Inecuaciones lineales

Vista previa del material en texto

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formación a través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
 
 
 
INECUACIONES LINEALES 
 
Una inecuación lineal es una desigualdad que tiene la forma 𝒂𝒙 + 𝒃 ≤ 𝟎 (o que puede 
llevarse a esa forma), en la cual 𝒂 y 𝒃 son constantes y 𝒙 es una variable (el símbolo de 
desigualdad también puede ser ≥, < o >). 
 
Resolver una inecuación tal como 𝟐𝒙 − 𝟒 > 𝟎, consistirá en encontrar valores que al 
sustituirlos en lugar de la variable haga cierto dicho enunciado. Así por ejemplo 𝒙 = 𝟏 no 
forma parte de la solución, ya que al sustituir el valor de 𝟏 en lugar de 𝒙, en la desigualdad, 
nos resulta 𝟐(𝟏) − 𝟒 = −𝟐 > 𝟎 y esto es falso debido a que – 𝟐 es menor que 𝟎. 
 
Ejercicio: 
Por simple inspección determine 2 valores que cumplan con la desigualdad 𝟐𝒙 − 𝟒 > 𝟎. 
 
¿Es el valor de 𝒙 = 𝟐 solución de dicha inecuación?, explique. 
 
Propiedades de las desigualdades: 
 
1. 𝑨 ≤ 𝑩 ⇔ 𝑨 + 𝑪 ≤ 𝑩 + 𝑪, con 𝑪 > 𝟎 
2. 𝑨 ≤ 𝑩 ⇔ 𝑨 − 𝑪 ≤ 𝑩 − 𝑪, con 𝑪 > 𝟎 
3. Si 𝑪 > 𝟎 y 𝑨 ≤ 𝑩 entonces 𝑪𝑨 ≤ 𝑪𝑩 
4. Si 𝑪 < 𝟎 y 𝑨 ≤ 𝑩 entonces 𝑪𝑨 ≥ 𝑪𝑩 (también es válido 𝑪 < 𝟎 y 𝑨 ≤ 𝑩 ⟹ 
 
 
 
𝑨 
≥ 
𝑩
)
 
𝑪 𝑪 
 
De las propiedades anteriores, notar lo siguiente: 
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formación a través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
 
 
 En las propiedades anteriores se puede sustituir por cualquiera de los otros símbolos 
de desigualad y siempre son ciertas. 
 La propiedad 1 significa que si tenemos una desigualdad cualquiera y si le sumamos 
un mismo número 𝑪 al miembro izquierdo y al derecho, la desigualdad se mantiene 
(no cambia). Por ejemplo, si tenemos que 𝟑 < 𝟖 es cierto (se cumple) y si le sumamos 
el valor de 𝟒 a los dos miembros de la desigualdad, es decir, 𝟑 + 𝟒 < 𝟖 + 𝟒 la 
desigualdad resultante también es cierta 𝟕 < 𝟏𝟐. 
 La propiedad 2 significa que si tenemos una desigualdad cualquiera y le restamos un 
mismo número 𝑪 al miembro izquierdo y al derecho, la desigualdad se mantiene. Por 
ejemplo, si tenemos que 𝟓 ≥ −𝟐 es cierto y si le restamos el valor de 𝟔 a los dos 
miembros de la desigualdad, es decir, 𝟓 − 𝟔 ≥ −𝟐 − 𝟔 la desigualdad resultante 
también es cierta −𝟏 ≥ −𝟖 (recordando que un número que está más a la izquierda 
que otro en la recta numérica es menor). 
 La propiedad 4 es la que más hay que ponerle cuidado ya que significa que si tenemos 
una desigualdad cualquiera y multiplicamos o dividimos cada miembro de la 
desigualdad por un número negativo, la desigualdad se invierte. Por ejemplo, 
−𝟖 ≤ 𝟏 si multiplicamos ambos miembros por – 𝟑, es decir −𝟖(−𝟑) ? 𝟏(−𝟑), 
obtenemos 𝟐𝟒 ? – 𝟑. Notemos que 𝟐𝟒 nos es menor o igual que – 𝟑. Por lo tanto, el 
símbolo de desigualdad que hay que colocar en lugar del signo de interrogación es el 
símbolo contrario≥. 
Así: 
−𝟖 ≤ −𝟏 
−𝟖(−𝟑) ≥ −𝟏(−𝟑) 
𝟐𝟒 ≥ 𝟑 
Al multiplicar o dividir por un 
número negativo cambia el sentido 
de la desigualdad. 
 
