Practica 5 Analisis 66

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Ejercicio 3 
Que la una recta sea paralaela al eje de las x quiere decir que es horizontal, o sea 
su pendiente es cero. Como se trata de la recta tangente, tenemos que 𝑚 =
𝑓!(𝑥) = 2𝑥 − 6 = 0 de donde 𝑥 = 3 y el punto resulta ser (3, −1) 
Ejercicio 4 
En 𝑥 = 𝑥" la pendiente de la recta tangete al gráfico de 𝑓(𝑥) es 𝑚# = 5, y la de 
la recta tangete al gráfico de 𝑔(𝑥) es 𝑚$ = 𝑔!(𝑥) = 6𝑥 = 1. Para que las rectas 
sean paralelas, las pendientes deben de ser iguales, de donde 𝑥 = %
&
 
Ejercicio 5 
a) 𝑓!(𝑥) = 3𝑥% + 2𝑥 + cos	(𝑥) 
b) 𝑓!(𝑥) = 2𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) − 𝑥%𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
c) 𝑓!(𝑥) = 3cos	(𝑥) 
d) 𝑓!(𝑥) = ln(𝑥) + 1 
e) 𝑓!(𝑥) = 5𝑥' + (
)!
 
f) 𝑓!(𝑥) = 𝑒) + (
)
 
g) 𝑓!(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑥𝑐𝑜𝑠(𝑥) + 𝑒) cos(𝑥) − 𝑒*𝑠𝑒𝑛(𝑥) 
h) 𝑓!(𝑥) = )+,*())/*01())
)!
 
i) 𝑓!(𝑥) = *01
!())2345!())
345!())
= (
345!())
= sec%(𝑥) 
j) 𝑓!(𝑥) = (𝑥% + 1) ln(𝑥) + (𝑥 + 2)2𝑥𝑙𝑛	(𝑥) + (𝑥 + 2)(𝑥% + 1) (
)
	 
k) 𝑓!(𝑥) = (67())8()()
!8()/%)!91())
()!8()!
 
l) 𝑓!(𝑥) = − (
)!
− '
)"
− &
%√)"
 
 
Ejercicio 2 
a) 𝑓!(3) = 4 ; 𝑦 = 4𝑥 + 7 
b) 𝑓!(5) = − (
;
; 𝑦 = − (
;
𝑥 + <
;
 
c) 𝑓!(3) = (
("
 ; 𝑦 = (
("
𝑥 + &=
("
 
d) 𝑓′(1) = 2 ; 𝑦 = 2𝑥 − 1 
e) 𝑓′(1) = 2 ; 𝑦 = 2𝑥 − 1 
f) 𝑓′(0) = 0 ; 𝑦 = 0 
 
 
 
Ejercicio 6 
a) 𝑓!(𝑥) = 2(𝑥 + 1) 
b) 𝑓′(𝑥) = 3(𝑥 + 1)% 
c) 𝑓′(𝑥) = 2001(𝑥 + 1)%""" 
d) 𝑓′(𝑥) = 𝑒)8& 
e) 𝑓!(𝑥) = −3(1 − 𝑥)% 
f) 𝑓!(𝑥) = −3𝑠𝑒𝑛(3𝑥) 
g) 𝑓′(𝑥) = 12𝑠𝑒𝑛&(𝑥)cos	(𝑥) 
h) 𝑓!(𝑥) = (
)8(
 
i) 𝑓!(𝑥) = 345())
%8*01())
 
j) 𝑓!(𝑥) = B2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛(𝑥)C𝑒)!8345()) 
k) 𝑓!(𝑥) = ')91()
!8()
)!8(
 
l) 𝑓!(𝑥) = (
)
 
m) 𝑓!(𝑥) =
(%)!(%)"8&) 67()!8()/!#$!#
"%"&
!
#!%'
67!()!8()
 
n) 𝑓!(𝑥) = >)
√'8>)!
 
