derivadas

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Tema 9 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas II – 2º Bachillerato 1 
TEMA 9 – DERIVADAS 
 
DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO, APLICANDO LA DEFINICIÓN 
 
EJERCICIO 1 : Halla la derivada de la siguiente función en x = 1, aplicando la definición de derivada: 
   12  xxf 
 
Solución:       2)1x(lim
1x
)1x).(1x(lim
1x
1xlim
1x
2)1x(lim
1x
1fxf
lim1'f
1x1x
2
1x
2
1x1x














 
EJERCICIO 2 :   .
3
1 función la para(1)derivada, de definición la utilizando Calcula,  xxff´ 
Solución:      
3
1
3
1lim
1x
0
3
1x
lim
1x
1fxf
lim1'f
1x1x1x









 
 
EJERCICIO 3 : Halla la derivada de la función f(x)=(x – 1)2 en x=2, aplicando la definición de derivada 
Solución:           2xlim
2x
2xxlim
2x
x2xlim
2x
11x2xlim
2x
11xlim
2x
2fxflim2'f
2x2x
2
2x
2
2x
2
2x2x

















 
 
EJERCICIO 4 :     .
x
xf,f' 2siendo 1calcula derivada, de definición la Aplicando  
Solución:         2x
2lim
x)1x(
)x1(2lim
x1x
x22lim
1x
x
x22
lim
1x
2
x
2
lim
1x
1fxf
lim1'f
1x1x1x1x1x1x



















 
 
FUNCIÓN DERIVADA, APLICANDO LA DEFINICIÓN 
 
EJERCICIO 5 : :derivadadedefinición laaplicandoHalla f´(x), 
a) 12  x(x)f b)  
3
1

xxf c)   22xxf  d)  
x
xf 1 e)  
3
2xxf  
Solución: 
a)           
 h
1x1xh2hxlim
h
1x1hxlim
h
xfhxflimx'f
222
0h
22
0h0h
 
    x2x2hlim
h
x2hhlim
h
xh2hlim
0h0h
2
0h






 
b)      
 
3
1
h3
hlim
h
3
h
lim
h
3
1x1hx
lim
h
3
1x
3
1hx
lim
h
xfhxflimx'f
0h0h0h0h0h








 
 
c)           
 h
x2xh4h2x2lim
h
x2xh2hx2lim
h
x2hx2lim
h
xfhxflimx'f
222
0h
222
0h
22
0h0h
 
     x4x4h2lim
h
x4h2hlim
h
xh4h2lim
0h0h
2
0h






 
d)      
 
     
 












 hxhx
hlim
h
hxx
h
lim
h
hxx
hxx
lim
h
hxx
hxx
lim
h
x
1
hx
1
lim
h
xfhxflimx'f
0h0h0h0h0h0h
 
  20h x
1
hxx
1lim 




 
e)      
 
3
2
h3
h2lim
h
3
h2
lim
h
3
x2h2x2
lim
h
3
x2
3
hx2
lim
h
xfhxflimx'f
0h0h0h0h0h








 
Tema 9 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas II – 2º Bachillerato 2 
CÁLCULO DE DERIVADAS INMEDIATAS 
 
EJERCICIO 6 : Halla la función derivada de: 
  523a) 4  xxxf   xexf  b)   12c) 23  xxxf   xlnxf d) 
 
3
2e) 5 xxxf    xsenxf f)  
5
13g) 23  xxxf   xcosxf h) 
  234i) 23  xxxf   xtgxf j)  
12
2k)
2



x
xxf   xxexf l) 
 
2
13m)
2 


x
xxf   xsenxxf 2n)  
3
1ñ)
2



x
xxf   xlnxxf o) 
 
x
xxf 2p)   
xe
xxf 13q)   
32
3r)
2


x
xxf   xsenxxf  3s) 
Solución: 
a)   2x21x'f 3  b)   xex'f    x2x6x'f)c 2   
x
1x'f)d  
 
3
1x10x'f 4 e)   xcosx'f)f    x6x3x'f)g 2    senxx'f)h  
  x6x12x'fi) 2   
xcos
1x1x'fj)
2
2  tg 
     
     2
2
2
22
2
2
1x2
4x2x2
1x2
4x2x2x4
1x2
22x1x2x2
x'fk)








     xxx ex1xeex'fl)  
     
