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15
Progresiones aritméticas y
geométricas
Introducción
Alexis Claude Clairaut (1713–1765).
Nació en Paŕıs el 7 de mayo de 1713 y murió
en la misma ciudad el 11 de mayo de 1765.
Su padre, Jean–Baptiste, era maestro de ma-
temáticas de Paŕıs y miembro de la Academia
de Berĺın.Se cuenta que a la edad de diez años
ya léıa los libros de Guillaume François An-
toine l’Hospital (1661-1704) sobre cónicas y
cálculo infinitesimal. Con tan sólo doce años
de edad, Clairaut presentó una memoria so-
bre cuatro curvas a la Academia de Ciencias
de Paris, la cual obtuvo grandes elogios. Con sólo dieciocho años, en 1731,
publicó la obra Investigaciones sobre las curvas con doble curvatura, gracias
a la cual fue admitido en la Academia de Ciencias, aunque se hizo una excep-
ción con él, ya que el reglamento exiǵıa una edad mı́nima de veinte años. En
la Academia se unió a los “newtonianos”, un pequeño grupo que apoyaba la
filosof́ıa natural de Newton. Posteriormente, Clairaut escribió varios art́ıculos
sobre la órbita de la luna, y sobre cómo los planetas afectan al movimiento
de los cometas, en especial sobre la trayectoria del cometa Halley. Clairaut
predijo que el cometa Halley llegaŕıa al punto más cercano al sol el 13 de abril
de 1759, aunque realmente el cometa llegó un mes antes.
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OBJETIVO GENERAL
Caracterizar sucesiones de números reales
OBJETIVOS ESPEĆIFICOS
Deducir fórmulas compactas para la suma de progresiones aritméticas y
geométricas.
Representar mediante los śımbolos abreviadores de suma y producto, ciertas
expresiones que proveen una ley de formación determinada.
PROGRESIONES
Una progresión es una lista de números que siguen una ley general de forma-
ción. Según como sea esa ley, las progresiones que se verán serán aritméticas
o geométricas. Se verá cómo estas progresiones tienen aplicación en el cálculo
de interés compuesto y en el crecimiento exponencial de algunos seres vivos.
PROGRESIONES ARITMÉTICAS
Definición 15.1 (Progresión aritmética).
Una progresión aritmética es una sucesión de números
a1, a2, . . . , an, . . . (15.1)
tal que la diferencia de dos términos sucesivos cualesquiera es constante,
es decir, an − an−1 = d para todo n = 1, 2, 3, . . .
A la constante d se le denomina diferencia común.
En la notación anterior se tendrá que:
a1: primer término de la progresión.
d: diferencia común.
Ejemplo 15.1. La sucesión:
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2, 5, 8, 11, 14, . . .
es aritmética con diferencia común d = 3.
Note que:
5− 2 = 3, 8− 5 = 3, 11− 8 = 3, 14− 11 = 3, . . .
2
5
8
11
14
· · ·
Figura 15.1: Progresión aritmética con diferencia común d = 3.
Otra forma de escribir una progresión aritmética es:
a1, a1 + d, a1 + 2d, a1 + 3d, . . . , a1 + (n − 1)d, . . .
Como consecuencia de lo anterior, en una progresión aritmética en la cual
la diferencia común es d y el primer término es a1, se tiene que el n-ésimo
término se denota por
an = a1 + (n− 1)d.
Ejercicio 15.1. Halle el término de lugar 12 de la progresión aritmética
10, 7, 4, . . .
Solución. Se tiene que a1 = 10, d = −3. Se sabe que an = a1 + (n− 1)d. En
consecuencia, para n = 12 se tiene que a12 = 10 + (12 − 1)(−3) = −23. �X
Ejercicio 15.2. Si el cuarto término de una progresión aritmética es 14 y el
noveno es 34, encuentre el primer término.
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Solución. Como an = a1 + (n− 1)d se tiene entonces que:
para n = 4: 14 = a1 + 3d.
para n = 9: 34 = a1 + 8d.
