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Apuntes de Teoría de 
Estructuras 
 
4º curso de Ingeniería Industrial 
Escuela Politécnica de Ingeniería de Gijón
 
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ÍNDICE 
CAPÍTULO 1. FUNDAMENTOS DEL ANÁLISIS ESTRUCTURAL ................................................................................ 5 
LECCIÓN 1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................................... 5 
PRÁCTICAS DE COLOQUIOS 1. DIAGRAMAS DE ESFUERZOS INTERNOS ................................................................................... 21 
CAPÍTULO 2. PRINCIPIO DE LOS TRABAJOS VIRTUALES (PTV) ............................................................................ 39 
LECCIÓN 2. APLICACIÓN DEL PTV AL ANÁLISIS ESTRUCTURAL ............................................................................................. 39 
CAPÍTULO 3. MÉTODOS CLÁSICOS DEL CÁLCULO DE ESTRUCTURAS DE BARRAS ............................................... 51 
LECCIÓN 3. MÉTODO DE LAS FUERZAS I ......................................................................................................................... 51 
LECCIÓN 4. MÉTODO DE LAS FUERZAS II ........................................................................................................................ 63 
PRÁCTICAS DE COLOQUIOS 2. MÉTODO DE LAS FUERZAS ................................................................................................... 75 
PRÁCTICAS DE PROBLEMAS 1. MÉTODO DE LAS FUERZAS .................................................................................................. 87 
LECCIÓN 5. MÉTODO DE LOS ÁNGULOS DE GIRO I ........................................................................................................... 95 
LECCIÓN 6. MÉTODO DE LOS ÁNGULOS DE GIRO II ........................................................................................................ 109 
PRÁCTICAS DE COLOQUIOS 3. MÉTODO DE LOS ÁNGULOS DE GIRO .................................................................................... 121 
PRÁCTICAS DE PROBLEMAS 2. MÉTODO DE LOS ÁNGULOS DE GIRO ................................................................................... 131 
CAPÍTULO 4. MÉTODO DE CÁLCULO MATRICIAL ............................................................................................. 141 
LECCIÓN 7. GENERALIDADES ..................................................................................................................................... 141 
LECCIÓN 8. MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ I .............................................................................................................. 155 
LECCIÓN 9. MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ II ............................................................................................................. 161 
LECCIÓN 10. MÉTODO DIRECTO DE LA RIGIDEZ III .......................................................................................................... 167 
PRÁCTICAS DE COLOQUIOS 4. MÉTODO DE CÁLCULO MATRICIAL....................................................................................... 169 
PRÁCTICAS DE PROBLEMAS 3. MÉTODO DE CÁLCULO MATRICIAL ...................................................................................... 175 
C.1 L.1 Introducción 
 
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Capítulo 1. Fundamentos del Análisis Estructural 
Lección 1. Introducción 
1.1 Estructura: es un elemento o un conjunto de elementos unidos por nudos diseñados para 
cumplir una función y ser capaces de resistir unas determinadas acciones exteriores. 
1.2 El objeto del análisis estructural: es definir el modelo estructural más adecuado y 
calcular la estructura que cumpla su función de la forma más satisfactoria. Es decir, obteniendo la 
resistencia adecuada con el menor coste posible. 
1.3 Las etapas del proyecto estructural: 
ETAPA Trabajo del ingeniero Documento/s resultante: 
Diseño Esquemas estructurales 
previos, selección de 
material, cargas 
Anteproyecto, memoria 
Cálculo Obtención de esfuerzos 
internos, deformaciones… 
Memoria de cálculo 
Representación Dibujo Planos 
Condiciones constructivas Fijar los requisitos específicos 
de la fase de ejecución 
Pliego de Condiciones y 
Presupuesto 
Construcción y montaje Dirección de obra 
La asignatura se centra en parte de la etapa de diseño y parte de la de cálculo 
1.4 La etapa de diseño y cálculo estructural: 
 
A la modelización y predimensionado (tomar unas primeras dimensiones de los elementos como punto 
de partida) sigue un análisis de las cargas y un cálculo de esfuerzos, desplazamientos, tensiones y 
deformaciones. Con los resultados de esto se comprueba que cumpla con los estados límite: 
• E.L. Último (comprueba la resistencia de los elementos de la estructura) 
• E.L. de Servicio (comprueba que las deformaciones sean aceptables) 
C.1 L.1 Introducción 
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En el caso de que no se cumplieran las comprobaciones habría que redefinir la estructura y repetir el 
cálculo. De cumplirse, se completaría el diseño final de detalles (uniones, etc). Estas comprobaciones no son 
objeto de la asignatura, sólo la obtención de los esfuerzos y desplazamientos. Las comprobaciones de las secciones se tratan 
en las asignaturas de Resistencia de Materiales, en Estructuras Metálicas o en Estructuras de Hormigón. 
1.5 ¿Qué debe definirse para realizar el análisis estructural? 
• Los materiales: acero (S275, S355…) hormigón (HA-25, HA-35…) madera (C20, D50…) 
• Tipos estructurales: pórticos planos, estructura espacial, celosía, cubierta autoportante… En la 
asignatura se analizan estructuras planas. 
• Tipos de elementos: losas, barras… En la asignatura se analizan estructuras de barras. 
• Tipos de nudos: rígidos, articulados, semirrígidos… En general no se tratará con nudos semirrígidos 
(excepto apoyos) 
• Condiciones de apoyo: articulado fijo, articulado móvil, empotramiento, empotramiento móvil, 
apoyos elásticos… 
• Solicitaciones externas: fuerzas distribuidas, fuerzas puntuales, momentos puntuales, cargas 
térmicas uniformes, gradientes térmicos. 
• Tipos de cálculo: estático, dinámico (para sismos o maquinaria)… En la asignatura se realiza un 
cálculo estático de primer orden. 
• Procedimiento de cálculo: Método de las Fuerzas, Método de los Ángulos de Giro, Método 
Matricial, Cross, Elementos Finitos, Métodos Gráficos… Fuerzas, Ángulos de Giro y Matricial son los de 
la asignatura. 
1.6 Estructuras según su función estructural 
Edificios de viviendas, oficinas y naves industriales: suelen seguir una estructura porticada de 
vigas y pilares, en algunos casos utilizando celosías. En edificios en España suele tenderse al hormigón 
y en naves al acero. 
 
Equipos industriales, grúas y depósitos: se usan muchas estructuras en celosía de acero. 
 
C.1 L.1 Introducción 
 
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Pasarelas, puentes y losas: son estructuras de acero, hormigón o mixtas. En general la losa es de 
hormigón. 
 
1.7 Tipos de nudos 
Nudo rígido: conserva el ángulo siempre. El nudo puede girar y las barras deformarse, pero esas 
barras siempre saldrán formando el mismo ángulo del nudo. Ocurre lo mismo con el empotramiento 
de las barras. 
 
 
Son los nudos típicos en los denominados pórticos rígidos de acero y en las estructuras de hormigón 
armado para edificación. 
Nudo articulado: permite el giro como una rótula. Las barras que de él salen pueden cambiar su 
ángulo después de aplicadas las cargas. No transmiten momentos flectores. 
C.1 L.1 Introducción 
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Son los nudos típicos en celosías. A pesar de que no se ejecute una articulación efectiva en la celosía 
(una rótula, una articulación con un bulón o similar), en la práctica puede considerarse nudo articulado 
siempre que los ejes de las barras se crucen en un punto (o muy cerca) y además las cargas recaigan 
principalmente sobre los nudos de la celosía. 
1.8 Tipos de elementos 
• Elementos unidimensionales: barras. Serán los elementos que se tratarán en la asignatura.• Elementos bidimensionales: membranas, placas, láminas y lajas (se diferencian en los 
esfuerzos que soportan) 
• Elementos tridimensionales 
1.9 Esfuerzos en las barras 
Son las fuerzas internas en una determinada sección de la barra. 
Esfuerzo normal de tracción o compresión: provocado por las fuerzas externas que siguen la 
dirección del eje de la barra. Se toman todas esas fuerzas (incluidas las reacciones) a un lado de la 
sección y ese será el esfuerzo normal. Se toma el signo negativo para compresión. (Fig. a) 
Momento flector: provocado por los momentos puntuales y las cargas cuya línea de acción está 
separada una cierta distancia de la sección, pero en el mismo plano que la barra. Se toman todos los 
momentos puntuales a un lado de la sección (incluidos los momentos en los empotramientos) y se les 
suman o restan los momentos (fuerza x distancia) causados por el resto de fuerzas (incluidas 
reacciones) que están a ese mismo lado de la sección. Ese será el momento flector. (Fig. b) 
Esfuerzo cortante: provocado por las fuerzas externas perpendiculares al eje de la barra. Se toman 
todas esas fuerzas (incluidas las reacciones) a un lado de la sección y ese será el esfuerzo cortante. (Fig. 
b) 
Momento torsor: provocado por los momentos torsores puntuales y las cargas cuya línea de acción 
está separada una cierta distancia de la sección, pero en el plano perpendicular a la barra. Se toman 
todos los momentos torsores puntuales a un lado de la sección (incluidos los momentos en los 
empotramientos) y se les suman o restan los momentos (fuerza x distancia) causados por el resto de 
fuerzas (incluidas reacciones) que están a ese mismo lado de la sección. Ese será el momento torsor. 
(Fig. c) En general, al tratar con estructuras planas, no se trabajará con torsores. 
C.1 L.1 Introducción 
 
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En general, las barras de una estructura pueden tener todos esos esfuerzos (normales, flectores, 
cortantes y torsores). Sin embargo, en el caso de las barras biarticuladas sin cargas que puedan crear 
momento o cortante en su longitud sólo tendrán la posibilidad de soportar axiles (tracción o 
compresión). 
 
Los tirantes equivalen a esas barras biarticuladas, pero son incapaces de soportar compresiones. Sólo 
soportan axiles positivos (de tracción). Estos tirantes pueden ser cables o simplemente barras delgadas 
y largas (que pandearían con la mínima compresión). En el caso de que en un análisis inicial el tirante 
resultase comprimido habría que repetirlo eliminando el elemento. 
 
1.10 Esfuerzos en las membranas 
Las membranas soportan tracciones y tensiones tangenciales cuando se les aplican cargas 
perpendiculares a la superficie (tipo presiones en tolvas o depósitos). No son objeto de la asignatura. 
 
