CALCULO_DIFERENCIAL

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El 14 de marzo se celebra el Día Internacional del Número Pi. Con esta celebración 
la comunidad docente y científica rinde homenaje al número, a las matemáticas y 
a la ciencia en general. 
 
 
 
 
 
 
PRESENTACIÓN 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Cada día se genera más conocimiento en el 
mundo, pero por desgracia no es accesible 
para muchos, por lo que es necesario buscar 
nuevas formas para que todos lo tengan al 
alcance. 
Bajo esta premisa se ha concebido este 
material, en donde se busca que tengas acceso 
de una manera fácil al conocimiento y te 
permita el logro de tus aprendizajes, para ser 
usados en la escuela y en la vida. 
Por tal motivo, esta propuesta fusiona el 
material educativo por excelencia: “el libro” 
fusionado con los recursos multimedia que las 
nuevas tecnologías ofrecen, naciendo así el 
HIPERLIBRO. 
Este concepto está pensado en tí, por lo que se 
presenta en formato de libro, pero de una 
forma dinámica, es decir, te permite acceso a 
otros recursos que estarán al alcance en tan 
solo un clic: como videos explicativos, audios, 
imágenes, simuladores, calculadoras entre 
otros, ofreciéndote la oportunidad de usar la 
red para seguir aprendiendo. 
Te invito a que lo explores y que decidas el 
ritmo de tu aprendizaje, pero sobre todo que 
te sirva para adquirir más saberes, con la 
finalidad de que seas un mejor alumno y una 
mejor persona para el bien de tu escuela, el de 
tus familiares y tu comunidad. 
Éxito. 
Aristófanes Madrigal Uc 
Autor 
 
 
Contenido 
 I. FUNCIONES Y SUS TIPOS ..................................................................................................... 1 
Valorando lo que sabes ............................................................................................................ 2 
Concepto de función ................................................................................................................ 3 
Para saber más ..................................................................................................................... 5 
Manos a la obra .................................................................................................................... 5 
Representación y notación de una función. ......................................................................... 6 
Para saber más ..................................................................................................................... 8 
Manos a la obra .................................................................................................................... 9 
Dominio y Rango de una función.......................................................................................... 9 
Para practicar ..................................................................................................................... 12 
Manos a la obra .................................................................................................................. 16 
Para saber mas ................................................................................................................... 17 
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES .............................................................................................. 17 
Funciones algebraicas ............................................................................................................ 18 
Funciones polinomiales ...................................................................................................... 18 
Función constante (grado 0) ........................................................................................... 18 
Para practicar ..................................................................................................................... 20 
Función lineal (grado 1) .................................................................................................. 20 
Para practicar ..................................................................................................................... 21 
Función cuadrática (grado 2) .......................................................................................... 21 
Función cúbica (grado 3) ................................................................................................ 26 
Para saber más ................................................................................................................... 28 
Funciones racionales .......................................................................................................... 33 
Dominio de una función racional.................................................................................... 33 
Rango de una función racional ....................................................................................... 34 
Funciones irracionales ........................................................................................................ 35 
Dominio de una función irracional ................................................................................. 36 
Rango de una función irracional ..................................................................................... 37 
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 38 
FUNCIONES TRASCENDENTES ................................................................................................ 38 
Funciones exponenciales .................................................................................................... 39 
Función exponencial de base e ....................................................................................... 41 
 
 
Funciones logarítmicas ....................................................................................................... 42 
Función logaritmo natural .............................................................................................. 43 
Manos a la obra .................................................................................................................. 44 
Funciones trigonométricas ................................................................................................. 45 
Características de las funciones trigonométricas ........................................................... 45 
Para saber más ................................................................................................................... 46 
Manos a la obra .................................................................................................................. 46 
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 47 
II. COMPORTAMIENTO Y OPERACIONES CON FUNCIONES ................................................... 48 
SUCESIONES ........................................................................................................................... 50 
Sucesiones aritméticas ....................................................................................................... 50 
Para saber más ................................................................................................................... 55 
Manos a la obra .................................................................................................................. 56 
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 56 
Sucesiones geométricas ..................................................................................................... 57 
Para saber más ................................................................................................................... 61 
Manos a la obra .................................................................................................................. 61 
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................61 
Límites de sucesiones ......................................................................................................... 62 
FUNCIONES CRECIENTES Y DECRECIENTES ............................................................................. 63 
Manos a la obra .................................................................................................................. 67 
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 70 
Aproximación de máximos y mínimos de una función. .......................................................... 70 
Manos a la obra .................................................................................................................. 73 
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 73 
OPERACIONES CON FUNCIONES ............................................................................................. 74 
Para saber más ................................................................................................................... 79 
Manos a la obra .................................................................................................................. 79 
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 80 
ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y VERTICALES ............................................................................. 80 
Asíntota Vertical ................................................................................................................. 80 
Asíntota horizontal ............................................................................................................. 83 
Manos a la obra .................................................................................................................. 85 
 
 
Evaluando tus aprendizajes ................................................................................................ 86 
III. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN ........................................................................................ 87 
Para saber más ................................................................................................................... 94 
Manos a la obra .................................................................................................................. 94 
Reglas de derivación ............................................................................................................... 94 
Reglas de derivadas fundamentales .................................................................................. 94 
Manos a la obra ................................................................................................................ 106 
Para aprender más ........................................................................................................... 108 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 108 
Derivadas exponenciales ...................................................................................................... 109 
Derivada de función exponencial base 𝒂 .......................................................................... 109 
Derivada de función exponencial base 𝒆 .......................................................................... 110 
Para saber más ................................................................................................................. 111 
Manos a la obra ................................................................................................................ 111 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 112 
Derivadas de funciones logarítmicas .................................................................................... 112 
Derivadas de función logarítmica base 𝒂 ......................................................................... 112 
Derivada de funciones logaritmo natural ......................................................................... 115 
Para saber más ................................................................................................................. 117 
Manos a la obra ................................................................................................................ 117 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 117 
Derivadas de funciones trigonométricas .............................................................................. 118 
Manos a la obra ................................................................................................................ 120 
Para aprender más .......................................................................................................... 121 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 121 
Derivadas de orden superior ................................................................................................ 122 
Para aprender más .......................................................................................................... 124 
Manos a la obra ................................................................................................................ 124 
Evaluando tus aprendizajes .............................................................................................. 125 
IV. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN ......................................................................... 126 
Definición ......................................................................................................................... 127 
Criterio de la primera derivada para encontrar puntos máximos y mínimos. .............. 128 
Criterio de la segunda derivada para hallar el máximo o mínimo relativo ................... 132 
 
 
Concavidad y punto de inflexión de una función.............................................................. 133 
Para saber más ................................................................................................................. 135 
Manos a la obra ................................................................................................................ 135 
Aplicación de máximos y mínimos.................................................................................... 136 
Manos a la obra ................................................................................................................ 140 
 
 
 
 
 
 
 
 
 I. FUNCIONES Y SUS TIPOS 
 
2 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
• Caracteriza a las funciones algebraicas y las funciones trascendentes 
como herramientas de predicción, útiles en una diversidad de modelos 
para el estudio del cambio. 
 
Te has dado cuenta de que a lo largo de tu vida existen relaciones entre dos o más 
situaciones o hechos, por ejemplo, si no tenemos una alimentación nutritiva y no 
hacemos ejercicio se subirá de peso y se contraerá enfermedades como la diabetes. 
Otro ejemplo, si realizó mis actividades escolares y cumplo con mis tareas, con 
seguridad lograré los aprendizajes y por tanto obtendré buenas calificaciones. 
 
En matemáticas y en otras ciencias también existen varias relaciones 
entre dos o más variables. 
Por ejemplo, la estatura que podrá alcanzar un niño está relacionada 
con la alimentación y con la estatura de sus padres. 
La cantidad de cosecha que se puede obtener depende de varios 
factores como la cantidad de agua, sol y nutrientes de la tierra, 
principalmente. 
La cantidad a productos a producir de acuerdo con la oferta que hay 
y la mano de obra o maquinaria que se tenga. 
La distancia que recorre un vehículoestá en correspondencia con la velocidad de este. 
El número de equipos eléctricos y electrónicos conectados en casa y el consumo 
eléctrico. 
Como has observado en los ejemplos anteriores existe una correspondencia en cada 
caso, siendo estas objeto de estudio del Calculo diferencial. 
 
Valorando lo que sabes 
Menciona al menos tres ejemplos diferentes a los anteriores que muestre una relación 
entre ellos. 
a) ……………………………………………………………………………………….. 
 
b) ……………………………………………………………………………………….. 
 
c) ……………………………………………………………………………………….. 
 
Es necesario un dominio de las operaciones algebraicas y gráficas para la correcta 
resolución de los procesos que se realizan en calculo diferencial, 
 
I. Realiza las siguientes operaciones 
a) 2𝑥 + 3 − 7𝑥 + 8 
b) 3(𝑥 − 2) − (4 + 2𝑥) 
c) (2𝑥 + 3)2 
 
3 
 
d) 3(𝑥 − 1)2 + 2𝑥 − 2 
e) 3𝑥 − 𝑥4 − 2𝑥(𝑥3 − 3𝑥 + 4) 
 
II. Sustituye los valores dados en las siguientes ecuaciones 
a) 𝑦 = 2𝑥 − 8 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = 1 
b) 𝑦 = 3 − 𝑥2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 = −2 
c) 𝑚 = 2𝑎𝑏2 −
1
2
𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 2 𝑦 𝑏 = 3 
d) 𝑉 =
1
3
𝜋𝑟ℎ2 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑟 = 5 𝑦 ℎ = 2 
 
III. Traza las siguientes gráficas 
a) 𝑦 = 3 
b) 𝑦 = 2𝑥 + 3 
c) 𝑦 = 𝑥2 − 1 
d) 𝑦 = 𝑥 − 4 
 
Concepto de función 
En matemáticas has usado las relaciones y sin darte cuenta también las funciones, de 
hecho, las funciones es un subconjunto de las relaciones. 
 
 
 
 
 
El cálculo diferencial se basa en el estudio de las funciones. Una función se define de la 
siguiente manera: 
 
Una función es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, en donde a cada 
valor de la variable independiente (x) le corresponde un único valor de la variable 
dependiente (y). 
 
