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Tema: Arreglos numéricos II
Docente: César Roque Minalaya
RAZ. MATEMÁTICO
Aprender diversas técnicas que nos 
permita bajo ciertas condiciones 
establecidas distribuir números para 
dar solución a un problema.
OBJETIVO
Arreglos con otras 
condiciones
Arreglos con 
condición de suma y 
productos dados
7 a
6 5
5 6
b 8
En algunos problemas es necesario conocer el resultado de algunas series notables.
1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
• Suma de los n primeros números naturales
2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛 = 𝑛 𝑛 + 1
• Suma de los n primeros números pares
1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1) = 𝑛2
• Suma de los n primeros números impares
1 + 2 + 3 + ⋯ + 20 =
20(21)
2
= 210
1 + 2 + 3 + ⋯ + 50 =
50(51)
2
= 1275
2 + 4 + 6 + ⋯ + 30 = 15(16) = 240
2 + 4 + 6 + ⋯ + 80 = 40(41) = 1640
1 + 3 + 5 + ⋯ + 15 = 82 = 64
1 + 3 + 5 + ⋯ + 39 = 202 = 400
CONCEPTOS PREVIOS
Tener en cuenta.
Números a 
distribuir.
1; 2 ; 3 ; 4 ; 5
SUMA 
TOTAL
= 
(5)(6)
2
 = 15
SUMA TOTAL
Del gráfico:
Suma de 
las casillas
= (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 15
Ejemplo:
Ejemplo:
Ejemplo:
Resolución:APLICACIÓN 01 
Escriba en los cuadraditos de la figura los 
números enteros del 1 al 9, un número 
en cada cuadradito y, sin repetir, de tal 
manera que la suma de los números 
escritos en la fila y columna sea la misma 
e igual a 27. ¿Cuál es el número que se 
escribe en el cuadradito sombreado?
A) 2
B) 3
C) 5
D) 9
E) 7 
 UNMSM 2019
SUMA TOTAL
Nos piden: El número que se escribe en el cuadradito sombreado.
Números a 
distribuir
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9
SUMA 
TOTAL
= 
(9)(10)
2
 = 45:
CONDICIÓN: la suma de los números ubicados en las casillas de cada fila y
columna es la misma e igual a 27
27
27
Del gráfico:
27 + 27 = (1 + 2 + … + 9) + casilla sombreada
54 
54 – 45 = casilla sombreada
→ casilla sombreada = 9
(Observamos que el número 
que va en la casilla sombreada 
ha sido sumado una vez más)
El número ubicado en la casilla sombreada es: 9
= 45 + casilla sombreada
1. ARREGLOS CON CONDICIÓN DE SUMA Y PRODUCTOS DADOS
Resolución:APLICACIÓN 02 
En las casillas circulares vacías de la figura que
se muestra, Joao debe escribir los números 2,
3, 5, 7 y 9, sin repetir, de manera que la suma
de los tres números escritos en las casillas
circulares conectadas a través de las curvas
ABC y PQR debe ser 14 en cada una, y la suma
de los tres números escritos en las casillas
circulares unidas por cada segmento vertical 
debe ser la suma indicada. Si en la casilla del 
extremo superior izquierdo Joao no escribió
un número primo, ¿cuál es el número que
escribió en la casilla circular del extremo 
inferior derecho?
A) 5 B) 3 C) 7 D) 9 E) 2
 UNMSM 2023
Nos piden: El número que se ubica en la casilla del extremo inferior derecho
Números a 
distribuir
2; 3; 5; 7; 9; 11; y 13 SUMA TOTAL = 50:
CONDICIÓN: la suma de los tres números escritos en las casillas conectadas a través de
las curvas ABC y PQR debe ser 14 en cada una, y la suma de los tres números escritos en
las casillas unidas por cada segmento vertical debe ser la suma indicada
Suma total =50
El número ubicado en la casilla inferior derecha es: 7
2
No primo
9
5 7
2
P
P
P
Resolución:APLICACIÓN 03 
En el grafico adjunto distribuya los 6
primeros números primos, sin
repetirlos, de modo que la suma de
los 3 números ubicados en cada
lado del triangulo sea 21; 22 y 23.
Halle la suma de los números que
están en los vértices del triángulo.
A) 23 B) 25 C) 21 D) 27 E) 19
Nos piden: La suma de los números que van en los vértices.
Números a distribuir : 2; 3; 5; 7; 11; 13 → 𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 41
CONDICIÓN: La suma de los números 3 números ubicados en cada lado del
triangulo sea 21; 22 y 23.
V
V V
21 22
23
Del gráfico:
21 + 22 + 23 = (2+3+5+7+11+13) + (𝒂 + 𝒃 + 𝒄)
SUMA TOTAL
66 =
→ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 25
𝒂
𝒃𝒄
Los valores de 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 han sido 
sumados dos veces
41 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
66 − 41 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
𝐿𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑣é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 25∴
En cada una de las casillas de la figura se
escribe un número diferente. El producto de
los números que están en las casillas a, b y c
es 84; el producto de los números que están
en las casillas b, c y d es 140; el producto de
los números que están en las casillas c, d y e
es 280; y el producto de los números que
están en las casillas d, e y f es 600. Halle la
suma de los números que deben ir en las
casillas b y e.
