demostrar que mcm(a, b) | a y abab mcm(a, b) | b. Concluya que ab mcm(a, b) mcd(a, b) y en consecuencia ab mcd(a, b) mcm(a, b). Sección 5.1 1 11 , ...

demostrar que mcm(a, b) | a y abab mcm(a, b) | b. Concluya que ab mcm(a, b) mcd(a, b) y en consecuencia ab mcd(a, b) mcm(a, b). Sección 5.1 1 11 , 2 12 , 3 13 , 4 14 3. 1, − 1 3 , 1 9 ,− 1 27 5. 0, 0, 2, 2 8. g1 = ⌊log2 1⌋ = 0 g2 = ⌊log2 2⌋ = 1, g3 = ⌊log2 3⌋ = 1 g4 = ⌊log2 4⌋ = 2, g5 = ⌊log2 5⌋ = 2 g6 = ⌊log2 6⌋ = 2, g7 = ⌊log2 7⌋ = 2 g8 = ⌊log2 8⌋ = 3, g9 = ⌊log2 9⌋ = 3 g10 = ⌊log2 10⌋ = 3, g11 = ⌊log2 11⌋ = 3 g12 = ⌊log2 12⌋ = 3, g13 = ⌊log2 13⌋ = 3 g14 = ⌊log2 14⌋ = 3, g15 = ⌊log2 15⌋ = 3 Cuando n es una potencia entera de 2, gn es el exponente de esa potencia. Por ejemplo, 8 23 y g8 3. Más generalmente, si n 2k, donde k es un entero, entonces gn k. Todos los términos de la sucesión desde gn hasta gm, en donde m 2k 1 es la siguiente potencia entera de 2, tienen el mismo valor como gn, a saber, k. Por ejemplo, todos los términos de la sucesión desde g8 hasta g15 tienen el valor 3. Los ejercicios del 10 al 16 tienen más de una respuesta correcta. 10. an (฀1)n, en donde n es un entero y n 1. 11. an (n ฀ 1)(฀1)n, tal que n es un entero y n 1. 12. an = n (n + 1)2 , en donde n es un entero y n 1. 14. an = n2 3n , tal que n es un entero y n 1. 18. a. 2 3 ฀2 1 0 ฀1 ฀2 1 b. a0 2 c. a2 a4 a6 ฀2 0 ฀2 ฀4 d. 2 3 ฀2 1 0 ฀1 ฀2 0 19. 2 3 4 5 6 20 20. 22 32 42 576 23. 1 1 1 2 27. 1 1 ฀ 1 2 1 2 ฀ 1 3 1 3 ฀ 1 4 1 4 ฀ 1 5 1 5 ฀ 1 6 1 6 ฀ 1 7 1 7 ฀ 1 8 1 8 ฀ 1 9 1 9 ฀ 1 10 1 10 ฀ 1 11 1฀ 1 11 29. ฀2 1 ฀2 2 ฀2 3 ฀2 n ฀2 22 ฀ 23 ฀1 n2n 31. n 1 k 0 1 k 1 0 1 1 2 1 n 1 33. 1 1 1 1 1 2 2 1 3 3 1 2 2 3 3 4 1 4 37. k 1 k 1 i i k k 1 i i k 1 k 1 ! 40. k k 1 i3 k 1 3 k 1 k 1 i3 Los ejercicios del 43 al 52 tienen más de una respuesta correcta. 43. 7 k 1 ฀1 k 1k2 o 6 k 0 ฀1 k k 1 2 46. 6 j 2 ฀1 j j j 1 j 2 o 7 k 3 ฀1 k 1 k ฀ 1 k k 1 47. 5 i 0 ฀1 ir i 49. n k 1 k3 51. n฀1 i 0 n ฀ i 53. Cuando k 0, entonces i 1. Cuando k 5, entonces i 6. Como i k 1, entonces k i ฀ 1. Así, k(k ฀ 1) (i ฀ 1) (i ฀ 1) ฀ 1) (i ฀ 1) (i ฀ 2), y entonces 5 ∑ k=0 k(k − 1) = 6 ∑ i=1 (i − 1)(i − 2) 55. Cuando i 1, entonces j 0. Cuando i n 1, entonces j n. Como j i ฀ 1, entonces i j 1. Así, (i − 1)2 i ·n = (( j + 1) − 1)2 ( j + 1) ·n = j2 jn + n . (Observe que n es constante en cuanto a la suma se refiere). Así ( So ∑n+1 i=1 (i − 1)2 i ·n = ∑n j=0 j2 jn + n . 56. Cuando i 3, entonces j 2. Cuando i n entonces j n ฀ 1. Como j i ฀ 1, entonces i j 1. Así, n ∑ i=3 i i + n − 1 = n−1 ∑ j=2 j + 1 j + n = n−1 ∑ j=2 j + 1 j + n . 59. n k 1 3 2k ฀ 3 4฀ 5k n k 1 6k ฀ 9 4฀ 5k n k 1 k ฀ 5.1 Soluciones y sugerencias para los ejercicios seleccionados A-31 A-32 Apéndice B Soluciones y sugerencias para los ejercicios seleccionados 62. 4 ·3 ·2 ·1 3 ·2 ·1 = 4 65. n(n − 1)(n − 2) · · · 3 ·2 ·1 (n − 1)(n − 2) · · · 3 ·2 ·1 = n 66. (n − 1)(n − 2) · · · 3 ·2 ·1 (n + 1)n(n − 1)(n − 2) · · · 3 ·2 ·1 = 1 n(n + 1) 68. [(n + 1)n(n − 1)(n − 2) · · · 3 ·2 ·1]2 [n(n − 1)(n − 2) · · · 3 ·2 ·1]2 = (n + 1)2 69. n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1)(n − k)(n − k − 1) · · · 2 ·1 (n − k)(n − k − 1) · · · 2 ·1 = n(n − 1)(n − 2) · · · (n − k + 1) 71. ( 5 3 ) = 5! (3!)(5−3)! = 5 ·4 ·3 ·2 ·1 (3 ·2 ·1)(2 ·1) = 10 73. ( 3 0 ) = 3! (0!)(3−0)! = 3! (1)(3!) = 1 75. ( n n − 1 ) = n! (n−1)!(n−(n−1))! = n(n−1)! (n−1)!(n−n+1)! = n 1 = n 77. a. Demostración: Sea n un entero tal que n 2. Por definición de factorial, n! 2 1 si n 2 3 2 1 si n 3 n (n ฀ 1) 2 1 si n 3. En cada caso, n! tiene un factor de 2 y así n! 2k para algún entero k. Entonces n! 2 2 sustituyendo 2(k 1) factorizando el 2. Como k 1 es un entero, entonces n! 2 es divisible por 2 [que era lo que se quería demostrar]. c. Sugerencia: Considere la secuencia m! 2, m! 3, m! 4, …, m! m. 78. Demostración: Suponga que n y r son enteros no-negativos con r 1 n. El lado derecho de la ecuación a demostrarse es n − r r + 1 · ( n r ) = n − r r + 1 · n! r !(n − r)! = n − r r + 1 · n! r !(n − r) ·(n − r − 1)! = n! (r + 1)! ·(n − r − 1)! = n! (r + 1)! ·(n − (r + 1))! =