Para los siguientes casos vamos a identificar si es una regla de correspondencia y cuál 
sería la variable independiente y la variable dependiente. 
La velocidad de un carro y la distancia recorrida 
Sí existe correspondencia entre la distancia y la velocidad, en 
donde a mayor velocidad se tendrá mayor distancia y a menor 
velocidad menor distancia. 
Por lo que la distancia recorrida depende de la velocidad así 
que: 
 Funciones 
Relaciones 
Para saber más sobre las relaciones 
(a partir de la página 4) 
https://drive.google.com/file/d/1HbfLtZdYqMFOLaEp2KhOu21zsYhA_V8X/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1HbfLtZdYqMFOLaEp2KhOu21zsYhA_V8X/view?usp=sharing
 
4 
 
variable independiente (x): velocidad 
variable dependiente (y): distancia 
 
La estatura y el peso de una persona 
Sí existe correspondencia entre la altura y el peso, ya que a mayor altura mayor peso y a 
menor altura menor peso. 
Por lo que el peso depende de la estatura. 
variable independiente (x): estatura 
variable dependiente (y): peso 
 
La ganancia de una empresa y la cantidad de artículos vendidos 
Sí existe correspondencia entre el número de artículos vendidos y la 
ganancia ya que, hasta un cierto número de artículos, a mayor venta 
de artículos mayor ganancia y viceversa. 
Por lo que la ganancia depende del número de artículos vendidos. 
variable independiente (x): artículos vendidos 
variable dependiente (y): ganancia 
 
El nombre de la persona y su desempeño escolar 
No existe una correspondencia probada de que el nombre de un estudiante influya en su 
desempeño en la escuela. 
 
Como un último ejemplo se tiene el área de un cuadrado 𝐴 = 𝑙2 
El área del cuadrado dependerá del valor que se le dé al lado. Por tanto: 
variable independiente (l): lado del cuadrado 
variable dependiente (A): Área del cuadrado 
 
OJO: En calculo diferencial se toma la "𝑦" como la variable dependiente y la “𝑥” como la 
variable independiente, a menos que se especifique otra cosa como sucedió en el último 
ejemplo. 
 
Además de lo anterior, para que sea una función se debe cumplir que, para cada valor 
del conjunto de la variable independiente (dominio) le debe corresponder un único valor 
de la variable dependiente (contradominio). 
 
Al conjunto de valores de la variable independiente se le llama dominio de la función 
y al conjunto de valores de la variable dependiente se le llama rango o contradominio 
de la función. 
 
Usando diagramas sagitales es muy fácil de identificar lo anterior. 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
5 
 
Analizando cada inciso 
a) Se cumple que a cada valor del dominio le corresponde un único valor del 
contradominio por lo que si es una función. 
 
b) En este inciso se puede observar que para el número 12 le corresponden dos 
valores del contradominio el 40 y 42. Por lo que no se cumple la definición de 
función. 
 
c) A cada figura geométrica solo le corresponde un único número de lados por lo 
que sí es una función. Aunque el cuadrado y el rombo ambos tienen el valor de 
4 pero solo está relacionado con un solo valor. 
 
 
Para saber más 
 
Manos a la obra 
I. Determina si los siguientes diagramas sagitales corresponden a una función o no. 
1) 2) 3) 
 
 
 
 
 
II. Para cada enunciado indica la variable dependiente y la variable independiente 
a) El crecimiento de un planta y la cantidad de agua 
Crecimiento de una planta: ________________ 
Cantidad de agua: _________________ 
 
b) Las horas de ejercicio físico al día y la condición física de una persona 
La condición física de una persona: _______________________ 
las horas de ejercicio físico al día: _________________________ 
 
c) El llenado de una alberca y el volumen de agua que se aplica por minuto 
El llenado de una alberca: _______________________ 
Volumen de agua por minuto: _________________________ 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=-YCrf-fmS-Q
 
6 
 
d) El tiempo de viaje y la distancia recorrida. 
El tiempo de viaje: _______________________ 
La distancia recorrida: _________________________ 
 
e) El volumen de un cubo 𝑉 = 𝑙3 
El lado del cubo: _______________________ 
El volumen del cubo: _________________________ 
 
 
Representación y notación de una función. 
Una función puede tener varias representaciones: en forma verbal o lenguaje común, 
algebraica o también llamado lenguaje matemático, en forma numérica o de tabla y en 
forma gráfica. 
Es importante identificar cada una de las representaciones ya que se pueden presentar 
en diferentes momentos. 
 
En forma verbal 
Un número real, es igual al cuadrado de otro número menos una unidad” 
 
En forma algebraica 
 𝑦 = 𝑥2 − 1 
 
En forma de tabla 
𝑥 𝑦 = 𝑥2 − 1 
−2 3 
−1 0 
0 −1 
1 0 
2 3 
 
 
En forma gráfica 
 
 
 
 
 
 
Respuestas 
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UDCsiZFmnuwwObxfxohYM7ve3Te2SWpd/view?usp=sharing
 
7 
 
Una función está representada de la siguiente forma 
 𝑦 = 𝑓(𝑥) Se lee: y igual a f de x 
 
Ejemplos de funciones: 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 3 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 8𝑥 + 10 
c) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥−4
 
d) 𝑓(𝑥) = √5𝑥 − 2 
e) 𝑓(𝑥) = cos 2𝑥 
 
Pero como identificar si son funciones o solo relaciones. En caso de que se tenga la 
gráfica es muy sencillo saberlo; solo se sigue el criterio de la regla vertical, es decir, si 
una regla en forma vertical se mueve a lo largo del eje 𝑥 y esta solo corta a la gráfica en 
un solo punto a la vez, entonces la gráfica corresponde a una función. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) e) 
 
 
 
 
 
 
f) g) 
 
 
 
 
Como cada línea vertical 
corta a la parábola en dos 
puntos a la vez entonces 
la gráfica NO ES deuna 
función 
Como cada línea vertical 
solo corta a la parábola 
en un solo punto a la vez 
entonces la gráfica SI ES 
de una función 
Como cada línea vertical 
solo corta a la gráfica en 
un solo punto a la vez 
entonces la gráfica SI ES 
de una función 
a) b) 
c) Como cada línea vertical 
solo corta a la gráfica en 
un solo punto a la vez 
entonces la gráfica SI ES 
de una función 
Como cada línea vertical 
solo corta a la gráfica en 
un solo punto a la vez 
entonces la gráfica SI ES 
de una función 
Como en una sección de 
la gráfica la línea vertical 
corta a la gráfica en dos 
puntos a la vez entonces 
la gráfica f) y g) NO ES de 
una función 
 
8 
 
 
Si una función está representada en lenguaje matemático se debe de observar cada 
expresión para indicar si es una función o no. 
Primero se debe cumplir que haya dos o más variables expresado en forma de ecuación, 
es decir debe tener un signo de igual (=) 
Por ejemplo: 
a) 𝑦 = 3𝑥 − 7 (tiene dos variables y el signo =) 
b) 𝑦 + 2𝑥 − 4 (tiene dos variables, pero no está expresado como ecuación 
c) 𝑃 = 2𝑎 + 2𝑏 (tiene tres variables y está expresado en forma de ecuación) 
d) 𝑥𝑦 + 2 = 0 (tiene dos variables y el signo de =) 
 
Una vez cumplido lo anterior, si la variable dependiente (𝑦) está elevado a una potencia 
par podemos asegurar que no es función. 
Ejemplos: 
a) 𝑦2 = 2𝑥 + 6 b) 2𝑥𝑦 − 2 = 𝑦2 c) 𝑦4 = 24𝑥 + 7 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑦2 = 𝑒2𝑥 e) 𝑥2 + 𝑦2 = 4 f) 𝑥2 + 𝑦6 = 9 
 
 
 
 
 
 
 
Se puede observar que en las ecuaciones la variable 𝑦 tiene una potencia par por lo que 
las gráficas obtenidas no pertenecen a funciones ya que al trazar líneas verticales cortan 
en más de un solo punto. 
 
Para saber más 
 
 
 
 
https://youtu.be/JpHL6kLkjUw
 
9 
 
Manos a la obra 
I. Indique si las siguientes gráficas corresponden a una función 
1) 2) 3) 
 
 
 
 
 
4) 5) 6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
II. Indique si las siguientes ecuaciones son funciones 
1) 𝑦 = 3 
2) 2𝑥 + 𝑦2 = 7 
3) 𝑦4 = 𝑥2 − 6𝑥 + 3 
4) 𝑦 = 3𝑥2 − 8 
5) 𝑥 = 𝑦3 + 5 
6) 𝑦 = 𝑒𝑥
2
 
 
Dominio y Rango de una función. 
Al conjunto de valores que toma la variable independiente generalmente representado por la 
variable 𝑥 se le llama DOMINIO de la función y se escribe 𝐷𝑓 
Al conjunto de valores que toma la variable dependiente generalmente representado por la 
variable 𝑦 se le llama CONTRADOMINIO o RANGO de la función y se escribe 𝑅𝑓 
 
Si la función está dada en forma de tabla entonces los valores de 𝑥 pertenecen al dominio 
y los valores de 𝑦 forman el contradominio o rango. 
 
Ejemplos: 
 
 
 
𝐷𝑓 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝑅𝑓 = {−1, 0, 1, 2, 3, 4} 
1) 4) 
2) 5) 
3) 6) 
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
𝑥 1 2 3 4 5 6 
𝑦 −1 0 1 2 3 4 
Respuestas 
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1nrcQ4uoSUqcm8R6RR0Mr11ZMo9ENrk_c/view?usp=sharing
 
10 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = {−3, −1, 0, 1, 3, 5} 
 𝑅𝑓 = {0, 1, 9, 16} Como hay elementos repetidos solo se escribe una sola vez 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = {−6, −3, 0, 2, 5, 8} 
 𝑅𝑓 = {4} El 4 es el único valor del rango de la función 
 
Antes de estudiar el dominio y rango de la gráfica de una función es necesario conocer 
sobre como representarlo en notación intervalo. 
 
