SEMANA 2,1 Número de vueltas_2021_2 - Patricia Torres

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APLICACIONES DE LONGITUD DE ARCO
PRE 2021-2
2,1
2
nv =
Lc
2πr
NÚMERO DE VUELTAS (𝐧𝐯)
• r : Longitud del radio de la rueda.
Para un disco
• 𝐧𝐯 : Número de vueltas que da la rueda al 
desplazarse, desde A hacia B.
• 𝐋𝐂 : Longitud recorrida por el centro de la 
rueda.
nv =
θB
2π
O θ rad
Para una rueda
r
• 𝛉𝐁 : Medida del ángulo barrido.
Rueda en superficie plana
r
Lc
L
= L
nv =
L
2πr
Pi
Pf
A
B
Lc
nv =
θB
2π
⇒ L = θBr
3
APLICACIÓN 01
𝐴) 1 𝐵) 2 𝐶) 3
𝐷) 4 𝐸) 5
Si la rueda mostrada da 1,75
vueltas al ir desde A y tocar la
pared vertical ¿cuál es la
longitud del radio de la rueda
(en u)?
(Considere π ≈
22
7
)
x u
A
48 u
RESOLUCIÓN
48 
𝑥
48 − 𝑥
𝑛𝑉 =
𝐿𝐶
2𝜋𝑟
=
48 − 𝑥
2
22
7
𝑥
=
7
4
⇒ 𝑥 = 4
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐷
4
Para un vehículo
r
R Lc
Lc
(1)
(2)
L
R > r
n1 > n2
n1 =
L
2πr
n2 =
L
2πR
Superficie circular
A
B
LCr
R
θ rad
L෢AB < LC
nv =
θ(R + r)
2πr
r
A
B
θ rad
R
LC
L෢AB > LC nv =
θ(R − r)
2πr
= θ(R + r)
= θ(R − r)
n1r = n2R
5
APLICACIÓN 02
Las longitudes de los radios de
las ruedas de una bicicleta están
en la relación de 15 es a 8. ¿Cuál
es la medida del ángulo en
grados sexagesimales que habrá
girado la rueda mayor, cuando la
rueda menor haya dado
3
8
de
vuelta?
𝐴) 72° 𝐵) 135°
𝐶) 150°
𝐷) 170° 𝐸) 210°
RESOLUCIÓN
r
R 𝐿𝑐
𝐿𝑐
(1)
(2)
L
Dato:
𝑅
𝑟
=
15
8
De la figura se cumple:
𝑛1 ∙ 𝑟 = 𝑛2 ∙ 𝑅
3
8
𝑟 = 𝑛2 ∙ 𝑅
𝑛2 =
3
8
𝑟
𝑅
𝑛2 =
3
8
8
15
𝑛2 =
1
5
𝑑𝑒 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎
∴ 𝜃2 =
1
5
(360°)
∴ 𝜃2 = 72°
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐴
6
APLICACIÓN 03
Calcule el número de
vueltas que da la rueda
para pasar los obstáculos,
si estos son semicírculos
de igual radio.
𝐴) 2 𝐵) 1,75 𝐶) 1,5
𝐷) 1 𝐸) 0,75
RESOLUCIÓN
r
r r
r
rr
30° 60°
𝐿1 𝐿1
Cálculo del número de vueltas:
𝑛𝑉 =
𝐿𝐶
2𝜋𝑟
=
2𝐿1
2𝜋𝑟
=
2
𝜋
2
2𝑟
2𝜋𝑟
= 1
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐷
r
r
r
r
r
r
r
r r r r
7
En la esquina
Por el lado convexo Por el lado cóncavo
𝑟
𝑟
𝜃
2
𝜃
2
𝐴
𝐵
𝛼 + 𝛽 = 𝜋
𝛼 𝑟𝑎𝑑
𝛽 𝑟𝑎𝑑
RESOLUCIÓN:APLICACIÓN 04
En la figura mostrada AB = BC =
4u, 𝑚∢𝐴𝐵𝐶 = 80° , si 𝑟 =
9
5
𝑢 , se
pide, calcular el número de vueltas
que da la rueda, al seguir el
recorrido de A a C, sin resbalar.
A
B
Cr
A) 2 B) 2,5 C) 
22
9
D) 3,5 E) 
44
9
A
B
C
r
4𝜋
4𝜋
80°
5𝜋
9
9
5
nV =
LC
2πr
=
8𝜋 + 𝜋
2π
9
5
= 2,5
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐵
9
APLICACIÓN 05
Calcule el número entero de
vueltas que da la rueda de la
figura al ir desde A hasta B.
(r = 3 u, AM = 6 u, MB = 8
u).
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
RESOLUCIÓN
B
A
M
60°
r
60° 60°
60°
r
rcot(60°)
rcot(60°)
MB − rcot(60°)
AM − rcot(60°)
A
M B
5
7
nV =
LC
2πr
=
12
2π( 3)
≈ 1
CLAVE A
10
NOTA:
π − θ
π − α
π − βc
θ
α
β
2pABC + r(3π − α − β − θ
2π
)
2πr
nv =
2pABC
2πr
+ 1
nv =
LC
2πr
LC
2πr
=
PROPIEDAD
Polígono 
convexo de 
“n” lados 
nv =
2ppolígono
2πr
+1
r
11
A
B
O
APLICACIÓN 06
Sea AOB un sector circular de
perímetro 240 cm. Determine el
número de vueltas que debe dar
la rueda de radio 1 cm, para que
pueda dar una vuelta completa
alrededor del sector circular
AOB según la figura.
𝐴)
60 + 2