Resolución:APLICACIÓN 04 
Nos piden: Suma de los números que deben ir en las casillas b y e
A) 12
B) 18
C) 19
D) 15
E) 13
Se tiene:
 
 
 
 
 
 
Prod. = 84
Prod. = 140
Con respecto al producto total:
Prod. = 280
Prod. = 600
3 x 140 x e x 15 = 84 x 600
→ e = 8
3 x b x 280 x 15 = 84 x 600
→ b = 4
4 + 8 = 12El valor de b + e es:
eb
2. ARREGLOS CON OTRAS CONDICIONES
Resolución:APLICACIÓN 05 
Escriba en los casilleros de la figura los
números 5; 5; 4; 4; 2; 2; 1; 1, uno en cada
casilla, de manera que números iguales
deben estar separados por tantos casilleros
como indique el número. Calcule la suma de
los números de las casillas sombreadas
A) 7
B) 4
C) 6
D) 5
E) 9
Nos piden: La suma de los números de las casillas sombreadas.
5 ; 5 ; 4 ; 4 ; 2 ; 2; 1; 1
CONDICIÓN: Números iguales deben estar separados por tantos
casilleros como indique el número
Números a distribuir:
Distribuyendo los números:
5 5 5 54 42 21 1
Suma de casillas 
sombreadas
= 4+1 = 5
4 42 21 1
Suma de casillas 
sombreadas
= 1+4 = 5
5suma de los números de las casillas sombreadas es:
Resolución:APLICACIÓN 06 
Complete el siguiente tablero con los 
números naturales del 5 al 8, de modo 
que no se repitan en la misma fila, 
columna o cuadriculas de 2x2 
resaltadas. ¿Cuál será el valor de a + b?
A) 9 B) 10 C)11 D) 12 E) 13
El valor de a+b es 11
Nos piden:
7 a
6 5
5 6
b 8
Números a ubicar: 5 ; 6 ; 7 ; 8
7 a 
6 5
5 6
b 8
7 8
a=6
6
5 Observación:
Para hallar lo pedido no a sido 
necesario completar todo el tablero
𝑎 = 6 𝑏 = 5 𝑎 + 𝑏 =11
Aquí no puede ir el 6
Aquí no 
puede ir 
el 5
El valor de a + b
b=5
CONDICIÓN: Los números del 5 al 8 no se repitan en la misma fila, columna o 
cuadriculas de 2x2 resaltadas.
PROBLEMA 1
Complete las casillas circulares con los 
números del 1 al 10, uno por casilla y sin 
repetir, de modo que cada número 
ubicado en cada línea represente la suma 
de los números que se ubicarán en las 
casillas conectadas por dicha línea.
¿Cuál es la suma de los números que se 
ubicarán en las casillas sombreadas? 
A) 11 B) 14 C) 13 D) 12 E) 15
Nos piden: La suma de los valores que van en los casilleros sombreados. 
Números a distribuir: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
SUMA 
TOTAL
CONDICIÓN: El número ubicado en cada línea represente la suma de los 
números que se ubicarán en las casillas conectadas por dicha línea.
4
11 12
La suma de las 
casillas en blanco es
4 + 11 + 12 + 16 = 43
La suma de las casillas 
sombreadas es
55 – 43 = 12
Suma de casillas sombreadas = 12
10
2
5
6
1
8
3
7
9
4
Resolución:
16
PROBLEMA 2
Escribir un número entero del 1 al 9 en 
cada casilla, sin repeticiones, para que en 
cada fila la multiplicación de los tres 
números sea igual al número indicado a 
su derecha y en cada columna la 
multiplicación de los tres números sea 
igual al número indicado debajo. Halle la 
suma de los vecinos del 8. (Serán vecinos 
aquellos números que comparten un 
mismo lado)
A) 16 B) 15 C) 7 D) 13 E) 12
Nos piden: Halle la suma de los vecinos del 8. 
70
48
108
64 45 126Números a distribuir: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
CONDICIÓN: En cada fila la multiplicación de los tres números sea igual al 
número indicado a su derecha y en cada columna la multiplicación de los 
tres números sea igual al número indicado debajo.
Analizamos los 
divisores de cada 
número.
5
55
7
7;72
9;
99
1
3;
3;3
68
4
Suma de los vecinos de 8 = 2 + 1 + 4 = 7
Resolución:
PROBLEMA 3
En el gráfico mostrado, distribuya los 
números enteros del 1 al 9, uno por 
casilla y sin repetir, de modo que las 
sumas de los números ubicados en cada 
fila y columna están señaladas por las 
flechas. Determine el mayor valor de la 
suma de los números ubicados en las 
casillas sombreadas. 
A) 15 B) 17 C) 18 D) 14 E) 16
Nos piden: La mayor suma de los casilleros sombreados. 
11
11
18
18
2
5
Números a distribuir: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9
CONDICIÓN: Las sumas de los números ubicados en cada fila y columna 
están señaladas por las flechas. 