En las gráficas de ecuaciones o funciones puede suceder que no esté completa, es decir, 
como si le faltara una parte o está cortada, para este tipo de situaciones que se presentan 
se utilizan los intervalos para representar los valores de 𝑥 y 𝑦 que puede tomar la gráfica. 
Un intervalo es un conjunto de números que tiene un inicio o un fin. Todo intervalo consta 
de un valor inicial y un valor final, pero también en lugar de un número se puede hacer 
uso del símbolo de infinito 
 
A continuación, se dan algunos ejemplos. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 −3 −1 0 1 3 5 
𝑦 9 1 0 1 9 16 
𝑥 −6 −3 0 2 5 8 
𝑦 4 4 4 4 4 4 
 
11 
 
Para el eje x se inicia desde la izquierda a derecha, para el eje y se inicia de abajo hacia 
arriba 
En el inciso a) 
Para el eje x, la gráfica tiene un inicio y un fin, inicia en 𝑥 = −3 y termina en 𝑥 = 2. 
Para el eje y, inicia en 𝑦 = 1 y termina en 𝑦 = 10. 
 
En el inciso b) 
Para el eje x, la gráfica tiene un inicio en 𝑥 = −3 pero no tiene fin, y se muestra señalado con la 
flecha por lo que indica que sigue desplazándose hacia la derecha y hacia abajo. 
Para el eje y, la gráfica no tiene un inicio por lo que se escribe 𝑦 = −∞ y termina en 𝑦 = 7 
 
En el inciso c) 
Para el eje x, la gráfica no tiene marcado un punto de inicio, pero está establecido en 𝑥 = 1 cómo 
se puede observar y aunque no tiene flecha se debe considerar que la gráfica sigue moviéndose 
hacia la derecha, no tiene fin. 
Para el eje y, la gráfica inicia en 𝑦 = 0 y aunque crece lentamente no tiene un punto final, sino 
que aumenta al infinito. 
 
En el inciso d) 
Para el eje x la gráfica inicia en −∞ y llega hasta 𝑥 = −2, luego entre 𝑥 = −2 y 𝑥 = 2 no hay 
gráfica, y vuelve a existir gráfica a partir de 𝑥 = 2 hasta +∞ 
Para el eje y la gráfica inicia en 𝑦 = 0 y continúa creciendo hasta +∞ 
 
Para usar correctamente los intervalos, es necesario que reconozcamos la simbología 
que se utiliza. Se representará al mismo tiempo la notación gráfica para una mejor 
explicación. 
 
Si en la gráfica, se dibuja un círculo (anillo con relleno) indica que se incluye el valor 
del extremo por lo que se expresa con corchetes [ ] y el signo matemático que se usa 
es ≥ o ≤. 
Si en la gráfica, se dibuja un círculo sin relleno indica que no se incluye el valor del 
extremo por lo que se expresa con paréntesis ( ) y el signo matemático que se usa es 
> 𝑜 <. 
Solución de la 
desigualdad 
Notación gráfica Notación 
intervalo 
𝑥 > 1 (1, +∞) 
𝑥 < 1 (−∞, 1) 
𝑥 ≥ −2 [−2, +∞) 
𝑥 ≤ −2 (−∞, −2] 
+∞ −∞ 
0 1 +∞ −∞ 
0 -2 −∞ 
0 -2 −∞ 
0 1 
 +∞ 
+∞ 
 
12 
 
−3 < 𝑥 ≤ 1 (−3, 1] 
−3 ≤ 𝑥 < 1 [−3,1) 
 
OJO: Cuando en un intervalo se usa el símbolo de −∞ y +∞ , entonces SIEMPRE se debe 
escribir paréntesis en el lado con el símbolo de infinito para indicar que no está incluido. 
 
 
Para practicar 
Completa la tabla escribiendo en notación gráfica o intervalo 
 
 (−∞, 4) 
 
 [2, +∞) 
 [−5,0] 
 
 (−∞, −1] ∪ (3, +∞) 
 
Para obtener el Dominio y Rango de la gráfica de una función se sigue el siguiente 
procedimiento. 
 
Para determinar el dominio de la gráfica se desplaza de izquierda a derecha y se observa que 
valores de 𝑥 puede tomar la gráfica, es decir, donde inicia y termina para 𝑥. 
 
Para determinar el rango de la gráfica se desplaza de abajo a arriba y se observa que valores 
de y puede tomar la gráfica, es decir, donde inicia y termina para 𝑦. 
 
OJO: Para las gráficas de funciones, la variable independiente está representada en el eje 
x y la variable dependiente está representada en el eje y. 
 
Ejemplos: En cada gráfica determina el dominio y rango de la función 
a) 
 
 
 
 
 
 
Si la gráfica no tiene un punto en los 
extremos significaque la curva no tiene 
límite, es decir, continúa de manera infinita 
hacia abajo y hacia arriba. 
+∞ 1 -3 −∞ 
+∞ 1 -3 −∞ 
0 3 +∞ −∞ 
0 3 +∞ −∞ 
-4 4 +∞ −∞ 
 
13 
 
Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se debe de 
proyectar desde la recta hacia el eje x ( ver la figura de abajo) se observa que en todo momento existen 
valores de 𝑥 ( ya que la proyección abarca todo el eje x, por lo que 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) esto indica que el 
conjunto de valores que toma 𝑥 son todos los números reales y también se puede expresar como 𝐷𝑓 =
{𝑥 ∈ ℝ} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OJO: En cálculo diferencial el signo "∞" es infinito. Si se tiene −∞ indica que el conjunto de 
números no tiene inicio viniendo desde los números negativos y si se tiene el signo +∞ , 
entonces indica que no tiene fin, avanzando hacia los números positivos. 
 
Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectar 
desde la recta hacia el eje y ( ver la figura de abajo) se observa que en todo momento existen valores de 
𝑦 ya que la proyección abarca todo el eje y, por lo que 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) esto indica que el conjunto de 
valores que toma 𝑦 son todos los números reales y también se puede expresar como 𝑅𝑓 = {𝑦 ∈ ℝ} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se debe de 
proyectar desde la recta hacia el eje x ( ver la figura de abajo) se observa que solo a partir del número 1 
existen valores de 𝑥, por lo que 𝐷𝑓 = [1, +∞) esto indica que el conjunto de valores que toma 𝑥 no son 
todos los números reales y también se puede expresar como 𝐷𝑓 = {𝑥 ≥ 1} 
Si nos desplazamos desde la izquierda 
del eje x vamos a tener valores de 𝑥 
desde −∞ hasta +∞ 
Si nos desplazamos desde abajo del 
eje y vamos a tener valores de 𝑦 desde 
−∞ hasta +∞ 
−∞ +∞ 
+∞ 
−∞ 
 
 
14 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectar 
desde la recta hacia el eje y ( ver la figura de abajo) se observa que solo a partir del número 2 existen 
valores de 𝑦, por lo que 𝑅𝑓 = [2, +∞) esto indica que el conjunto de valores que toma 𝑦 también se 
puede expresar como 𝑅𝑓 = {𝑦 ≥ 2} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se puede observar 
que la gráfica inicia a partir de 𝑥 = −4 y termina en 𝑥 = 4 ( ver la figura de abajo) , por lo que 𝐷𝑓 = [−4, 4] 
esto indica que el conjunto de valores que toma 𝑥 incluyendo el -4 y el 4 ya que la gráfica presenta circulo 
relleno y también puede escribirse como 𝐷𝑓 = {−4 ≤ 𝑥 ≤ 4} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectar 
hacia el eje y ( ver la figura de abajo) se observa que 𝑦 solo toma valores de 0 a 4, por lo que 𝑅𝑓 = [0, 4] 
esto indica que el conjunto de valores que toma 𝑦 también se puede expresar como 𝑅𝑓 = {0 ≤ 𝑦 ≤ 4} 
 
Si nos desplazamos desde la izquierda podemos 
observar que la gráfica inicia cuando 𝑥 toma el valor 
de 1, como en el extremo se tiene un círculo relleno 
indica que se toma en cuenta el valor de 1 y se debe 
de escribir corchete [ al inicio y como la recta 
sigue desplazándose a la derecha se escribe +∞ 
Si nos desplazamos desde abajo podemos observar 
que la gráfica inicia cuando 𝑦 toma el valor de 2, 
como en el extremo se tiene un círculo relleno indica 
que se toma en cuenta el valor de 2 y se debe de 
escribir corchete [ al inicio y continúa creciendo 
hasta el infinito 
Si nos desplazamos desde la izquierda podemos 
observar que la gráfica inicia cuando 𝑥 toma el valor de 
−4, como en el extremo se tiene un círculo relleno 
indica que se toma en cuenta el valor de −4 y se debe 
de escribir corchete [ al inicio y el último valor que 
toma la 𝑥 es 4, como también se tiene un círculo 
relleno se escribe también corchete ] 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al desplazarme por el eje x de izquierda a derecha para obtener el dominio de la función se debe proyectar 
desde la curva hacia el eje x, se puede observar que la gráfica inicia a partir de 𝑥 = −4 y no tiene fin ya 
que se sigue moviendo a la derecha (ver la figura de abajo), por lo que 𝐷𝑓 = (−4, +∞) esto indica que el 
conjunto de valores que toma 𝑥 no incluye al −4, así se puede expresar como 𝐷𝑓 = {𝑦 > −4} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al desplazarme por el eje y de abajo hacia arriba para obtener el rango de la función se debe de proyectar 
hacia el eje y (ver la figura de abajo) se observa que 𝑦 inicia desde −∞ y el mayor valor que toma de 𝑦 es 
0 por lo que 𝑅𝑓 = (−∞, 0) también se puede expresar como 𝑅𝑓 = {𝑦 < 0} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Si nos desplazamos desde abajo podemos observar 
que la gráfica inicia cuando 𝑦 toma el valor de 0, y el 
máximo valor de 𝑦, lo toma cuando 𝑦 = 4 para 
ambos casos se incluyen los extremos por lo tanto 
lleva corchetes. 
Si nos desplazamos desde la izquierda 
podemos observar que la gráfica se 
proyecta sobre el eje x iniciando cuando 
𝑥 toma el valor de −4, cómo se tiene un 
círculo sin rellenar indica que NO se toma 
en cuenta el valor de −4 y se debe de 
escribir paréntesis ( al inicio, pero 
como se mueve indefinidamente a la 
derecha lleva +∞ al final del intervalo. 
Si nos desplazamos desde abajo podemos 
observar que la gráfica se proyecta sobre 
el eje y desde −∞ 𝑦 hasta 𝑦 = 0 SIN 
incluir el cero, porque tiene circulo sin 
rellenar por lo que este número debe 
llevar paréntesis. 
 