Resolviendo el sistema de ecuaciones, se concluye que a1 = 2 y d = 4. �X
Ejercicio 15.3. Encuentre una progresión aritmética de siete términos cuyo
primer término es 1/2 y cuyo último término es 13/2.
Solución. Se sabe que a1 =
1
2
, n = 7, an = a1 + (n− 1)d. En nuestro caso se
tiene que
13
2
=
1
2
+(7−1)d. Por tanto, 6 = 6d o sea que d = 1. De lo anterior
se concluye que la progresión aritmética es:
1
2
,
3
2
,
5
2
,
7
2
,
9
2
,
11
2
,
13
2
. �X
El siguiente teorema muestra una forma compacta para calcular una suma
aritmética:
Teorema 15.1 (Suma aritmética). La suma Sn de los primeros n térmi-
nos de una progresión aritmética a1, a2, . . . , an, . . . con diferencia d, viene
dada por
Sn =
n
2
(a1 + an
2
)
ó Sn =
n
2
[
2a1 + (n− 1)d
]
.
Demostración. Si Sn denota la suma de los n primeros términos de una pro-
gresión aritmética, se tiene:
Sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + · · ·+ [a1 + (n− 1)d]
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Si invertimos el orden de la suma anterior, se tiene:
Sn = [a1 + (n− 1)d] + [a1 + (n− 2)d] + · · · + [a1 + d] + a1.
Si se suman las dos igualdades anteriores, se tiene:
2Sn = [2a1 + (n− 1)d] + [2a1 + (n− 1)d] + · · · + [2a1 + (n− 1)d].
Puesto que hay n términos de la forma [2a1 + (n− 1)d], podemos decir que:
2Sn = n[2a1 + (n− 1)d]
Sn =
n
2
[2a1 + (n− 1)d].
�X
Observación 15.1. Como el n-ésimo término de una progresión aritmética
es an = a1 + (n − 1)d entonces,
Sn =
n
2
[a1 + an].
Ejercicio 15.4. Halle la suma de los 10 primeros términos de la progresión
aritmética −5,−1, 3, 7, . . .
Solución. Se tiene que a1 = −5, d = 4, n = 10.
S10 =
10
2
(2× (−5) + (10 − 1)× 4) = 130.
�X
Ejercicio 15.5. La suma de los primeros 15 términos de una progresión
aritmética es 360. Halle el primer término y la diferencia común si el término
de lugar 15 es 39.
Solución. Se sabe que Sn =
n
2
(a1 + an). Se sabe también que S15 = 360,
a15 = 39.
15(a1 + 39)
2
= 360
15a1 + 585 = 720
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a1 = 9
Como a1 = an + (n − 1)d, entonces 39 = 9 + 14d, es decir; d =
15
7
. �X
Ejercicio 15.6. Encuentre la suma de los enteros impares de 1 hasta 51
inclusive.
Solución. a1 = 1, d = 2, an = 51. Como an = a1 + (n − 1)d, entonces
51 = 1 + (n− 1)× 2, luego n = 26. Por consiguiente,
S26 =
26
2
× (1 + 51) = 676.
�X
PROGRESIONES GEOMÉTRICAS
Definición 15.2 (Progresión geométrica).
Una progresión geométrica es una sucesión de números
a1, a2, . . . , an, . . . (15.2)
tal que el cociente de dos términos consecutivos cualesquiera es constante,
es decir,
an+1
an
= r para todo n = 1, 2, . . . A la constante r se le denomina
razón.
Note que, como consecuencia de la definición, en toda progresión geométrica
se cumple que
an = a1r
n−1,
donde an es el término situado en el lugar n-ésimo. En consecuencia, la pro-
gresión geométrica puede escribirse como:
a1, a1r, a1r
2, a1r
3, . . . , a1r
n−1.
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Ejemplo 15.2. La sucesión 4, 12, 36, 108, 324, 972 es una progresióngeométri-
ca que consta de seis términos, y donde r = 3.