 
Ejercicio 7 
a) 𝑓(𝑥) = 𝑥) = 𝑒)91()) ⇒ 𝑓!(𝑥) = (ln(𝑥) + 1)𝑥) 
b) 𝑓(𝑥) = 𝑥&) + 2) = 𝑒&)91()) + 𝑒67(%)) 	⇒ 𝑓!(𝑥) = (3ln(𝑥) + 3)𝑥&) +
ln(2) 2) 
c) 𝑓(𝑥) = B𝑠𝑒𝑛&(𝑥)C67
())
= 𝑒&91())67	(*01())) ⇒	 
⇒ 𝑓!(𝑥) = E
3 lnB𝑠𝑒𝑛(𝑥)C
𝑥
+
3 ln(𝑥) cos(𝑥)
𝑠𝑒𝑛(𝑥)
F (𝑠𝑒𝑛&(𝑥))67	()) 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥√) = 𝑒√) 67()) ⇒ 𝑓!(𝑥) = G67())
%√)
+ (
√)
H 𝑥√) 
Ejercicio 8 
a) (𝑓 ∘ 𝑙)!(0) = 𝑓!B𝑙(0)C𝑙!(0) = 𝑓!(4)𝑙!(0) = 8𝑠𝑒𝑛%(𝑠𝑒𝑛(1)) 
b) (ℎ ∘ 𝑓)!(0) = ℎ!B𝑓(0)C𝑓!(0) = ℎ!B𝑓(0)C ⋅ 0 = 0 
 
Ejercicio 9 
Derivando 𝑓(𝑥) = 7𝑒@) nos queda 𝑓!(𝑥) = 7𝑘𝑒@) = 𝑘𝑓(𝑥) 
 
 
Ejercicio 10 
a) 𝑓 es continua y no es derivable en 𝑥 = 0. 
b) 𝑓 no es continua en 𝑥 = 1, con lo que no es derivable en 𝑥 = 1. 
c) 𝑓 es continua y es derivable en 𝑥 = 0, con 𝑓!(0) = 0 y recta tangente 
𝑦 = 0. 
 
Ejercicio 13 
a) 𝐶!(5) = − =
√0
 
b) −0,1(𝐶(𝑡) − 20) = −0,1 ⋅ 70𝑒/",(B = 𝐶!(𝑡) 
c) lim
)→8D
𝐶!(𝑡) = lim
)→8D
−7𝑒/",(B = −7 ⋅ 0 = 0 
Ejercicio 14 
a) 𝑓(>)(𝑥) = 𝑓'⋅(8((𝑥) = 𝑓!(𝑥) = cos(𝑥) 
𝑓(=")(𝑥) = 𝑓'⋅(=8%(𝑥) = 𝑓!!(𝑥) = −sen	(𝑥) 
b) 𝑓((<)(𝑥) = 𝑓(("")(𝑥) = 𝑒) 
c) 𝑓(%")(𝑥) = 𝑘%"𝑒@) 
d) 𝑓(')(𝑥) = − F()8()( 
e) 𝑓(&)(𝑥) = 30; 𝑓(%"") = 0 
Ejercicio 15 
𝑓!(𝑥) = a ⋅ cos(𝑥) − 𝑏 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ; 𝑓!!(𝑥) = −𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑏 ⋅ cos	(𝑥) 
𝑓(𝑥) + 𝑓!!(𝑥) = 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝑏 ⋅ cos(𝑥) − 𝑎 ⋅ 𝑠𝑒𝑛(𝑥) − 𝑏 ⋅ cos(𝑥) = 0 
Ejercicio 11 
𝑓 es continua pero no es derivable. 
Ejercicio 16 
𝑓(@)(0) = 1!(1/@)! si 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛 y 𝑓
(@)(𝑥) = 0 si 𝑘 > 𝑛 
 
