Álgebra Función

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Sesión 11.1
Función Polinomial
Contenido
Función Polinomial – Definición
Raíces de una función polinomial
Gráfica de una función polinomial
Teorema fundamental del Álgebra
Localización de raíces
Teorema de Cardano Viette
Regla de Descartes
Raíces enteras y racionales de una ecuación polinomial
Definición
Una función p: ℝ→ℝ es polinomial de grado «n», si existen
reales tales que:
donde
         
n n 1 n 2
0 1 2 n 1 np x a x a x a x ... a x a ;
 0
n
a
0 1
; ;...;
n
a a a
Cero o raíz de un polinomio
Un número r tal que p(r)=0 se denomina cero o raíz del polinomio 
p(x). En este caso se establece que p(x) es divisible por (x-r) o 
equivalentemente (x-r ) es un factor de p(x).
MULTIPLICIDAD DE RAÍCES
Diremos que r es una raíz de multiplicidad , si existe un 
polinomio que satisface con 
Ejemplo
Si , entonces:
• 0 es raíz de multiplicidad 2 de P(x)
• 5 es raíz de multiplicidad 4 de P(x)
• -7 es raíz de multiplicidad 9 de P(x)
• 6 es raíz de multiplicidad 1 (raíz simple) de P(x)
kp(x) = (x- r) q(x)
k 1
 q x
   2 4 9P(x) 8x (x 5) .(x 7) (x 6)
 q r 0
Gráfica de una función polinomial
La gráfica de una función polinomial es suave y contínua, por 
suave queremos decir que la gráfica no tiene esquinas ni puntas 
(cúspides), contínua significa que la gráfica no tiene cortes ni 
saltos y que puede ser dibujada sin interrupciones.
Si r es un cero real de multiplicidad «m» de una función
polinomial p(x), entonces:
A) Si m es impar, el gráfico de p(x) cruza el eje X cuando x=r
B) Si m es par, el gráfico de p(x) es tangente al eje X cuando x=r
Ceros reales múltiples
A) Si el polinomio tiene factores de grado impar 
B) Si el polinomio tiene factores de grado par 
1
p(x) (x 2)(x 1)(x 3)
2
   
1
p(x) (x 3)(x 1)(x 2)
4
    
21p(x) (x 1) (x 3)(x 4)
10
     2 2
1
p(x) (x 3) x(x 4)
40
  
Algunas gráficas de funciones polinomiales
con todas sus raíces reales
Teorema fundamental del Álgebra
Teorema (de D’Alambert) Todo polinomio de grado positivo sobre ℝ, 
tiene al menos una raíz en ℂ
COROLARIO: Un polinomio p(x) sobre ℝ , tiene «n» raíces sobre ℂ.
Ejemplo. Dado el polinomio
Vemos que el polinomio es de grado 9 y sus raíces son:
4; 4; 5; 5; 5; 5; -2; (9 raíces en total) 
    2 4 2p(x) 9(x 4) (x 5) (x 2)(x 3)
3 ; 3i i
Nota:
Si un polinomio p(x) sobre tiene una raíz irracional de la forma
, entonces otra de sus raíces es su conjugado a b
a b
Teorema de Bolzano (o del Valor Intermedio)
Sea p(x) una función polinomial sobre tal que p(a).p(b)<0, entonces
existe r a;b tal que p(r)=0
Teorema de Bolzano (o de valor intermedio)
Ejemplo: Si , verificar
• que existe una única raíz real α
• que la raíz α
  5p(x) x 10x 1
5p( ) 10 1
p(0) 1
p(1) 10
p(0).p(1) 0, entonces
 r 0;1 tal que p(r)=0
x x x  
 


 
Nota: Todo polinomio de grado impar con coeficientes reales tiene 
por por lo menos una raíz real.
 0;1
Resolución:
5
5
Para localizar la raíz se hace: 
 p(x) = x + 10x - 1 = 0
 x = -10x + 1
 f(x) g(x)
Graficando
Existe una única raíz real (el número de raíces reales esta determinada por el número 
de puntos de intersección de ambas funciones)
Teorema (regla de signos de Descartes)
El número de raíces reales positivas de un polinomio p(x) sobre 
ℝ, no puede exceder al número de variaciones de signos de sus 
coeficientes, y cuando es menor la diferencia es un número par.
COROLARIO: El número de raíces reales negativas de un polinomio 
P(x) sobre ℝ no puede exceder al número de variaciones de signos 
de los coeficientes de P(-x), y cuando es menor la diferencia es un 
número par.
Teorema (regla de signos de Descartes)
Ejemplo: Analizar por Descartes     4 3 2P(x) x 9x 5x 10x 18
4 3 2( ) 9 5 10 18P x x x x x    
4 3 2( ) 9 5 10 18P x x x x x     
Hay 3 variaciones de signo, el número 
de raíces positivas puede ser 3 o 1
Hay 1 variación de signo, el número de 
raíces reales negativas solo puede ser 1
ℝ(+) ℝ(-) ℂ
3 1 0
1 1 2
Raíces positivas: Raíces negativas:
Haciendo una tabla:
VARIACIONVARIACION VARIACIONVARIACION
Dada la función polinomial
   
