Álgebra MCD - MCM y Radicación ]

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SEMANA 10.2
M.C.D M.C.M y RADICACIÓN
SSSEMDSESASANA
Contenido
Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios
Raíz cuadrada de un polinomios
Radicales dobles
Radicación
Racionalización de denominadores
MÁXIMO COMUN DIVISOR Y MÍNIMO COMUN MULTIPLO
MCD: El máximo común divisor de dos o más polinomios sobre un cuerpo 
K es el polinomio de mayor grado que está contenido en cada una de las 
polinomios dados. 
Para calcular el MCD de dos o mas polinomios, se factorizan estos 
polinomios en sus factores primos, el MCD se forma con el producto de 
los factores comunes con su menor exponente.
MCM: El mínimo común múltiplo de dos o más polinomios sobre un 
cuerpo K es el polinomio de menor grado que es divisible por cada una de 
los polinomios dados. 
Para calcular el MCM de dos o mas polinomios se factorizan estos 
polinomios en sus factores primos, el MCM se forma con el producto de 
los factores comunes y no comunes con su mayor exponente.
Ejemplo :
8118)( 24  xxxP
9354)( 24  xxxQ
998)( 234  xxxxxR
222224 )3()3()9(8118)(  xxxxxxP
)14)(3)(3()14)(9(9354)( 22224  xxxxxxxxQ
)1)(3)(3()1)(9(998)( 222234  xxxxxxxxxxxxR
)3)(3())(),(),((  xxxRxQxPMCD
)1)(14()3()3())(),(),(( 2222  xxxxxxRxQxPMCM
Hallar el MCD y MCM de:
Solución
Factorizando los polinomios, se tiene:
Luego:
RAÍZ CUADRADA DE UN POLINOMIO
)()()( 2 xRxQxP 
)(
)()(
xR
xQxP
)(xP
)(xQ
)(xR
)(0)( xPxRSi 
2
))((gr
))((gr
xP
xQ 
))(())((gr xQgrxR 
Si P(x) es un polinomio de grado par, con coeficiente principal positivo,
extraer su raíz cuadrada consiste en hallar otros dos polinomios Q(x) y R(x)
Tal que: 
Donde:
es el polinomio radicando
el es polinomio raíz
es el polinomio residuo
es un cuadrado perfecto (Raíz cuadrada exacta)
Ejemplo :
51811124)( 234  xxxxxP
51811124 234  xxxx 532
2  xx
44x )3)(34( 2 xxx 
23 1112 xx 
)5)(564( 2  xx
23 912 xx 
51820 2  xx
253020 2  xx
3012  x
532)(:Raíz 2  xxxQ
3012)(Resto  xxR
Extraer la raíz cuadrada de: 
Solución:
RADICALES DOBLES
n m BA
BA
)exactaraíz(donde;
22
2 BAC
CACA
BA 




)prácticaforma(:donde;2 babaabba 
Son aquellos radicales que contienen otras radicales relacionados por las 
operaciones de adición o sustracción: 
TRANSFORMACIÓN DE RADICALES DOBLES A SIMPLES
RADICALES DE LA FORMA: 
Ejemplo :
43221
39432212 C
312
2
321
2
321
43221 




407 
251027407 
1. Transformar: 
2. Transformar: 
RACIONALIZACIÓN 
3 25
3 5 5)5)(25(
33 
35  35  2)35)(35( 
Racionalizar el denominador de una fracción es convertir una fracción cuyo 
denominador es irracional en una fracción equivalente cuyo denominador sea
racional.
Generalmente se racionaliza el denominador de una fracción, pero a veces es 
también necesario racionalizar su numerador.
FACTOR RACIONALIZANTE (F.R) 
El factor racionalizante de una expresión irracional, es también otra expresión 
irracional que multiplicada por la primera la convierte en una expresión racional.
Ejemplo:
es el F.R de ya que: 
es el F.R de ya que: 
CASOS QUE SE PRESENTAN 
Ejemplo :
139
2
33 
)13(
2
)13(2
)13(
)13(
.
139
2
139
2
3
3
3
3
3333








44 25
6

25
)25(6
25
25
.
25
6
25
6 44
44
44
4444 







)25)(25(2
25
25
.
25
)25(6
44
44






1.- Racionalizar
Solución
2.- Racionalizar: 
Solución