RESOLUCIÓN DE INECUACIONES LINEALES 
Para resolver inecuaciones lineales, podemos aplicar las propiedades de las desigualdades 
anteriores para despejar la variable o también pueden resolverse parecido al trabajo que se 
realiza con las ecuaciones, con la única diferencia que cuando un número negativo está 
multiplicando (o dividiendo) a uno de los miembros de la desigualdad y lo trasladamos a dividir 
(o a multiplicar) a todo el otro miembro, el símbolo de la desigualdad se invierte. 
 
Ejemplo: 
Resolver la inecuación 𝟐𝒙 < 𝟔𝒙 − 𝟐 y expresar la solución en tres formas: 
a) Notación de intervalo. 
b) Notación de conjunto. 
c) Gráficamente. 
 
Solución utilizando las propiedades de las desigualdades: 
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formación a través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
 
 
𝟐𝒙 < 𝟔𝒙 − 𝟐 
𝟐𝒙 − 𝟔𝒙 < 𝟔𝒙 − 𝟐 − 𝟔𝒙 Restamos a ambos miembros 𝟔𝒙 
−𝟒𝒙 < −𝟐 
 
(−𝟏)(−𝟒𝒙) > (−𝟏)(−𝟐) 
Multiplicamos a ambos miembros por −1, 
por lo que invertimos la dirección de la 
desigualdad (según lo indica la propiedad 4). 
𝟏 
𝒙 > 
𝟐 
Respuesta. 
 
a) En forma de intervalo la solución es 𝑪. 𝑺. 
b) En forma de conjunto 
c) En forma gráfica:
 
Fig. 3.1.a 
 
Todos los valores que están a la derecha de 
1 1 
, sin tomar el valor de . 
2 2 
 
Otra forma de solución: 
 
 
𝟐𝒙 < 𝟔𝒙 − 𝟐 
Trabajamos parecido al despeje de variables 
de ecuaciones, trasladando las variables a un 
solo miembro de la desigualdad. 
𝟐𝒙 − 𝟔𝒙 < −𝟐 
 
−𝟒𝒙 < −𝟐 
Ahora multiplicamos por −𝟏 a ambos 
miembros y tenemos que cambiar el sentido 
del símbolo < porque estamos multiplicando 
por un número negativo. 
−𝟒𝒙(−𝟏) < −𝟐(−𝟏) 
 
𝟒𝒙 > 𝟐 
Para despejar la variable 𝒙, tenemos que 
pasar a dividir el 𝟒 y como es positivo, la 
desigualdad no cambia de sentido. 
𝟐 
𝒙 > 
𝟒 
Simplificando. 
𝟏 
𝒙 > 
𝟐 
Respuesta. 
 
Ejercicio: resolver el ejercicio anterior trasladando los términos que tienen variables al 
miembro derecho a la inecuación. 
 
Ejemplo: resolver 𝟐 𝒙 + 𝟐 < 
𝟑 
𝟏 𝒙 − 𝟏 y dar la respuesta en notación de intervalo. 
𝟔 
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formación a través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
 
 
Solución: para este caso podemos hacer lo mismo que en el procedimiento anterior. Pero, si no 
queremos trabajar con fracciones, eliminemos los denominadores, multiplicando a ambos 
miembros de la inecuación por un número que logre ese propósito (el mínimo común múltiplo 
de los denominadores). 
 
 
𝟐 𝟏 
𝒙 + 𝟐 < 𝒙 − 𝟏 
𝟑 𝟔 
 
𝒎. 𝒄. 𝒎. = 𝟔 
 La desigualdad no cambia de sentido, ¿Por 
qué? 
 
Hemos multiplicado cada término por 𝟔. 
… Realizar las operaciones pertinentes. 
𝒙 < −𝟔 Se determina el valor de x 
∴ 𝒆𝒍 𝑪. 𝑺. =] − ∞, −𝟔[ Respuesta. 
 
