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Tema: Problemas sobre certezas
Docente: César Roque Minalaya
RAZ. MATEMÁTICO
Desarrollar la capacidad de análisis para
determinar con seguridad la ocurrencia de
ciertos eventos que dependen del azar.
OBJETIVO
Resolución 
de 
problemas 
diversos
PROBLEMAS SOBRE CERTEZAS
En estos problemas se busca obtener una cierta cantidad de
elementos como fichas, esferas, medias, etc. (la mínima
cantidad posible) que asegure conseguir lo que deseamos.
Se reconoce este tipo de problemas por las siguientes
palabras que generalmente se encuentran presentes en la
formulación de las preguntas:
• extraer al azar
• como mínimo
• con seguridad
: es un caso fortuito; casual; no
programado.
: obtener lo deseado sin excederse,
con lo justo y necesario.
: es el conocimiento seguro y claro de
algo donde no hay temor de errar.
Veamos el siguiente ejemplo: ¿Cuántas esferas debo
extraer, sin ver, como mínimo
para estar seguro de tener
una esfera de color rojo?
➢ Si extraemos una esfera
(No es seguro obtener rojo)
➢ Si extraemos dos esferas
(No es seguro obtener rojo)
➢ Si extraemos tres esferas
(No es seguro obtener rojo)
➢ Si extraemos cuatro esferas
(Si es seguro obtener rojo)
Mínima cantidad : es 4
ESTRATEGIAS PARA LA RESOLUCÍON DE PROBLEMAS SOBRE CERTEZAS
Apliquemos la estrategia en el siguiente ejemplo:
En un ánfora se tienen 6 esferas rojas, 8 azules y 5
verdes; ¿cuántas esferas se tendrán que extraer al azar
como mínimo, para obtener con certeza dos esferas del
mismo color?
Se tiene:
6
8
5
R
A
V
Paso 1: Entender que nos piden conseguir con seguridad
Se desea obtener dos esferas del mismo color
Paso 2: Nos debemos de poner en el “peor de los casos”
Es decir primero obtengo situaciones contrarias a mis deseos. 
Peor de los casos: Extraemos esferas de diferente color.
Paso 3: Extraemos la cantidad justa y necesaria para
obtener lo pedido.
Como tenemos una esfera de cada color, al extraer una
esfera más y sin importar el color que sea, obtendremos
con seguridad dos esferas del mismo color.
+
= 4N.º de extracciones: 3 + 1
Se deben extraer como mínimo 4 esferas
Peor de los casos: 
Peor de los casos:
Para obtener una condición solicitada con toda
seguridad, primero se analizan las situaciones
contrarias a lo que deseamos obtener (peor de los
casos).
Practiquemos:
• Se desea obtener: fichas numeradas con cantidades
impares
Extraer todas las fichas
numeradas con cantidades pares
IMPORTANTE: 
• Se desea obtener: fichas de color verde
Extraer fichas que no son verdes
• Se desea obtener: esferas del mismo color
• Se desea obtener: personas con igual mes de
cumpleaños
Extraer esferas de diferente color
Encontrar personas con diferente
mes de cumpleaños
• Se desea obtener: un par de guantes de box utilizables
Extraer guantes no utilizables, es
decir, de un solo lado (solo lado
derecho o solo lado izquierdo)
Peor de los casos: 
Peor de los casos: 
Peor de los casos: 
Resolución:
APLICACIÓN 01
A) 21
B) 20
C) 23
D) 19
E) 25
Nos piden: La mínima cantidad de fichas que se deben extraer
Se deben extraer, como mínimo: 19 + 4 = 23 fichas 
Un urna contiene 10 fichas amarillas, 6
fichas rojas, 8 fichas azules y 5 fichas
verdes. Halle la cantidad de fichas que
se tienen que extraer al azar y como
mínimo para tener la certeza de
obtener 4 fichas amarillas.
Se tiene:
10 6 8 5
Paso 1: se desea obtener: 4 fichas de color amarillo
Paso 2: peor de los casos: se extraen todas las fichas que no son de
color amarillo
Fichas
rojas
Fichas
azules
6
Fichas
verdes
5
19
Paso 3: Se extrae las fichas amarillas necesarias para obtener lo pedido
4
8
Fichas
amarillas
Resolución:
APLICACIÓN 02 
El número mínimo de bolos que debe extraer Manuel es 20.
Nos piden: El número mínimo de bolos que debe extraer Manuel.
∴
Manuel tiene una caja no transparente
que contiene 27 bolos de igual forma y
tamaño. 10 de estos están numerados
con el número 10 ; 8 están numerados
con el número 20 y 9 están numerados
con el número 50.¿Cuántos bolos, como
mínimo, debe extraer al azar Manuel,
para tener con certeza 3 bolos cuya
suma de sus números sea igual a 80?