1.11 Esfuerzos en las placas 
Las placas soportan momentos y cortantes cuando se les aplican cargas perpendiculares a la superficie. 
En este caso un ejemplo claro sería una losa apoyada sobre su contorno. No son objeto de la asignatura. 
C.1 L.1 Introducción 
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1.12 Esfuerzos en las láminas 
Las láminas son elementos bidimensionales que soportan a la vez los mismos esfuerzos mencionados 
para las membranas y las placas: tracciones, tensiones tangenciales, cortantes y momentos. En la 
imagen se presentan zonas locales en en tolvas o depósitos que no tienen cargas perpendiculares a la 
superficie. Esas zonas trabajan en régimen de lámina. No son objeto de la asignatura. 
 
1.13 Esfuerzos en las lajas 
Las lajas soportan cargas de tracción o compresión aplicadas en el espesor de las mismas. Es decir, la 
carga está en el plano de la laja. No son objeto de la asignatura. 
 
1.14 Esfuerzos en elementos tridimensionales 
Este tipo de elementos pueden soportar todo tipo de esfuerzos en cualquier dirección del espacio, sin 
embargo en algunos casos pueden simplificarse para hacer un estudio plano. Un ejemplo típico es el 
de elementos con una dimensión predominante y cargas perpendiculares a su sección transversal 
(muros de presas). No son objeto de la asignatura. 
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1.15 Cargas externas: acciones 
Cargas de superficie y de volumen: de superficie será la sobrecarga de uso, el viento, la nieve, etc., 
mientras que de volumen, en general es el peso propio. Sin embargo, al trabajar con barras, estas 
cargas hay que convertirlas en cargas lineales o puntuales, que serán las que se utilicen en la presente 
asignatura. 
Cargas permanentes y variables: las cargas permanentes son las correspondientes al peso propio 
de la estructura y todos los pesos que soporta siempre (solado, alicatado). Las cargas variables se 
corresponden con la sobrecarga debida al uso que se de a la estructura, el viento y la nieve… 
Obsérvese en la figura que el peso propio y la nieve son verticales y hacia abajo (gravitatorias), 
mientras que el viento es perpendicular a la superficie sobre la que actúa. En general se hace esta 
diferenciación de cargas permanentes y variables para aplicarles unos coeficientes de mayoración 
diferentes a unas y a otras en las combinaciones de cargas que pueda haber, sin embargo, esto no se tratará 
en la asignatura. 
 
Cargas estáticas y dinámicas: en general, sólo se suelen considerar como cargas dinámicas en una 
estructura típica las correspondientes a un posible terremoto o las propias de la maquinaria si estamos 
hablando de una estructura que soporte grandes elementos móviles. En la asignatura sólo se tratará el cálculo 
estático, la asignatura de Cálculo Dinámico tratará el otro tipo. 
Cargas puntuales y cargas distribuidas: Las puntuales son fuerzas (N, kN…) mientras que las 
distribuidas en vigas pueden son fuerzas repartidas por cada unidad de longitud del elemento (N/m, 
kN/m…). En elementos bidimensionales sería por unidad de superficie (N/m2, kN/m2) aunque, como se ha 
C.1 L.1 Introducción 
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mencionado, la asignatura se centra en elementos lineales. En general las cargas puntuales se expresan con letra 
mayúsculas (F, P…) y las distribuidas con minúsculas (q, w…) 
 
Cargas térmicas: pueden ser un incremento o descenso de temperatura uniforme en todo el 
elemento o gradientes (diferente temperatura en las diferentes caras del elemento). Sólo tienen 
efecto en sistemas hiperestáticos (ver apartado 1.17). Se tratarán más en profundidad en el capítulo 3 
de la asignatura. 
Desplazamientos impuestos: sólo tienen efecto en sistemas hiperestáticos (ver apartado 1.17). En 
estructuras reales se corresponden normalmente con los típicos asientos (o asentamientos) o 
hundimientos del terreno. Se tratarán más en profundidad en el capítulo 3 de la asignatura. 
Defectos de montaje: sólo tienen efecto en sistemas hiperestáticos (ver apartado 1.17). Se producen 
cuando las dimensiones de un elemento no encajan en la estructura, cuando es demasiado largo o 
demasiado corto. Se tratarán más en profundidad en el capítulo 3 de la asignatura. 
En un sistema estático, a todas las acciones exteriores deben oponersele unas reacciones en los 
apoyos de la estructura, de modo que las acciones y reacciones estén en equilibrio. 
1.16 Clasificación de apoyos 
Apoyos en 3D: al trabajar habitualmente con estructuras planas para hacer más sencillo su estudio, normalmente no se 
utilizarán en la asignatura. 
Una sección en tres dimensiones presenta 6 grados de libertad (g.d.l.) que son 6 posibilidades de 
movimiento. 
• 3 traslaciones: u, v y w según los ejes x, y, z respectivamente. 
• 3 rotaciones: φx, φy, φz, alrededor de los ejes x, y, z respectivamente. 
Los apoyos lo que hacen es restringir grados de libertad, es decir, eliminan posibilidades de 
movimiento en la sección (nudo o punto de la barra) en la que se aplican. 
Por cada restricción en un grado de libertad aparece una reacción que puede ser en forma de fuerza 
(Rx, Ry, Rz) si lo que se restringe es una traslación o de momento (Mx, My, Mz), si lo que se restringe es 
una rotación. 
Un empotramientoen 3D: restringe los 6 grados de libertad, por tanto tendremos 6 reacciones (3 
fuerzas y 3 momentos Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz) en el caso general. 
Una articulación en 3D: restringe sólo las 3 traslaciones, por tanto sólo habrá 3 reacciones (3 
fuerzas Rx, Ry, Rz) 
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En el esquema aparecen representados los momentos por el vector que los representa según la regla 
de la mano derecha. En estructuras planas en 2D, que son las que se tratarán en la asignatura, no será 
necesaria esta representación ya que normalmente se dibujan como flechas curvas en el sentido del 
momento. 
 
Apoyos en 2D: serán los que se utilizarán normalmente en la asignatura. 
Una sección en tres dimensiones presenta 3 grados de libertad (g.d.l.) que son 3 posibilidades de 
movimiento. 
• 2 traslaciones: u, v según los ejes x, y respectivamente 
• 1 rotación: φz alrededor del eje z. 
Por cada restricción en un grado de libertad aparece una reacción que puede ser en forma de fuerza 
(Rx, Ry) si lo que se restringe es una traslación o de momento (Mz), si lo que se restringe es una 
rotación. Este momento suele llamarse momento de empotramiento. 
Un apoyo articulado fijo: restringe las traslaciones, por tanto tendremos 2 reacciones (Rx, Ry). 
Un apoyo articulado móvil: restringe sólo una traslación, por tanto tendremos 1 reacción (Rx o Ry, la 
que tenga restringido el movimiento). 
Un empotramiento: restringe los 3 grados de libertad, por tanto tendremos 3 reacciones (2 fuerzas y 
1 momentos Rx, Ry, Mz). 
Un empotramiento móvil: restringe 1 grado de libertad de traslación y el de rotación, por tanto 
tendremos 2 reacciones (1 fuerza Rx o Ry y 1 momento Mz). 
 
 
 
C.1 L.1 Introducción 
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Apoyo articulado fijo Apoyo articulado móvil Empotr amiento 
CASOS REALES DE APOYOS EN ESTRUCTURAS 
 
Apoyos elásticos: se representan como muelles lineales (con rigidez respecto a desplazamientos 
lineales, δ) y muelles torsionales (con rigidez respecto a giros, θ). Las reacciones, R para los lineales y 
M para los torsionales, son proporcionales a estos desplazamientos y giros en función de su rigidez 
(constante elástica, k = Sm). 
 
Los apoyos elásticos pueden añadirse a cualquier posibilidad de movimiento libre de un apoyo del 
apartado anterior (excepto a los empotramientos fijos, que no tienen) y, simplemente, significarían 
una reacción en el grado de libertad al que se añade. 
Este tipo de apoyos puede representar en la realidad empotramientos semirrígidos o apoyos en 
cimentaciones elásticas. 
C.1 L.1 Introducción 
 
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1.17 Grado de hiperestaticidad 
El grado de hiperestaticidad de una estructura relaciona el número de ecuaciones de la estática de que 
disponemos con el número de incógnitas del sistema. Si se tienen demasiadas incógnitas como para 
obtener las reacciones y los esfuerzos (Axiles, Momentos y Cortantes) mediante un equilibrio estático 
simple, entonces estaremos hablando de una estructura hiperestática. 
Grado de hiperestaticidad en estructuras planas de nudos rígidos 
Grado de hiperestaticidad exterior: compara el número de reacciones en los apoyos con las 
ecuaciones de la estática de que se dispone para obtenerlas (equilibrio de fuerzas según x, equilibrio 
de fuerzas según y, equilibrio de momentos respecto a un punto) 
Por tanto: GHext=nº de Reacciones -3=R-3 
Grado de hiperestaticidad interior: los contornos cerrados aumentan el grado de hiperestaticidad 
interior en 3 cada uno, al incluir 3 incógnitas para la barra que cierra el contorno (momento M, 
cortante V y axil N). Sin embargo, las rótulas se usan para reducir la hiperestaticidad interior, ya que 
cada articulación añadida reduce la hiperestaticidad en un valor igual al número de barras que llegan a 
la articulación menos uno. Esto es porque las rótulas sirven para añadir ecuaciones a las del equilibrio 
estático, dado que el momento flector en una rótula tiene que ser cero (Mrot=0). 
Por tanto: GHint=3·nº de Contornos Cerrados-Σ(Barras que llegan a la Articulación-1)= 
=3CC-Σ(BA-1) 
Haciendo la cuenta (barras que llegan a la articulación-1) para cada articulación. 
El grado de hiperestaticidad total será GH=GHext+ GHint 
Grado de hiperestaticidad en estructuras planas de nudos articulados 
La fórmula para la hiperestaticidad total, que no es válida para estructuras con nudos rígidos es: 
GH=nº de Barras+nº de Reacciones-2·nº de nudos=B+R-2N 
En la fórmula se puede observar que añadimos una incógnita por barra al ser barras biarticuladas (la 
incógnita es el axil). Los nudos (contando los apoyos) eliminan incógnitas al ser articulaciones. 
La hiperestaticidad exterior se evaluaría igual que en el caso anterior: 
GHext=nº de Reacciones -3=R-3 
Sistemas, isostáticos, hipoestáticos e hiperestáticos 
Sistema isostático: se da si el grado de hiperestaticidad es nulo. GH=0. Se corresponde con una 
estructura en la que las ecuaciones de la estática son suficientes para determinar las reacciones y 
esfuerzos. 
 
