sem 37

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Tema: Ruedas, poleas y engranajes
Docente: Carlos Morales
RAZ. MATEMÁTICO
Conocer las características de las
poleas y engranajes así como los
diferentes tipos de transmisiones
mecánicas.
Utilizar adecuadamente la
comparación de magnitudes, en
problemas contextualizados sobre
poleas y engranajes.
OBJETIVO
Problemas 
con 
engranajes
Ruedas y 
poleas
CONCEPTOS PREVIOS
ENGRANAJES: Los engranajes
son juegos de ruedas que
disponen de unos elementos
salientes denominados “dientes”,
que encajan entre sí, de manera
que unas ruedas hacen que las
otras se muevan.
POLEAS: Una polea es una máquina
simple, que sirve para transmitir una
fuerza. Consiste en una rueda con un canal
en su perímetro, por el cual pasa una
cuerda que gira sobre un eje central. De
este modo podemos elevar pesos de
forma cómoda e, incluso, con menor
esfuerzo, hasta cierta altura.
No 
puedo
Ahora 
si
Tipos de giros 
Giro horario
Cuando el objeto gira en el mismo
sentido de las manecillas de un reloj
Giro antihorario
Cuando el objeto gira en el sentido
contrario de las manecillas de un
reloj
TIPOS DE TRANSMISIÓN
TRANSMISIÓN POR CONTACTO
Cuando tenemos ruedas
en contacto o engranadas
se cumple:
Las ruedas giran en 
sentido contrario.
TRANSMISIÓN POR CORREA 
Transmisión directa: 
Las ruedas giran en el mismo sentido
Transmisión cruzada: 
Las ruedas giran en sentido contrario
TRANSMISIÓN POR EJE Y CONCÉNTRICAS
Las ruedas giran en el mismo sentido
APLICACIÓN 01 Resolución:
Nos pidenEn la figura se muestra un sistema
formado por quince poleas. Si la polea
P se mueve en sentido antihorario,
¿cuántas poleas se mueven en sentido
horario?
UNMSM 2019 - II
A) 7
B) 8
C) 9
D) 6
E) 5
cuántas poleas se mueven en sentido horario
Sea: H: horario AH: antihorario
AH
H
AH AHH
AH
H
AH
AH H
H
H H
AH
H
La cantidad de poleas que giran en sentido horario es 8.
RELACIÓN DE TRANSMISIÓN
En la transmisión mediante engranajes se dan ciertas relaciones entre la rueda de salida y la de entrada.
Analicemos dos ruedas que están engranadas
(N° de dientes) IP (N° de Vueltas)
𝑁° 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 × 𝑁° 𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 = 𝐶𝑡𝑒
Es decir
𝑁° 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑨
×
𝑁° 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝑑𝑒 𝑨
=
𝑁° 𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑩
×
𝑁° 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝑑𝑒 𝑩
A
B
48 dientes 24 dientes
1 vuelta 2 vueltas
2 1
Observamos
También se cumple en 
• Ruedas unidas por una faja
Transmisión directa Transmisión cruzada
A A
B B
(N.º de Dientes) x (N.º de Vueltas) = Cte
(Diámetro)
(Radio)
Tener en cuenta:
(Ángulo de giro)
RELACIÓN DE TRANSMISIÓN
• Ruedas concéntricas • Ruedas unidas por un eje
A
B
A B
𝑁° 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝑑𝑒 𝑨
=
𝑁° 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝑑𝑒 𝑩
ƴ𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
𝒒𝒖𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒂 𝑨
=
ƴ𝒂𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐
𝒒𝒖𝒆 𝒈𝒊𝒓𝒂 𝑩
OBSERVACIONES :
➢ Las revoluciones por minuto (RPM)
Son una unidad de medida utilizada para
expresar frecuencia o velocidad angular.
Indican la cantidad de revoluciones (vueltas)
por minuto que da la rueda al girar.
➢ Una rueda al dar una vuelta completa
gira un ángulo de 360° <> 𝟐𝝅 𝒓𝒂𝒅
Ejemplo:
200 rpm → en un minuto da 200 vueltas
➢ Para dos ruedas que son concéntricas o unidas por
un eje se verifica lo siguiente:
APLICACIÓN 02 Resolución:
La figura adjunta muestra un sistema
compuesto por los engranajes A, B, C y D.
UNMSM 2022-I
Además, se sabe que
• El engranaje C tiene 8 dientes.
