Álgebra Números Reales

Vista previa del material en texto

NÚMEROS REALES
Centro de Estudios Preuniversitarios CEPRE - UNI
Los Profesores c©
4 de marzo de 2017
Números Reales
Estructura Axiomática
En el conjunto R de los números reales existe dos operaciones
binarias denotadas por (+) y (·) llamadas adición y multiplicación,
respectivamente, estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas
Axioma de Clausura :
∀a ∈ R,∀b ∈ R : (a+ b) ∈ R
(a · b) ∈ R
Axioma de Conmutatividad :
∀a ∈ R,∀b ∈ R : a+ b = b+ a
a · b = b · a
Números Reales
Estructura Axiomática
En el conjunto R de los números reales existe dos operaciones
binarias denotadas por (+) y (·) llamadas adición y multiplicación,
respectivamente, estas operaciones satisfacen los siguientes axiomas
Axioma de Clausura :
∀a ∈ R,∀b ∈ R : (a+ b) ∈ R
(a · b) ∈ R
Axioma de Conmutatividad :
∀a ∈ R,∀b ∈ R : a+ b = b+ a
a · b = b · a
Números Reales
Estructura Axiomática
Axioma de Asociatividad :
∀a ∈ R,∀b ∈ R : (a+ b) + c = a+ (b+ c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Axioma de Distributividad :
∀a ∈ R,∀b ∈ R,∀c ∈ R : a · (b+ c) = a · b+ a · c
Axioma de Existencia del Elemento Neutro :
∃0 ∈ R/∀a ∈ R : a+ 0 = a
∃1 ∈ R/∀a ∈ R : a · 1 = a
Números Reales
Estructura Axiomática
Axioma de Asociatividad :
∀a ∈ R,∀b ∈ R : (a+ b) + c = a+ (b+ c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Axioma de Distributividad :
∀a ∈ R,∀b ∈ R,∀c ∈ R : a · (b+ c) = a · b+ a · c
Axioma de Existencia del Elemento Neutro :
∃0 ∈ R/∀a ∈ R : a+ 0 = a
∃1 ∈ R/∀a ∈ R : a · 1 = a
Números Reales
Estructura Axiomática
Axioma de Asociatividad :
∀a ∈ R,∀b ∈ R : (a+ b) + c = a+ (b+ c)
(a · b) · c = a · (b · c)
Axioma de Distributividad :
∀a ∈ R,∀b ∈ R,∀c ∈ R : a · (b+ c) = a · b+ a · c
Axioma de Existencia del Elemento Neutro :
∃0 ∈ R/∀a ∈ R : a+ 0 = a
∃1 ∈ R/∀a ∈ R : a · 1 = a
Números Reales
Estructura Axiomática
Axioma de Existencia del Elemento Inverso :
∀a ∈ R : ∃ − a ∈ R/a+ (−a) = 0
∀a ∈ R∗ : ∃a−1 ∈ R/a · a−1 = 1
Nota :
R∗ = {x ∈ R/x 6= 0}.
Un conjunto no vaćıo K con dos operaciones (+) y (·), que
cumplen estos 11 axiomas, se llama cuerpo o campo. Son
ejemplos de cuerpos:
Q,R y C
Números Reales
Estructura Axiomática
Axioma de Existencia del Elemento Inverso :
∀a ∈ R : ∃ − a ∈ R/a+ (−a) = 0
∀a ∈ R∗ : ∃a−1 ∈ R/a · a−1 = 1
Nota :
R∗ = {x ∈ R/x 6= 0}.
Un conjunto no vaćıo K con dos operaciones (+) y (·), que
cumplen estos 11 axiomas, se llama cuerpo o campo. Son
ejemplos de cuerpos:
Q,R y C
Números Reales
Estructura Axiomática
Axioma de Existencia del Elemento Inverso :
∀a ∈ R : ∃ − a ∈ R/a+ (−a) = 0
∀a ∈ R∗ : ∃a−1 ∈ R/a · a−1 = 1
Nota :
R∗ = {x ∈ R/x 6= 0}.