𝐵)
60 + 

𝐶)
80 + 

𝐷)
80 + 2

𝐸)
120 + 

RESOLUCIÓN
r =1 cm
B
r
A
O
𝜃
r
r
r
r
r
r
𝜋
2
∙ 𝑟
𝜃(𝑅 + 𝑟)
𝜋
2
∙ 𝑟𝑛𝑉 =
𝐿𝐶
2𝜋𝑟
𝑛𝑉 =
2𝑅 + 2 ∙
𝜋
2
𝑟 + 𝜃 𝑅 + 𝑟 + 𝜋 − 𝜃 𝑟
2𝜋𝑟
=
2𝑅 + 𝜃𝑟 + 2𝜋𝑟
2𝜋𝑟
Perímetro = 240
𝑛𝑉 =
120 + 𝜋
𝜋 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐸
12
Discos o poleas en contacto o unidos por una faja o cadena
𝑅1
𝑅2
𝐿1 = 𝐿2
𝐿2
𝑅1
𝑅2
𝐿1
𝜃1𝑅1 = 𝜃2𝑅2
𝑛1𝑅1 = 𝑛2𝑅2
(𝑅𝑃𝑀)1𝑅1 = (𝑅𝑃𝑀)2𝑅2
Poleas o discos concéntricos o unidos por un eje
𝜃1 = 𝜃2
𝐿1
𝑅1
=
𝐿2
𝑅2
𝑛1 = 𝑛2
𝑅𝑃𝑀 1 = (𝑅𝑃𝑀)2
𝜃1 = 𝜃2
𝐿1
𝐿2
𝑅1
𝑅2
𝑅2
𝑅1
𝐿2
𝐿1
𝜃1
𝜃2
𝑅1 𝑅2
13
En el sistema mostrado, si A
da n vueltas, la suma de los
números de vueltas que dan
B y C es 15. Calcule: n.
𝐴) 3 𝐵) 4 𝐶) 6
𝐷) 9 𝐸) 12
A 4
2
3
C
B
RESOLUCIÓN
Entre B y 
C:
𝑛𝐴 = 𝑛𝐵 = 𝑛
Entre A y B:
𝑛𝐵 ∙ 𝑅𝐵 = 𝑛𝐶 ∙ 𝑅𝐶
𝑛𝐵
𝑛𝐶
=
𝑅𝐶
𝑅𝐵
=
3
2
𝑛𝐵
𝑛𝐵 + 𝑛𝐶
=
3
3 + 2
15
⇒ 𝑛 = 9
A C
B
𝑅𝐴
𝑅𝐵
𝑅𝐶
𝑛𝐴
𝑛𝐵
𝑛𝐶
𝑛
APLICACIÓN 07
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐷
14
PROBLEMAS RESUELTOS
15
En el gráfico mostrado, las ruedas
cuyas longitudes de los radios son
R=5u y r 𝑅 > 𝑟 se desplazan sin
resbalar desde A hasta B. Si la rueda
mayor gira 3 vueltas y la menor da 4
vueltas respectivamente. Calcule la
longitud del radio de la rueda
pequeña (en u), si la medida del
ángulo AOB es de 135°
R
A
B
O
𝜃
r
𝐴) 3 𝐵) 2.5 𝐶) 2.4
𝐷) 2 𝐸) 1.5
PROBLEMA 01 RESOLUCIÓN
R
A
B
O
𝜃
r
𝑥
𝑥 + 𝑅 𝜃
𝑥 − 𝑟 𝜃
=
𝑥 + 𝑅 𝜃
2𝜋𝑅
𝑛𝑉𝑅 =
𝐿𝐶𝑅
2𝜋𝑅
=
𝑥 + 5
3𝜋
4
2𝜋 ∙ 5
= 3 ⇒ 𝑥 = 35
𝑛𝑉𝑟 =
𝐿𝐶𝑟
2𝜋𝑟
=
𝑥 − 𝑟 𝜃
2𝜋𝑟
=
35 − 𝑟
3𝜋
4
2𝜋𝑟
= 4
⇒ 𝑟 = 3
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐴
16
P
R
P´
O
r
RESOLUCIÓN
En una vuelta el
punto P vuelve a
estar debajo del
centro A de la
ruedita.
6
6
1
h𝜃
6𝜃
𝐴
𝐵
𝑛𝑉 =
𝐿𝐶
2𝜋𝑟
=
6𝜃
2𝜋(1)
= 1 ⇒ 𝜃 =
𝜋
3
En el triángulo rectángulo 
OBA:
O B
A
30°
6
3
⇒ ℎ + 1 = 3
∴ ℎ = 2𝑢
𝐴) 1 𝐵) 2 𝐶) 3
𝐷) 4 𝐸) 5
PROBLEMA 02
En la figura R= 5 u y r= 1 u. El punto
P de la ruedita inicialmente está en
contacto con la pista circular, y la
ruedita gira sin resbalar. ¿A qué
altura (en u) se encontrará el punto
