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Tema: ARREGLOS NUMÉRICOS I
Docente: César Roque Minalaya
RAZ. MATEMÁTICO
• Desarrollar el análisis numérico y
deductivo.
• Aprender diversas técnicas que nos
permitan dar solución a los
problemas sobre arreglos
numéricos.
OBJETIVO
Arreglos con 
condición de 
suma constante 
conocida
Arreglos con 
condición de 
suma constante 
no conocida
1. CONCEPTOS PREVIOS
Sumas notables
En muchos problemas es necesario conocer el resultado
de algunas series.
1 + 2 + 3 +⋯+ 𝑛 =
𝑛(𝑛 + 1)
2
• Suma de los n primeros números naturales
2 + 4 + 6 +⋯+ 2𝑛 = 𝑛 𝑛 + 1
• Suma de los n primeros números pares
1 + 3 + 5 +⋯+ (2𝑛 − 1) = 𝑛2
• Suma de los n primeros números impares
Casillas adyacentes o vecinas
Generalmente dos casillas son adyacentes si estas tienen
por lo menos un punto en común.
Casillas vecinas
Casilla común
Una casilla es común cuando dicha casilla es compartida
por dos o mas líneas de igual o diferente suma.
Tiene 4 casillas
vecinas, 2 por
lado y 2 por
vértices
Casilla común Casilla común
NOCIONES PREVIAS
CONCEPTOS PREVIOS
Por ejemplo:
Distribuya los números del 1 al 6, sin repetir, en las
casillas circulares del gráfico de modo que la suma de
los números ubicados en cada lado del triángulo sea
la misma y la menor posible.
CONDICIÓN: La suma de los números ubicados en cada lado del
triángulo sea la misma y la menor posible.
Números a distribuir: 1 ; 2 ; 3 ; 4 , 5 y 6
Primero tener claro la condición del problema y el conjunto de
números a distribuir.
Este tipo de problemas consisten en ubicar, colocar o distribuir sobre un esquema gráfico un conjunto de números
(generalmente no se repiten) teniendo en cuenta ciertas condiciones establecidas.
¡Debe haber una forma 
práctica para resolverlo!
¿Cómo 
resolverlo?
Smínimo Smínimo
Smínimo
Luego, elabore una estrategia: 1
2 3
Finalmente culminar la distribución.
6 5
4
¿De qué depende que la suma de los
números en cada lado sea mínima?
Depende de que en los vértices se 
ubique a los menores números
La suma mínima es 9
ARREGLO NUMÉRICO:
Resolución:APLICACIÓN 01 
2. ARREGLOS CON CONDICIÓN DE SUMA CONSTANTE CONOCIDA
Escriba en los cuadraditos de la figura
los números enteros del 1 al 9, un
número en cada cuadradito y sin
repetir, de tal manera que la suma de
los números escritos en la fila y
columna sea la misma e igual a 27.
¿Cuál es el número que se escribe en el
cuadradito sombreado?
A) 2 B) 3 C) 5
D) 9 E) 7
UNMSM 2019 II
Nos piden: el número ubicados en la casilla sombreada
Números a 
distribuir
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9
SUMA 
TOTAL = 
9𝑥10
2
= 45:
CONDICIÓN: la suma de los números escritos en la fila y columna sea la
misma e igual a 27
= 27
=
27
Del gráfico:
27 + 27 = (1 + 2 + … + 9) + (casilla sombreada)
54 =
(casilla sombreada) = 9
45 + (casilla sombreada)
54 = (casilla sombreada)- 45
El valor de la casilla sombreada es 9
APLICACIÓN 02 
Resolución:
Pedro distribuye los números pares del 2
al 18, en las casillas circulares y observa
que la suma de los números ubicados en
las casillas de cada lado del triángulo es
la misma e igual a 40.
Determine la suma de los números que
van en las casillas sombreadas.
A) 28
B) 30
C) 24
D) 32
E) 36
Nos piden: la suma de los número ubicados en las casillas sombreadas
Números a 
distribuir
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16 y 18
SUMA 
TOTAL = 9 × 10 = 90:
CONDICIÓN: la suma de los números ubicados en las casillas de cada
lado del triángulo es la misma e igual a 40
40 40
40
Del gráfico:
40 + 40 + 40 = (2 + 4 + … + 18) + (casillas sombreadas)
(Observamos que cada número
que va en las casillas sombreadas
se debe sumar una vez más)
120 =
(casillas sombreadas) = 30
Suma de casillas sombreadas es 30
90 + (casillas sombreadas)
120 = (casillas sombreadas)- 90
APLICACIÓN 03 
Resolución:
Nos piden el valor de 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑.Distribuya los números del 1 al 12, uno
en cada casilla, de manera que la suma
de los números ubicados en cada lado
del cuadrado sea la misma e igual a 30.
Dé como respuesta el valor de:
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑.
A) 18 
B) 42 
C) 10
D) 9
E) 78 
Números a distribuir: 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11 y 12 SUMA 
TOTAL =
(12)(13)
2
= 78
CONDICIÓN: la suma de los números ubicados en cada lado del cuadrado 
sea la misma e igual a 30.