 
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Ejemplo 1: viga biapoyada 
GHext=R-3=3-3=0 GHint=3CC-Σ(BA-1)=3·0-[(1-1)+(1-1)]=0 GH=GHext+GHint=0 
O por la formula de las estructuras de nudos articulados: GH=B+R-2N=1+3-2·2=0 
Ejemplo 2: viga empotrada-libre o en ménsula 
GHext=R-3=3-3=0 GHint=3CC-Σ(BA-1)=3·0=0 GH=GHext+GHint=0 
Ejemplo 3: El exceso de reacciones (exceso de incógnitas) provoca una hiperestaticidad exterior. Sin 
embargo se compensa introduciendo la rótula interna que añade una ecuación más debida a la rótula 
(Mrot=0). 
GHext=R-3=4-3=1 GHint=3CC-Σ(BA-1)=3·0-[(2-1)+(1-1)]=-1 GH=GHext+GHint=0 
Sistema hipoestático: se da si el grado de hiperestaticidad es negativo (GH<0) y se corresponde con 
un mecanismo. El sistema tiene escasez de incógnitas, (tiene más ecuaciones que reacciones) por lo 
que el problema tiene infinitas soluciones. No es válido como estructura en la asignatura. 
 
Ejemplo 1: es hipostático debido a que le falta una reacción horizontal para el equilibrio en esa 
dirección. 
GHext=R-3=2-3=-1 GHint=3CC-Σ(BA-1)=3·0-[(1-1)+(1-1)]=0 GH=GHext+GHint=-1 
O por la formula de las estructuras de nudos articulados: GH=B+R-2N=1+2-2·2=-1 
Ejemplo 2: es hipostático debido a que tiene una rótula que introduce una ecuación adicional. 
GHext=R-3=3-3=0 GHint=3CC-Σ(BA-1)= 3·0-[(1-1)+(2-1)+(1-1)]=1 GH=GHext+GHint=-1 
O por la formula de las estructuras de nudos articulados: GH=B+R-2N=2+3-2·3=-1 
Sistema hiperestático: se da si el grado de hiperestaticidad es positivo (GH>0). El sistema tiene 
demasiadas incógnitas para obtener las reacciones y esfuerzos con las ecuaciones de la estática. 
 
Ejemplo 1: es hiperestático debido a que le sobra una reacción. Se ve claramente, ya que la viga 
empotrada veíamos que ya era isostática. 
C.1 L.1 Introducción 
 
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GHext=R-3=4-3=1 GHint=3CC-Σ(BA-1)=3·0-[(1-1)]=0 GH=GHext+GHint=1 
Ejemplo 2: es hiperestático debido a que le sobran 3 reacciones. Se ve claramente, ya que la viga 
empotrada veíamos que ya era isostática. 
GHext=R-3=6-3=3 GHint=3CC-Σ(BA-1)=3·0=0 GH=GHext+GHint=3 
1.18 Grados de libertad (g.d.l.)(GL) Esta parte se verá en el capítulo 3 más profundamente. 
 Son las posibilidades de giros diferentes que se presentan en una estructura. Los grados de libertad 
son la suma de la posibilidad de giros de nudos y la posibilidad de giros en barras. Estos giros en barras 
realmente son movimientos que admite la estructura debido sólo a flexión de las barras, sin giros de 
nudos y sin alargamientos o acortamientos de las barras. También se les llaman grados de 
desplazabilidad. 
GB=grados de desplazabilidad 
GL=GN+GB 
Grados de libertad en sistema indesplazable: 
Un sistema indesplazable es aquel en el que los giros en las barras son nulos. Las rectas que unen los 
extremos de las barras no giran al aplicar la carga. Los únicos g.d.l. serán los giros en los nudos ϕi. Se 
supone (rigidez a axil infinita). 
Ejemplo: Aunque,evidentemente, la barra se deforma, los nudos no se desplazan, ya que los nudos 
no pueden moverse porque no existen deformaciones debidas al esfuerzo normal (AE=∞). Entre nudos 
la barra sigue sin haber girado después de aplicada la carga. 
GL = GN + GB GL = GN = 2 (ϕB , ϕC) 
 
Grados de libertad en sistema desplazable: 
Un sistema indesplazable es aquel en el que los giros en las barras Ψij no son nulos. Es decir, las rectas 
imaginarias que unen los nudos de la estructura están giradas después de que la estructura se haya 
deformado. 
Ejemplo: En este ejemplo se puede ver que los giros de barras se relacionan geométricamente, por 
tanto, aunque giren las tres barras, los tres giros están relacionados y sólo se contabiliza uno de ellos. 
GL = GN + GB= 3 (ϕB , ϕC, ΨAB) 
ΨBC=f1(ΨAB) ΨDC=f2(ΨAB) siendo f1 y f2 relaciones geométricas observadas. 
A B C DA B C D
C.1 L.1 Introducción 
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Para ver los posibles giros de barras y sus relaciones, en este caso se equipara la estructura con un 
mecanismo de articulaciones obteniendo su CIR (centro instantáneo de rotación) 
1.19 Teoría de primer orden. En la asignatura siempre se usará teoría de primer orden. 
Para el cálculo con teoría de primer orden deben cumplirse las siguientes condiciones: 
• Comportamiento del material elástico lineal: deformaciones proporcionales a tensiones o, lo 
que es lo mismo, cumplimiento de la ley de Hooke. 
• Desplazamientos y deformaciones pequeños: caso típico en estructuras. Las deformaciones 
son muy pequeñas en comparación con el tamaño de la estructura. 
Gracias a esto se puede: 
• Plantear el equilibrio en la estructura sin deformar. Sin tener en cuenta los momentos que se 
crean por las propias deformaciones. 
• Obtener la solución resolviendo un sistema lineal de ecuaciones. No es necesario aplicar 
métodos numéricos iterativos. 
• Aplicar el principio de superposición: los esfuerzos y deformaciones provocados por el 
sistema de cargas (1+2) son iguales a la suma de los provocados por el sistema de cargas 1 más 
los provocados por el sistema de cargas 2. 
 
Equilibrio en la estructura sin deformar: teoría de primer orden 
C.1 L.1 Introducción 
 
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Equilibrio en la estructura deformada: teoría de 2º orden. Se tiene en cuenta el desplazamiento Y1 para obtener los 
momentos. 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
 
21 
 
Prácticas de Coloquios 1. Diagramas de esfuerzos internos 
1.20 Tipos de esfuerzos internos 
Los esfuerzos internos que podremos encontrar en una sección de una barra son: 
Momento flector: provocado por los momentos puntuales y las cargas separadas una cierta distancia 
de la sección, pero en el mismo plano que la barra. Se suele denominar como M. Tiene dimensiones de 
fuerza por distancia (N·m, kN·m, etc.). 
 
Esfuerzo cortante: provocado por las fuerzas externas perpendiculares al eje de la barra. Se suele 
denominar como V. Tiene dimensiones de fuerza (N, kN, t, etc.). 
 
Esfuerzo normal (axil) de tracción o compresión: provocado por las fuerzas externas que siguen 
la dirección del eje de la barra. Se suele denominar como N. Tiene dimensiones de fuerza (N, kN, t, 
etc.). 
 
Momento torsor: provocado por los momentos torsores puntuales y las cargas separadas una cierta 
distancia de la sección, pero con la línea de acción en el plano perpendicular a la barra. En general, al 
tratar con estructuras planas, no se trabajará con torsores. 
 
1.21 Obtener esfuerzos en una sección de una estructura plana 
isostática 
1. Cálculo de reacciones 
El primer paso debe ser calcular las reacciones verticales, horizontales y momentos de empotramiento 
en los apoyos. Recordemos las reacciones que podemos encontrarnos: 
• En un apoyo articulado fijo: 2 reacciones (Rx, Ry). 
• En un apoyo articulado móvil: 1 reacción (Rx o Ry, la que tenga restringido el movimiento). 
• En un empotramiento: 3 reacciones (2 fuerzas y 1 momentos Rx, Ry, Mz). 
• En un empotramiento móvil: 2 reacciones (1 fuerza Rx o Ry y 1 momento Mz). 
La obtención de reacciones se hace aplicando las ecuaciones de equilibrio de la estática con las cargas 
y las reacciones. : 
Equilibrio de fuerzas verticales:Σ Fuerzas verticales = 0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: ΣFuerzas horizontales = 0 
Equilibrio de momentos respecto a un punto cualquiera: ΣMomentos + ΣFuerzas x (distancia 
de su línea de acción al punto)=0 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
22 
 
Deben tenerse en cuenta, para el equilibrio de momentos los momentos puntuales y los momentos de 
empotramiento. Lo normal al plantear el equilibrio de momentos es elegir un punto por el que pasen 1 
o varias reacciones, de modo que esas incógnitas se eliminan en la ecuación y es más fácil resolver el 
sistema que forman los 3 equilibrios. 
Evidentemente, tanto para las fuerzas como para los momentos se ha de fijar un sentido positivo que 
marque el criterio de signos. 
Caso de estructura con articulaciones entre barras. 
Si las reacciones que tenemos en nuestra estructura plana son más de 3, la estructura tendrá 
hiperestaticidad externa, pues habrá más incógnitas que ecuaciones de equilibrio externo de la 
estática. Recordemos que GHext=R-3 
Pero la hiperestaticidad total disminuye al añadir rótulas. Esto es porque se añade una ecuación por 
cada rótula que nos dice: 
Momento flector en la rótula=0 
Esta ecuación se añade a las 3 del equilibrio estático para así poder obtener las reacciones. 
2. Obtención de esfuerzos en una sección 
Para obtener los esfuerzos en un punto del elemento debe: 
1. Cortarse la barra por la sección correspondiente. 
2. Considerar todas las cargas externas y reacciones que están sobre la estructura a un lado de 
esa sección. Para ello se toma el lado más simple, el que menos número de cargas y reacciones 
tiene. 
 