16 
 
OJO: Si en una gráfica no viene marcado el inicio con un círculo, entonces se debe tomar como 
circulo relleno por lo que se debe incluir el número donde inicia la gráfica. 
 
 
Manos a la obra 
Determina el Dominio y rango de las siguientes gráficas 
1. 
 
 
 
 
2. 
 
 
 
 
3. 
 
 
 
 
4. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
Respuestas 
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1UknTnZNCjtIVpKvx6ZSBCUpRRTioeRNN/view?usp=sharing
 
17 
 
6. . 
 
 
 
 
 
Para saber mas 
 
 
 
 
 
CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES 
Las funciones se clasifican por sus gráficas, por las operaciones para obtener sus 
valores y por la asociación entre dominio y rango. 
 
De acuerdo con sus gráfica se clasifican en: continuas y discontinuas. 
De acuerdo con la asociación entre el dominio y rango se clasifican en: inyectivas (uno 
a uno), biyectivas y suprayectivas. 
De acuerdo con las operaciones para obtener sus valores las funciones se clasifican en: 
funciones algebraicas y funciones trascendentes. 
 
La clasificación que se estudiará en este libro será la de las operaciones para obtener 
sus valores. 
 
Una función algebraica de una variable independiente (generalmente 𝑥) es aquella 
cuya dependencia es expresada por medio de los operadores de la suma, resta, 
multiplicación, división, potencia o raíz. Tales como los que se presentan a continuación. 
𝑦 = 2𝑥 + 8; 𝑦 = 𝑥2 − 7𝑥 + 6; 𝑦 = 𝑥5 − 6𝑥3 + 9𝑥 − 1;𝑦 =
𝑥 + 8
5 − 2𝑥
; 𝑦 = √𝑥 − 1 
Las funciones trascendentes no pueden unir sus elementos con los operadores 
algebraicos, por lo que solamente se unen, y no se pueden separar la instrucción del 
argumento. Algunas funciones trascendentes son: 
𝑦 = 𝐴𝑟𝑐 𝑇𝑎𝑛 (6𝑥); 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 (𝑥); 𝑦 = 𝐼𝑛 (4𝑥); 
𝑦 = log (5𝑥); 𝑦 = (133)3𝑥; 𝑦 = 𝑒𝑥 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
https://youtu.be/N718UC5RluE
 
18 
 
Sin embargo, también se pueden clasificar específicamente, como lo vez continuación. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Funciones algebraicas 
Las funciones algebraicas se clasifican en tres grandes grupos: las funciones 
polinomiales, las funciones racionales y las funciones irracionales. 
 
Funciones polinomiales 
Las funciones polinomiales son expresadas por un polinomio 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥² + 𝑎3𝑥³ +··· + 𝑎𝑛𝑥𝑛 
 
De esta manera tenemos varios tipos de funciones polinomiales de acuerdo con el grado 
de su variable independiente (𝑥). Cada tipo de función tiene dominio, rango y gráfica que 
las caracteriza. 
Para cualquier función polinómica el dominio siempre será todos los números reales. 
 
 
Función constante (grado 0) 
𝑓(𝑥) = 𝑐 
Para toda función constante la gráfica será una recta horizontal; el dominio serán todos 
los números reales y el rango solo será un solo número, que es el valor de c. 
Ejemplos: 
Las funciones 
Trascendentes 
Algebraicas 
Trigonométrica 
Exponencial 
Logarítmica 
 
Polinomiales 
Racionales 
Irracionales 
 
19 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2 b) 𝑓(𝑥) = −5 
 
 
 
 
 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {2} 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {−5} 
 
 
c) 𝑓(𝑥) =
1
2
 d) 𝑓(𝑥) = √12 
 
 
 
 
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {
1
2
} 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {√12} 
 
Ejemplos: 
Traza la gráfica de las siguientes funciones constantes 
Para trazar una función constante solo es necesario ubicar dos puntos en el plano cartesiano, 
así que se toman dos valores cualesquiera de 𝑥. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 6 
 
 
 
 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {6} 
 
b) 𝑓(𝑥) = −
3
2
 
 
 
 
 
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = {−
3
2
} 
 
𝑥 𝑓(𝑥) 
−2 6 
3 6 
𝑥 𝑓(𝑥) 
−4 −
3
2
 
4 −
3
2
 
 
20 
 
OJO: El rango de la función de cualquier función constante siempre será la constante y se 
expresa entre llaves. 
 
Para practicar 
Un caso de aplicación de las funciones constantes es cuando un móvil (persona, 
bicicleta, automóvil, escaleras eléctricas) se mueve a velocidad constante durante un 
cierto tiempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con base a la gráfica de la simulación responde lo siguiente 
a) ¿Cuál es la variable dependiente? 
b) ¿Cuál es la variable independiente? 
c) ¿Qué tipo de función se obtiene en cada situación? 
 
 
Función lineal (grado 1) 
𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 + 𝑐 
Para toda función lineal, el coeficiente de 𝑥 “b” será la pendiente de la recta y la “c” es la 
ordenada al origen. La gráfica será una recta oblicua, el dominio y el rango serán todos los 
números reales. 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 4 
 
 
 
 
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
c) 𝑓(𝑥) = 4 − 2𝑥 d) 𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥 
 
 
 
 
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
Da click en la imagen de la izquierda y 
cambia los valores de la velocidad para que 
observes cómo se comporta la gráfica. 
https://www.educaplus.org/game/mru-grafica-v-t
 
21 
 
Ejemplos: 
Traza la gráfica de las siguientes funciones lineales y determina el dominio y rango de la función. 
 
Para trazar la gráfica de cualquier función lineal solo es necesario usar tres puntos. 
Como el dominio son todos los números reales, preferentemente se toman tres valores de x para 
calcular los valores de 𝑦 por lo que se toma un valor negativo, el cero y un valor positivo. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 3 
 
Se toman 3 valores de 𝑥 y se sustituye en la función. 
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto 
−2 𝑦 = 2(−2) − 3 = −4 − 3 = −7 𝐴(−2, 0) 
0 𝑦 = 2(0) − 3 = 0 − 3 = −3 𝐵(0, −3) 
3 𝑦 = 2(3) − 3 = 6 − 3 = 3 𝐶 (3, 3) 
 
La recta toma valores infinitos para 𝑥 y para 𝑦 por lo que 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = 4 − 𝑥 
 
Se toman 3 valores de 𝑥 y se sustituye en la función. 
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto 
−1 𝑦 = 4 − (−1) = 4 + 1 = 5 𝐴(−1, 5) 
0 𝑦 = 4 − (0) = 4 − 0 = 4 𝐵(0, 4) 
4 𝑦 = 4 − (4) = 4 − 4 = 0 𝐶 (4, 0) 
La recta toma valores infinitos para 𝑥 y para 𝑦 por lo que 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
Para practicar 
En varias áreas se usan las funciones lineales, la proporcionalidad directa se representa 
gráficamente por una recta en donde el factor de proporcionalidad es la pendiente de la 
recta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Función cuadrática (grado 2) 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
Con base a la gráfica de la simulación responde lo siguiente: 
a) ¿Cómo es la recta cuando la pendiente es positiva? 
b) ¿Qué signo tiene la pendiente si la recta decrece? 
c) ¿Qué valor toma la pendiente cuando la recta es 
horizontal? 
https://www.educaplus.org/game/ecuacion-de-la-recta-pendiente-y-punto-de-corte
 
22 
 
Para toda función cuadrática la gráfica será una parábola vertical, el dominio serán todos los 
números reales, pero el rango estará limitado por el valor de 𝑦 del vértice de la parábola. 
Si 𝑎 > 0 la parábola abre hacia arriba 
Si 𝑎 < 0 la parábola abre hacia abajo. 
Usando la siguiente fórmula se puede calcular el valor 𝑦 del vértice de cualquier función 
cuadrática. De esta manera es posible conocer el máximo o mínimo valor del intervalo del rango. 
 𝑦 = −
𝑏2−4𝑎𝑐
4𝑎
 (1) 
Para poder trazar una gráfica cuadrática es de mucha ayuda conocer el vértice. Si hay necesidad 
de conocer el valor de 𝑥 del vértice de la parábola, se puede calcular usando la siguiente fórmula. 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
 (2) 
Aquí se muestran algunas parábolas indicando sus vértices 
 
 
 
 
 
Ejemplos: Dadas las gráficas de la función. Calcula el dominio y el rango para las siguientes 
funciones cuadráticas. 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 
 
 
 
 
 
 
 
 
Donde a es el coeficiente de 𝑥2 
Para obtener el rango de la función, primero se obtiene el valor mínimo de 𝑦, sustituyendo los 
coeficientes en la fórmula (1). Así 𝑎 = 1, 𝑏 = 0 y 𝑐 = 0, ya que no existen los términos 𝑏𝑥 y 𝑐. 
Sustituyendo en la fórmula (1) 
𝑦 = −
02 − 4(1)(0)
4(1)
=
0 − 0
4
 
𝑦 = 0 
Por lo que 𝑅𝑓 = [0, +∞) y 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
 
 
 
 
23 
 
b) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 − 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 6𝑥 + 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 − 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtener el rango de la función, primero se obtiene 
el valor mínimo de 𝑦, sustituyendo los coeficientes en 
la fórmula (1). Así 𝑎 = 3, 𝑏 = 0 y 𝑐 = −4, ya que no 
existen el término 𝑏𝑥 
Sustituyendo en la fórmula (1) 
𝑦 = −
02 − 4(3)(−4)
4(3)
=
−48
12
 
𝑦 = −4 
Por lo que 𝑅𝑓 = [−4, +∞) 
 
 Para obtener el rango de la función, primero se obtiene 
el valor mínimo de 𝑦, sustituyendo los coeficientes en 
la fórmula (1). Así 𝑎 = 1, 𝑏 = −6 y 𝑐 = 5. 
Sustituyendo en la fórmula (1) 
𝑦 = −
(−6)2 − 4(1)(5)
4(1)
= −
16
4
 
𝑦 = −4 
Por lo que 𝑅𝑓 = [−4, +∞) y 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 
 
Para obtener el rango de la función, primero se obtiene 
el valor máximo de 𝑦, sustituyendo los coeficientes en 
la fórmula (1). Así 𝑎 = −3, 𝑏 = 6 y 𝑐 = 0. 
Sustituyendo en la fórmula (1) 
𝑦 = −
(6)2 − 4(−3)(0)
4(−3)
= −
36
−12
 