     22
2
22
22
22
2
2x
6x2x3
2x
x2x66x3
2x
x21x32x3
x'fm)








   xcosxsenxx2x'fn) 2 
     
     2
2
2
22
2
2
3x
1x6x
3x
x1x6x2
3x
x13xx2
x'fñ)








   1xln
x
1xxlnx'fo)  
 
2x
2
x2
1x'fp)     
 
 
  x2x
x
2x
xx
e
x32
e
1x33e
e
e1x3e3
x'fq) 



 
    
      2 
2 
2 
2 2 
2 
2 
3 2 
18 6 
3 2 
6 18 12 
3 2 
2 3 3 2 6 
 
 
 
 
  
 
 
   
 
x 
x x 
x 
x x x 
x 
x x x 
x ' f ) r 
s)   xcosxxsen
x
xcosxxsenxxf   3
3 2
3132
3
1
3
1' 
 
CÁLCULO DE DERIVADAS 
 
EJERCICIO 7 : Halla la función derivada de: 
a)    423 xxxf  b)   14 3  xxf c)   xxexf 24 3  d)    xxlnxf 23 4  
e)   








32
1
x
xsenxf  
3
93f)
2
4 xxxf   
1
23g) 2
2



x
xxf   xxexf h) 
 
3
128i) 35  xxxf     xexxxf 3j) 4    







1
k)
2x
xsenxf  
5
6
2
3l)
34 xxxf  
 
12
3m) 3
2



x
xxf    xxlnxf 2n) 4   
5
32ñ)
24 xxxf   
xx
xxf
3
43o)
2 

 
  32p) 3  xxf   74
5
3
2
1q) xxxf    senxxf x  er)   







2
3s)
2x
xcosxf 
 
3
24t) 5 xxxf      xexxxf 3u) 2    








1
1v)
2x
xsenxf 
Tema 9 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas II – 2º Bachillerato 3 
  1
4
3w) 7  xxxf  
1
34x) 2
3



x
xxf   37
4
y)  xexf 
 
3
139z) 42  xxxf   2
3
4
31)
x
xxf

    xxlnxf 322) 5  
 
7
233)
5 xxxf    cosxxxf 44)    1
12
5) 

 x
x
exf 
  52
3
46)
6
 xxxf  
1
27)
2 

x
xxf   4328) xxxf  
 
Solución: 
a)      1634' 32  xxxxf 
b)  
14
6
142
1212
142
1'
3
2
3
2
2
3 





x
x
x
xx
x
xf 
c)    212' 224 3   xexf xx 
d)    
xx
xx
xx
xf
23
212212
23
1'
4
3
3
4 



 
e)      
     


































3x2
1x
3x2
5
3x2
1x
3x2
2x23x2
3x2
21x3x2
3x2
1xx'f
222
coscoscos 
 
3
x18x12x'ff) 3  
     
     2222
33
22
22
1x
x2
1x
x4x6x6x6
1x
x22x31xx6
x'fg)








 
   x1exeex'fh) xxx    24 x6x40x'fi)  
          x34x43x4x3 e3x3x4xex3x3x4ex3xe3x4x'fj)  
 
 











22
2
2
1x
x2x1x
1x
xcosx'fk)
    



















 1x
xcos
1x
1x
1x
x21x
1x
xcos
222
2
22
22
2
 
 
5
x18x6
5
x18
2
x12x'fl)
2
3
23
 
 
     
   







23
244
23
223
1x2
x18x6x2x4
1x2
x63x1x2x2
x'fm)
 23
24
1x2
x2x18x2

 
   
x2x
2x42x4
x2x
1x'fn)
4
3
3
4 



 
 
5
x6x8x'fñ)
3 
 
      
   







22
22
22
2
x3x
12x8x9x6x9x3
x3x
3x24x3x3x3
x'fo)
 22
2
3
1283
xx
xx


 
 
3x2
x3
3x22
x6x6
3x22
1x'fp)
3
2
3
2
2
3 




 
  63 x
5
21x2x'fq)  
    xxx ecosxsenxcosxesenxex'fr)  
Tema 9 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas II – 2º Bachillerato 4 
   
   































2x
x3sen
2x
x66x3
2x
x2x32x3
2x
x3senx'fs)
222
22
22
2
2
 
    





