A) 19
B) 20
C) 18
D) 21
E) 22
De los datos, se tiene:
Se desea obtener:10
20 10 20
50
50
3 bolos que sumen 80
10
+ + = 80
10
8
9
Peor de los casos: 2º
1º 
Cantidad de bolos a extraer: 10
50
9
20
1
3º
+ + = 20
EXAMEN UNMSM 2022-II 
Lo necesario para 
obtener lo pedido
Resolución:
APLICACIÓN 03
La cantidad mínima de veces que se tendrá que probar las llaves es: 14
Nos piden: la cantidad mínima y segura de veces que se tendrá que
probar las llaves.
De los datos, se tiene:
Se desea saber:1º que llave corresponde a cada automóvil
• Se prueba la llave que no abre ninguna puerta.
• Al probar las otras llaves al inicio no abren ninguna 
puerta.
Peor de los casos: 2º
si
si
Número de 
pruebas
4
3
2
+
14
si
5
Se tienen 5 automóviles y 4 llaves, de las
cuales 3 abren la puerta de tres de ellos,
uno a cada uno, y la otra llave no abre
ninguna puerta. ¿Cuántas veces, como
mínimo, se tendrán que probar las llaves
al azar para tener la certeza de qué llave
corresponde a cada automóvil?
A) 4
B) 5
C) 17
D) 14
E) 11
∴
APLICACIÓN 04 
Resolución:
De los datos, se tiene:
Se desea obtener:
4 fichas de color verde y 2 fichas de color rojo
Se presentan 2 casos al extraer“El peor de los casos”:
Fichas verdes
8
Fichas rojas
¡Extracción segura!
Nos piden: La cantidad mínima y segura de fichas a extraer
(caso 1)
Fichas rojas
(caso 2)
Fichas verdes
9
Si en la condición
se solicita dos o
más tipos de
elementos, de
ellos salen primero
los que presenten
mayor diferencia.
CONCLUSIÓN
6 – 4 = 2
Primero: salen 
todas las rojas
Luego: las que faltan para 
completar la condición
La cantidad mínima y segura de fichas a extraer es 9
5 – 2 = 3
En una caja no transparente hay 6
fichas verdes, 5 fichas rojas. ¿Cuál es
el menor número de fichas que
debemos extraer al azar para tener la
certeza de haber extraído 4 fichas de
color verde y 2 fichas de color rojo?
A) 7
B) 8
C) 10
D) 9
E) 12
∴
PROBLEMA 1 
Resolución:
En una caja hay 15 bolsas negras y cada bolsa
contiene 2 canicas idénticas en peso y tamaño.
Se sabe que:
- Hay 7 bolsas que contienen, cada una, 2
canicas verdes.
- Hay 5 bolsas que contienen, cada una, 1
canica verde y 1 blanca.
- Hay 3 bolsas que contienen, cada una, 2
canicas blancas.
Si todas las bolsas son iguales, están selladas y
no se debe abrir ninguna, ¿cuántas bolsas hay
que extraer al azar, como mínimo, para tener
la seguridad de haber extraído al menos 7
canicas verdes?
A) 9
B) 8
C) 7
D) 6
E) 10
Nos piden: El mínimo número de bolsas a extraer al azar.
De los datos:
Se desea:1º Extraer al menos 7 canicas verdes
• Se extraen bolsas que no tienen canicas verdes.Peor de los casos: 2º
• Luego las bolsas que tienen una canica blanca.
7 bolsas
. . .
5bolsas 3 bolsas
3 bolsas
+N.º bolsas a extraer : 8
5 bolsas 1 bolsa
1 = 9
El mínimo número de bolsas a extraer es: 9
PROBLEMA 2 
Resolución:
Abel tiene 80 esferas idénticas, en peso y
tamaño en una caja no transparente; de
las cuales 22 son verdes, 23 son rojas, 24
amarillas y de las restantes algunas son
celestes y otras blancas. ¿Cuántas esferas
debe extraer al azar, como mínimo, para
tener la certeza de haber extraído 11
esferas del mismo color?
A) 44
B) 43
C) 42
D) 41
E) 40
Nos piden: El mínimo número de esferas a extraer al azar.
De los datos:
Se desea:1º Extraer 11 esferas del mismo color
• Se extraen esferas de color que no lleguen a 11.Peor de los casos: 2º
• Luego de las restantes 10 esferas de cada color.
. . .
22 verdes
. . .
23 rojas
. . .
24 amarillas
. . .
11 celestes y blancas
11 esferas
+N.º esferas a extraer: 41
10 esferas
1 = 42
10 esferas 10 esferasEl mínimo número de esferas a extraer es: 42
amarilla
o 
roja
o
verde 
PROBLEMA 3
Resolución:
José tiene en una caja no transparente
veinte fichas numeradas con números
enteros no repetidos del 4 al 23.
¿Cuántas fichas como mínimo se deberá
extraer de la caja, al azar para tener la
certeza de que la suma de dos de ellas
sea siempre un número primo menor de
20?
A) 13 B) 14 C) 15
D) 16 E) 17
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20 21 22 23
Se extrae:
23
22
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
Nos piden: ¿Cuántas fichas como mínimo se deberá extraer de la caja, al
azar para tener la certeza de que la suma de dos de ellas sea
siempre un número primo menor de 20?