INICIO 8 1Falta 9
Falta 12
9
3
7
4
6
Suma de casillas sombreadas = 8 + 9 = 17
Resolución:
PROBLEMA 4
Con los números del 1 al 6, complete los 
casilleros, tal que se debe cumplir que, 
en dos casilleros que compartan un lado, 
no debe haber números consecutivos. Si 
ya está ubicado el 3, ¿cuál será el número 
que vaya en el casillero sombreado? 
 A) 6 B) 2 C) 4 D) 5 E) 3
Nos piden: ¿cuál será el número que vaya en el casillero sombreado? 
3
Números a distribuir: 1; 2; 3; 4; 5; 6
CONDICIÓN: En dos casilleros que compartan un lado, no debe haber 
números consecutivos. 
INICIOEn el casillero central debe 
ir los números que tienen 
un solo consecutivo.
1 o 6
1
Único consecutivo 
de 124
5
6
Valor de la casilla sombreada = 6
Resolución:
PROBLEMA 5
Resolución:
¿Cuál es la mínima cantidad de números
del gráfico que deben ser cambiados de
lugar para que la suma de los números
ubicados en una misma fila y columna
sean iguales?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5 
Nos piden: Mínima cantidad de números que deben cambiarse de posición.
CONDICIÓN: La suma en cada hilera es la misma.
Números a distribuir
4; 7; 10; 11; 14; 17; 20
suman 24
suman 24
suman 24
Números a distribuir
4; 7; 10; 11; 14; 17; 20
11
4
7
20
107
suman 21
suman 21
suman 21
La mínima cantidad de números que deben cambiarse es: 3
¡Mínimo 3 cambios! ¡Mínimo 3 cambios!
PROBLEMA 6 
Resolución:Distribuya los nueve primeros números
primos en las casillas circulares, de tal
manera que la suma de los números
ubicados en las casillas circulares,
correspondientes a los vértices de un
triángulo simple, sea la que se indique.
Calcule la suma de los números ubicados
en las casillas sombreadas.
A) 21
B) 37
C) 43
D) 55
E) 41
Nos piden: La suma de los números de las casillas sombreadas
CONDICIÓN: La suma de los números de los vértices de cada triángulo
simple sea la que se indique.
La suma de números en las casillas sombreadas es: 11 + 13 + 19 = 43
Números a distribuir 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19 y 23:
M
a
b
c
a + b + c = M
M es 
par
Un vértice
es el 2
2
3
5
23
7
17
19
13
11
Como el 10 y el 26 son pares,
entonces la casilla común a
ambos triángulos debe ser 2.
10 = 2 + 3 + 5
PROBLEMA 1 
Resolución:
Los números del 1 al 7 están distribuidos
en las casillas, tal que se cumplan las
sumas indicadas. Halle el valor de x.
A) 2 B) 3 C) 4
D) 5 E) 6 
Nos piden : X.
Números a distribuir: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7
SUMA 
TOTAL = 
7 x 8
2
 = 28
10 + 12 + X = (1 + 2 + … + 7)
22 + X = 28
X = 6
El valor de X es: 6
PROBLEMA 2 
Resolución:
Ordene los números 2, 3, 4, 6 y 7 uno en
cada casilla circular de tal modo que la
suma en cada fila y columna se la misma.
De como respuesta dicha suma constante
máxima.
A) 10 
B) 11 
C) 12 
D) 13 
E) 14 
Nos piden: La suma constante máxima
CONDICIÓN: La suma en cada hilera es la misma.
Números a distribuir
2; 3; 4; 6; 7
suman 10
suman 10
Números a distribuir
La suma constante máxima es: 13
La suma de cada hilera es 12. La suma de cada hilera es 13.
2; 3; 4; 6; 7
suman 9
suman 9
23 7
4
6
42 7
3
6
PROBLEMA 3 
Resolución:
Ubique los seis primeros números
naturales en las casillas circulares, de
nodo que las cifras conectadas por un
segmento sumen lo que se indica. Halle
la suma de los números ubicados en las
casillas sombreadas
A) 4 
B) 5 
C) 6 
D) 7
E) 8 
Piden: La suma de los números en las casillas sombreadas.
Números a distribuir: 1; 2; 3; 4; 5; 6
SUMA
TOTAL = 
6 x 7
2
 = 21
X Y
8 + 7 + X + Y = (1 + 2 + … + 6)
15 + X + Y = 21
X + Y = 6
La suma de los números en las casillas sombreadas es: 6
	Diapositiva 1
	Diapositiva 2
	Diapositiva 3
	Diapositiva 4
	Diapositiva 5
	Diapositiva 6
	Diapositiva 7
	Diapositiva 8
	Diapositiva 9
	Diapositiva 10
	Diapositiva 11
	Diapositiva 12
	Diapositiva 13
	Diapositiva 14
	Diapositiva 15
	Diapositiva 16
	Diapositiva 17
	Diapositiva 18
	Diapositiva 19
	Diapositiva 20
	Diapositiva 21
	Diapositiva 22
	Diapositiva 23
	Diapositiva 24