1 2
1
1 2 3
0
2
1 2 1 3 1
0
Si r ; r ; ...;r son las raíces de p(x) (contando sus multiplicidades), entonces:
r +r +r +...+r = -
... r r
n
n
n n
a
a
a
r r r r
a
Teorema de Cardano Viette (relación de 
raíces y coeficientes
3
1 2 3 1 2 4 2 1
0
1 2 3 1
0
...
 .
 .
 .
. . ... . ( 1) .
n n n
n n
n n
a
r r r r r r r r r
a
a
r r r r r
a
 

    
 
1 2
0 1 2 1p(x) a x a x a x ... a x a
n n n
n n
 
     
 


3 2Si p(x)=ax +bx +cx+d, y , , son los raíces de P(x), entonces:
+ +
+ +
=
b
a
c
a
d
a
  
  
  

 

    
 
3 2
1 2 3
1 2 3
1 2 1 3 2 3
1 2 3
Por ejemplo: 
En la ecuación cúbica 5x +18x -20x+13=0, de raíces x , x , x , se cumple que: 
18
x +x +x
5
20
x x +x x x x 4
5
13
x x x
5
Un caso particular
Sea el polinomio p(x) ∈ ℤ[x] tal que
 
  
 
0
0
Si p 0 y es irreductible, entonces r|a s|a 
(r divide a a y s divide a a )
n
n
r r
s s
Teorema de las raíces racionales
Ejemplo: Encontrar las raíces racionales de
Resolución: Las posibles raíces racionales son los números racionales cuyo numerador
son los divisores del término independiente y cuyo denominador son los divisores del
coeficiente principal.
   10 1p(x) a x a x ... a
n n
n
 
 
divisores del término
1; 5 independiente 1 5
P.R.R 1; ; 5; 
 divisores del 1; 2 2 2
coeficiente principal
 
 
        
   
 
 
   3 2p(x) 2x 11x 4 x 5
2 11 4
-2 -9
-5
5
2 -59 0
X=-1
Luego dividiendo por Ruffini
2entonces p(x)=(x+1)(2x +9x-5) = (x+1)(2x-1)(x+5)
Ejercicio N°1
01. Dada la función polinomial 
 2 2P(x) x (x 1)(x 4)   , el gráfico 
de la función Q(x) P(x 2)  está 
mejor representado por 
Rpta. A 
Ejercicios de Clase:
Ejercicio N°3
01. Si P(x) es un polinomio de grado 
mínimo, cuya gráfica se muestra 
en la figura adjunta, determine el 
número de raíces diferentes de la 
ecuación  P x 0 . 
Rpta. B 
Ejercicio N°7
01. Sea 2017P(x) x x 3   , indique 
el valor de verdad de las 
siguientes proposiciones: 
• P tiene una única raíz real positiva 
• P tiene una raíz real positiva y una negativa
• P tiene una raíz racional
Rpta. A 
Ejercicio N°8
01. Dada la función polinomial 
5 4 3 2P(x) 2x 3x 5x 5x 3x 2      
Indique cuáles de los siguientes 
enunciados son verdaderos 
I. La gráfica de P(x) es tangente 
al eje x en x=3 y k=5 
II. La gráfica de P(x) es tangente 
al eje x en x 1  
III. La gráfica de y=P(x) es 
secante al eje x en los puntos: 
(1 ; 0) , (1/2 ; 0) y (2 ; 0) 
Rpta. E 
Ejercicio N°9
01. Si 5P(x) x 17x 120    , indique 
el valor de verdad 
I. P es una función decreciente 
en todo y tiene una única 
raíz real negativa 
II. Sean a , b /a<1 y b>5 , 
entonces P(a) P(b) 0 
III. P tiene 4 raíces complejas y 
una raíz real positiva 
Rpta. C 
Ejercicio N°14
01. Sean m, n, p raíces de 
3 2x 3x 7 0   donde 
2 2 2
1 1 1
N
m n p
   . Calcule 49N. 
Rpta. B 
Ejercicio N°15
01. Dada la ecuación 
3x ax b 0 , b 0    , indique la 
relación que debe existir entre a y 
b para que una de las raíces sea 
la suma de las inversas de las 
otras dos. 
Rpta. C