𝑦 = 3 
Por lo que 𝑅𝑓 = (−∞, 3] y 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 
 
Para obtener el rango de la función, primero se obtiene 
el valor máximo de 𝑦, sustituyendo los coeficientes en 
la fórmula (1). Así 𝑎 = −1, 𝑏 = 2 y 𝑐 = −1. 
Sustituyendo en la fórmula (1) 
𝑦 = −
(2)2 − 4(−1)(−1)
4(−1)
= −
0
−4
 
𝑦 = 0 
Por lo que 𝑅𝑓 = (−∞, 0] y 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
24 
 
Ejemplos: 
Traza las gráficasde las siguientes funciones cuadráticas y determina el dominio y rango 
Para trazar la gráfica de cualquier función cuadrática lo más recomendable es localizar el vértice 
y posteriormente tomar un valor de 𝑥 antes y después del valor del 𝑥 del vértice para tener dos 
puntos más y ya con estos datos es posible trazar la gráfica. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 
 
Se obtiene el valor de 𝑥 del vértice sustituyendo 𝑎 = 1 y 𝑏 = −2 en 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
 
 
𝑥 = −
−2
2(1)
 
𝑥 = 1 
Calculando el valor de 𝑦 del vértice 
𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 + 3 
 
𝑓(1) = (1)2 − 2(1) + 3 = 1 − 2 + 3 = 2 
 Así el vértice está dado por: 𝑉(1, 2) 
 
Se toma un valor anterior a 𝑥 = 1, por ejemplo, el 0 y un valor posterior a 𝑥 = 1, por ejemplo, 
el 2 
 
 
 
 
Como se observa en la gráfica, con los tres puntos es posible trazar la parábola. 
 Determinando el Dominio y Rango de la función 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = [2, +∞) 
 
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 
 
Se obtiene el valor de 𝑥 del vértice sustituyendo 𝑎 = −1 y 𝑏 = 4 en 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑥 = −
4
2(−1)
 
𝑥 = 2 
Calculando el valor de 𝑦 del vértice 
𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 4𝑥 
𝑓(2) = −(2)2 + 4(2) = −4 + 8 = 4 
Así el vértice está dado por: 𝑉(2, 4) 
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto 
0 𝑦 = (0)
2 − 2(0) + 3 = 3 𝐵 (0, 3) 
1 𝑉(1,2) 
2 𝑦 = (2)
2 − 2(2) + 3 = 3 𝐶 (3, 3) 
 
25 
 
Se toma un valor anterior a 𝑥 = 2, por ejemplo, el 0 y un valor posterior a 𝑥 = 2 por ejemplo el 
4. 
 
 
 
Determinando el Dominio y Rango de la función 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, 4] 
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 6 
Se obtiene el valor de 𝑥 del vértice sustituyendo 𝑎 = 2 y 𝑏 = 0 en 
𝑥 = −
𝑏
2𝑎
 
𝑥 = −
0
2(2)
 
𝑥 = 0 
Calculando el valor de 𝑦 del vértice 
𝑓(𝑥) = 2𝑥2 + 6 
 
𝑓(0) = (0)2 + 6 = 6 
Así el vértice está dado por: 𝑉(0, 6) 
Se toma un valor anterior a 𝑥 = 0, por ejemplo, el −1 y un valor posterior a 𝑥 = 0 por ejemplo 
el 2. 
 
 
 
 
Determinando el Dominio y Rango de la función 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = [6, +∞) 
 
Para practicar 
 
Da clic sobre la imagen y abre el simulador 
 
 
 
 
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto 
0 𝑦 = −(0)
2 + 4(0) = 0 𝐵 (0, 0) 
2 𝑉(2,4) 
4 𝑦 = −(4)
2 + 4(4) = 0 𝐶 (4, 0) 
𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) Punto 
−1 𝑦 = 2(−1)
2 + 6 = 2 + 6 = 8 𝐵 (−1, 8) 
0 𝑉(0, 6) 
2 𝑦 = 2(2)
2 + 6 = 8 + 6 = 14 𝐶 (2, 14) 
Abre el simulador en la FORMA ESTANDAR y escribe las 
siguientes funciones cuadráticas, localizando las coordenadas 
del vértice, las coordenadas de dos puntos cualquiera e indica si 
la parábola abre hacia arriba o hacia abajo. 
a) 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 
b) 𝑦 = 3 − 4𝑥2 
c) 𝑦 = 4𝑥 − 2 − 𝑥2 
d) 𝑦 = 32 
 
 
Da clic sobre cada 
inciso para ver la 
respuesta 
https://phet.colorado.edu/sims/html/graphing-quadratics/latest/graphing-quadratics_es.html
https://drive.google.com/file/d/1W-fF0iiJfQUDHgB4O95YYVu2-Duk-1b0/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/15V7JcyBzkycbd9XBa-jw1kBe7_tI30hd/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1g_KEwVTt_7oruZt8lSQELEsMLg7EIAH9/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1ZqXPeP3jU82AOQ7tLXpGhOEF4fQCw6Sc/view?usp=sharing
 
26 
 
Función cúbica (grado 3) 
𝑓(𝑥) = 𝑎3𝑥
3 + 𝑎2𝑥
2 + 𝑎1𝑥 + 𝑎0 
Para toda función cúbica el dominio y contradominio serán todos los números reales 
Ejemplos: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 
 
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 − 1 
 
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 3𝑥2 + 4 
 
 
 
𝐷𝑓=(−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
Graficando funciones cubicas con Geogebra 
 
 
 
 
 
Para graficar una función cúbica de la forma 𝑥3 ± 𝑎 se siguen los siguientes pasos. 
1) Se observa el signo de 𝑥3, si es positivo la gráfica se desplaza de abajo hacia arriba 
(crece), si el signo es negativo se desplaza de arriba hacia abajo (decrece) 
https://youtu.be/akncWXwv4IU
 
27 
 
2) Se ubica un punto de intersección sobre el eje y en el punto a se traza la grafica 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 1 
 
 
 
 
 
 
 
Como 𝑥3 es positiva la función es creciente 
OJO: Se puede observar que la gráfica se desplaza verticalmente hacia arriba si “a” es positiva 
y hacia abajo si “a” es negativa. 
 
𝑓(𝑥) = −𝑥3 + 2 𝑓(𝑥) = −𝑥3 − 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 𝑥3 es negativa la función es decreciente 
 
 
Para graficar una función cúbica de la forma (𝑥 ± 𝑎)3 se toma en consideración lo siguiente. 
Este tipo de funciones cúbicas tienen un desplazamiento horizontal 
Si a es positivo se desplaza a la izquierda 
Si a es negativo se desplaza a la derecha 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 2)3 
 
 
 
 
 
Se desplazó la gráfica sobre 𝑦 = 1 Se desplazó la gráfica sobre 𝑦 = −1 
Se desplazó la gráfica sobre 𝑦 = 2 Se desplazó la gráfica sobre 𝑦 = −1 
 
28 
 
𝑓(𝑥) = (𝑥 + 2)3 𝑓(𝑥) = −(𝑥 − 2)3 
 
 
 
 
 
 
 
Como se puede observar estas funciones cubicas tienen la misma forma solo se están moviendo 
horizontal o verticalmente. Por lo que se puede graficar sin necesidad de realizar la tabla. 
Trazar la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 5 
Para este caso sería necesario realizar una tabla con algunos valores de x para obtener los 
valores de y para poder realizar la gráfica. 
 
 
 
 
 
 
Para practicar 
 
Grafica las siguientes funciones cúbicas 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 4 
b) 𝑓(𝑥) = 2𝑥3 + 6 
c) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥3 
d) 𝑓(𝑥) = 4 − 3𝑥3 
e) 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 1)3 
f) 𝑓(𝑥) = (𝑥 + 3)3 
g) 𝑓(𝑥) = −(3𝑥 + 3)3 
h) 𝑓(𝑥) = −(4 − 𝑥)3 
 
Para saber más 
Realizar la gráfica de una función cúbica o de grado mayor puede traer ciertas 
complicaciones, por lo que una buena opción en la medida de lo posible es usar alguna 
graficadora en línea o de descarga. 
𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 5 
-2 1 
-1 6 
0 5 
1 4 
2 9 
3 26 
 
29 
 
Existen una variedad de aplicaciones para todos los sistemas operativos tanto para 
Windows, Android e iOS, algunos gratuitos y otros de paga. 
 
Una de las aplicaciones que te recomiendo por ser gratuita, multiplataforma, puede 
usarse en línea o se puede descargar a tu dispositivo de escritorio o móvil, además de 
tener el respaldo de una amplia comunidad de usuarios es GEOGEBRA. 
 
 
 
 
 
 
 
 Manual de GEOGEBRA Aplicaciones de GEOGEBRA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Video tutorial completo Video tutorial corto Tutorial oficial GEOGEBRA 
 ( a partir del min 12) 
 
 
Manos a la obra 
I. Dada la gráfica indica si la función polinomial es: constante, lineal, cuadrática o 
cúbica. 
 
 
a) b) c) 
 
 
 
 
 
 
d) e) f) 
 
 
https://wiki.geogebra.org/es/Manual
https://www.geogebra.org/download
https://www.geogebra.org/m/u3sxv87w
https://www.youtube.com/watch?v=A4lb-FzctlI
https://www.youtube.com/watch?v=Jaf5aLfKvOY
 
30 
 
II. Relaciona la función y su gráfica correspondiente, escribiendo dentro del paréntesis 
el número de la gráfica que corresponda. 
 