Un conjunto no vaćıo K con dos operaciones (+) y (·), que
cumplen estos 11 axiomas, se llama cuerpo o campo. Son
ejemplos de cuerpos:
Q,R y C
Números Reales
Axiomas de Orden
En el cuerpo de los números reales R, hay una relación de orden <
que satisface los siguientes axiomas:
Axioma 1 (Ley de la Tricotoḿıa)
Sean a y b números reales, se cumple sólo uno
(a < b) ∨ (a = b) ∨ (b < a)
Axioma 2 (Ley Transitiva)
Sean a, b y c números reales, se cumple
(a < b) ∧ (b < c)→ (a < c)
Números Reales
Axiomas de Orden
En el cuerpo de los números reales R, hay una relación de orden <
que satisface los siguientes axiomas:
Axioma 1 (Ley de la Tricotoḿıa)
Sean a y b números reales, se cumple sólo uno
(a < b) ∨ (a = b) ∨ (b < a)
Axioma 2 (Ley Transitiva)
Sean a, b y c números reales, se cumple
(a < b) ∧ (b < c)→ (a < c)
Números Reales
Axiomas de Orden
Axioma 3 (Ley aditiva)
Sean a y b números reales, si a < b entonces :
Para todo x ∈ R se cumple a+ x < b+ x
Axioma 4 (Ley multiplicativa)
Sean a y b números reales, si a < b entonces :
Para todo c > 0, se cumple ac < bc
Números Reales
Axiomas de Orden
Axioma 3 (Ley aditiva)
Sean a y b números reales, si a < b entonces :
Para todo x ∈ R se cumple a+ x < b+ x
Axioma 4 (Ley multiplicativa)
Sean a y b números reales, si a < b entonces :
Para todo c > 0, se cumple ac < bc
Números Reales
Axiomas de Orden
Definición
Sean a, b y c números reales, definimos:
(a > b) ≡ (b < a)
a ≤ b ≡ (a < b) ∨ (a = b)
a < b ≤ c ≡ (a < b) ∧ (b ≤ c)
Nota: Un cuerpo K que tenga una relación de orden “ < ”
satisfaciendo estos 4 axiomas, se llama cuerpo ordenado.
R y Q son cuerpos ordenados
Números Reales
Axiomas de Orden
Definición
Sean a, b y c números reales, definimos:
(a > b) ≡ (b < a)
a ≤ b ≡ (a < b) ∨ (a = b)
a < b ≤ c ≡ (a < b) ∧ (b ≤ c)
Nota: Un cuerpo K que tenga una relación de orden “ < ”
satisfaciendo estos 4 axiomas, se llama cuerpo ordenado.
R y Q son cuerpos ordenados
Números Reales
Teoremas
Propiedades
Sean a, b y c números reales, se cumple :
a · 0 = 0
Si ab = 0, entonces (a = 0) ∨ (b = 0)
Si ab = cb y b 6= 0 entonces a = c
Si a < b y c < 0 entonces ac > bc
Si a < b y c < d entonces a+ c < b+ d
a 6= 0 si y solo si a2 > 0
Números Reales
Teoremas
Propiedades
Sean a, b, c números reales, se cumple :
Si a < b < 0 entonces a2 > b2
Si 0 < a < b entonces a2 < b2
a > 0 si y solo a−1 > 0
a < 0 si y solo a−1 < 0
a < b < 0 si y solo si a−1 > b−1
0 < a < b si y solo si a−1 > b−1
ab > 0 si y solo si (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0)
ab < 0 si y solo si (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a < 0 ∧ b > 0)
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a y b números reales, se cumple:
(a± b)2 =
a2 ± 2ab+ b2
(a− b)(a+ b) = a2 − b2
(a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b)
(a−b)3 = a3−b3−3ab(a−b)
a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a y b números reales, se cumple:
(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2
(a− b)(a+ b) =
a2 − b2
(a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b)
(a−b)3 = a3−b3−3ab(a−b)
a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a y b números reales, se cumple:
(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2
(a− b)(a+ b) = a2 − b2
(a+b)3 =
a3+b3+3ab(a+b)
(a−b)3 = a3−b3−3ab(a−b)
a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a y b números reales, se cumple:
(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2
(a− b)(a+ b) = a2 − b2
(a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b)
(a−b)3 =
a3−b3−3ab(a−b)
a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a y b números reales, se cumple:
(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2
(a− b)(a+ b) = a2 − b2
(a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b)
(a−b)3 = a3−b3−3ab(a−b)
a3+b3 =
(a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a y b números reales, se cumple:
(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2
(a− b)(a+ b) = a2 − b2
(a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b)
(a−b)3 = a3−b3−3ab(a−b)
a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3 =
(a−b)(a2+ab+b2)
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a y b números reales, se cumple:
(a± b)2 = a2 ± 2ab+ b2
(a− b)(a+ b) = a2 − b2
(a+b)3 = a3+b3+3ab(a+b)
(a−b)3 = a3−b3−3ab(a−b)
a3+b3 = (a+b)(a2−ab+b2)
a3−b3 = (a−b)(a2+ab+b2)
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a, b, c números reales, se cumple:
(a+ b+ c)2 = a2 + a2 + c2 + 2(ab+ bc+ ac)
(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(b+ c)(a+ c)
(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(ab+ bc+ ac)− 3abc
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ac)
Nota:
Sean a, b, c ∈ R. Si a+ b+ c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a, b, c números reales, se cumple:
(a+ b+ c)2 = a2 + a2 + c2 + 2(ab+ bc+ ac)
(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(b+ c)(a+ c)
(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(ab+ bc+ ac)− 3abc
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ac)
Nota:
Sean a, b, c ∈ R. Si a+ b+ c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a, b, c números reales, se cumple:
(a+ b+ c)2 = a2 + a2 + c2 + 2(ab+ bc+ ac)
(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(b+ c)(a+ c)
(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(ab+ bc+ ac)− 3abc
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ac)
Nota:
Sean a, b, c∈ R. Si a+ b+ c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc
Números Reales
Productos Notables
Propiedades
Sean a, b, c números reales, se cumple:
(a+ b+ c)2 = a2 + a2 + c2 + 2(ab+ bc+ ac)
(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b)(b+ c)(a+ c)
(a+ b+ c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a+ b+ c)(ab+ bc+ ac)− 3abc
a3 + b3 + c3 − 3abc = (a+ b+ c)(a2 + b2 + c2 − ab− bc− ac)
Nota:
Sean a, b, c ∈ R. Si a+ b+ c = 0, entonces a3 + b3 + c3 = 3abc
Números Reales
Ecuación de primer grado
Definición
Una ecuación de primer grado en la variable x, es una expresión
algebraica de la siguiente forma:
ax+ b = 0
donde a, b ∈ R.
