Adicion y Sustracción - ISM

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Curso:
Aritmética
Ciclo:
Intensivo –
SAN MARCOS
Tema: Adición y Sustracción
ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN
1) ADICIÓN:
Es una operación binaria en la que al agregar dos
cantidades se obtiene una tercera
A B S+ =
Donde:
A y B : Sumandos
S : Suma
Sumas notables:
1)
n1 2 3 ...+ + + +
( )n n 1
2
+
=
Suma de los primeros números positivos
2) Suma de los primeros números pares
n2 4 6 . 2..+ + + + ( )n n 1= +
3) Suma de los primeros números impares
( )11 3 5 .. n. 2+ + + + − 2n=
4) Suma de los primeros cuadrados perfectos
22 2 21 2 3 . n..+ + + +
( )( )n n 1 2n 1
6
+ +
=
5) Suma de los primeros cubos perfectos
33 3 31 2 3 . n..+ + + +
( )
2
n n 1
2
 +
=  
 
6)
( )11 2 2 3 3 4 n n +  +  + + + ( )( )
n n 1 n 2
3
+ +
=
7)
( )
2
1 2 2 3 3 4 n
2
n 1
2 2
  
+ + +
+
+
( )( )n n 1 n 2
6
+ +
=
Suma de los números triangulares
1 3 6 10 15+ + + + +
8) Suma de las potencias de un número
2 3 n1 a a a ... a+ + + + +
n 1a 1
a 1
+ −
=
−
Ejemplo 1: Hallar 𝐵 − 𝐴, si:
𝐴 = 1 + 3 + 5 + 7 +⋯+ 99
𝐵 = 2 + 6 + 12 + 20 +⋯+ 380
Solución:
Calculamos cada uno de los valores de A y B:
A 1 3 5 7 99• = + + + + + 2n 1 99→ − =
2n 100=
n 50=
2A 50→ = 2500=
B 2 6 12 20 380• = + + + + +
B 1 2 2 3 3 4 4 5 19 20=  +  +  +  + + 
19 20 21
B
3
 
= 2660=
B A 2660 2500 − = − 160=
Ejemplo 2: Calcular: 
Solución:
S 3 8 15 24 ... 143= + + + + +
S 3 8 15 24 ... 143= + + + + +
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2S 2 1 3 1 4 1 5 1 ... 12 1= − + − + − + − + + −
( ) ( )2 2 2 2 2S 2 3 4 5 ... 12 1 1 1 1 ... 1= + + + + + − + + + + +
S 1 11
12 13 25
6
 
= − − 
 
 
S 649 11= −
S 638=
2) SUSTRACCIÓN:
Es una operación binaria opuesta a la adición
M S D− =
Donde:
M : Minuendo
S : Sustraendo
D : Diferencia
Además:
S D M+ =
S D M 2M+ + =
Propiedad:
Si: abc cba xyz− =
Se cumple: x z y 9+ = =
a c x 1− = +
Ejemplo 3: La suma de los términos de una sustracción es
1860. si el sustraendo es el cuádruple de la diferencia.
Hallar la suma de las cifras de la diferencia
Solución:
Por dato:
M S D 1860+ + =
2M 1860=
M 930=
Sabemos que:
M S D 930= + =
4D
5D 930=
D 186=
cifras 1 8 6= + + 15=
❖ Complemento Aritmético (C.A)
Es lo que le falta a un número para poder ser igual a una
unidad del orden inmediato superior a su cifra de mayor
orden
Ejemplos:
CA(3) 10 3 7= − =
CA(31) 100 31 69= − =
CA(420) 1000 420 580= − =
En general:
kCA(N) 10 N= −
Donde: k: Número de cifras de N
Método práctico:
CA(4 2 19 3 8 7 6)
109999999
57806124=
CA(5 10 2 7 3 10 0)
10999999
489726900=
Ejemplo 4: Si se cumple que:
Calcule el valor de: 𝑚 × 𝑛 × 𝑝
Solución:
( )CA abc 1 2 3 ... 30= + + + +
( )CA mnp abc a b c= + + +
• Por dato: ( )CA abc 1 2 3 ... 30= + + + +
30 31
1000 abc
2