 
GRÁFICA FUNCIÓN 
1) 
 
 
 
 
 
( ) 𝑓(𝑥) = −3 
2) 
 
 
 
 
 
 
( ) 𝑓(𝑥) = 6𝑥2 + 4𝑥 + 2 
3) 
 
 
 
 
 
( ) 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 2 
4) 
 
 
 
 
 
( ) 𝑓(𝑥) = 2 − 3𝑥2 
 
31 
 
5) 
 
 
 
 
 
( ) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
6) 
 
 
 
 
 
( ) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 − 1 
 
III. Calcula el dominio y rango de las siguientes funciones 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 1 
b) 𝑓(𝑥) = 2 − 𝑥 
c) 𝑓(𝑥) = 6 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 2 
e) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 𝑥2 
f) 𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 1 
g) 𝑓(𝑥) = (2𝑥 + 1)3 
h) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥3 
i) 𝑓(𝑥) = √5 
j) 𝑓(𝑥) = 4𝑥2 
 
IV. Calcula el dominio y rango de las gráficas de las siguientes funciones 
polinomiales 
 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
 
32 
 
2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
5)𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
6) 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
 
V. Usando Geogebra o cualquier otra aplicación para graficar, traza las siguientes 
funciones y determina el Dominio y el Rango. 
 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥 − 10 
 
33 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 7𝑥 − 1 
c) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 𝑥3 
d) 𝑓(𝑥) = −2.5 
e) 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 − 8 
 
Funciones racionales 
Una función 𝑓 es una función racional si: 
𝑓(𝑥) =
𝑔(𝑥)
ℎ(𝑥)
 
Donde 𝑔(𝑥) y ℎ(𝑥) son polinomios. El dominio de 𝑓 está formado por todos los números reales, 
excepto los ceros del denominador ℎ(𝑥). 
Ejemplos de funciones racionales 
a) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥−3
 b) 𝑓(𝑥) =
𝑥−1
𝑥+2
 c) 𝑓(𝑥) =
𝑥2
2𝑥−1
 
 
 
 
 
 
Dominio de una función racional 
a) 𝑓(𝑥) =
1
𝑥−2
 
Como 𝑥 − 2 ≠ 0 
𝑥 ≠ 2 
por lo que el 𝐷𝑓 será todos los números excepto 𝑥 = 2 
Así: 𝐷𝑓(∞, 2) ∪ (2, +∞) 
 
b) 𝑓(𝑥) =
5𝑥
𝑥2−9
 
Como 𝑥2 − 9 ≠ 0 
Despejando 𝑥 
𝑥2 ≠ 9 
√𝑥2 ≠ ±√9 
𝑥 ≠ ±3 
Respuestas 
 
34 
 
Por lo que el dominio de la función sea todos los valores excepto 𝑥 = −3 y 𝑥 = 3 
Así: 𝐷𝑓 = (−∞, −3) ∪ (−3, 3) ∪ (3, +∞) 
 
c) 𝑓(𝑥) =
3𝑥+4
2𝑥−5
; 
Como 2𝑥 − 5 ≠ 0 
Despejando 𝑥 
𝑥 ≠
5
2
 
Por lo que el dominio no puede tomar el valor de 𝑥 =
5
2
 
Así: 𝐷𝑓(−∞,
5
2
) ∪ (
5
2
, +∞) 
 
Rango de una función racional 
Para obtener el rango de una función no existe un procedimiento único, una de las formas 
es encontrar sus asíntotas horizontales apoyado con la gráfica de la función. 
Traza la gráfica y determina el rango aproximado de las siguientes funciones. 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) 
 
b) 𝑓(𝑥) =
2𝑥
𝑥+3
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑓 = (−∞, 2) ∪ (2, +∞) 
 
 
 
35 
 
c) 𝑓(𝑥) =
4𝑥2
2𝑥+3
 
 
 
 
 
 
 
𝑅𝑓 = (−∞, −11) ∪ (−11,0) ∪ (0, +∞) 
 
Manos a la obra 
Para cada función racional traza la gráfica usando Geogebra y determina el Dominio y 
el Rango. 
a) 𝑓(𝑥) =
4
𝑥+2
 
b) 𝑓(𝑥) =
𝑥
𝑥−3
 
c) 𝑓(𝑥) =
𝑥2−1
2𝑥−1
 
d) 𝑓(𝑥) =
3−𝑥3
3𝑥2+2
 
e) 𝑓(𝑥) =
4𝑥
2𝑥2−6
 
f) 𝑓(𝑥) =
2𝑥−1
𝑥−4
 
 
Funciones irracionales 
Una función irracional es una función en cuya expresión la variable independiente 𝑥 aparece 
debajo del símbolo de raíz. 
𝑓(𝑥) = √𝑔(𝑥)
𝑛
 donde 𝑔(𝑥) es una función racional 
 
Para obtener la gráfica de una función irracional es necesario primero obtener el dominio 
de la función para que de esta manera se pueda tomar los valores de x para obtener los 
valores de y. 
 
 
 
36 
 
Ejemplos de funciones irracionales 
a) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 3 b) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 1
3
 c) √𝑥2 − 1
4
 
 
 
 
 
 
 
Dominio de una función irracional 
Si "n" es par, el dominio está definido para 𝑔(𝑥) ≥ 0 
Si "n" es impar, el dominio es R (todos los números reales). 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 
 
Ejemplos: 
Para raíces pares 
a) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 5 b) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4
6
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 4 entonces 
𝑥2 − 4 ≥ 0 
Resolviendo la desigualdad se obtiene 
𝑥 ≤ −2 y 𝑥 ≥ 2 
El Dominio de la función será: 
𝐷𝑓 = (−∞, −2] ∪ [2, +∞) 
Como 𝑔(𝑥) = 2𝑥 − 5 entonces 
2𝑥 + 5 ≥ 0 
Resolviendo la desigualdad se obtiene 
𝑥 ≥ −
5
2
 
El Dominio de la función será: 
𝐷𝑓 = [−
5
2
, +∞) 
 
37 
 
Para raíces impares 
 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 1
3
 d) 𝑓(𝑥) = √3𝑥 + 2
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rango de una función irracional 
Determinar el rango de una función irracional no obedece a una regla específica, por lo 
que se sugiere que se realice la gráfica de manera manual o con un software de 
graficación para que de manera visual se obtenga el rango de la función. 
a) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 5 
 
Si la raíz es cuadrada, entonces el Rango de la función será siempre 𝑅𝑓 = 
[0, +∞) sin importar cual sea el valor de 𝑔(𝑥) 
 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 4
6
 
 
Si la raíz es par con 𝑛 > 2, entonces el Rango de la función no se puede 
determinar ya que cambia dependiendo del valor de 𝑔(𝑥), por lo que se pide 
realizar la gráfica para hallar el rango. 
 
Para el inciso b) el rango será 𝑅𝑓 = [0, +∞) 
 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 1
3
 
Si la raíz es impar, entonces el Rango de la función no se puede determinar ya 
que cambia dependiendo del valor de 𝑔(𝑥), por lo que se pide realizar la gráfica 
para hallar el rango 
Para el inciso c) el rango será 𝑅𝑓 = [−1, +∞) 
 
Para el inciso d) el rango será 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
Como se tiene una raíz impar ya que 
n =5. 
 El Dominio siempre será todos los 
números reales. 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 
Como se tiene una raíz impar ya que 
n =3. 
 El Dominio siempre será todos los 
números reales. 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 
 
38 
 
Manos a la obra 
 
Grafica las siguientes funciones irracionales y determina con base a la gráfica el 
dominio y rango. 
 
a) 𝑓(𝑥) = √2𝑥 + 8 
b) 𝑓(𝑥) = √𝑥2 − 9 
c) 𝑓(𝑥) = √𝑥 + 4
3
 
d) 𝑓(𝑥) = √3𝑥
4
 
e) 𝑓(𝑥) = √2 − 8𝑥
5
 
f) 𝑓(𝑥) = √2𝑥3 + 2
8
 
g) 𝑓(𝑥) = √𝑥3 − 4
3
 
 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
 
 
 
 
 
FUNCIONES TRASCENDENTES 
Las funciones que no son algebraicas se llaman funciones trascendentes son 
funciones que tienen la variable independiente como exponente, o como índice de la 
raíz, además de los logaritmos y las razones trigonométricas. 
Algunas funciones trascendentes son: 
 𝑦 = 𝐴𝑟𝑐 𝑇𝑎𝑛 (3𝑥); 𝑦 = 2𝑆𝑒𝑛 (𝑥); 𝑦 = 𝑙𝑛 (𝑥); 𝑦 = log (5𝑥); 𝑦 = (8)3𝑥; 𝑦 = 𝑒𝑥 
Todas las funciones trascendentes son fáciles de identificar porque se componen de 
dos partes, la instrucción es lo que define inmediatamente el tipo de que se trata, tal es 
el caso de las trigonométricas directas que son: 𝒔𝑒𝑛𝑜, 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜, 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒,
 polinomiales 1 polinomiales 2 racionales 
 
 Irracionales Dominio y Rango algebraicas 
https://forms.gle/urSxL6xL8grcaan48
https://forms.gle/s3xzQFGmAMHe9pjb8
https://forms.gle/VTdg8rEokWDV7mnv9
https://forms.gle/t7L6v5tj7uzK7aP3A
https://forms.gle/7hJdZ4PkxKzjfaXs8
 
39 
 
𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒; y las trigonométricas inversas como: 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛𝑜, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑛𝑜,
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑜 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒. 
Además, están las funciones logarítmicas como: 
𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 (ln ) 𝑦 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚𝑜 (log ) . 
 
Funciones exponenciales 
Una función exponencial es aquella en que la variable independiente 𝑥 aparece en el 
exponente y tiene de base una constante 𝑎. Su expresión es: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
Siendo 𝑎 un real positivo, 𝑎 > 0, y diferente de 1, 𝑎 ≠ 1. 
Cuando 0 < 𝑎 < 1, entonces la función exponencial es una función decreciente y 
cuando 𝑎 > 1, es una función creciente. 
 
 
 
 
 
Características 
• Dominio: 𝑹 
El dominio son todos los números reales. Se expresa 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 
• Rango: 𝑹+ 
El rango son todos los números reales positivos. Se expresa 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
La función exponencial puede considerarse como la inversa de la función logarítmica. 
 
 
 
 
 
Ejemplos 
𝑓(𝑥) = 2𝑥 
𝑥 -10 -3 -2 -1 0 1 2 3 10 
𝑦 = 2𝑥 
1
1024
 
1
8
 
1
4
 
1
2
 1 2 4 8 1024 
 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
𝑦 
𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 
𝑦 
𝑥 
 
40 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) 𝑓(𝑥) = 2−𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞) 
 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = (
1
2
)
𝑥
 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞) 
 
 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = (
1
4
)
−𝑥
 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞) 
 
 
 
 
d) 𝑓(𝑥) = 52𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞) 
 
 
 
 
𝑦 
𝑥 
൬−1,
1
2
൰ 
(0,1 ) 
(1,2) 
(2,4) 
(3,8 ) 
 
41 
 
Función exponencial de base e 
Al igual que, el número 𝑒 es irracional donde 𝑒 = 2.71828. .. La notación 𝑒 para este 
número fue dada por Leonhard Euler (1727). 
 