Nota:
Si a 6= 0, la ecuación es compatible determinada y C.S. =
{−b
a
}
.
Si a = b = 0, la ecuación es compatible indeterminada y
C.S. = R
Si a = 0 y b 6= 0, la ecuación es incompatible y C.S. = φ
Números Reales
Ecuación de primer grado
Definición
Una ecuación de primer grado en la variable x, es una expresión
algebraica de la siguiente forma:
ax+ b = 0
donde a, b ∈ R.
Nota:
Si a 6= 0, la ecuación es compatible determinada y C.S. =
{−b
a
}
.
Si a = b = 0, la ecuación es compatible indeterminada y
C.S. = R
Si a = 0 y b 6= 0, la ecuación es incompatible y C.S. = φ
Números Reales
Ecuación de primer grado
Definición
Una ecuación de primer grado en la variable x, es una expresión
algebraica de la siguiente forma:
ax+ b = 0
donde a, b ∈ R.
Nota:
Si a 6= 0, la ecuación es compatible determinada y C.S. =
{−b
a
}
.
Si a = b = 0, la ecuación es compatible indeterminada y
C.S. = R
Si a = 0 y b 6= 0, la ecuación es incompatible y C.S. = φ
Números Reales
Ecuación de primer grado
Definición
Una ecuación de primer grado en la variable x, es una expresión
algebraica de la siguiente forma:
ax+ b = 0
donde a, b ∈ R.
Nota:
Si a 6= 0, la ecuación es compatible determinada y C.S. =
{−b
a
}
.
Si a = b = 0, la ecuación es compatible indeterminada y
C.S. = R
Si a = 0 y b 6= 0, la ecuación es incompatible y C.S. = φ
Números Reales
Intervalos
Definición
Un subconjunto I de los reales (I ⊂ R) es un intervalo si
∀a ∈ I ∀b ∈ I, a < x < b −→ x ∈ I.
Ejemplo
a) El conjunto N es un subconjunto de los reales, pero no es un
intervalo, puesto que:
∃1 ∈ N,∃2 ∈ N
/(
1 < 32 < 2
)
∧
(
3
2 /∈ N
)
b) El conjunto Q es un subconjunto de los reales, pero no es un
intervalo, puesto que:
∃1 ∈ Q,∃2 ∈ Q/(1 <
√
2 < 2) ∧ (
√
2 /∈ Q)
Números Reales
Intervalos
Definición
Un subconjunto I de los reales (I ⊂ R) es un intervalo si
∀a ∈ I ∀b ∈ I, a < x < b −→ x ∈ I.
Ejemplo
a) El conjunto N es un subconjunto de los reales, pero no es un
intervalo, puesto que:
∃1 ∈ N,∃2 ∈ N
/(
1 < 32 < 2
)
∧
(
3
2 /∈ N
)
b) El conjunto Q es un subconjunto de los reales, pero no es un
intervalo, puesto que:
∃1 ∈ Q,∃2 ∈ Q/(1 <
√
2 < 2) ∧ (
√
2 /∈ Q)
Números Reales
Intervalos
A continuación describiremos los subconjuntos de R, que son
intervalos:
Números Reales
Intervalos
Números Reales
Intervalos
Números Reales
Ecuación de segundo grado
Definición
Sean a, b, c ∈ R. La igualdad
ax2 + bx+ c = 0
donde a 6= 0, se llama ecuación cuadrática en x.