2x
x3sen
2x
6x3
2x
x3sen
2x
6x3
222
2
222
2
 
 
3
2x20x'f 4 t) 
         3xxex3x3x2eex3xe3x2x'f 2x2xx2x u) 
   
     


































22
2
222
22
222
2
2
1x
1x2x
1x
1x
1x
x2x21x
1x
1x
1x
x21x1x
1x
1xx'f coscoscosv) 
 
  










1
1
1
12
222
2
x
xcos
x
xx 
 
4
3x7x'f 6 w) 
     
     22
24
22
424
22
322
1x
x6x12x4
1x
x6x8x12x12
1x
x23x41xx12
x'f








x) 
    3x7333x7 44 ex28x28ex'f  y) 
  3x12x18x'f z) 
     
     22
42
22
442
22
322
x4
x3x36
x4
x6x9x36
x4
x2x3x4x9
x'f








1) 
   
x3x2
3x103x10
x3x2
1x'f
5
4
4
5 



2) 
 
7
2x15x'f
4 
3) 
    senxxxx4senxxxx4x'f 4343  coscos4) 
     
     2
2
1x
1x
2
22
1x
1x
2
2
1x
1x
1x
1x2xe
1x
1xx2x2e
1x
1x1xx2
ex'f
222







 





5) 
  2x82
3
x24x'f 5
5
6) 
   
     22
2
22
22
22
2
1x
2x2
1x
x42x2
1x
x2x21x2
x'f








7) 
     
4
3
4
3
4
3
3
4 x3x2
x61
x3x22
x612
x3x22
x122x122
x3x22
1x'f










8) 
 
EJERCICIO 8 : Halla la derivada de estas funciones: 
   35x xexfa)   
2)2x(
x2xfb)

     xln·xxxfc) 2    








2x
1xlnxf)d 
xsen·eye) 1x2  








1x2
3xlny)f 
2)1x(
1x3yg)


  2xcosy)h 42  
    x2 e·2xxfi)   
2x4
1x3xf)j


 
 
Tema 9 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas II – 2º Bachillerato 5 
Solución: 
a) f ‘(x)  3 (ex  x5)2 · (ex  5x4) 
 
3344
2
)2x(
4x2
)2x(
x44x2
)2x(
]x4)2x(2[)2x(
)2x(
)2x(2·x2)2x(2
x'fb)











 
   
x
xxxln
x2
1x2
x
1·xxxln·
x2
1x2x'fc) 2 











 
 
2xx
3
)2x()1x(
3
)2x(
)1x2x(·
)1x(
)2x(
)2x(
)1x(2x·
2x
1x
1x'fd)
222 












 
e) y’  e2x1 · 2 · sen x  e2x1 · cos x  2 e2x1 · sen x  e2x1 · cos x   e2x1 (2sen x  cos x) 
 














)1x2()3x(
5
)1x2(
)6x21x2(·
)3x(
)1x2(
)1x2(
2·)3x(1x2
·
1x2
3x
1'yf)
22 372
5
2 


xx
 










344
2
)1x(
2x63x3
)1x(
])1x3(2)1x(3[)1x(
)1x(
)1x(2·)1x3()1x(3
'yg) 3)1(
53



x
x 
h) y ‘  2cos (x4  2) · [sen (x4  2)] · 4x3  8x3 cos (x4  2) · sen (x4  2) 
 
i) f ‘(x)  2x · ex  (x2  2) · ex  (2x  x2  2) ex  (x2  2x  2) ex 
 
2/1
2x4
1x3xfj) 







 
  























2
2/1
2
2/1
)24(
412612·
13
24
2
1
)24(
4·)13()24(3·
24
13
2
1'
x
xx
x
x
x
xx
x
xxf 
32/32/122/1
2/1
)24()13(
5
)24(·)13(
5
)24(
10·
)13(
)24(
2
1







xxxxxx
x 
 
EJERCICIO 9 : Halla la derivada de estas funciones: 
a) f (x)  tg2 (2x4  1) b) f (x)  (sen x)x1 c) 5x2  5y2  4xy 
  