Ejemplo: resolver 𝟐 ≤ 𝒙 + 𝟓 < 𝟗 y dar la respuesta en notación de intervalo. 
 
Solución: esta inecuación significa que andamos buscando números reales 𝒙 tales que al 
sumarles 𝟓, nos den valores entre 𝟐 y 𝟗. 
 
Una forma de resolver esta inecuación es dejando la variable al centro, así: 
 
𝟐 ≤ 𝟐𝒙 + 𝟓 < 𝟗 
𝟐 − 𝟓 ≤ 𝟐𝒙 + 𝟓 − 𝟓 < 𝟗 − 𝟓 Restando 𝟓 a cada miembro. 
−𝟑 ≤ 𝟐𝒙 < 𝟒 
Dividamos entre 𝟐 cada miembro (para 
quitar el 𝟐 que acompaña a la 𝒙). 
−𝟑 𝟐𝒙 𝟒 
≤ < 
𝟐 𝟐 𝟐 
 
−𝟑 
≤ 𝒙 < 𝟐 
𝟐 
 
 
 
Respuesta. 
NOTA: El operador ∴ significa “por lo tanto”. 
 
Otra forma más simple resolverlo sería: 
 
 
𝟐 ≤ 𝟐𝒙 + 𝟓 < 𝟗 
Dejaremos sola la variable en el centro. El 𝟓 
que está sumando a 𝟐𝒙 lo trasladamos al 
miembro izquierdo y al miembro derecho, 
pero restando (ya que está sumando a 𝟐𝒙). 
𝟐 − 𝟓 ≤ 𝟐𝒙 < 𝟗 − 𝟓 
−𝟑 ≤ 𝟐𝒙 < 𝟒 El 𝟐 está multiplicando a la variable 𝒙, lo 
UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR EN LÍNEA 
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ARQUITECTURA 
MATEMÁTICA I 
Este material ha sido proporcionado al estudiante en el marco de su formacióna través de una carrera en línea en la 
Universidad de El Salvador. Se han respetado los derechos de autor para su elaboración. El debido uso del mismo es 
responsabilidad del estudiante. 
 
 
 trasladamos a dividir tanto al miembro 
izquierdo como al derecho. 
 
 
Respuesta. 
 
Ejercicio: la empresa telefónica “El Cristal” ofrece dos planes diferentes para un teléfono. El plan 
A consiste en $30 mensuales con llamadas ilimitadas y el plan B es de $10 fijos más 5 centavos el 
minuto. ¿A partir de que cantidad de minutos al mes, es más conveniente el plan A? 
 
Solución: podemos resolverlo mediante una inecuación. 
 
Costo del plan A: $30 
Costo del plan B: 
Sea 𝒙 la cantidad mensual de minutos a consumir. 
 
𝟎. 𝟎𝟓𝒙, nos da el costo de las llamadas; además ya sea se utilice el teléfono o no, pagará 
$10 mensuales fijos, es decir que el costo mensual será de 𝟎. 𝟎𝟓𝒙 + 𝟏𝟎. 
Averiguaremos a partir de qué minuto de consumo mensual el plan B es más caro. 
Es decir, 
 
 
𝟎. 𝟎𝟓𝒙 + 𝟏𝟎 > 𝟑𝟎 
𝟎. 𝟎𝟓𝒙 > 𝟑𝟎 − 𝟏𝟎 
𝟎. 𝟎𝟓𝒙 > 𝟐𝟎 
𝟓 
0.05: 5 centésimos es igual que 
𝟏𝟎𝟎 
 
 No cambia la desigualdad por que pasamos a 
multiplicar y a dividir números positivos. 
𝒙 > 𝟒𝟎𝟎 Respuesta. 
 
Es decir, si la persona consume más de 400 minutos mensuales le conviene el plan A. 
 
Observemos que si no ponemos 𝟎. 𝟎𝟓𝒙, sino que 𝟓𝒙, sería el costo en centavos. Entonces 
pondríamos: 𝟓𝒙 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 > 𝟑𝟎𝟎𝟎 ya que $10 serían 𝟏𝟎 × 𝟏𝟎𝟎 (un dólar tiene 100 centavos) y 
$30 son en centavos 𝟑𝟎 × 𝟏𝟎𝟎.