Para un número real 𝑥, la función exponencial base 𝑒 o también llamada función 
exponencial natural esta dada por: 
 
𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 
 
El dominio y rango de una función exponencial base 𝑒 está dado por 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 
y 𝑅𝑓 = (0, +∞) 
 
 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑒2𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞) 
 
 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞) 
 
 
 
 
c) 𝑓(𝑥) = 𝑒0.5𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = (0, +∞) 
 
 
 
 
 
 
 
42 
 
Funciones logarítmicas 
Decimos que logaritmo (base a) de un número positivo 𝑁 es 𝑥, lo cual expresamos, 
𝐥𝐨𝐠𝒂 𝑵 = 𝒙 , si se verifica: 𝒂
𝒙 = 𝑵 
En otras palabras, el logaritmo (base a) del número positivo N es el exponente al que 
hay que elevar la base 𝑎 para obtener ese número N 
Por ejemplo, decimos que el Logaritmo base 10 de 100 es 2, puesto que 10²=100. 
Se expresa como log
10
100 = 2 
Una función logarítmica está dada por 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔𝑏[𝑔(𝑥)] 
Donde b es la base del logaritmo y puede tomar enteros positivos 
 
Si 𝑔(𝑥) = 𝑎𝑥, entonces la función presenta una asíntota vertical en 𝑥 = 0 por lo que 
 𝐷𝑓(0, +∞) y 𝑅𝑓(−∞, +∞) 
Ejemplos: 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔53𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = (0, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
 
𝑏) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = (0, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔106𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = (0, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
 
43 
 
 
Si 𝑔(𝑥) es cualquier otra función distinta a 𝑎𝑥 el dominio ya no será 𝐷𝑓(0, +∞) 
 
Ejemplos: 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔2(2𝑥 − 1) 
 
 
𝐷𝑓 = (
1
2
, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔5𝑥
2 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) 
 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔3√𝑥 + 1 
 
 
𝐷𝑓 = (1, +∞) 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔10
𝑥 + 1
𝑥
 
 
 
𝐷𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) 
 𝑅𝑓 = (−∞, 0) ∪ (0, +∞) 
 
 
 
Función logaritmo natural 
El logaritmo natural, 𝑙𝑛(𝑥), es el inverso de la función exponencial e definido en 𝑥 sólo 
para números reales positivos. Es decir, cuando la base del logaritmo es el número 𝑒 
se le llama logaritmo natural. 
Así log𝑒 𝑢 se convierte en ln 𝑢 
 
Una función logaritmo natural está expresado como: 
𝑓(𝑥) = ln (𝑔(𝑥)) 
 
44 
 
 
La función del logaritmo natural tiene muchas aplicaciones, como modelar el crecimiento 
exponencial en poblaciones biológicas y en teoría financiera y calcular la decadencia 
radiactiva. En estadística y probabilidad el logaritmo natural tiene también diversas 
aplicaciones 
Ejemplos: 
Obtén el dominio y el rango de las siguientes funciones logarítmica natural 
𝑓(𝑥) = ln 3𝑥 
 
 
𝐷𝑓 = (0, +∞) 
 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
𝑓(𝑥) = ln √𝑥 
 
𝐷𝑓 = (0, +∞) 
 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
𝑓(𝑥) = ln
1
𝑥
 
 
 
𝐷𝑓 = (0, +∞) 
 𝑅𝑓 = (−∞, +∞) 
 
 
 
Manos a la obra 
Traza la gráfica y determina el dominio y el rango de las siguientes funciones logarítmicas 
1) 𝑓(𝑥) = log3 2𝑥 
2) 𝑓(𝑥) = log(3𝑥 − 1) 
3) 𝑓(𝑥) = ln 5𝑥 
4) 𝑓(𝑥) = log7(2𝑥 − 3) 
5) 𝑓(𝑥) = ln 𝑥2 
6) 𝑓(𝑥) = 3 ln √𝑥
3
 
 
45 
 
Funciones trigonométricas 
Una función trigonométrica es la relación de dos lados de un triángulo rectángulo, 
aunque existen 6 funciones trigonométricas son tres las más usadas seno, coseno y 
tangente ya que las otras tres cotangente, secante y cosecante son reciprocas. 
Características de las funciones trigonométricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 
𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = [−1, 1] 𝐷𝑓 = (−∞, +∞) 𝑅𝑓 = [−1, 1] 
𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡 𝑥 
𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐 𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑠𝑐 𝑥 
Dominio de la función 
𝑥 𝜖 ℝ excepto los valores de ±𝑛
𝜋
2
, 
donde 𝑛 = 1, 3, 5, …. 
Rango de la función 
𝑦 ∈ ℝ es decir 𝑅𝑓(−∞, +∞) 
Dominio de la función 
𝑥 𝜖 ℝ excepto los valores ±𝑛𝜋 
donde 𝑛 = 0, 1, 3, …. 
Rango de la función 
𝑦 ∈ ℝ es decir 𝑅𝑓(−∞, +∞) 
 
46 
 
 
 
 
 
 
 
Para saber más 
 
 
 
 
 
 
 
Manos a la obra 
I. Identifica a qué tipo de función trascedente pertenece las siguientes gráficas 
escribiendo el número correspondiente. 
1) Logarítmica 2) exponencial 3) seno 4) tangente 5) cosecante 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) 
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) 
 
( ) 
 
 
 
Dominio de la función 
𝑥 𝜖 ℝ excepto ±
𝜋𝑛
2
 donde 
𝑛 = 1, 3, 5, …. 
Rango de la función 
 𝑅𝑓(−∞, −1] ∪ [1, +∞) 
Dominio de la función 
𝑥 𝜖 ℝ excepto ±𝑛𝜋 donde 
𝑛 = 0, 1, 3, …. 
Rango de la función 
𝑅𝑓(−∞, −1] ∪ [1, +∞) 
Practica con el siguiente simulador y observa 
cómo se obtiene las funciones seno, coseno y 
tangente 
https://phet.colorado.edu/sims/html/trig-tour/latest/trig-tour_es.html
 
47 
 
II. Obtén el Dominio y el Rango de las siguientes funciones 
1) 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
2) 𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
4) 𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
5) 
 
 
 
 
 
 
 
𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
6) 𝐷𝑓 = 
𝑅𝑓 = 
 
 
Evaluando tus aprendizajes 
 
 
 
https://forms.gle/r3Nyvmao5CLD2qc7A
https://forms.gle/5Uth3hmqwbb7LaBS7
 
48 
 
II. COMPORTAMIENTO Y 
OPERACIONES CON 
FUNCIONES 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
49 
 
APRENDIZAJES ESPERADOS 
• Construye y analiza sucesiones numéricas y reconoce los patrones de 
crecimiento y de decrecimiento. 
• Analiza las regiones de crecimiento y decrecimiento de una función. 
• Encuentra en forma aproximada los máximos y mínimos de una 
función. 
• Opera algebraica y aritméticamente, representa y trata gráficamente 
a las funciones polinomiales básicas (lineales, cuadráticas y cúbicas). 
• Determina algebraica y visualmente las asíntotas de algunas funciones 
racionales básicas. 
 
Analiza la siguiente situación: 
Una maratonista empieza una rutina de entrenamiento para una competencia, por lo que 
iniciará corriendo 5000 m y cada día que pase correrá 200 m más, ¿Qué distancia recorrerá 
a los 5, 10, 20, 40 y 50 días? 
La situación anterior se puede representar matemáticamente mediante la siguiente expresión 
 Distancia Total = 5000 + 200 (número de días ) 
Si la convertimos a una función, en donde Distancia Total será 𝑓(𝑥) y 𝑥 será el número de días 
𝑓(𝑥) = 5000 + 200𝑥 
• Se evalúa la función resultante en los valores solicitados, que son 5, 10, 20, 30, 40 y 50. 
 
 
 
 
 
 
De esta manera es posible calcular la cantidad de días (𝑥) en el cual el maratonista logrará 
cubrir 50 Km es decir 50,000 m, por lo que solo necesita despejar la 𝑥 de la función. 
 Si 𝑓(𝑥) = 50,000 
 Como 𝑓(𝑥) = 5000 + 200𝑥 sustituyendo 
 50,000 = 5000 + 200𝑥 despejando 𝑥 
 𝑥 =
50000−5000
200
 = 225 𝑑í𝑎𝑠 necesitará para alcanzar los 50 Km 
La situación anterior es una sucesión, porque que existe un patrón constante de crecimiento 
𝑓(5) = 5000 + 200(5) = 5000 + 1000 = 6000 m 
 𝑓(10) = 5000 + 200(10) = 5000 + 2000 = 7000 m 
𝑓(20) = 5000 + 200(20) = 5000 + 4000 = 9000 m 
𝑓(40) = 5000 + 200(40) = 5000 + 8000 = 13000 m 
𝑓(50) = 5000 + 200(50) = 5000 + 10000 = 15000 m 
 
 
 
50 
 
SUCESIONES 
Una sucesión (o progresión) es un conjunto de números ordenados. Cada número 
ocupa una posición y recibe el nombre de término. 
𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … 𝑎𝑛 
Una sucesión es finita cuando tiene primer y último término. Una sucesión es infinita si 
tiene primer término, pero no tiene último término. 
El término que ocupa la posición 𝑛 se denota por 𝑎𝑛 y se denomina término general o 
término 𝑛 −ésimo. 
Las sucesiones se definen a menudo estableciendo una expresión matemática para 
calcular el n-ésimo término. 
 