− =
1000 abc 465− =
abc 535= a 5→ = b 3= c 5=
• Además: ( )CA mnp abc a b c= + + +
1000 mnp 535 5 3 5− = + + +
1000 mnp 548− =
mnp 452=
m 4→ = n 5= p 2=
m n p 4 5 2   =   40=
Problemas
Problema 1: Si: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 16 . Calcule
A) 1616 B) 1676 C) 1776
D) 1548 E) 1717
Solución:
abc bca cab+ +
abc
bca
cab
+
6
1
• Colocando la suma en vertical:
7
1
17
Clave C
Problema 2: Determinar la suma de cifras de: 
A) 16 B) 15 C) 14
D) 13 E) 12
Solución:
S 12 14 16 18 ... 322= + + + + +
S 12 14 16 18 ... 322= + + + + +
322 12
n 1
2
−
= + 156=
( )12 322
S 156
2
+
=  26052=
CifrasSuma 2 6 0 5 2 = + + + + 15=
Clave B
Problema 3: Si:
Calcule: 𝑚 + 𝑛 + 𝑝
A) 12 B) 13 C) 14
D) 15 E) 16
Solución:
m53 1n4 64p 1224+ + =
m53
1n4
64p
+
1224
1
• Colocando la suma en vertical:
1
3 4 p ...4+ + = p 7→ =
• En las unidades:
215 n 4 ...++ + = n 2→ =
• En las decenas:
m 1 6 121+ + =+ m 4→ =
• En las centenas:
m n p 4 2 7 + + = + + 13=
Clave B
Problema 4: La suma de los tres términos de una
sustracción es 4024. Si el sustraendo es el triple de la
diferencia. Calcule el sustraendo.
A) 1509 B) 1600 C) 503
D) 2012 E) 2500
Solución:
Por dato:
M S D 4024+ + =
2M 4024=
M 2012=
Sabemos que:
M S D 2012= + =
3D
4D 2012=
D 503=
S 3D 3(503) = = 1509=
Clave A
Problema 5: Si:
Además: Calcule el máximo valor de 𝑚 × 𝑛 × 𝑝
A) 108 B) 96 C) 84
D) 72 E) 60
Solución:
mnp pnm 3xy− =
m p 8+ =
mnp pnm 3xy− = x 9→ =
3 y 9→ + = y 6→ =
m p 3 1− = + m p 4→ − =
m p 8+ =
m 6=
p 2=
maxn 9→ =
m n p 6 9 2   =   108=
Clave A
Problema 6: Calcule el número de 3 cifras que es el
cuádruple de su complemento aritmético. Dar como
respuesta la suma de sus cifras.
A) 8 B) 7 C) 6
D) 5 E) 4
Solución:
abc 4 CA(abc)= 
abc 4 (1000 abc)=  −
abc 4000 4 abc= − 
5 abc 4000 =
abc 800=
a b c 8 + + =
Clave A
Problema 7: Determinar la suma de las 3 últimas cifras de: 
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
Solución:
100 cifras
4 43 434 4343 ... 4343...43+ + + + +
• Colocando la suma en vertical:
4
43
434
4343 4343
+
100 
sumandos
50(4 3)+ 350=
0
• En las unidades:
35
549(4 3) 34+ ++ 382=
• En las decenas:
2
38
84 (4 39 3)+ + 381=
• En las centenas:
1
Suma 1 2 0 = + + 3=
Clave A
Problema 8: Julio decide empezar a ahorrar para irse de
viaje el próximo verano, si empieza ahorrando en el mes de
febrero S/.68, luego en marzo ahorra S/.75, en abril ahorra
S/.82 y así sucesivamente durante todo el año. Al terminar
diciembre, ¿cuánto tendrá ahorrado para irse de viaje en
enero?
A) S/.900 B) S/.1000 C) S/.999
D) S/.1133 E) S/.1005
Solución:
Mes :
Ahorro :
Feb
68
Mzo
75
Abr
82
...
...
Dic
11a
7+ 7+
( )n 1a a n 1 r= + −
n 11= → ( )( )11a 68 11 1 7= + −
11a 68 70= + 138=
( )
n
68 138
S 11
2
+
 =  1133=
Clave D
Problema 9: Calcule el menor número entero tal que al
sumarle el triple de su complemento aritmético resulte
22508.
A) 3746 B) 3600 C) 5823
D) 4673 E) 2229
Solución:
N 3 CA(N) 22508+  =
Sea :N abcd=
abcd 3(10000 abcd) 22508+ − =
abcd 30000 3 abcd 22508+ −  =
30000 2 abcd 22508−  =
7492 2 abcd= 
abcd 3746=
Clave A
Problema 10: ¿Cuál es el mayor numeral de 4 cifras
significativas, tal que la diferencia de la suma de sus cifras y
la suma de sus cifras de su complemento aritmético es 11?
A) 9961 B) 9861 C) 9951
D) 9972 E) 9942
Solución:
• Sea el numeral: maxabcd a 9 b 9→ = =
(a b c d) cifras C.A(abcd) 11 + + + − =
 
(9 9 c d) cifras C.A(99cd) 11 + + + − =
 
18 c d cifras (9 c)(10 d) 11 + + − − − =
 
 18 c d 19 c d 11+ + − − − =
2c 2d 12+ =
• Por dato:
10999
c d 6+ =
maxc 5 d 1→ = =
Rpta : 9951
Clave C
Problema 11: Si:
Calcule c, Si: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑛 = 29
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Solución:
CA(abcd) nnn=
CA(a b c d) nnn=
10 d n− = d 10 n→ = −
9 c n− = c 9 n→ = −
10999
9 b n− = b 9 n→ = −
a 9=
a b c d n 29+ + + + =
9 9 n 9 n 10 n 8 29+ − + − + − + =
37 2n 29− =
2n 8=
• Por dato:
n 4=
c 9 n = − 9 4 5= − = Clave E
Problema 12: Si:
Donde cada * significa una cifra y b es impar. Calcule el
CA(𝑎𝑏𝑐)
A) 451 B) 471 C) 359
D) 529 E) 639
Solución:
abc cba * * 7 abc cba *45− = + =
abc cba * * 7− = 297=
abc cba *45+ =
a c 3→ − =
a c 5→ + =
b 7→ =
CA(abc)
a 4=
c 1=
CA(471)= 1000 471= − 529=
Clave D
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