 
3. La suma de los momentos puntuales (o de empotramiento) más el producto de las cargas (o 
reacciones) por la distancia de su línea de acción al punto considerado nos da el Momento 
flector: ΣMomentos + ΣFuerzas x (distancia de su línea de acción al punto) 
4. La suma de cargas (o reacciones) perpendiculares al eje de la barra crea el Cortante. 
5. La suma de cargas (o reacciones) en la dirección del eje de la barra crea el Axil. 
Para obtener los esfuerzos (especialmente el momento flector) en una sección concreta es útil 
simplificar las cargas repartidas transformándolas en una carga puntual en su centro de gravedad. Para 
el caso típico de una carga q (kN/m) repartida uniformemente en una longitud L (m), podemos 
transformarla en una carga qL (kN) situada en el centro de la zona sobre la que se reparte. 
 
 
 
Obteniendo los esfuerzos en secciones clave (máximos, vértices…) y aplicando unas reglas sencillas 
para el dibujo de diagramas (que se presentan en el apartado siguiente) no es necesario obtener las 
leyes de Momentos, Cortantes y Axiles como ecuaciones f(x) dependientes de la posición x. 
q 
L L 
qL 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
 
23 
 
1.22 Reglas para la obtención de los diagramas completos 
En los tramos de barras en los que no se aplica ninguna carga el diagrama de cortantes (V) es 
constante y el diagrama de momentos flectores (M) será una recta. 
Una carga puntual perpendicular a una barra y sobre ella provoca un salto en el diagrama de 
cortantes igual al valor de la carga y un vértice en el diagrama de momentos. Ej.: 
 
Una carga uniformemente distribuida perpendicular a una barra y sobre ella provoca un diagrama 
de cortantes recto e inclinado en ese tramo y un diagrama de momentos parabólico. Ej.: 
 
Un momento puntual sobre una barra provoca un salto en el diagrama de momentos igual al valor de 
dicho momento puntual, mientras que no tiene efecto alguno sobre el diagrama de cortantes. Ej.: 
 
En cualquier apoyo en extremo de barra la componente de la reacción perpendicular a la barra 
será el cortante en ese punto. La que siga el eje de la barra será el axil. Esto siempre queno haya 
cargas puntuales adicionales en los apoyos. 
En los apoyos articulados situados en extremos de barras el momento será nulo si no existen 
momentos puntuales que provoquen un salto en ese lugar concreto. 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
24 
 
En los extremos libres de vigas (cuando no hay apoyo) el momento será nulo si no existen 
momentos puntuales que provoquen un salto en ese lugar concreto. Del mismo modo que en apoyos 
articulados. 
En los empotramientos el momento flector será igual al momento de empotramiento. 
En los puntos en los que el cortante se haga 0, el momento flector tendrá un máximo relativo. Esto 
es porque el cortante es la derivada del momento flector. Esto suele usarse en los casos de carga 
distribuida, para ver dónde está el máximo de la parábola de los momentos flectores. 
Criterio de signos: 
Normalmente, se suele dibujar sobre el diagrama un pequeño esquema que nos indique la dirección 
de los esfuerzos: 
 
Los momentos tienen la particularidad de que se dibujan siempre del lado en el que se producen las 
tracciones en la sección 
 
 
 
Los axiles siempre son positivos cuando son de tracción 
 
El signo de los cortantes no tiene importancia mientras se marque su dirección, pero suele tomarse 
como signo positivo el siguiente: 
 
1.23 Ejemplos resueltos de vigas simplemente apoyadas. 
Ejemplo 1 
 
1. Obtener las reacciones RA, RB, RH 
Equilibrio de fuerzas verticales: �� � �� �
��
�
�
�
�
=0 
Hemos obtenido la carga total aplicada multiplicando la carga repartida q por la longitud en 
que se reparte (L/3). 
Equilibrio de fuerzas horizontales: nos da directamente RH=0 
 
 
 
 
 
RB 
RH 
3P/L 
RA 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
 
25 
 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto A para así quitar las 
reacciones RA, y RH de la ecuación). Suponemos toda la carga distribuida como una carga 
puntual aplicada en el centro de la zona de distribución (el centro de la viga). 
�� � � �
��
�
�
�
�
�
�
�
=0 
Del equilibrio de momentos se obtiene RB=P/2 
Introduciendo este valor de RB en el equilibrio de fuerzas verticales se tiene que RA=P/2 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
• En la zona con carga distribuida es una parábola. 
• En los apoyos el momento es nulo al ser apoyo articulado. 
Por tanto nos interesaría conocer el máximo que, por simetría estará en el centro de la viga. 
Para ello, cortamos la viga por ese punto, viendo las cargas que quedan a un lado, y 
transformamos la carga distribuida en una carga puntual. 
 
 
 
 
 
 
�� �
�
2
�
�
2
�
3�
�
�
�
6
�
�
12
�
��
4
�
��
24
�
5��
24
 
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de la viga en que 
se producen las tracciones por flexión. 
 
 
 
 
3. Diagrama de cortantes V 
• En los apoyos el cortante es igual a la reacción calculada P/2. 
• En la zona sin cargas el cortante es constante (recta horizontal) 
• En la zona con carga distribuida el cortante es una recta inclinada. 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de cortantes. 
 
 
 
4. Diagrama de normales N 
No hay esfuerzos normales al no haber cargas que sigan la dirección de la barra. 
Ejemplo 2 
 
3P/L 
P/2 
3P/L·L/6 
P/2 L/6 
L/12 
L/2 L/2 
5PL/24 
 
P/2 
P/2 
 
RB 
RH 
M 
RA 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
26 
 
1. Obtener las reacciones RA, RB, RH 
Equilibrio de fuerzas verticales: �� � �� �0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: nos da directamente RH=0 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto A para así quitar las 
reacciones RA, y RH de la ecuación) 
�� � � � �=0 
Del equilibrio de momentos se obtiene RB=M/L 
Introduciendo este valor de RB en el equilibrio de fuerzas verticales se tiene que RA=-M/L, lo 
que significa que su sentido es opuesto al considerado inicialmente. 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
• El momento puntual provoca un salto en el diagrama igual a M 
• En los apoyos el momento es nulo al ser apoyo articulado. 
Cortando la viga por un punto (la mitad, por ejemplo) y viendo las cargas que quedan a un lado 
podemos observar cómo serán los flectores (por dónde habrá que dibujar el diagrama). 
 
 
 
 
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de la viga en que 
se producen las tracciones por flexión. 
 
 
 
3. Diagrama de cortantes V 
• En los apoyos el cortante es igual a la reacción calculada. 
• En la zona sin cargas el cortante es constante (recta horizontal) 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de cortantes. 
 
 
4. Diagrama de normales N 
No hay esfuerzos normales al no haber cargas que sigan la dirección de la barra. 
Ejemplo3 
 
1. Obtener las reacciones RA, RB, RH 
Equilibrio de fuerzas verticales: �� � �� � � �0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: nos da directamente RH=0 
M 
M/2 
M/2 
 
M/L 
M/L M/L 
RA 
=PL 
RB 
RH 
PL P 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
 
27 
 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto A para así quitar las 
reacciones RA, y RH de la ecuación) 
�� � �� � � � ��=0 
Del equilibrio de momentos se obtiene RB=0 
Introduciendo este valor de RB en el equilibrio de fuerzas verticales se tiene que RA=P 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
• El momento puntual provoca un salto en el diagrama igual a M 
• En los apoyos el momento sería nulo al ser apoyo articulado. Pero hay que darse 
cuenta de que en un extremo tenemos un momento puntual que hará que no lo sea. 
Cortando la viga por un punto y viendo las cargas que quedan a un lado podemos observar 
cómo serán los flectores (por dónde habrá que dibujar el diagrama). 
 
 
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de la viga en que 
se producen las tracciones por flexión. 
 
 
3. Diagrama de cortantes V 
• En los apoyos el cortante es igual a la reacción calculada. Pero hay que tener en cuenta 
que justo sobre el apoyo B hay una carga puntual que hará que no lo sea en ese caso. 
• En la zona sin cargas el cortante es constante (recta horizontal) 
• La carga puntual provoca un salto en el cortante igual al valor de la carga P. 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de cortantes. 
 
 
4. Diagrama de normales N 
No hay esfuerzos normales al no haber cargas que sigan la dirección de la barra. 
1.24 Ejemplos resueltos de ménsulas. 
Ejemplo 1 
 
1. Obtener las reacciones RB, RH, MB 
Equilibrio de fuerzas verticales: nos da directamente RB=0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: nos da directamente RH=0 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto B para así quitar las 
reacciones RB, y RH de la ecuación, aunque ya vimos que son nulas) 
� ���=0 
Del equilibrio de momentos se obtiene MB=-M 
P 
PL 
P P 
 
RB 
RH 
M MB 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
28 
 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
• El momento puntual provoca un salto en el diagrama igual a M 
• En el empotramiento el momento es el momento de empotramiento MB. 
• En los extremos libres el momento sería nulo. Pero hay que darse cuenta de que 
tenemos un momento puntual M que hará que no lo sea. 
Cortando la viga por un punto y viendo las cargas que quedan a un lado podemos observar 
cómo serán los flectores (por dónde habrá que dibujar el diagrama). 
 
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de la viga en que 
se producen las tracciones por flexión. 
 
3. Diagrama de cortantes V 
No hay esfuerzos cortantes al no haber fuerzas perpendiculares a la barra. 
4. Diagrama de normales N 
No hay esfuerzos normales al no haber fuerzas que sigan la dirección de la barra. 
Ejemplo 2 
 
1. Obtener las reacciones RB, RH, MB 
Equilibrio de fuerzas verticales: RB – P =0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: nos da directamenteRH=0 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto B para así quitar las 
reacciones RB, y RH de la ecuación) 
� � � ��� � ��=0 
Del equilibrio de momentos se obtiene MB=0 
Del equilibrio de fuerzas verticales se obtiene RB=P 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
• El momento puntual provoca un salto en el diagrama igual a M=PL 
• En los empotramientos el momento es el momento de empotramiento. Pero hay que 
darse cuenta de que tenemos un momento puntual M=PL. 
• En los extremos libres el momento es nulo. 
Cortando la viga por un punto y viendo las cargas que quedan a un lado podemos observar 
cómo serán los flectores (por dónde habrá que dibujar el diagrama). 
 