30
30
30
Del gráfico:
SUMA TOTAL
120 = 78 + (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)
120 − 78 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑
𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = 42
Los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 han
sido sumados dos veces
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
30+30+ 30+30 = (1 + 2 + … + 12)+ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑)
30
El valor de a+b+c+d es 42
Resolución:APLICACIÓN 04 
3. ARREGLOS CON CONDICIÓN DE SUMA CONSTANTE NO CONOCIDA
Distribuya en cada casilla circular los
números del 1 al 6, de modo que la
suma de los números que pertenecen
en cada circunferencia resulte
siempre un mismo valor. Dé como
respuesta el valor de dicha suma
constante.
A) 16
B) 10
C) 12
D) 14
E) 18
Nos piden : El valor de la suma constante.
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 SUMA 
TOTAL
=
6 7
2
= 21
Sea: La suma en cada circunferencia = S
S S
S
𝑆 = 14
Del gráfico:
𝑆 + 𝑆 + 𝑆 = 2( 1 + 2 +⋯+ 6 )
3𝑆 = 2(21)
SUMA TOTAL
𝑆 = 2 7
CONDICIÓN: la suma de los números que pertenecen a cada circunferencia 
resulte siempre un mismo valor. 
Números a distribuir:
El valor de la suma constante es 14
Todos los
números han
sido sumados
dos veces
APLICACIÓN 05 
Resolución:
Ubique los 12 primeros números
impares en los casilleros circulares del
gráfico mostrado, de tal manera que las
sumas de los números ubicados en
cuatro círculos colineales resulten
iguales. Halle dicho resultado constante.
A) 50 B) 52 C) 48 
D) 60 E) 62
Nos piden: El valor de la suma constante.
S. . . .
S
.
.
.
.
S
.
.
.
.
S
.
.
.
S. . . .
.
S
.
.
.
.
Observamos que cada número se suma 2 veces.
S+S+S+S+S+S = 1 + 3 + 5 + … + 23
144
6S = 2 ( 144 ) S = 48
Es decir:
1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ; 13 ; 15 ; 17 ; 19 ; 21 ; 23 SUMA 
TOTAL
= 122= 144
Sea: La suma en cada 4 círculos colineales = S
CONDICIÓN: la suma de los números ubicados en cuatro círculos colineales
resulte siempre un mismo valor.
Números a 
distribuir:
12 números
El valor de la suma constante es 48
2 ( )
PROBLEMA 1 
Resolución:
= 2( )
En las casillas de la cuadrícula de la figura
se van a escribir los números de 1 al 9,
uno en cada casilla sin repetir. Queremos
que alrededor de cada vértice marcado
con una flecha, la suma de los cuatro
números sea igual a 20. Dé como
respuesta la suma de los casilleros
sombreados.
A) 20 
B) 23
C) 24
D) 17
E) 21
Nos piden: La suma de los valores que van en los casilleros sombreados.
CONDICIÓN: Alrededor de cada vértice marcado con una flecha, la suma de 
los cuatro números sea igual a 20.
Números a distribuir: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 y 9 SUMA 
TOTAL
=
(9)(10)
2
= 45
𝑥 𝑦
𝑧𝑤
Sea: La suma de las casillas sombreadas = 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 + 𝒘
Del gráfico, planteamos una ecuación: 
4(20) 1 + 2 + … + 9+ ( x + y + z + w) + 2(5)
80 + ( x + y + z + w) = 2( )45 + 10
( x + y + z + w) = 100 - 80
( x + y + z + w) = 20
Suma de casillas sombreadas: 20
PROBLEMA 2 
Resolución:
En el siguiente arreglo colocar los
números distintos del 1 al 19, de tal
forma que la suma de cada lado donde
indica la flecha debe ser 38. Si ya se han
colocado algunos de esos números,
determine la suma de los números que
están en las celdas sombreadas.
A) 32
B) 22
C) 35
D) 39
E) 34
Nos piden: La suma de los valores que van en los casilleros sombreados.1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 ; 19
CONDICIÓN: La suma de cada lado donde indica la flecha debe ser 38
38
Números a 
distribuir
:
38
38
Suma 35
38
38
38
38
Suma de casillas sombreadas: 17 + 5 + 10 = 32
PROBLEMA 3 
Resolución:
Complete los casilleros en blanco de
manera que al sumar los números en las
filas y columnas se obtenga siempre el
mismo resultado. Halle la suma de los
números colocados en los casilleros en
blanco.
A) 11
B) 14
C) 8
D) 12
E) 10
Nos piden: La suma de los valores que van en los casilleros en blanco.
CONDICIÓN: Al sumar los números en las filas y columnas se obtenga 
siempre el mismo resultado. 
Sea: La suma constante = 𝑺
𝑺
𝑺
𝑥
𝑥 + 7 = 6 + 4
𝑥 = 3
12
12
12
Suma de casillas en blanco: 2 + 3 + 7 = 12
PROBLEMA 4 
Resolución:
En cada círculo de la figura escriba un
dígito del 1 al 8, sin repetir, de modo que
la suma de los dígitos que se escriban en
los círculos ubicados en los vértices de
cada triángulo sombreado sea constante.