Número de 
extracciones: 14
4, 5, 6, 7, 8, 9
+ 1 = 15
El número de esferas a extraer es: 15
PROBLEMA 4 
Resolución:
Beatriz estaba buscando guantes de box
y calcetines en la oscuridad de su cuarto
ya que el foco se había malogrado. Ella
sabe que en un cajón solo hay guantes de
box, de los cuales hay 5 pares negros y 5
pares blancos. También sabe que en otro
cajón solo hay 3 pares de calcetines
blancos y 4 pares de calcetines negros.
¿Cuántos guantes y cuántos calcetines,
como mínimo, tuvo que extraer al azar,
de uno en uno, para tener la seguridad
de haber extraído un par de guantes
utilizables, y un par de calcetines del
mismo color?
A) 10-3
B) 10-2
C) 11-3
D) 11-2
E) 11 -8
Nos piden: El mínimo número de guantes y calcetines a extraer.
De los datos:
Uno del lado derecho y otro del lado izquierdo del mismo color
5 pares negros 5 pares blancos
4 pares 
negros
3 pares 
blancos
Se desea:1º Extraer un par de guantes utilizables y un par de calcetines del mismo color
• Se extraen los guantes del mismo lado
Peor de los casos: 2º
• Se extraen calcetines de diferente color
5 negros
izquierdos
+10
5 blancos
izquierdos
1 = 3
1 negro
+2
1 blanco
1y
El mínimo número de artículos a extraer: 11 - 3
= 11
PROBLEMA 5 
Resolución:
En un sobre no transparente, hay 100
tarjetas numeradas con números
naturales del 1 al 100 y cada tarjeta
tiene numeración diferente. ¿Cuál es el
menor número de tarjetas que hay que
extraer al azar para tener la certeza de
que el producto de los números de
todas las tarjetas extraídas sea divisible
por nueve?
A) 69 B) 70 C) 67
D) 66 E) 72
Nos piden: ¿Cuál es el menor número de tarjetas que hay que extraer al
azar para tener la certeza de que el producto de los números
de todas las tarjetas extraídas sea divisible por nueve?
Se desea:1º Extraer un par de cartas ሶ𝟑
1 2 3 4 97 98 99 100
Cartas ሶ3 = 33 Resto de cartas: 67
Peor de los casos: 2º 67 cartas
Número de 
extracciones: 67 + 2
Extracciones mínimas 
y necesarias
= 69
El número de extracciones es: 69
PROBLEMA 6 
Resolución:
Se tiene un juego de cinco llaves
doradas y otro de cinco llaves
plateadas, se sabe que, uno de los
juegos contiene 4 llaves que
corresponden, cada una, a cuatro
candados diferentes. ¿Cuántos intentos
como mínimo se debe de realizar al
azar para determinar con seguridad
que llave corresponde a cada candado?
Nos piden: El mínimo número de intentos a realizar.
A) 10 
B) 18 
C) 13 
D) 15
E) 20
(si)
1er juego de llaves 
(no abre ningún candado)
Número de 
intentos
9
3
2
1
2do juego de llaves
(contiene 4 llaves que 
corresponden)
Total = 15
De los datos:
El mínimo número de intentos a realizar es: 15
(si)
(si)
(si)
PROBLEMA 1 
Resolución:
En el cumpleaños Anita, su tía le regala
chocolates los cuales están en una
bolsa oscura y hay 13 chocolates con
maní, 15 chocolates con almendra y 18
chocolates con pasas. Si Anita quiere
comer dos chocolates, uno con maní y
el otro con almendra ¿Cuántos
chocolates como mínimo deberá
tomar al azar para estar seguro de
conseguir lo que quiere?
A) 35 B) 31 C) 32
D) 33 E) 34
Piden: Extraer 1 chocolate de maní y 1 uno de almendra
13 maní; 15 almendra; 18 de pasas
Número de extracciones: 18 pasas + 15 almendras + 1 maní = 34
El mínimo número de extracciones es: 34
PROBLEMA 2 
Resolución:
Juan tiene tres pares de zapatillas
blancas, cinco pares de zapatillas
negras y dos pares de zapatillas rojas
en una caja. ¿Cuántas zapatillas debe
extraer de uno en uno al azar y como
mínimo para tener con certeza un par
de zapatillas negras que pueda usar?
A) 14 B) 15 C) 16
D) 17 E) 18
Piden: Un par de zapatillas utilizables
Derecha Izquierda 
Blancas 3 3
Negras 5 5
Rojas 2 2
Número de extracciones: 15 + 1 = 16
PROBLEMA 3 
Resolución:
El conserje de un edificio tiene 5 llaves,
las cuales 4 de ellas abren una puerta
distinta de los armarios donde guardia
los productos de limpieza. Si no sabe
cuál llave corresponde a cada puerta,
¿cuántas veces al azar y como mínimo
debe probar las llaves para estar
seguro de que llave corresponde a cada
puerta?
A) 10 B) 7 C) 8
D) 5 E) 6
Número de 
intentos
4
3
2
1
Total = 10
0
(si)
(si)
(si)
(si)
Piden: El número de intentos para estar seguro de averiguar a que 
puerta corresponde cada llave 
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