 
M 
M M 
RB 
RH 
P MB =PL PL 
P 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
 
29 
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de la viga en que 
se producen las tracciones por flexión. 
 
 
Realmente, en este ejemplo estamos viendo que el diagrama es como el que tendría una viga 
en voladizo con una carga P. Tiene un momento PL en el punto B que hace las veces de 
momento de empotramiento y por eso sale 0 el momento de empotramiento MB. 
3. Diagrama de cortantes V 
• En el apoyo el cortante es igual a la reacción calculada RB=P. 
• En la zona sin cargas el cortante es constante (recta horizontal) 
• La carga puntual provoca un salto en el cortante igual al valor de la carga P. 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de cortantes. 
 
 
4. Diagrama de normales N 
No hay esfuerzos normales al no haber fuerzas que sigan la dirección de la barra. 
1.25 Ejemplos resueltos de vigas con articulaciones. 
Ejemplo 1 
 
1. Obtener las reacciones RA, RB, RH, MB 
Equilibrio de fuerzas verticales: RA + RB =0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: nos da directamente RH=0 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto B para así quitar las 
reacciones RB, y RH de la ecuación) 
�� �� � �� � �=0 
Nos quedan 3 incógnitas (RA, RB, MB) y sólo tenemos dos ecuaciones (equilibrio vertical y de 
momentos). Debemos añadir la ecuación correspondiente a la rótula: 
Momento flector en la rótula nulo: si observamos las cargas que quedan a la izquierda de la 
rótula, el momento flector en la rótula (que debe ser 0) será: 
Mrot=RA·L/2=0 
Lo que nos da directamente RA=0 
Sustituyendo en el equilibrio de momentos se obtiene MB=-M, con lo que el sentido del 
momento de empotramiento en B es el opuesto al considerado inicialmente. 
Del equilibrio de fuerzas verticales se obtiene RB=0 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
PL 
P P 
MB 
RB 
RH 
RA 
M 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
30 
 
• El momento puntual provoca un salto en el diagrama igual a M 
• En el empotramiento el momento es el momento de empotramiento MB=M. 
• En los apoyos articulados el momento es nulo. 
• En las articulaciones el momento es nulo. Pero hay que darse cuenta de que tenemos 
un momento puntual M a un lado de la articulación. 
Cortando la viga por un punto y viendo las cargas que quedan a un lado podemos observar 
cómo serán los flectores (por dónde habrá que dibujar el diagrama). 
 
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de la viga en que 
se producen las tracciones por flexión. 
 
 
 
3. Diagrama de cortantes V 
No hay esfuerzos cortantes al no haber fuerzas perpendiculares a la barra. 
4. Diagrama de normales N 
No hay esfuerzos normales al no haber fuerzas que sigan la dirección de la barra. 
1.26 Ejemplos resueltos de pórticos. 
Ejemplo 1 
 
1. Obtener las reacciones RA, RB, RHA, RHB, MB 
Equilibrio de fuerzas verticales: RA + RB =0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: RHA + RHB =0 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto B para así quitar las 
reacciones RB, y RHB de la ecuación). Además, en ese punto RHA tampoco crea momento pues 
la línea de acción de la fuerza pasa por el punto B. 
�� �� �� � �� � �=0 
Nos quedan 5 incógnitas (RA, RB, RHA, RHB, MB) y sólo tenemos tres ecuaciones (equilibrio 
vertical, horizontal y de momentos). Debemos añadir las dos ecuaciones correspondientes a 
las rótulas: 
Momento flector en la rótula 1 nulo: si observamos las cargas de la estructura que quedan al 
lado izquierdo de la rótula 1, el momento flector en la rótula (que debe ser 0) será: 
Mrot1=RHA·L-M =0 
M M 
M 
M 
RA 
RHB 
M 
RHA 
RB 
MB 
rot2 
rot1 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
 
31 
 
Momento flector en la rótula 2 nulo: si observamos las cargas de la estructura que quedan al 
lado derecho de la rótula 2, el momento flector en la rótula (que debe ser 0) será: 
Mrot2=RHB·L+MB =0 
De la condición de momento flector en la rótula 1 nulo se obtiene que: RHA =M/L 
Sustituyendo en el equilibrio de fuerzas horizontales se tiene que: RHB =-M/L. Como el signo es 
negativo, el sentido de RHB será opuesto al supuesto inicialmente (será hacia la izquierda). 
Sustituyendo RHB en la ecuación de momento flector en la rótula 2 nulo: MB=M 
Sustituyendo MB en el equilibrio de momentos tenemos: RA=M/L 
Sustituyendo RA en el equilibrio de fuerzas verticales: RB=-M/L. Como el signo es negativo, el 
sentido de RB será opuesto al supuesto inicialmente (será hacia abajo). 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
• El momento puntual provoca un salto en el diagrama igual a M 
• En el empotramiento el momento es el momento de empotramiento MB=M. 
• En el apoyo articulado el momento es nulo. 
• En las articulaciones el momento es nulo. Pero hay que darse cuenta de que tenemos 
un momento puntual M a cada lado de la articulación. 
Cortando cada barra por un punto y viendo las cargas que quedan a un lado podemos observar 
cómo serán los flectores (por dónde habrá que dibujar el diagrama). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de las barras en 
que se producen las tracciones por flexión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. Diagrama de cortantes V 
• En los apoyos el cortante es igual a la reacción calculada perpendicular a la barra. 
• En la zona sin cargas el cortante es constante (recta horizontal) 
Cortando la viga horizontal por punto vemos que las únicas cargas que crean el cortante en 
ella en este caso son las reacciones verticales (ver el corte hecho para los momentos). El 
cortante en esa viga horizontal es, por tanto M/L. 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de cortantes. 
M/L 
M/L 
M/L 
M/L M 
M 
M 
M 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Diagrama de normales N 
• En los apoyos el normal es igual a la reacción calculada en la dirección de la barra. 
• En la zona sin cargas el normal es constante (recta horizontal) 
Cortando la viga horizontal por punto vemos que las únicas cargas que crean el normal en ella 
en este caso son las reacciones horizontales (ver el corte hecho para los momentos). El 
esfuerzo normal en esa viga horizontal es, por tanto - M/L. 
Nótese que, al contrario que en el cortante, en el caso del esfuerzo normal sí es importante 
poner el signo (+ en tracción, - en compresión). 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de normales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejemplo 2 
 
 
1. Obtener las reacciones RA, RB, RHA, RHB, MB 
Equilibrio de fuerzas verticales: RA + RB - P=0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: RHA + RHB + 2P=0 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto B para así quitar las 
reacciones RB, y RHB de la ecuación). Además, en ese punto RHA tampoco crea momento pues 
la línea de acción de la fuerza pasa por el punto B. 
�� � � �
�
�
� �� � � � 2� � �=0 
 
M/L M/L 
M/L 
M/L -M/L 
-M/L 
 
P 
RA 
RHB 
RB 
MB 
rot2 rot1 
RHA 
2P 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
 
33 
 
Nos quedan 5 incógnitas (RA, RB, RHA, RHB, MB) y sólo tenemos tres ecuaciones (equilibrio 
vertical,horizontal y de momentos). Debemos añadir las dos ecuaciones correspondientes a 
las rótulas: 
Momento flector en la rótula 1 nulo: si observamos las cargas de la estructura que quedan al 
lado izquierdo de la rótula 1, el momento flector en la rótula (que debe ser 0) será: 
Mrot1=RHA·L =0, de donde se obtiene directamente RHA =0 
Momento flector en la rótula 2 nulo: si observamos las cargas de la estructura que quedan al 
lado derecho de la rótula 2, el momento flector en la rótula (que debe ser 0) será: 
Mrot2=RHB·L+MB =0 
Sustituyendo en el equilibrio de fuerzas horizontales RHA =0 tiene que: RHB =-2P Como el signo 
es negativo, el sentido de RHB será opuesto al supuesto inicialmente (será hacia la izquierda). 
Sustituyendo RHB en la ecuación de momento flector en la rótula 2 nulo: MB=2PL 
Sustituyendo MB en el equilibrio de momentos tenemos: RA=P/2 
Sustituyendo RA en el equilibrio de fuerzas verticales: RB=P/2. 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
• La carga puntual supone un vértice en el diagrama de momentos. 
• En el empotramiento el momento es el momento de empotramiento MB=2PL. 
• En el apoyo articulado el momento es nulo. 
• En las articulaciones el momento es nulo. 
Cortando cada barra por un punto y viendo las cargas que quedan a un lado podemos observar 
cómo serán los flectores (por dónde habrá que dibujar el diagrama). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Un punto clave para dibujar el diagrama de flectores es el punto donde está la carga puntual. 
En ese punto central, obteniendo el momento flector a partir de las cargas que quedan al lado 
izquierdo: 
�� =
�
2
·
�
2
=
��
4
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de las barras en 
que se producen las tracciones por flexión. 
 