• La relación del número de dientes de los 
engranajes A y B, en ese orden, es de 2 a 1
• La relación del número de vueltas de los
engranajes B y C, en ese orden, dentro de
un mismo intervalo de tiempo, es de 4 a 5.
Si el engranaje D gira a una velocidad constante
de sesenta vueltas en tres minutos, halle la
velocidad del engranaje A en RPM
(revoluciones por minuto).
A) 8 B) 10 C) 6 D) 7 E) 9
Nos piden la velocidad del engranaje A en RPM.
#𝐷𝐶 =#𝐷𝐴 = #𝐷𝐵 =
#𝑉𝐵 = #𝑉𝐶 =#𝑉𝐴 =
C y D son concéntricas
𝑁º 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐶 = 𝑁º 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝐷Como B y C están engranadas
Como A y B están 
engranadas
Del enunciado:
#𝐷𝐷 =
#𝑉𝐷 =
82( ) 1( )
4[ ] 5[ ]
En 3 minutos
6012 =12
#𝐷𝐵 × #𝑉𝐵 = #𝐷𝐶 × #𝑉𝐶
480480
1010
480
24
El engranaje A: 
24 vueltas
La velocidad del engranaje A en RPM es 8 
En 3 minutos da: 
8 vueltasEn 1 minuto dará: 
POLEAS
Analizando las poleas
θ rad
Después de 
girar θ rad
en sentido 
antihorario
A
B
A
B
R
r
R
r
θ.R
θ.R
θ.r
Lo que sube o baja un bloque es la 
longitud de arco que ha girado el disco
Se cumple:
θ.r𝑫𝟐 =
𝑫𝟏 =
TENER EN CUENTA QUE:
θ
R
L
R
A
B
La longitud del arco AB se halla de la siguiente manera:
L = 𝛉 × R
θ en radianesDonde:
Además se cumple:
Número de vueltas de 
la rueda de radio R = 
𝜃𝑅
2𝜋𝑅
Número de vueltas de 
la rueda de radio r
= 
𝜃𝑟
2𝜋𝑟
= 
𝜃
2𝜋
= 
𝜃
2𝜋
APLICACIÓN 03 Resolución:
Nos piden cuánto se desplaza el bloque A.
Analizamos la figura:
AA
4cm4cm4cm
BB
10 cm10 cm10 cm
12 cm
MM
N
AA
4 cm4 cm4 cm
BB
10 cm10 cm10 cm
12 cm
MM
N
𝛽
𝛽
60 = 𝛽(10)
6 = 𝛽
𝛼
𝛼
Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑀 𝐷𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑀 = Á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑁 𝐷𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑁
𝛼 30 = 𝛽 40
= 630𝛼 40
𝛼 = 8
DA= 8(4)
El bloque A baja 32 cm
B
A
Se observa:
En el sistema mostrado los bloques A y B
tienen una diferencia de alturas de 12 cm
y el número de dientes de los engranajes
M y N son 30 y 40 respectivamente. Si el
bloque B baja 60 cm, ¿cuánto se desplaza
el bloque A?
A) 28 cm B) 16 cm C) 60 cm
D) 24 cm E) 32 cm
DB = θN × RN
DA = θM × RM
= 32 El bloque A se desplaza 32 cm
APLICACIÓN 03 Resolución:
Nos piden cuánto se desplaza el bloque A.
AA
4cm4cm4cm
BB
10 cm10 cm10 cm
12 cm
MM
N
AA
4 c m4 c m4 c m
BB
1 0 c m1 0 c m1 0 c m
1 2 c m
MM
N
En el sistema mostrado los bloques A y B
tienen una diferencia de alturas de 12 cm
y el número de dientes de los engranajes
M y N son 30 y 40 respectivamente. Si el
bloque B baja 60 cm, ¿cuánto se desplaza
el bloque A?
A) 28 cm B) 16 cm C) 60 cm
D) 24 cm E) 32 cm
PROBLEMA 1 
Resolución:
Nos piden: El número de vueltas del engranaje B.Los engranajes A, B y C tienen 10, 20 y 30
dientes respectivamente. Si en un
determinado tiempo la diferencia del
número de vueltas que dan los
engranajes A y C es 20, determine el
número de vueltas que ha dado el
engranaje B.