Ejemplo 15.3. La sucesión:
1
2
,
1
4
,
1
8
,
1
16
, . . .
es geométrica con razón r = 1/2. Note que:
a2
a1
=
1/4
1/2
=
1
2
,
a3
a2
=
1/8
1/4
=
1
2
,
a4
a3
=
1/16
1/8
=
1
2
, . . .
1
1
1
2
1
4
1
8
Figura 15.2: Sucesión geométrica con razón r = 1/2.
Ejercicio 15.7. Dada una progresión geométrica donde r = 3, a1 = 2, halle
el quinto término.
Solución. Si en la fórmula en que an = a1r
n−1 se toma a1 = 2, r = 3, n = 5,
se tiene que a5 = 162. �X
Ejercicio 15.8. Si en una progresión geométrica el octavo término es 32 y el
quinto es 4, halle los cuatro primeros términos.
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Solución. Se sabe que an = a1r
n−1. En consecuencia,



32 = a1r
8−1, (para n = 8)
4 = a1r
5−1. (para n = 5)
De las anteriores ecuaciones, despejando a1 de la primera ecuación, y reem-
plazando el resultado en la segunda, se obtiene que r3 = 8 y, por tanto, r = 2;
y reemplazando este valor en cualquiera de las ecuaciones anteriores se tiene
que a1 = 1/4. Por consiguiente, los primeros cuatro términos de la progresión
son: 1/4, 1/2, 1, 2. �X
Una manera compacta de calcular una suma geométrica viene dada a conti-
nuación:
Teorema 15.2 (Suma geométrica). La suma Sn de los primeros n térmi-
nos de una progresión geométrica a1, a2, . . . , an, . . . con razón r 6= 1,
viene dada por
Sn = a1 ·
1− rn
1− r
Demostración. Si Sn denota la suma de los n términos de una progresión
geométrica, entonces se tiene que:
Sn = a1 + a1r + a1r
2 + a1r
3 + · · ·+ a1r
n−1
rSn = a1r + a1r
2 + a1r
3 + a1r
4 + · · ·+ a1r
n.
Restando miembro a miembro, se tiene:
Sn − rSn = a1 − a1r
n
Sn(1− r) = a1(1− r
n)
Sn =
a1(1− r
n)
1− r
.
�X
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Ejercicio 15.9. Halle la suma de los 7 primeros términos de la sucesión
5,−10, 20, . . .
Solución. La sucesión es una progresión geométrica con a1 = 5, r = −2 y
n = 7. Luego
S7 =
5× (1− (−2)7)
1− (−2)
= 215. �X
Ejercicio 15.10. Halle la suma de una progresión geométrica en la cual el
primer término es 4, el último término es
1
8
y la razón común es
1
2
.
Solución. a1 = 4, an =
1
8
, r =
1
2
.
Sn =
a1 − ran
1− r
=
4−
1
8
×
(
1
2
)
1−
1
2
=
63
8
.
�X
Ejercicio 15.11. Divida el número 195 en tres partes que formen una pro-
gresión geométrica cuyo tercer término exceda al primero en 120.
Solución. Sea x el primer término y r la razón común de la progresión. Se
debe cumplir que:
x+ xr + xr2 = 195.
xr2 = x+ 120.
De la segunda ecuación se tiene:
x(r2 − 1) = 120, −→ x =
120
r2 − 1
,
por tanto,
120
r2 − 1
+
120r
r2 − 1
+
120r2
r2 − 1
= 195.
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Simplificando se obtiene que 5r2 − 8r − 21 = 0, r = 3, r = −
7
5
y por tanto
x1 = 15, x2 = 125. Aśı: 15, 45, 135 y 125, −175, 245 son progresiones
geométricas que cumplen estas posibilidades. �X
SUMATORIA Y PRODUCTORIA
Cuando una serie de términos sigue una ley general de formación, a la suma de
esos términos se les puede representar mediante un śımbolo llamado sumatoria
o notación sigma. De manera análoga, cuando una serie de términos sigue una
ley general de formación, ese producto se puede representar mediante otro
śımbolo abreviador llamado productoria.
