + = - + = - + =_ _i i
Dif. de cuadrados
9 Si 4x x2 2+ =- , calcula: x x6 6+ -
Resolución:
Sea: 
4x a x a x x a a
1 12 2 2 2
& &= = + = + =- -
Nos piden x x6 6+ - :
x x x x6 6 2 3 2 3+ = +- -_ _i i a
a
13
3= +
Identidad de Cauchy: 
3a b a b ab a b3 3 3/+ + ++_ _i i
Luego:
3 .a a a a
a a a a
1 1 1 13 3
3+ = + + +d dn n
 3a
a
4 1 43 3 3= + +_ _i i
 52 52a
a
x x13 3
6 6
&+ = + =-
	ALG_TEORIA 1_U2