A) 15
B) 10
C) 20
D) 18
E) 12
A
B
C
A
B
C
De los datos:
#𝐷𝐴 = 10 #𝐷𝐵 = 20 #𝐷𝐶 = 30
#𝑉𝐴 = #𝑉𝐵 = #𝑉𝐶 =6K
Como A , B y C 
están 
engranadas
60K
x x
60K
3K 2K
x
60K
#𝑉𝐴 − #𝑉𝐶 = 20
6K − 2K = 20
4K = 20
K = 5
El número de vueltas de B es = 153K
PROBLEMA 2 
Resolución
Nos piden "𝑵° 𝒅𝒆 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝑴 −𝑵° 𝒅𝒆 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝑁"En la figura, se muestra un sistema de
poleas M, N, P y Q, cuyos radios miden
12, 16, 9 y 15 cm respectivamente. Las
poleas N y P son concéntricas. Si la polea
M da 22 vueltas más que la polea Q,
¿cuántas vueltas más dio la polea M que
la polea N?
A) 22 B) 10 C) 12
D) 8 E) 15
12
16
9
15
Del gráfico: 𝑉𝑀 × 𝑅𝑀 = 𝑉𝑁 × 𝑅𝑁 𝑉𝑃
=
× 𝑅𝑃 = 𝑉𝑄 × 𝑅𝑄
𝑉𝑀 × 12 = 𝑉𝑁 × 16 𝑉𝑃 × 9 = 𝑉𝑄 × 15
15𝐾 9𝐾15𝐾20𝐾
Del dato: 𝑉𝑀 − 𝑉𝑄 = 22 11𝐾 = 22 𝐾 = 2
𝑵° 𝒅𝒆 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝑴− 𝑵° 𝒅𝒆 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝑁 = = 105K
PROBLEMA 3
Resolución:
Si en el sistema mostrado, la polea de
mayor radio gira π/2 radianes, ¿qué
ángulo gira la polea cuyo radio mide 25
cm?
A) π/6 rad
B) π/4 rad
C) π/3 rad
D) π/5 rad
E) π/2 rad
Nos piden: El ángulo de giro de la polea de 25 cm de radio.
De los datos:
𝑅𝐴 = 50 𝑅𝐵 = 30 𝑅𝐶 = 10 𝑅𝐷 = 25
𝐴𝐴 = 𝐴𝐵 = 𝐴𝐶 = 𝐴𝐷 =𝝅/2 
x
𝟐𝟓𝝅
x
𝟐𝟓𝝅
A y B están unidas por una faja
𝟓𝝅/𝟔
B y C son 
concéntricas
𝟓𝝅/𝟔
x
𝟓𝟎𝝅/𝟔C y D están unidas
por una faja
x
𝟓𝟎𝝅/𝟔
𝟐𝝅/6 = 𝝅/𝟑
𝑨𝑿 = Á𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝒈𝒊𝒓𝒂𝒅𝒐 𝒅𝒆 𝒙
El ángulo que gira la rueda de 25 cm de radio es π/3 rad
PROBLEMA 4 Resolución:
En el sistema mostrado los radios de los
discos A y B miden 25 cm y 40 cm
respectivamente. Si el engranaje M gira 6
vueltas en sentido antihorario, calcule la
diferencia de alturas entre los bloques P
y Q.
A) 50π
B) 1550π
C) 150π
D) 100π
E) 120π
Nos piden: La diferencia de alturas entre los bloques P y Q.
25 40
#𝑉𝑀 = 6
P Q
#𝐷𝐵 = 12
#𝐷𝑀 = 20
#𝐷𝐴 = 8
#𝑉𝐴 =
Como M y A están 
engranadas
120
120
15
Como A y B están 
engranadas
#𝑉𝐵 =
120
10
𝐿1 𝐿2
𝐿 = 𝜃𝑅
𝜃𝐴 = 15(2𝜋)rad
𝜃𝐵 = 10(2𝜋)rad
Para hallar las longitudes 𝐿1y 𝐿2 usaremos
𝐿1= 30𝜋 (25)= 750𝜋
𝐿2= 20𝜋 (40)= 800𝜋
La diferencia de alturas es 50π
R
S
PROBLEMA 5 
En el sistema mostrado, la polea de
mayor radio gira un ángulo de 90° en
sentido horario. Hallar la diferencia
de alturas de los bloques R y S en la
posición final. Considere el grosor de
la cuerda despreciable.