 
 
 
 
 
 
 
2PL 
2P 
P/2 
P/2 
2P 
2PL 
PL/4 
 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
34 
 
3. Diagrama de cortantes V 
• En los apoyos el cortante es igual a la reacción calculada perpendicular a la barra. 
• En la zona sin cargas el cortante es constante (recta horizontal) 
• La carga puntual provoca un salto en el cortante igual al valor de la carga P. 
Cortando la viga horizontal por punto vemos que las únicas cargas que crean el cortante en 
ella en este caso son las reacciones verticales (ver el corte hecho para los momentos). El 
cortante en esa viga horizontal es, por tanto P/2 y cambia de signo con la carga puntual. 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de cortantes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. Diagrama de normales N 
• En los apoyos el normal es igual a la reacción calculada en la dirección de la barra. 
• En la zona sin cargas el normal es constante (recta horizontal) 
Cortando la viga horizontal por punto vemos que las cargas que crean el normal en ella en este 
caso son las reacciones horizontales y la carga 2P (ver el corte hecho para los momentos). El 
esfuerzo normal en esa viga horizontal viendo, por ejemplo, las cargas a su izquierda es 0. 
Nótese que, al contrario que en el cortante, en el caso del esfuerzo normal sí es importante 
poner el signo (+ en tracción, - en compresión). 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de normales. 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.27 Ejemplos resueltos de vigas continuas. 
Ejemplo 1 
 
1. Obtener las reacciones RA, RB, RH, MB 
Equilibrio de fuerzas verticales: RA + RB =0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: nos da directamente RH=0 
2P 
 P/2 
P/2 
-P/2 -P/2 
MB 
RB 
RH 
RA 
M 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
 
35 
 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto B para así quitar las 
reacciones RB, y RH de la ecuación). 
�� − �� · 3� −�=0 
Nos quedan 3 incógnitas (RA, RB, MB) y sólo tenemos dos ecuaciones (equilibrio vertical y de 
momentos). Debemos añadir la correspondiente a la rótula: 
Momento flector en la rótula nulo: si observamos las cargas de la estructura que quedan al 
lado izquierdo de la rótula, el momento flector en la rótula (que debe ser 0) será: 
Mrot=RA·2L+M =0 
De la condición de momento flector en la rótula nulo se obtiene que: RA =-M/2L Como el signo 
es negativo, el sentido de RA será opuesto al supuesto inicialmente (será hacia la abajo). 
Sustituyendo en el equilibrio de fuerzas horizontales se tiene que: RB =M/2L. 
Sustituyendo RA en el equilibrio de momentos: MB=-M/2. Como el signo es negativo, el sentido 
de MB será opuesto al supuesto inicialmente (será en sentido horario). 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
• El momento puntual supone un salto en el diagrama igual a M. 
• En el empotramiento el momento es el momento de empotramiento MB=-M/2. 
• En las articulaciones el momento es nulo. Pero hay que darse cuenta de que tenemos 
un momento puntual M a un lado de la articulación. 
Cortando cada barra por un punto y viendo las cargas que quedan a un lado podemos observar 
cómo serán los flectores (por dónde habrá que dibujar el diagrama). 
 
 
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de las barras en 
que se producen las tracciones por flexión. 
 
 
3. Diagrama de cortantes V 
• En la zona sin cargas el cortante es constante (recta horizontal) 
• En los apoyos extremos el cortante es igual a la reacción perpendicular a la barra. 
• Los apoyos en un punto intermedio de una barra se toman como cargas puntuales y 
una carga puntual provoca un salto en el cortante igual al valor de la carga. 
Toda la zona de la viga que está en ménsula y no tiene cargas sobre ella no tendrá cortante, 
puesto que si la cortamos por un punto vemos que a la derecha no tendremos cargas que 
creen cortante. 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de cortantes. 
 
 
 
4. Diagrama de normales N 
No hay esfuerzos normales al no haber fuerzas que sigan la dirección de la barra. 
M/2L 
M/2 
M 
M/2L M/2L 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
36 
 
Ejemplo 2 
 
1. Obtener las reacciones RA, RB, RH, MB 
Equilibrio de fuerzas verticales: RA + RB =0 
Equilibrio de fuerzas horizontales: nos da directamente RH=0 
Equilibrio de momentos respecto a un punto (seleccionamos el punto B para así quitar las 
reacciones RB, y RH de la ecuación). 
�� �� � �� � 3�=0 
Nos quedan 3 incógnitas (RA, RB, MB) y sólo tenemos dos ecuaciones (equilibrio vertical y de 
momentos). Debemos añadir la correspondiente a la rótula: 
Momento flector en la rótula nulo: si observamos las cargas de la estructura que quedan al 
lado izquierdo de la rótula, el momento flector en la rótula (que debe ser 0) será: 
Mrot=RA·2L-M =0 
De la condición de momento flector en la rótula nulo se obtiene que: RA =M/2L 
Sustituyendo en el equilibrio de fuerzas horizontales se tiene que: RB =-M/2L. Como el signo es 
negativo, el sentido de RA será opuesto al supuesto inicialmente (será hacia la abajo). 
Sustituyendo RA en el equilibrio de momentos: MB=M/2. 
2. Diagrama de momentos M 
• En la zona sin cargas es una recta. 
• El momento puntual supone un salto en el diagrama igual a M. 
• En el empotramiento el momento es el momento de empotramiento MB=M/2. 
• En las articulaciones el momento es nulo. 
Cortando cada barra por un punto y viendo las cargas que quedan a un lado podemos observar 
cómo serán los flectores (por dónde habrá que dibujar el diagrama). 
 
 
Un punto clave para dibujar el diagrama de flectores es el punto donde está el momento 
puntual. Justo a la izquierda de ese punto, obteniendo el momento flector a partir de las 
cargas que quedan al lado izquierdo: 
���	
 �
�
2�
� � �
�
2
 
Con esto ya dibujamos el diagrama de momentos. Debe hacerse por el lado de las barras en 
que se producen las tracciones por flexión. 
 
 
 
3. Diagrama de cortantes V 
• En la zona sin cargas el cortante es constante (recta horizontal) 
• En los apoyos extremos el cortante es igual a la reacción perpendicular a la barra. 
• Los apoyos en un punto intermedio de una barra se toman como cargas puntualesy 
una carga puntual provoca un salto en el cortante igual al valor de la carga. 
Toda la zona de la viga que está en ménsula y no tiene cargas sobre ella no tendrá cortante. 
MB 
RB 
RH 
M 
RA 
M/2L 
M/2 
M/2 
M/2 
P.C.1 Diagramas de esfuerzos internos 
 
37 
 
Con esto ya podemos dibujar el diagrama de cortantes. 
 
 
4. Diagrama de normales N 
No hay esfuerzos normales al no haber fuerzas que sigan la dirección de la barra.
M/2L M/2L 
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
 
39 
 
Capítulo 2. Principio de los Trabajos Virtuales (PTV) 
Lección 2. Aplicación del PTV al análisis estructural 
2.1 Simplificaciones habituales. Recordemos que serán las utilizadas en la asignatura. 
1. Material homogéneo e isótropo: tiene las mismas propiedades en todos sus puntos 
independientemente de la dirección. 
2. Comportamiento elástico-lineal del material: cumplimiento de la ley de Hooke, las 
tensiones son proporcionales a las deformaciones. 
3. Elementos tipo barra: son aquellos en los que la dimensión longitudinal predomina 
sobre las otras. 
4. Hipótesis de Bernouilli: dice que las secciones transversales que son planas permanecen 
planas después de la deformación de la barra. Es decir, no se alabean. 
5. Pequeños desplazamientos y deformaciones: así se puede aplicar teoría de primer 
orden. Como se mencionó en el capítulo 1 (1.19). 
6. Principio de superposición: el efecto de la suma de dos sistemas de cargas es igual a la 
suma de los efectos de los mismos. Se cumple al cumplirse las simplificaciones 2 y 5. 
Como se mencionó en el capítulo 1 (1.19). 
2.2 Planteamiento del problema elástico. A modo de breve recordatorio de elasticidad. 
Partiendo de unas determinadas fuerzas externas aplicadas sobre el sólido elástico y teniendo 
en cuenta unas determinadas restricciones al desplazamiento se cumplen las ecuaciones: 
• Equilibrio: bajo la acción de las cargas, las fuerzas externas y las fuerzas internas 
(tensiones o esfuerzos) están en equilibrio. 
• Compatibilidad: los movimientos de las estructura son compatibles con las 
deformaciones de los elementos y condiciones de apoyo. 
• Comportamiento: se cumple la ley de Hooke, según la cual las deformaciones son 
proporcionales a las tensiones. 
 
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
40 
 
En este apartado se escribirán las ecuaciones utilizando tensores. Sin embargo, para la asignatura no 
será necesario el uso de esta notación. 
Ecuaciones de equilibrio: A modo de breve recordatorio de elasticidad. 
Interno: equilibrio entre el estado tensional y las fuerzas por unidad de volumen (X, Y, Z). 
 
Externo: equilibrio en la superficie del sólido entre las fuerzas superficiales y las tensiones. 
Siendo (α, β, γ) el vector director de la superficie en el punto considerado. 
 
Ecuaciones de compatibilidad. A modo de breve recordatorio de elasticidad. 
A partir de los desplazamientos (u, v, w) se pueden obtener las deformaciones y distorsiones 
angulares del sólido: 
 
Sin embargo, para ello deben cumplirse 6 condiciones necesarias y suficientes de integrabilidad 
(o compatibilidad). 
Ecuaciones de comportamiento. A modo de breve recordatorio de elasticidad. 
Consisten en la aplicación de la ley de Hooke. La Ley de Hooke generalizada también puede 
escribirse como las ecuaciones de Lamé. Estas leyes dependen del módulo elástico del material E 
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
 
41 
 
(también llamado Módulo de Young) y del coeficiente de Poisson µ. El módulo de elasticidad 
transversal G puede obtenerse a partir de E y µ. 
 
 
Dificultad del problema elástico. 
En muy pocos casos simples es posible plantear el problema elástico interrelacionando sus 
ecuaciones (equilibrio, compatibilidad y comportamiento) debido a su gran complejidad. Y en 
muchos de los casos en los que se puede plantear, no es posible la resolución del sistema de 
ecuaciones diferenciales que resulta. Por esto se opta por la aplicación de métodos energéticos, 
como el PTV. 
2.3 El Principio de los Trabajos Virtuales (PTV): 
Si tenemos dos estados de un sólido: 
Un estado real: que queremos analizar. Con cargas y restricciones al desplazamiento que 
provocan unas determinadas tensiones y deformaciones en equilibrio con las fuerzas y 
compatibles con los desplazamientos respectivamente. 
Un estado virtual: inventado a nuestra conveniencia para obtener unos determinados 
resultados. También con cargas y restricciones al desplazamiento que provocan unas 
determinadas tensiones y deformaciones en equilibrio y compatibles. 
(A partir de ahora se identificará con una raya sobre ella a cualquier variable virtual) 
 
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
42 
 
El Principio de los Trabajos Virtuales: dice que el trabajo virtual externo y el trabajo virtual 
interno son iguales. Te=Ti. Siendo el trabajo externo el realizado por fuerzas o momentos 
externos y el interno el realizado por esfuerzos o tensiones. 
Para obtener el trabajo virtual hay dos opciones: 
1. Utilizar cargas y tensiones reales sobre desplazamientos y deformaciones virtuales. 
2. Utilizar cargas y tensiones virtuales sobre desplazamientos y deformaciones reales. 
Según se utilice un trabajo virtual u otro, se está utilizando una forma u otra del PTV (PDV o PFV) 
Principio de los Desplazamientos Virtuales (PDV): 
• Usa el trabajo de cargas y tensiones (o esfuerzos) reales sobre desplazamientos y 
deformaciones virtuales. 
• Se usa para obtener cargas (normalmente reacciones), tensiones o esfuerzos en el caso 
de barras. Todos reales, por supuesto. 
 