2x
1xlnxfd)   2xxxfe)  1xyy2x3f) 34  
g) y  e2x1 · sen (x  1) h) y  (3x2  1)2x i) x2  y2  xy  5 
j) y  cos2 (x4  2) k) y  (cos x)2x l) 2x2y2  3x2  y2  2 
  3
2
2x3
x4xfm)

    x1x2xfn)  0yxy3xñ) 22  
Solución: 
a) f ' (x)  2tg (2x4  1) · (1  tg2 (2x4  1)) · 8x3  16x3 tg (2x4  1)  16x3 tg3 (2x4  1) 
 
b) y  (sen x)x1  ln y  ln (sen x)x1  ln y  (x  1) · ln (sen x) 
   
xsen
xcos·1xxsenln
y
'y
        xcotg1xxsenlnxsen'y 1x   
c) 10x  10y · y '  4y  4x · y '  10y · y '  4x · y '  4y  10x  y ' (10y  4x)  4y  10x 
xy
xyy
xy
xyy
25
52'
410
104'






 
d) f (x)  ln (x  1)  ln (x  2)   
2xx
3
)2x()1x(
1x2x
2x
1
1x
1x'f
2 







 
e) y  x x2  ln y  ln x x2  ln y  (x  2) ln x   
x
1·2xxln
y
'y
  


  
x
2xxln·x'y 2x 
Tema 9 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas II – 2º Bachillerato 6 
f) 12x3  6y2 · y '  y  x · y '  0  y ' (x  6y2)  12x3  y  
2
3
y6x
yx12
'y


 
g) y'  e2x1 · 2 · sen (x  1)  e2x1 · cos (x  1)  e2x1 [2 sen (x  1)  cos (x  1)] 
h) y  (3x2  1)2x  ln y  ln (3x2  1)2x  ln y  2x ln (3x2  1)  
  
1x3
x6·x21x3xln2
y
'y
2
2

     










1x3
x121x3ln2·1x3'y
2
2
2x22 
i) 2x  2y · y '  y  x · y '  0  2y · y '  x · y '  2x  y  y ' (x  2y)  2x  y 
yx
yxy
2
2'



 
j) y '  2cos (x4  2) · (sen (x4  2)) · 4x3  8x3 cos (x4  2) · sen (x4  2) 
k) y  (cos x)2x  ln y  ln (cos x)2x  ln y  2x ln (cos x)    




 

xcos
xsen·x2xcosln2
y
'y 
y '  (cos x)2x · [2 ln (cos x)  2x tg x] 
l) 4xy2  2x2 · 2y · y '  6x  2y · y '  0  4x2yy'  2yy'  6x 4xy2  y' (4x2y  2y)  6x  4xy2 
y2yx4
xy4x6'y
2
2


 
 
3
1
2
2x3
x4xfm)









  
    







 














2
22
3
2
22
23
2
2
)2x3(
x12x16x24·
x4
2x3
3
1
)2x3(
3·x42x3x8·
2x3
x4
3
1x'f
2
2
3
2
2 )2x3(
x16x12·
x4
2x3
3
1







 
 
n) y  (2x  1)x  ln y  ln (2x  1)x  ln y  x ln (2x  1)   
1x2
2·x1x2ln
y
'y

 
    





1x2
x21x2ln·1x2'y x 
ñ) 2x  3y  3x · y'  2y · y'  0  3x · y'  2y · y'  2x  3y  y' (3x  2y)  2x  3y 
y2x3
y3x2'y


 
 
ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD 
 
EJERCICIO 10 : Estudia la derivabilidad de esta función, según los valores de a y b: 
 









1xsi
10si
0si13
23
2
xlnbx
xaxx
xx
xf
 
 
Solución: 
 Continuidad: 
- En x  0 y x  1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. 
- En x  0:
   
   
 
  .0xen continua es no xf
00f
0axxlímxflím
11x3límxflím
23
0x0x
2
0x0x


















 
Tema 9 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas II – 2º Bachillerato 7 
- En x  1:
   
   
 














b1f
bxlnbxlímxflím
a1axxlímxflím
1x1x
3
1x1x
 
Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser b  1  a. 
 
 Derivabilidad: 
- Si x  0 y x  1: f (x) es derivable, y su derivada es:  












1xsi
x
1b
1x0siax2x3
0xsix6
x'f 2 
- En x  0: f (x) no es derivable, pues no es continua en x  0. 
- En x  1: Para que f (x) sea derivable en x  1, han de ser iguales las derivadas laterales: 
 
 
123
11'
231'









ba
bf
af
 
- Por tanto, f (x) será derivable en R  {0} cuando y solo cuando:
0b
1a
1ba23
a1b







 
- En x  0 no es derivable, cualesquiera que sean a y b. 
 