A) 15 𝜋 B) 17 𝜋 C) 20 𝜋
D) 12 𝜋 E) 23 𝜋
Resolución:
Nos piden la nueva diferencia de alturas de los bloques R y S
A
B
C
D
Del dato: 𝛼𝐴 = 90°
Del gráfico:
• 𝜶𝑨 = 𝜶𝑩
• 𝜶𝑨 × 𝑹𝑨 = 𝜶𝑪 × 𝑹𝑪
• 𝜶𝑪 = 𝜶𝑫
𝜶𝑩 = 𝟗𝟎°
𝟗𝟎° × 𝟖𝟎 = 𝜶𝑪 × 𝟒𝟎
𝜶𝑪 = 𝟏𝟖𝟎°
𝜶𝑫 = 𝟏𝟖𝟎°
Calculamos el recorrido de los bloques:
R
DR
DR = αB × RB DR = 
𝜋
2
× 10 DR = 5𝜋
S
DS
DS = αD × RD DR = 𝜋 × 20 DR = 20𝜋
H
La nueva diferencia de alturas es H= 𝐷𝑆 + 2𝜋 − 𝐷𝑅 = 17𝜋
PROBLEMA 6 
Resolución:
En el gráfico, las medidas están en
centímetros, las poleas A y B tienen radios 4
cm y 10 cm respectivamente y los bloques
tienen la forma de paralelepípedos
rectangulares con las mismas dimensiones.
¿Cuántas vueltas más debe dar la polea A que
la polea B, para que los bloques se ubiquen a
una distancia de 17π por segunda vez?
A) 3 B) 5 C) 7 D) 6 E) 8
Nos piden: ¿Cuántas vueltas más debe dar la polea A que la polea B, para que los bloques
se ubiquen a una distancia de 17π por segunda vez?
4 10
A B
3π
3π
4π
4π
De acuerdo al sistema,
los centímetros que
sube un bloque son los
mismos centímetros que
baja el otro bloque.
143π
143𝜋
2
17𝜋
2 17π
Nº Vueltas =
2𝜋(𝑅)
Nº Vueltas =
de A
80π
2𝜋(𝟒)
= 10
Nº Vueltas =
de B
80π
2𝜋(𝟏𝟎)
= 4
80π
La polea A da 6 vueltas más que la polea B 
Longitud total
recorrida
¡¡Ahora a aplicar lo 
aprendido con el test!!
Duración:10 minutos
PROBLEMA 1 
Se tiene dos poleas que están
conectadas tangencialmente, una
de ellas tiene 40 dientes y la otra,
60 dientes. Si una da 15 vueltas más
que el otro, ¿cuántas vueltas da la
mayor?
A) 25
B) 36
C) 45
D) 30
E) 18
Resolución:
Nos piden: El número de vueltas que da la mayor rueda.
A
B
De los datos:
#𝐷𝐴 = 40 #𝐷𝐵 = 60
#𝑉𝐴 = 3K
Como A , B 
están 
engranadas
120K
x x
120K
2K
#𝑉𝐴 − #𝑉𝐵 = 15
3K − 2K = 15
K = 15
El número de vueltas de B es 2K = 30
PROBLEMA 2 
En el sistema mostrado, las ruedas
A, B, C y D tienen 20, 40, 50 y 30
centímetros de radio,
respectivamente. Si la rueda de
menor radio da 60 vueltas,
¿Cuántas vueltas da la rueda de
mayor radio?
A) 32 B) 30 C) 20 D) 28 E) 34
Resolución
Nos piden 𝑵° 𝒅𝒆 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝑪
20
40
50
30
Del gráfico: 𝑉𝐴 × 𝑅𝐴 = 𝑉𝐷 × 𝑅𝐷 𝑉𝐵
=
× 𝑅𝐵 = 𝑉𝐶 × 𝑅𝐶
𝑉𝐴 × 20 = 𝑉𝐷 × 30 𝑉𝐵 × 40 = 𝑉𝐶 × 50
60 40 40 32Del dato:
𝑵° 𝒅𝒆 𝒗𝒖𝒆𝒍𝒕𝒂𝒔 𝒅𝒆 𝑪 = 32
PROBLEMA 3 
Dos poleas están inicialmente
dispuestas como se muestra en la
figura. Si a partir de entonces el
bloque A sube 15 cm, ¿cuánto baja
el bloque B?
A) 10 cm B) 20/3 cm C) 10/3 cm 
D) 12 cm E) 8 cm
Resolución
Nos piden la longitud que baja el bloque B
M
N
A sube 𝜃𝑀 × 𝑅𝑀 𝜃𝑀 × 3𝑟 = 15
𝜃𝑀 × 𝑟 = 5
B baja 𝜃𝑁 × 𝑅𝑁 𝜃𝑁 × 2𝑟
𝜃𝑀 × 𝑟 × 2
10 cm
El bloque B baja 10 cm