Completando cuadrados y despejando x, obtenemos la siguiente
fórmula cuadrática
x =
−b±
√
∆
2a
donde ∆ = b2 − 4ac, es llamado el discriminante
Números Reales
Ecuación de segundo grado
Definición
Sean a, b, c ∈ R. La igualdad
ax2 + bx+ c = 0
donde a 6= 0, se llama ecuación cuadrática en x.
Completando cuadrados y despejando x, obtenemos la siguiente
fórmula cuadrática
x =
−b±
√
∆
2a
donde ∆ = b2 − 4ac, es llamado el discriminante
Números Reales
Caracteristica de las ráıces
Si ∆ > 0, sus soluciones son reales y diferentes
x1 =
−b−
√
∆
2a
, x2 =
−b+
√
∆
2a
Si ∆ = 0, su solución es única
x1 = x2 =
−b
2a
Si ∆ < 0, no existen soluciones reales (sus soluciones son
complejas y conjugadas)
x1 =
−b−
√
−∆i
2a
, x2 =
−b+
√
−∆i
2a
Números Reales
Ejercicios
Problema 54: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. Si x, y ∈ R con x > y > 0, entonces: x
y
+
3y
x
<
y2
x2
+ 3
II. ∃x ∈ R /∀y ∈ R : yx+ y2x = x3.
III. Si x ∈ 〈0,+∞〉, y ∈ 〈−1, 1〉, entonces xy + x+ 1 > 1
Rpta: VVF
Problema 55: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. ∃x ∈ R+/ x <
√
x
II. ∀x ∈ R : x ≤ x2.
II. ∀a ∈ R : a0 = 0 = 0a , es un axioma de los números reales.
Rpta: VFF
Números Reales
Ejercicios
Problema 54: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. Si x, y ∈ R con x > y > 0, entonces: x
y
+
3y
x
<
y2
x2
+ 3
II. ∃x ∈ R /∀y ∈ R : yx+ y2x = x3.
III. Si x ∈ 〈0,+∞〉, y ∈ 〈−1, 1〉, entonces xy + x+ 1 > 1
Rpta: VVF
Problema 55: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. ∃x ∈ R+/ x <
√
x
II. ∀x ∈ R : x ≤ x2.
II. ∀a ∈ R : a0 = 0 = 0a , es un axioma de los números reales.
Rpta: VFF
Números Reales
Ejercicios
Problema 54: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. Si x, y ∈ R con x > y > 0, entonces: x
y
+
3y
x
<
y2
x2
+ 3
II. ∃x ∈ R /∀y ∈ R : yx+ y2x = x3.
III. Si x ∈ 〈0,+∞〉, y ∈ 〈−1, 1〉, entonces xy + x+ 1 > 1
Rpta: VVF
Problema 55: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. ∃x ∈ R+/ x <
√
x
II. ∀x ∈ R : x ≤ x2.
II. ∀a ∈ R : a0 = 0 = 0a , es un axioma de los números reales.
Rpta: VFF
Números Reales
Ejercicios
Problema 56: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. ∃x ∈ R x3 <
√
x
II. Si a, b ∈ R−, donde a < b, entonces (a+ b)(a− b) < 0
III. Considerando A = {0; 1; 2}, se cumple ∀x ∈ A /∀y ∈ A :
y2 ≤ 4(x+ 1).
Rpta: VFF
Problema 57: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. ∀x ∈ R, /∃y ∈ R/ x2 + y2 > 0.
II. ∃y ∈ R/ /∀x ∈ R : x+ y > 0.
III. ∀x ∈ R /∃y ∈ R/ x+ y > 0.
Rpta: VFV
Números Reales
Ejercicios
Problema 56: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. ∃x ∈ R x3 <
√
x
II. Si a, b ∈ R−, donde a < b, entonces (a+ b)(a− b) < 0
III. Considerando A = {0; 1; 2}, se cumple ∀x ∈ A /∀y ∈ A :
y2 ≤ 4(x+ 1).
Rpta: VFF
Problema 57: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. ∀x ∈ R, /∃y ∈ R/ x2 + y2 > 0.
II. ∃y ∈ R/ /∀x ∈ R : x+ y > 0.
III. ∀x ∈ R /∃y ∈ R/ x+ y > 0.
Rpta: VFV
Números Reales
Ejercicios
Problema 56: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. ∃x ∈ R x3 <
√
x
II. Si a, b ∈ R−, donde a < b, entonces (a+ b)(a− b) < 0
III. Considerando A = {0; 1; 2}, se cumple ∀x ∈ A /∀y ∈ A :
y2 ≤ 4(x+ 1).
Rpta: VFF
Problema 57: Determine el valor de verdad de las siguien-
tes proposiciones:
I. ∀x ∈ R, /∃y ∈ R/ x2 + y2 > 0.
II. ∃y ∈ R/ /∀x ∈ R : x+ y > 0.
III. ∀x ∈ R /∃y ∈ R/ x+ y > 0.
Rpta: VFV
	Números Reales