Un ejemplo de sucesión es el conjunto de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ... 
Esta sucesión se expresa como 𝑎𝑛 = 2𝑛 donde 𝑛 = 1,2,3,4 … 
Se puedeconsiderar una sucesión 𝑎𝑛 como una función 𝑓(𝑛) en la que su dominio será 
el conjunto de los enteros positivos. 
Por lo que la expresión: 
 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … 𝑎𝑛 se puede reescribir como 𝑓(1), 𝑓(2), 𝑓(3), 𝑓(4), … 𝑓(𝑛) 
Así cualquier expresión algebraica que represente la regla de una sucesión puede ser 
reescrita como una función. 
De esta manera la sucesión anterior: 𝑎𝑛 = 2𝑛 se puede expresar como 𝑓(𝑛) = 2𝑛 o 
en función de 𝑥 como 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
Si tabulamos y graficamos la siguiente sucesión para los primeros cinco valores de n 
 
 
 
 
 
Se observa en la gráfica que es una función lineal donde el dominio de x serán todos los valores enteros 
positivos, tambien llamados números naturales así 𝐷𝑓 = {𝑥 ∈ ℕ} 
 
Sucesiones aritméticas 
Los términos de algunas sucesiones se pueden determinar siguiendo un criterio 
denominado regla de formación, que relaciona cada término con el lugar que ocupa. Las 
𝑥 𝑓(𝑥) = 2𝑥 
1 2(1) = 2 
2 2(2) = 4 
3 2(3) = 6 
4 2(4) = 8 
5 2(5) = 10 
 
51 
 
dos reglas básicas son: Sumar o restar por una misma cantidad y multiplicar o dividir por 
una misma cantidad. 
Aquellas sucesiones que se obtienen sumando o restando por una misma cantidad se 
llaman sucesiones aritméticas. 
Para la sucesión 𝑎1, 𝑎2, 𝑎3, 𝑎4, … 𝑎𝑛, … es una sucesión aritmética, si se toman dos términos 
consecutivos de cualquiera de esta y la diferencia entre ambos siempre es una constante, 
denominada diferencia. 
Esto se puede expresar como una relación de recurrencia de la siguiente manera: 
𝑎𝑘+1 = 𝑎𝑘 + 𝑑 
 
OJO: Todas las sucesiones aritméticas serán crecientes si 𝑑 > 0 o decrecientes si 𝑑 < 0 para 
todo valor de n. 
 
Ejemplos. 
Determina si las siguientes sucesiones son aritméticas y si es escribe el siguiente término 
a) 3, 7, 11, 15, 19 … 
La diferencia para caso es: 
7 − 3 = 4 11 − 7 = 4 15 − 11 = 4 19 − 15 = 4 
Por lo que 𝑑 = 4, esto indica que la sucesión es aritmética. 
 
Es decir, para obtener el siguiente término se le suma 4 al término anterior y es 23 
 
b) 20, 18, 16, 14, 12 … 
La diferencia para caso es: 
18 − 20 = −2 16 − 18 = −2 14 − 16 = −2 12 − 14 = −2 
Por lo que 𝑑 = −2, esto indica que la sucesión es aritmética. 
 
Es decir, para obtener el siguiente término se le resta 2 al término anterior y es 10 
 
c) 
1
2
, 1, 
3
2
, 2, 
5
2
… 
La diferencia para caso es: 
1 −
1
2
=
1
2
 
3
2
− 1 =
1
2
 2−
3
2
=
1
2
 
5
2
− 2 =
1
2
 
Por lo que 𝑑 =
1
2
, esto indica que la sucesión es aritmética. 
 
Es decir, para obtener el siguiente término se le suma 
1
2
 al término anterior y es 3 
 
d) 21, 15, 9, 3, −4 … 
La diferencia para caso es: 
21 − 15 = 6 15 − 9 = 6 9 − 3 = 6 3 − (−4) = 7 
Por lo que, no se cumple la sucesión aritmética ya que no en todas las diferencias el 
resultado es 6. 
 
52 
 
Para cualquier sucesión aritmética, el término general viene dado por la expresión: 
an = a1 + (n – 1) · d 
donde: 
 𝑎1 = 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 
 𝑛 = 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑑𝑜 
 𝑑 = 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 
 𝑎𝑛 = 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑏𝑢𝑠𝑐𝑎𝑑𝑜 
 
La suma de los primeros n términos está dado por: 
( )
2
· 1 n
n
aan
S
+
= 
Ejemplos: 
Para las siguientes sucesiones aritméticas. Halla el valor del vigésimo término y su suma 
a) 3, 6, 9, 12, … 
𝑎1 = 3 𝑑 = 9 − 6 = 3 𝑛 = 20 
 Calculando 𝑎20 
Sustituyendo en: an = a1 + (n – 1) · d 
 
𝑎20 = 3 + (20 − 1)(3) 
 𝑎20 = 3 + (19)(3) 
 𝑎20 = 3 + 57 
 𝑎20 = 60 
 Calculando 𝑆𝑛 
Sustituyendo en: 𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
 
 
𝑆20 =
20(3 + 60)
2
 
 
𝑆20 =
20(63)
2
 
 
𝑆20 =
1260
2
 
 
𝑆20 = 630 
 
 
 
53 
 
b) −12, −8, −4, 0, … 
𝑎1 = −12 𝑑 = −4 − (−8) = 4 𝑛 = 20 
 Calculando 𝑎20 
Sustituyendo en: an = a1 + (n – 1) · d 
 
𝑎20 = −12 + (20 − 1)(4) 
 𝑎20 = −12 + (19)(4) 
 𝑎20 = −12 + 76 
 𝑎20 = 64 
 Calculando 𝑆𝑛 
Sustituyendo en: 𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
 
 
𝑆20 =
20(−12 + 64)
2
 
 
𝑆20 =
20(52)
2
 
 
𝑆20 =
1040
2
 
 
𝑆20 = 520 
 
c) 60, 58, 56, 54, … 
𝑎1 = 60 𝑑 = 54 − 56 = −2 𝑛 = 20 
 Calculando 𝑎20 
Sustituyendo en: an = a1 + (n – 1) · d 
 
𝑎20 = 60 + (20 − 1)(−2) 
 𝑎20 = 60 + (19)(−2) 
 𝑎20 = 60 − 38 
 𝑎20 = 22 
 Calculando 𝑆𝑛 
Sustituyendo en: 𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1+𝑎𝑛)
2
 
 
𝑆20 =
20(60 + 22)
2
 
 
54 
 
𝑆20 =
20(82)
2
 
 
𝑆20 =
1640
2
 
 
𝑆20 = 820 
 
Resuelve los siguientes problemas de aplicación 
1. Una pila de troncos tiene 24 troncos en la base 23 en la segunda capa, 22 en la 
tercera. etc, la capa superior tiene 10 troncos. Encuentra la cantidad total de 
troncos en la pila. 
𝑎1 = 24 𝑑 = 23 − 24 = −1 𝑎𝑛 = 10 
Para encontrar n se sustituye en: 
an = a1 + (n – 1) · d 
10 = 24 + (𝑛 − 1)(−1) Despejando n 
10 − 24 = −𝑛 + 1 
−14 − 1 = −𝑛 
−15 = −𝑛 Multiplicando por (-1) ambos lados 
𝑛 = 15 
Usando la siguiente función 
𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
 
Sustituyendo los valores 
𝑆15 =
15(24 + 10)
2
 
𝑆15 =
15(34)
2
 
𝑆15 = 255 
El total de troncos apilados es de 255 
 
2. Jorge al ingresar a prepa ahorró $1500 pesos y cada mes ahorra $300 pesos. ¿Cuánto dinero 
tendrá al finalizar la prepa al cabo de tres años? 
Se tienen los siguientes datos 
 𝑎1 = 1500 𝑛 = 36 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑑 = 300 
 
Sustituyendo en: 
an = a1 + (n – 1) · d 
𝑎36 = 1500 + (36 − 1)(300) 
 
55 
 
 
𝑎36 = 1500 + 10500 
 𝑎36 = 12,000 
Por lo que al terminar la prepa tendrá ahorrado $12,000 pesos 
 
3. Una compañía va a distribuir $46,000 en bonos entre sus 10 mejores vendedores. El último 
premiado en la lista recibirá $1000 y la diferencia de dinero entre los vendedores sucesivamente 
clasificados debe ser constante. Encuentra el bono para cada vendedor. 
Se tienen los siguientes datos 𝑛 = 10 𝑆10 = 46,000 𝑎10 = 1000 
Sustituyendo en 𝑆𝑛 para obtener 𝑎1 
𝑆𝑛 =
𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
 
 
46000 =
10(𝑎1 + 1,000)
2
 
 46000(2) = 10𝑎1 + 10,000 
92,000 − 10,000 = 10𝑎1 
 𝑎1 =
82000
10
 
 𝑎1 = $8,200 
Calculando el valor de d con la formula 
an = a1 + (n – 1) · d 
Sustituyendo 
 1000 = 8200 + (10 − 1) ∙ 𝑑 
 1000 − 8200 = 9𝑑 
 𝑑 =
−7200
9
= −800 
Por lo que ya podemos saber cuánto tendrá de bono cada vendedor. Ordenando del último al primero 
Para el siguiente valor se suma $800 pesos 
 $1000, $1800, $2600, $3400, $4200, $5000, $5800, $6600, $7400, $8200 
 
Para saber más 
 
 
 
 
https://es.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:sequences/x2f8bb11595b61c86:introduction-to-arithmetic-sequences/a/using-formulas-of-arithmetic-sequences
https://drive.google.com/file/d/1t7U1ys9BoGOAzgf0y2nRc7x0uHeR9o9t/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1t7U1ys9BoGOAzgf0y2nRc7x0uHeR9o9t/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1t7U1ys9BoGOAzgf0y2nRc7x0uHeR9o9t/view?usp=sharing
 
56 
 
Manos a la obra 
I. Determina si las siguientes sucesiones son aritméticas y en caso de serlo calcula 
el valor del doceavo término. 
 
1. 6, 8, 10, 12, 14… 
2. 10, 5, 0, -5, -10… 
3. 
1
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
, … 
4. 1, 3, 6, 10, 15, … 
5. -8, -5, -2, 1, 4, … 
II. Calcula la suma de los primeros 20 términos para las siguientes sucesiones 
aritméticas. 
 
1. 1, 4, 7, 10, 13,… 
2. 20, 18, 16, 14, 12,… 
3. -6, -4.5, -3, -1.5,… 
4. 
1
4
,
1
2
,
3
4
, 1,
5
4
, … 
III. Resuelve los siguientes problemas de aplicación 
1. Las primeras 10 filas en cierta sección de un estadio tienen 28, 30, 32, 34 
asientos, etc, ¿Cuántos asientos hay en las primeras 12 filas? 
 
2. Un concursante obtendrá 5 premios en efectivo por un total de $5000 y habrá 
una diferencia de $100 entre premios sucesivos. Encuentra el valor del primer 
premio. 
 
3. Un ciclista avanza cuesta