 
PROBLEMAS VARIOS 
Ejercicio 1 
Por medio de reglas de derivación y usando el cociente incremental para 𝑥 = 0 podemos 
ver que 𝑓!(𝑥) = '
2𝑥	si	𝑥 > 0
0	si	𝑥 = 0
−2𝑥	si	𝑥 < 0
 con lo que 𝑓(𝑥) resulta derivable y 𝑓′(𝑥) continua. 
Ahora analicemos si existe 𝑓′′(0): lim
"→$!
%"(")(%"($)
"
= lim
"→$!
)"($
"
= 2 y 
 lim
"→$#
%"(")(%"($)
"
= lim
"→$#
()"($
"
= −2. Como 2≠-2, luego ∄	𝑓′′(0). 
Ejercicio 2 
𝑓!(𝑥") = 1 +
(
))
 con lo que la recta tangente al gráfico de 𝑓 en el punto 
B𝑥", 𝑓(𝑥")C es 𝑦 = G1 +
(
))
H (𝑥 − 𝑥") + (𝑥" + ln(𝑥")). Como esta recta pasa por 
el (0,0) queda la ecuación 0 = G1 + (
))
H (0 − 𝑥") + (𝑥" + ln(𝑥")), de donde 
𝑥" = 𝑒, con lo que el punto buscado es (𝑒, 𝑒 + 1). 
Ejercicio 3 
Razonando como en el ejercicio anterior, 𝑓!(𝑥") = 1 −
(
))!
 y la ecuación de la 
recta tangente queda 𝑦 = G1 − (
))!
H (𝑥 − 𝑥") + G𝑥" +
(
))
H 
Usando (𝑥, 𝑦) = (0,0) queda 0 = %
))
, que no tiene solución. No existe un punto 
que cumpla con lo pedido. 
Usando (𝑥, 𝑦) = (1,0) queda 𝑥! = −1 ± √2 ⇒ (−1 + √2, 2√2) y 
(−1 − √2,−2√2) son los puntos buscados. 
Usando (𝑥, 𝑦) = (0,4) queda 𝑥" =
(
%
⇒ G(
%
, >
%
H es el punto buscado. 
Ejercicio 4 
De los datos reconocemos que 𝑓(−1) = 8, 𝑓!(−1) = −5 . 
Calculamos 𝑔!(𝑥) = 𝑓!B−𝑥% + 𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)C(−2𝑥 + 𝜋 cos(𝜋𝑥)), con lo que 
𝑔!(1) = 𝑓!'−1" + 𝑠𝑒𝑛(𝜋 ⋅ 1)/(−2 ⋅ 1 + 𝜋 cos(𝜋 ⋅ 1)) = 𝑓!(−1)(−2 − 𝜋) = 5(2 + 𝜋) 
𝑔(1) = 𝑓'−1" + 𝑠𝑒𝑛(𝜋)/ = 𝑓(−1) = −8. Con lo que la recta buscada tiene ecuación 
𝑦 = 5(2 + 𝜋)(𝑥 − 1) + 8 
 Ejercicio 5 
𝑎 = %
&
 y 𝑓 resulta derivable en 𝑥 = 4, con 𝑓!(4) = >
%(F
. 
Ejercicio 6 
𝑎 = −5 y 𝑏 = −4 
Ejercicio 8 
Tenemos que reconocer de los datos de las rectas tangentes que 𝑓(1) = 3,
𝑓!(1) = 4, 𝑔(2) = 1	y	𝑔!(2) = 3. Con esto calculamos: 
a) (𝑓 ∘ 𝑔)!(2) = 𝑓!B𝑔(2)C𝑔!(2) = 𝑓!(1) ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 12 
(𝑓 ∘ 𝑔)(2) = 𝑓B𝑔(2)C = 𝑓(1) = 3, con lo que la recta tangente buscada 
tiene ecuación 𝑦 = 12(𝑥 − 2) + 3 = 12𝑥 − 21 
b) no se ve este cuatrimestre. 
c) no se ve este cuatrimestre. 
Ejercicio 7 
𝑎 = 0 y 𝑏 = 0