Halle el mínimo valor de dicha suma.
A) 12
B) 8
C) 16
D) 14
E) 15
Nos piden: El mínimo valor de la suma constante.
Números a distribuir: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 SUMA 
TOTAL
=
(8)(9)
2
= 36
CONDICIÓN: La suma de los dígitos que se escriban en los círculos ubicados 
en los vértices de cada triángulo sombreado sea constante.
Sea: La suma constante = 𝑺
𝑥
𝑦
𝑧
𝑤
Del gráfico, planteamos una ecuación: 
𝑆 + 𝑆 + 𝑆 + 𝑆 = 1 + 2 + 3 +⋯+ 8 + (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤)
4𝑆 = 36 + (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤)
𝑆 =
36+ (𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑤)
4𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜
1+2+3+4=10 (NO)
1+2+3+6=12 (SI)
𝑆(𝑚𝑖𝑛) =
36 + 12
4
𝑆(𝑚𝑖𝑛) = 12
1
3
2
6
8 7
45
Suma constante mínima:12
PROBLEMA 5 
Resolución:
Distribuya los 9 primeros números pares
en las casillas de la figura mostrada de
tal manera que se cumpla las sumas
indicadas por las flechas. Calcule el valor
de P+Q.
A) 18 B) 16 C) 20
D) 14 E) 24
Nos piden: Calcule el valor de P+Q.
Números 
a distribuir
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16; 18:
CONDICIÓN: Los números ubicados en cada casilla cumplan las
sumas indicadas por las flechas.
SUMA 
TOTAL = 9 × 10 = 90
82
90
10 + 6 + 2
40
14 + 4
12 + 16 + 18
14
26 P = 2
Q = 16
La suma de P +Q : 2 + 16 = 18
PROBLEMA 6 
Resolución:
Complete las Casillas del tablero
mostrado utilizando números enteros,
uno por casilla, talque la suma de los
números ubicados en cuatro casillas
consecutivas sea la misma. Calcule el
valor de x+z–y
A) 11
B) 12
C) 13
D) 14
E) 16
Nos piden: Calcule el valor de x+z–y
Números 
a distribuir :
CONDICIÓN: La suma de los números ubicados en cuatro casillas
consecutivas sea la misma.
Números enteros
34+x
34+x 34+x
Y =11
34+x =43
x=9
43
Z =14
Calcule el valor de x+z–y: 9 + 14-11 = 12
PROBLEMA 1 
Resolución:
Coloque los números del 1 al 7 en cada
uno de los círculos para que las sumas
de los números ubicados en los círculos
unidos por una línea recta sean iguales y
además sean las máximas sumas
posibles. Halle dicha suma constante.
A) 12 B) 14 C) 15
D) 11 E) 10
Nos piden : El valor de la máxima suma constante.
Números a distribuir:
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7
Para que la suma sea máxima, 
este número debe ser máximo
suman 7
suman 7
suman 7
1
62
5
3
4
El valor de la suma máxima es 14
PROBLEMA 2
Resolución:
Distribuya los 9 primeros números pares
uno en cada casilla circular, de manera
que la suma de los números ubicados en
cada lado del triángulo sea igual a 46. Dé
como respuesta el valor de x+ y +z.
A) 40
B) 42
C) 48
D) 50
E) 46
Nos piden: la suma de los número ubicados en las casillas sombreadas
Números a 
distribuir
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; 16 y 18
SUMA 
TOTAL = 9 × 10 = 90:
CONDICIÓN: la suma de los números ubicados en las casillas de cada
lado del triángulo es la misma e igual a 46
46 46
46
Del gráfico:
46 + 46 + 46 = (2 + 4 + … + 18) + (casillas sombreadas)
(Observamos que cada número
que va en las casillas sombreadas
se debe sumar una vez más)
138 =
(casillas sombreadas) = 48
Suma de casillas sombreadas es 48
90 + (casillas sombreadas)
138 = (casillas sombreadas)- 90
PROBLEMA 3
Resolución:
Coloque los números del 2 al 10 en cada
uno de los círculos pequeños mostrados
en la figura, de tal manera que la suma
de los números de cada circunferencia
mediana, incluyendo la circunferencia
grande, deba ser la misma. Dé como
respuesta dicha suma.
A) 26
B) 27
C) 28
D) 29
E) 30
Piden: el valor de la suma constante.
Números a distribuir: 2; 3; 4; …; 9 y 10 
CONDICIÓN: la suma de los números de cada circunferencia mediana,
incluyendo la circunferencia grande, deba ser la misma.
SUMA 
TOTAL
= 𝟓𝟒=
10 11
2
− 1
Sea la suma constante= S
El valor de la suma constante es: 𝟐𝟕
S
S S
S
Del gráfico:
Todos los números se
han sumados dos veces.
4𝑆 = 2 + 3 + 4 +⋯+ 9 + 10
𝟐(54)4𝑆 =
𝑆 = 27
𝟐
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