SUMATORIA
En ocasiones, es necesario escribir de forma compacta la suma de m términos:
a1, a2, . . . , am. Para este propósito se utiliza la letra griega mayúscula Σ de la
siguiente forma:
a1 + a2 + a3 + · · ·+ am =
m
∑
k=1
ak.
En dicha expresión, k representa el ı́ndice de la suma, ak el término k-ésimo y
los números 1 y m los ĺımites inferior y superior de la suma, respectivamente.
En general, no necesariamente el ĺımite inferior debe empezar en 1, como lo
veremos en algunos de los ejercicios resueltos.
Ejercicio 15.12. Represente mediante la notación de sumatoria:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7
Solución. La variación de i es de 1 a 7 como exponente. Por tanto,
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 =
7
∑
i=1
xi.
�X
Ejercicio 15.13. Denote mediante la notación de sumatoria:
x4 + x6 + x8 + x10 + x12
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Solución. La expresión se puede escribir como
x2×2 + x2×3 + x2×4 + x2×5 + x2×6.
En este caso, una parte del exponente vaŕıa desde 2 hasta 6 de forma conse-
cutiva tomando valores enteros. En consecuencia,
x2×2 + x2×3 + x2×4 + x2×5 + x2×6 =
6
∑
i=2
x2i.
�X
Ejercicio 15.14. Encuentre el resultado de desarrollar la siguiente sumatoria:
10
∑
i=3
ix2i
Solución. Dándole a i los valores consecutivos desde 3
10
∑
i=3
ix2i = 3x6 + 4x8 + 5x10 + · · ·+ 10x20.
�X
Ejercicio 15.15. Exprese mediante la notación de sumatoria
4x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6 + 8x7
Solución. El coeficiente de las x vaŕıa desde 4 hasta 8. El exponente vaŕıa
como el coeficiente, pero con una unidad menos en cada término. Por tanto,
4x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6 + 8x7 =
8
∑
i=4
ixi−1.
También hubiéramos podido escribir la suma anterior como:
4x3 + 5x4 + 6x5 + 7x6 + 8x7 =
7
∑
i=3
(i+ 1)xi.
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Observación 15.2. En general, si f una función, y m, n, k son enteros en
el dominio de f tales que m ≤ k ≤ n, entonces el śımbolo
n
∑
k=m
f(k) se define
aśı:
n
∑
k=m
f(k) = f(m) + f(m+ 1) + · · ·+ f(n− 1) + f(n)
donde k se denomina el ı́ndice de la sumatoria, m es el ĺımite inferior y n es
el ĺımite superior.
Propiedad 15.1 (Propiedades de la sumatoria).
Sean f y g funciones, y m, n, k, p enteros pertenecientes al dominio de
f y g, tales que m ≤ k ≤ n y sea C una constante real, entonces:
1.
n
∑
k=m
[f(k)± g(k)] =
n
∑
k=m
f(k)±
n
∑
k=m
g(k). Propiedad aditiva
2.
n
∑
k=m
Cf(k) = C
n
∑
k=m
f(k). Propiedad distributiva
3.
n
∑
k=m
C = (n − m + 1)C; en particular,
n
∑
k=1
C = nC. Propiedad ho-
mogénea
4.
n
∑
k=m
f(k) =
p
∑
k=m
f(k) +
n
∑
k=p+1
f(k) si m ≤ n y m ≤ p ≤ n. Propiedad
aditiva.
5.
n
∑
k=m
f(k) =
p+n
∑
J=m+p
f(J − p). Desplazamiento del ĺımite.
6.
n
∑
k=m
[f(k)− f(k − 1)] = f(n)− f(m− 1); en particular:
n
∑
k=1
[f(k)− f(k − 1)] = f(n)− f(0). Propiedad telescópica.
Ejercicio 15.16. Calcule
n
∑
k=1
(2k − 1).