Principio de las Fuerzas Virtuales (PFV): 
• Usa el trabajo de cargas y tensiones (o esfuerzos) virtuales sobre desplazamientos y 
deformaciones reales. 
• Se usa para obtener desplazamientos y deformaciones reales. 
 
La notación con tensiones y deformaciones de este apartado no será utilizada en la asignatura, por tratar sólo con 
barras. Se pasará a utilizar los diferentes esfuerzos, giros y desplazamientos, más propios de las mismas. 
2.4 Trabajo virtual en barras: 
Evaluación del trabajo virtual externo. 
• El trabajo virtual externo en barras es el producto de fuerzas (F, R, etc.)por 
desplazamientos (δ, ∆, etc.) o momentos (M)por giros (θ) 
• Es importante el convenio de signos, de modo que el signo del trabajo es positivo si la 
fuerza y el desplazamiento tienen el mismo sentido y negativo si el sentido es opuesto. 
• En un sólido elástico la fuerza que es necesario aplicar para deformarlo aumenta al 
aumentar el desplazamiento, sin embargo cuando hablamos de trabajos virtuales al 
aplicar el PTV lo que se hace es multiplicar directamente la carga por el desplazamiento. 
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
 
43 
 
En la figura puede verse lo mencionado sobre la diferencia entre el trabajo real y el virtual, 
que utilizaremos en el PTV. El trabajo, que es el área bajo la curva Fuerza-desplazamiento, es 
el doble en el caso virtual. 
 
Evaluación del trabajo virtual interno. 
• El trabajo virtual interno en barras es la integral de los esfuerzos (N, V, M, Mt) por los 
diferenciales de desplazamientos o giros. 
• Es importante el convenio de signos, de modo que el signo del trabajo es positivo si el 
esfuerzo y el desplazamiento tienen el mismo sentido y negativo si el sentido es 
opuesto. 
• El axil realiza trabajo sobre el desplazamiento en la dirección longitudinal. El cortante 
realiza trabajo sobre el desplazamiento en la dirección transversal. Los momentos 
realizan trabajo sobre los giros (por flexión o por torsión). 
Los diferenciales de desplazamientos a considerar son los siguientes: 
 
Como puede verse dependen de las rigideces (EA, GAα, EI, GKt) en las que E es el módulo 
elástico, G el módulo elástico transversal, A es el área de la sección transversal, Aα es el área a 
cortante, I el momento de inercia de la sección y Kt el momento de inercia polar. 
El trabajovirtual interno puede ser de los dos tipos siguientes: 
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
44 
 
1. El trabajo creado por los esfuerzos internos reales sobre un sistema de desplazamientos 
virtuales. 
 
 
2. El trabajo creado por los esfuerzos internos virtuales sobre un sistema de 
desplazamientos reales. 
 
 
2.5 Aplicación del PTV al análisis estructural 
Si se aplica como Principio de las Fuerzas Virtuales: 
• Se usa un sistema real que se quiere analizar, con sus desplazamientos y deformaciones 
y se plantea un sistema virtual (inventado) con fuerzas externas e internas en equilibrio. 
• El planteamiento del PFV equivale a lo que denominábamos Ecuación de Compatibilidad 
para el sistema real de desplazamientos y deformaciones. 
Si se aplica como Principio de los Desplazamientos Virtuales: 
• Se usa un sistema real que se quiere analizar, con sus fuerzas externas e internas y se 
plantea un sistema virtual (inventado) con desplazamientos y deformaciones 
compatibles. 
• El planteamiento del PDV equivale a lo que denominábamos Ecuación de Equilibrio para 
el sistema real de fuerzas externas e internas. 
Tipo de P.T.V. Estructuras Método Se obtienen 
P.F.V. (Fuerzas Virtuales) Isostáticas De la carga unitaria Desplazamientos 
Hiperestáticas De las Fuerzas Ecs. de compatibilidad 
P.D.V. (Despl. Virtuales) Isostáticas De despl. virtuales Esfuerzos y reacciones 
Hiperestáticas De los Ángulos de Giro Ecs. de equilibrio 
Como puede observarse, el PTV se aplica tanto a estructuras isostáticas como hiperestáticas. En 
este capítulo se tratarán brevemente las aplicaciones a estructuras isostáticas, mientras que en los capítulos 3 y 4 se 
tratarán con extensión los métodos de las Fuerzas y Ángulos de Giro. 
Método de la Carga Unitaria 
Debemos inventar un sistema virtual de fuerzas que cumpla las siguientes condiciones: 
1. Encontrarse en equilibrio. 
∫∫∫∫ ⋅+⋅+⋅+⋅=
L
t
LLL
i dMdMdVduNT φθλ
T i = N du
L
∫ + V d λ + M d θ + M t d φ
L
∫
L
∫
L
∫
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
 
45 
 
2. Las fuerzas virtuales se aplicarán en una estructura formada por una parte o toda la 
estructura inicial. Esta estructura debe ser estable y contener los puntos sobre los que se 
quiere determinar el desplazamiento. 
3. Se aplicará una fuerza unitaria, con la localización, dirección y naturaleza acorde con el 
desplazamiento buscado. 
4. El PFV dará lugar a una ecuación, en la que el desplazamiento buscado será la única 
incógnita. 
Ejemplo: 
Deseamos conocer la flecha (deformación vertical) en el extremo de una viga en ménsula de 
longitud L cargada con una fuerza P en ese borde. 
 
Para ello nos inventamos un sistema virtual con una carga unitaria en el punto en el que 
queremos obtener el desplazamiento. Como suponemos que el desplazamiento es hacia abajo, 
le damos ese sentido, sin embargo esto no importa puesto que, de darle el sentido contrario, el 
signo negativo del resultado nos indicaría la dirección. 
 
Tanto del sistema real como del virtual obtenemos los diagramas de momentos y de cortantes, 
ya que no hay axiles ni torsores. 
 
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
46 
 
Sistema real de desplazamientos y deformaciones Sistema virtual de fuerzas externas e internas 
A partir de esto, planteamos el Principio de las Fuerzas Virtuales, equivalente a la ecuación de 
compatibilidad de desplazamientos y deformaciones reales. 
• Trabajo externo =carga unidad (virtual) x desplazamiento real 
• Trabajo interno=∫L momento virtual·dθ+ ∫L cortante virtual·dλ 
• Nuestra incógnita es el desplazamiento real (δB) 
• Debemos recordar que: 
• Normalmente puede considerarse despreciable el término correspondiente al cortante. 
3 3
1. 3 3BB
L L
e iT T
PL PL PL
M V
M dx V dx EI GA EI
EI GA
δ
δ α
α
=
= + ≅ ↓
= +
∑ ∑
∫ ∫
 
Para obtener el resultado de las integrales hay que obtener la ecuación de los diagramas 
teniendo como variable x, multiplicarlos y después integrar. Sin embargo, existen tablas para las 
integrales de productos de diagramas más típicas que permiten realizar mucho más rápido este 
paso. 
 
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
 
47 
 
Así, no hay más que ver que para el caso de multiplicar dos diagramas triangulares con 
momentos máximos M1 y M3 , estando los triángulos colocados en la misma posición, la tabla 
nos da un resultado de L/3· M1· M3. Sustituyendo los momentos máximos por PL y L el resultado 
es PL3/3. Esto lo dividiremos entre la rigidez (EI), que suponemos constante para toda la barra, 
para obtener el resultado. 
Si fuese necesario hacer la integral del cortante puede utilizarse la misma tabla, aunque 
aparezca como creada para momentos. 
Uso del PDV para el cálculo de reacciones y esfuerzos en estructuras isostáticas 
Debemos inventar un sistema virtual con un desplazamiento inventado que cumpla las 
siguientes condiciones: 
1. Si se permitiese ese desplazamiento libremente la estructura sería un mecanismo 
2. El desplazamiento virtual debe ser compatible con las condiciones de contorno 
3. El desplazamiento o giro virtual debe corresponderse con la fuerza, esfuerzo o momento 
buscado. Los giros se corresponden con momentos (flectores o de empotramiento) y los 
desplazamientos con fuerzas o esfuerzos de tracción o cortantes. 
Debe tenerse en cuenta que si ese desplazamiento virtual es un giro (que utilizamos para 
obtener algún momento) eso implica introducir una rótula. 
Ejemplo 1: 
Deseamos conocer la reacción vertical en el apoyo A de la viga biapoyada con carga centrada 
utilizando el PDV. 
 
Para ello planteamos nuestro sistema real dibujando la reacción que queremos calcular y nos 
inventamos un sistema virtual con un desplazamiento cualquiera inventado, aplicado en el 
apoyo en el que queremos calcular la reacción desconocida RA. Evidentemente, para poder 
aplicar ese desplazamiento virtual debemos borrar la coacción vertical (el apoyo) en ese punto. 
 
Como al desplazamiento virtual le damos sentido hacia abajo, si la reacción la suponemos (como 
parece lógico) hacia arriba, el trabajo virtual obtenido será negativo. En cualquier caso, si la 
reacción buscada la suponemos hacia abajo en este caso el signo negativo del resultado indicará 
la dirección correcta. Las reacciones y cargas se consideran para el trabajo externo y los 
esfuerzos para el trabajo interno. 
BA
P
L/2 L /2
C
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
48 
 
A partir de esto, planteamos el Principio de los Desplazamientos Virtuales, equivalente a la 
ecuación de equilibrio para fuerzas y esfuerzos. 
• Trabajo externo =Reacción x desplazamiento virtual + Carga x desplazamiento virtual 
• Trabajo interno=0. Ya que es el trabajo correspondiente a los esfuerzos y no incluimos 
ningún esfuerzo para calcular en el sistema real. 
• Nuestra incógnita es la reacción (RA) 
 
Puede verse que, por semejanza de triángulos, el desplazamiento virtual del centro de la viga, 
que es donde está la carga real P es la mitad que el desplazamiento virtual que impusimos al 
apoyo (donde queremos calcular RA). 
Ejemplo 2: 
Deseamos conocer la el esfuerzo de momento flector en el centro de la viga C para la viga 
biapoyada con carga centrada del ejemplo anterior utilizando el PDV. 
 