EJERCICIO 11 : Calcula a y b para que la siguiente función sea derivable en todo R: 
 








1si2
1si
2
2
xxbx
x
x
ax
xf
 
 
Solución: 
 Continuidad: 
- En x  1: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas en los intervalos en los que están definidas. 
- En x  1:
 
   
 















 




2b1f
2bx2bxlímxflím
a1
x
axlímxflím
2
1x1x
2
1x1x
 
Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser 1  a  b  2. 
 
 Derivabilidad: 
- Si x  1: f (x) es derivable, y su derivada es:  









1xsi2bx2
1xsi
x
ax2
x'f
2
 
- En x  1: Como f '(1)  2  a y f '(1)  2b 2, para que f (x) sea derivable en 
x  1, ha de ser 2  a  2b  2. 
 
 Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será derivable en todo R cuando: 
3
7b
3
2a
4b2a
3ba
2b2a2
2ba1













 
Tema 9 – Derivadas. Técnicas de derivación – Matemáticas II – 2º Bachillerato 8 
EJERCICIO 12 : Estudia la derivabilidad de la función:  










2xsi4x4x
2x1six2
1xsix3x
xf
2
2
24
 
 
Solución: 
 Continuidad: 
- En x  1 y x  2: f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. 
- En x  1:
   
   
 
  .1xen continua es xf
21f
2x2límxflím
2x3xlímxflím
2
1x1x
24
1x1x


















 
- En x  2:
   
   
 
  .2xen continua es xf
82f
84x4xlímxflím
8x2límxflím
2
2x2x
2
2x2x


















 
 Derivabilidad: 
- Si x  1 y x  0: f (x) es derivable, y su derivada es:  










2xsi4x2
2x1six4
1xsix6x4
x'f
3
 
- En x  1: Como f '(1)  2  f '(1)  4, f (x) no es derivable en x  1. 
- En x  2: Como f '(2)  8  f '(2), f (x) es derivable en x  2, y su derivada es f '(2)  8. 
 
Tema 9 – Derivadas.Técnicas de derivación – Matemáticas II – 2º Bachillerato 9 
EJERCICIO 13 : Halla los valores de a y b para que la siguiente función sea derivable: 
 







1xsi2bxax
1xsibaxx3
xf
3
2
 
 
Solución: 
 Continuidad: 
- Si x  1: f (x) es continua, pues está formada por polinomios, que son funciones continuas. 
- En x  1:
   
   
 

















2ba1f
2ba2bxaxlímxflím
ba3baxx3límxflím
3
1x1x
2
1x1x
 
Para que f (x) sea continua en x  1, ha de ser 3  a  b  a  b  2; es decir, 2a  2b  1. 
 
 Derivabilidad: 
- Si x  1: f (x) es derivable, y su derivada es:  







1xsibax3
1xsiax6
x'f
2
 
- En x  1: Para que sea derivable en x  1, las derivadas laterales han de ser iguales:
 
 
ba3a6
ba31'f
a61'f










 
 Uniendo las dos condiciones anteriores, f (x) será derivable si:
3
4b;
6
11a
ba3a6
1b2a2






 
 
EJERCICIO 14 : Estudia la derivabilidad de la siguiente función:  










0xsi3x2
0x1si4x
1xsix2x3
xf
x
2
2
 
Solución: 
 Continuidad: 
- Si x  1 y x  0  f (x) es continua, pues está formada por funciones continuas. 
- En x  1
   
   
 
  1xen continua es xf
51f
54xlímxflím
5x2x3límxflím
2
1x1x
2
1x1x




























 
- En x  0:
   
   
 
  0xen continua es xf
40f
43x2límxflím
44xlímxflím
x
0x0x
2
0x0x




























 
 Derivabilidad: 
- Si x  1 y x  0  f (x) es derivable, y su derivada es:  









0xsi12ln2
0x1six2
1xsi2x6
x'f
x
 
- En x  1: Como f '(1)  8  f '(1)  2; f (x) no es derivable en x  1. 
- En x  0: Como f '(0)  0  f '(0)  (ln 2)  1; f (x) tampoco es derivable en x  0.