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Máximo Común Divisor - Mínimo Común Múltiplo Definición. El máximo elemento del conjunto de los divisores comunes positivos de dos o más números enteros no nulos, recibe el nombre de máximo común divisor. Ejemplo. El conjunto de los divisores comunes positivos de 12 y –20 es {1, 2, 4} luego el MCD (12, -20) = 4 Definición. El menor elemento del conjunto de los múltiplos comunes positivos de dos o más números enteros no nulos se denomina mínimo común múltiplo Ejemplo. El conjunto de los múltiplos comunes positivos de 12 y –20 es {60, 120, 180, 240} luego el MCM (12, -20) = 60 Propiedades del MCD y del MCM de dos o más números. 1. Si A y B son dos números enteros no nulos tales que B I A, entonces MCD (A, B ) = I B I y el MCM(A, B ) = I A I. Ejemplo: MCD (48, -16) = I –16 I = 16, mientras que MCM (48, -16) = 48 2. Si se tienen dos o mas números primos entre si, dos a dos, entonces el MCD de ellos es la unidad, mientras que el mcm será el producto de los valores absolutos de ellos. Ejemplo: MCD ( -4, 5, 9) = 1, pero MCM (- 4,5,9) = I-4I I5I I9I = 180 3. Si dos o más números enteros no nulos se multiplican o dividen por otro entero no nulo, entonces tanto el MCD como el mcm de ellos queda multiplicado o dividido por el valor absoluto de dicho número. Ejemplo. Tenemos que MCD (A k, B k, C k) = MCD (A, B, C) IkI MCD (A/ k, B/ k, C/ k) = MCD(A,B,C) / IkI MCM (A k, B k, C k) = MCM(A,B,C) IkI MCM (A/ k, B/ k, C/ k) = MCM(A,B,C)/ IkI 4. Todo número entero que sea divisor común de otros dos, divide también a su MCD; mientras que todo número entero que sea múltiplo común de otros dos, también lo será del mcm. 5. Si varios números se dividen entre el MCD de ellos, los cocientes que se obtienen son primos entre si; Mientras que si el mcm se divide entre cada uno de ellos, los cocientes que se obtienen son primos entre si. Importancia. Esta propiedad nos indica que cada número puede expresarse en términos del MCD o del MCM de ellos Por ejemplo, si MCD (A, B, C) = d, tenemos I A I = dxp, I B I = dxq y I C I = dxr, donde p, q r son primos entre si. 6. En los naturales se tiene MCD( Na -1, Nb -1, ….,Nc -1) = NMCD(a,b,…,c) -1 Asimismo, se tiene MCD(An,Bn) = (MCD(A,B))n 7. El producto de los valores absolutos de dos números enteros no nulos, es igual al producto del minimo comun multiplo por su maximo comun divisor. 8.Ramificación Árbol. Si en un conjunto de números, parte de ellos se reemplaza por el MCD, entonces el MCD no varía, algo similar se cumple para el MCM Ejemplo. MCD (A, B, C, D) = MCD (MCD (A, B), MCD (A, B, C), D) MCM (A, B, C, D) = MCM (MCM (A, B, C), MCM (C, D)) 9.En una división inexacta por defecto se tiene MCD (D, d) = MCD (d, r) 10.Algoritmo de Euclides en los enteros. Sean A y B números enteros diferentes de cero. Para hallar el MCD(A, B) podemos utilizar la propiedad 9 varias veces. Ejemplo Hallar el MCD (336, 102) Entonces el MCD (336, 102) = 6 Métodos para hallar el MCD y MCM en el campo de los números naturales Por descomposición individual en factores primos: Se descompone todos los números como producto de sus factores primos. - Para hallar el MCD se multiplican los factores comunes elevados al menor exponente. - Para hallar el MCM se multiplican los factores comunes y no comunes elevados al mayor exponente. Por ejemplo: Hallar el MCD y MCM de 504 y 540. Hacemos 504 = 23 x 32 x 7, 540 = 22 x 33 x 5; luego: MCD = 22 x 32 = 36 y MCM = 23 x 33 x 5 x 7 = 7560 Por descomposición simultánea en factores primos. Para hallar el MCD de varios números se descomponen simultáneamente en factores primos, multiplicando luego solo los factores comunes. 3 3 2 2 336 102 30 12 6 30 12 6 0 Por ejemplo, hallar el MCD de 504 y 540. 504 - 540 2 252 - 270 2 MCD = 22 x 32 = 36 126 - 135 3 42 - 45 3 14 - 15 Para hallar el MCM de varios números se les descompone simultáneamente en factores primos y luego se multiplican los factores comunes y no comunes. Ejemplo: hallar el MCM de 504 y 540 504 - 540 2 252 - 270 2 MCM = 23 x 33 x 5 x 7 = 7560 126 - 135 3 42 - 45 3 14 - 15 3 14 - 5 5 14 - 1 2 7 - 1 7 1 - 1 Uso del algoritmo de Euclides para hallar la fracción continua simple del racional a b 1 = + 1 1 . . . . . 1 a x b y z v w + + + Para 29 67 2 3 4 2 67 29 9 2 1 9 2 1 0 Entonces 29 67 = 1 2 1 3 1 4 2 + + + , 29 67 = [2; 3, 4, 2] , 67 1 1 1 = 2 + 29 3 4 2+ + Todo número racional puede ser representado mediante una fracción continua simple finita y tal representación es básicamente única. Además toda fracción continua simple finita representa a un número racional.
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