Para ello planteamos nuestro sistema real dibujando el momento flector que queremos calcular 
y nos inventamos un sistema virtual con un giro cualquiera inventado aplicado en el punto en el 
que queremos calcular el momento. Evidentemente, para poder aplicar ese giro virtual debemos 
dibujar una rótula en ese punto. 
 
El giro virtual y el momento MC los hemos supuesto en el mismo sentido. Si nos equivocásemos 
con esa suposición, el signo negativo de la solución de MC nos lo indicaría. Como decíamos antes, 
las reacciones y cargas se consideran para el trabajo externo y los esfuerzos para el trabajo 
interno. 
• Trabajo externo = Carga x desplazamientovirtual 
• Trabajo interno= Momento x giro virtual 
• Nuestra incógnita es el momento flector (MC) 
A A A
e i
e
i
T T
P
T R P R P 0 R
2 2 2
T 0
=
∆ ∆= − ∆ + − ∆ + = ⇒ =
=
∑ ∑
∑
∑
BA
P
L/2 L/2
C
C.2 L.2 Aplicación del PTV al análisis estructural 
 
49 
 
 
Como puede observarse, el valor del desplazamiento virtual en el centro de la viga se obtiene 
partiendo de la suposición, válida en el caso de ángulos pequeños, de que el valor de un ángulo 
en radianes es igual a su seno. Al tratarse de ángulos muy pequeños (aunque en el dibujo se 
presente mayor para aclararnos) esto puede hacerse extensivo a la tangente. 
C.3 L.3 Método de las Fuerzas I 
 
51 
 
Capítulo 3. Métodos clásicos del cálculo de 
estructuras de barras 
Lección 3. Método de las Fuerzas I 
3.6 Análisis de estructuras hiperestáticas. 
Como veíamos, las estructuras hiperestáticas de barras son aquellas en las que no podemos 
obtener las reacciones y los esfuerzos aplicando simplemente las condiciones de equilibrio 
estático (GH>0). Para la resolución de esas estructuras con hiperestaticidad (interna o externa) 
puede aplicarse el Principio de los Trabajos Virtuales en cualquiera de sus dos formas (P.D.V. o 
P.F.V.) 
Como se veía en la lección anterior, del Principio de los Desplazamientos Virtuales se deriva el 
denominado Método de los Ángulos de giro para estructuras hiperestáticas (que se verá más 
adelante) y del Principio de las Fuerzas Virtuales se obtiene el Método de las Fuerzas. 
El Método de las Fuerzas, al utilizar fuerzas y esfuerzos virtuales realizando trabajo sobre 
desplazamientos reales equivaldrá a plantear y resolver las ecuaciones de compatibilidad entre 
deformaciones y desplazamientos en el sistema real. Por tanto se dice que es un método de 
compatibilidad. 
3.7 Procedimiento de aplicación del Método de las Fuerzas. 
Para ilustrar cómo puede aplicarse el Método de las Fuerzas en una estructura hiperestática 
general plantearemos un ejemplo de una viga continua con n grados de hiperestaticidad. La viga 
está empotrada en un extremo, lo que ya representa 3 reacciones en ese empotramiento: 
vertical, horizontal y momento de empotramiento (RVE, RHE, ME). Si añadimos n apoyos móviles la 
hiperestaticidad externa es evidente, puesto que estaremos añadiendo un grado de 
hiperestaticidad externa por cada apoyo (una reacción que es incógnita por cada uno). 
GHext=R-3=(3+n)-3=n 
No hay hiperestaticidad interna puesto que no hay contornos cerrados ni rótulas entre barras. 
Véase el capítulo 1 para recordar la hiperestaticidad. 
GHint=3CC-Σ(BA-1)=0 
 
1 2 i k n......
p
P
M
...∆
 
A la viga continua le aplicamos unas cargas. En general podremos tener momentos puntuales 
como M, cargas distribuidas como p y cargas puntuales como P. Además, también podemos 
tener desplazamientos impuestos, como puede ser el asentamiento ∆ en cualquier apoyo i. 
Estos asentamientos van a causar esfuerzos en nuestra estructura al ser hiperestática. Los 
C.3 L.3 Método de las Fuerzas I 
52 
 
desplazamientos impuestos en los apoyos causan esfuerzos en las estructuras hiperestáticas. 
Sin embargo, si una estructura es isostática los desplazamientos impuestos en un apoyo no 
causan esfuerzos. 
1. Cálculo del grado de hiperestaticidad 
El primer paso es el cálculo del grado de hiperestaticidad. Ya se ha comentado anteriormente 
que el grado de hiperestaticidad de la estructura se puede calcular siguiendo las fórmulas 
presentadas en el Capítulo 1: 
GHext=R-3=(3+n)-3=n 
GHint=3CC-Σ(BA-1)=0 
GH=n 
Si fuese una estructura de barras con nudos articulados podría usarse la otra fórmula 
GH=B+R-3N 
2. Elección de un sistema base estáticamente determinado 
Este paso consiste en sustituir las incógnitas que tenemos en exceso como si fuesen fuerzas 
externas. Es decir, ya que vemos que en el ejemplo nos sobran n reacciones eliminamos los 
apoyos correspondientes y dibujamos las n incógnitas de X1 a Xn. Así, dejaremos un sistema base 
isostático con las cargas iniciales sobre el que aplicamos n cargas desconocidas X (incógnitas 
hiperestáticas). 
 
3. Planteamiento de los desplazamientos en las localizaciones de las Xi 
Se plantea cómo deben ser los desplazamientos en los puntos donde tenemos las incógnitas 
hiperestáticas Xi. Esto es plantear la ecuación de compatibilidad de desplazamientos. 
Desplazamiento del punto i = desplazamiento que se produce en i el sistema base isostático (sin 
las incógnitas hiperestáticas) + los desplazamientos que se produce en i debido a cada una de las 
incógnitas hiperestáticas X. 
Ese desplazamiento en el punto i debe ser igual al desplazamiento impuesto (si es que hay 
alguna imposición). En este caso es -∆. De ese modo el planteamiento es: 
0
1
·
m
i i ik k
k
Xδ δ δ
=
= + = −∆∑ 
Donde: 
δi0 = desplazamiento que se produce en i en el sistema base isostático sin aplicar las incógnitas 
hiperestáticas. 
C.3 L.3 Método de las Fuerzas I 
 
53 
 
δik =desplazamiento que se produce en i en el sistema base isostático cuando sólo aplicamos una 
carga unidad en el punto de la incógnita hiperestática k. 
Xk= incógnita hiperestática k 
-∆ = desplazamiento impuesto al nudo i (asentamiento) 
4. Cálculo de los desplazamientos aplicando el PFV (Método de la carga 1). 
Se realiza el cálculo de los desplazamientos que δi0 y δik aplicando el PFV en su forma 
denominada Método de la Carga Unidad. Explicado inicialmente en el Capítulo 2. 
Cálculo de δδδδi0 por el Método de la Carga Unidad 
Para calcular el desplazamiento que se produce en i en el sistema base (sin ninguna incógnita 
hiperestática) debemos plantear como sistema “real” ese sistema base y como sistema virtual 
nuestro sistema base con sólo una carga unidad en el punto considerado i. 
Sistema “real” de desplazamientos y deformaciones: sistema base con las cargas=Sistema 0 
 
Sistema virtual de fuerzas externas e internas: sistema con carga 1 en i=Sistema i 
 
Entonces, aplicando el PFV quedará: 1·δi0=Trabajo de los esfuerzos en el sistema virtual i sobre 
los desplazamientos en el sistema “real” 0. 
1.
L L L
L L L
e i
o o o
io i i i i mo
muelles
o o o
io i i i i mo
muelles
T T
M N V
M dx N dx V dx F
EI EA GA
M N V
M dx N dx V dx F
EI EA GA
δ δ
α
δ δ
α
=
= + + +
= + + +
∑ ∑
∑∫ ∫ ∫
∑∫ ∫ ∫
 
Para resolver esto hay que obtener los diagramas de esfuerzos en los dos sistemas: el sistema 0 
(tomado como real) y el sistema con la carga unidad (tomado como virtual). El resultado del 
desplazamiento buscado se obtiene utilizando las integrales del producto de diagramas de los 
dos sistemas. Véase el Capítulo 2, donde se presenta un ejemplo de tabla para esas integrales. 
Además, en el caso de tener apoyos elásticos debemos sumar el trabajo de dichos muelles. El 
trabajo de los muelles será la reacción en ese punto para el sistema con la carga unidad 
(reacción virtual) multiplicada por el desplazamiento del punto en el sistema base 
(desplazamiento “real”). 
 
1 2 i k n ... ... 
p 
P 
M 
... 
δ io 
1 2 i k n 
... ... ... 
1 
C.3 L.3 Método de las Fuerzas I 
54 
 
Cálculo de δδδδik por el Método de la Carga Unidad 
Para calcular el desplazamiento que se produce en i en el sistema base con sólo una carga 
unidad en el punto de la incógnita hiperestática k debemos plantear como sistema “real” ese 
sistema y como sistema virtual nuestro sistema base con sólo una carga unidad en el punto 
considerado i. 
Sistema “real” de desplazamientos y deformaciones: carga 1 en la incógnita Xk=Sistema k 
 
1 2 i k
...... ...
δ ik
X
k
= 1
 
Sistema virtual de fuerzas externas e internas: carga 1 en i=Sistema i 
1 2 i k
...... ...
1
 
Entonces, aplicando el PFV quedará: 1·δik=Trabajo de los esfuerzos en el sistema virtual i sobre 
los desplazamientos en el sistema “real” k. 
1.
L L L
L L L
e i
k k k
ik i i i i mk
muelles
k k k
ik i i i i mk
muelles
T T
M N V
M dx N dx V dx F
EI EA GA
M N V
M dx N dx V dx F
EI EA GA
δ δ