U
ni
ve
rs
id
ad
de
A
nt
io
qu
ia
©
In
st
it
ut
o
de
M
at
em
át
ic
as
20
19
G
ru
p
o
E
M
A
C
:
E
n
se
ñ
an
za
d
e
M
at
em
át
ic
as
y
C
om
p
u
ta
ci
ón
INSTITUTO de
MATEMÁTICAS
P
ro
g
re
sio
n
e
s
y
su
m
a
s
239
Solución.
n
∑
k=1
(2k − 1) =
n
∑
k=1
[k2 − (k − 1)2]; en este caso: f(k) = k2
= n2 − (1− 1)2 = n2, (propiedad telescópica). �X
Ejercicio 15.17. Calcule
n
∑
k=1
k.
Solución. Del ejemplo anterior se tiene:
n
∑
k=1
(2k − 1) = n2. Si se aplican las
propiedades aditiva y homogénea, se tiene: 2
n
∑
k=1
k−
n
∑
k=1
1 = n2. Pero
n
∑
k=1
1 = n,
por tanto
2
n
∑
k=1
k = n2 + n
n
∑
k=1
k =
n2 + n
2
=
n(n+ 1)
2
.
�X
Ejercicio 15.18. Calcule
n
∑
k=1
(3k2 − 3k + 1).
Solución.
n
∑
k=1
(3k2 − 3k + 1) =
n
∑
k=1
[k3 − (k − 1)3]; acá f(k) = k3,y según la
propiedad telescópica:
n
∑
k=1
(3k2 − 3k + 1) = n3. �X
Ejercicio 15.19. Calcule
n
∑
k=1
k2.
Solución. En el ejemplo anterior se tiene que:
n
∑
k=1
(3k2 − 3k + 1) = n3
3
n
∑
k=1
k2 − 3
n
∑
k=1
k +
n
∑
k=1
1 = n3
U
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A
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ón
ÁLGEBRA Y
TRIGONOMETŔIA
P
ro
g
re
si
o
n
e
s
y
su
m
a
s
240
3
n
∑
k=1
k2 − 3
n(n+ 1)
2
+ n = n3.
Al despejar
n
∑
k=1
k2 se obtiene:
n
∑
k=1
k2 =
n(n+ 1)(2n + 1)
6
.
�X
Ejercicio 15.20. Escriba bajo el śımbolo de sumatoria:
log 2− log
(
3
2
)
+ log
(
4
3
)
− log
(
5
4
)
.
Solución. Se observa que la expresión se puede escribir como:
log
1 + 1
1
− log
1 + 2
2
+ log
1 + 3
3
− log
1 + 4
4
.
Los numeradores del argumento son de la forma 1 + k, con k variando de 1
a 4. Los denominadores del argumento vaŕıan de 1 a 4. Como los signos se
alternan, hay que multiplicar por una expresión de la forma (−1)k−1 con k
variando de 1 a 4. Por tanto:
log 2− log
(
3
2
)
+ log
(
4
3
)
− log
(
5
4
)
=
4
∑
k=1
(−1)k−1 log
(1 + k)
k
.
�X
PRODUCTORIA
Al igual que la notación
∑
discutida en el numeral anterior, el śımbolo pro-
ductoria, que se denota por
∏
significa una operación, en este caso producto,
donde los términos del producto siguen una ley general de formación. Con el
śımbolo
∏
se denotará el producto a1 · a2 · a3 · a4 · · · an en la forma siguiente:
a1 · a2 · a3 · a4 · · · an =
n
∏
i=1
ai.
U
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INSTITUTO de
MATEMÁTICAS
P
ro
g
re
sio
n
e
s
y
su
m
a
s
241
De la misma manera como ocurre con el śımbolo sumatoria, se le dan valores a
i, enteros consecutivos, desde el valor indicado en la parte inferior del śımbolo
productoria, hasta el valor indicado en la parte superior del mismo.
Ejemplo 15.4 (Factorial). El śımbolo n! se lee “n factorial”, y se define
entonces como
n! = 1× 2× · · · × n
si n entero positivo; y cuando n = 0, 0! = 1. Aśı, en notación productoria:
n! =
n
∏
i=1
i
	Progresiones y sumas
	Progresiones
	Sumatoria y productoria