P, luego que la ruedita de una
vuelta?
P
R
h
P´
O
r
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐵
𝐴
17
PROBLEMA 03
En la figura mostrada, la longitud
del radio de la ruedita es r y gira n
vueltas al recorrer por primera vez
el perímetro de la figura mostrada,
entonces la razón entre la longitud
del lado del triángulo equilátero
ABC y r es:
𝐴
𝐵
𝐶
𝐴) 2(𝑛 − 1) 𝐶) 6(𝑛 − 1)𝐵) 3(𝑛 − 1)
𝐷) 2(𝑛 + 1) 𝐸) 3(𝑛 + 1)
𝐴
𝐵
𝐶
60°60°
𝐿
𝑟
𝐿 + 𝑟
Sea r la longitud del radio
de la rueda y L la longitud
del lado del triángulo
equilátero
𝑛 =
𝐿𝑐
2𝜋r
𝐿𝑐 = 3
𝜋
3
𝐿 + 𝑟 +
𝜋
3
𝑟
𝐿𝑐 = 𝜋𝐿 + 2𝜋𝑟
⇒ 𝑛 =
𝜋𝐿 + 2𝜋𝑟
2𝜋r
2𝑟𝑛 = 𝐿 + 2𝑟
RESOLUCIÓN
⟹ 2(𝑛 − 1) =
𝐿
𝑟
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐴
18
PROBLEMA 04
En la figura la longitud del radio
de la rueda es 2u que recorre por
una pista curva cuya longitud del
radio es 12u, si la rueda al
desplazarse del punto A hasta el
punto B gira
5
3
vueltas. Calcule la
altura (en u) que descendió el
punto de la rueda que estaba
inicialmente en contacto con la
pista.
𝐴) 5
𝐵
𝐴 𝑂
𝑅
𝑟
𝐵) 6 𝐶) 3 3 𝐷) 5 3
𝐸) 6 3
RESOLUCIÓN
𝑂
𝐴
𝐵
2𝑢
10𝑢
12𝑢
𝐺𝑖𝑟𝑎
5
3
𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝑛 =
𝐿𝑐
2𝜋r
𝜃𝑟𝑎𝑑
𝐿𝑐
5
3
=
10𝜃
2𝜋(2)
⟹ 𝜃 =
2𝜋
3
Para ubicar la posición del punto de la rueda que
estaba inicialmente en contacto con la pista,
determinaremos el ángulo barrido (θb).
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝐿𝑐 = 𝜃𝑏 𝑟
2𝜋
3
(10) = 𝜃𝑏 (2)
⟹ 𝜃𝑏 =
10𝜋
3
𝑃𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙
𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙
600°
La posición de 𝑃𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙 es 
la misma posición que 
tiene el punto B
ℎ
60°
ℎ = 6 3𝑢
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐸
19
PROBLEMA 05
En el gráfico se muestra la
trayectoria que genera el punto P
perteneciente a la rueda al rodar sin
resbalar, si P’ es la posición final del
punto P. Halle el área máxima de la
región triangular APP’
𝐴) 𝜋𝑅2 𝐵) 𝜋 3𝑅2 𝐶) 2𝜋𝑅2
𝐷)
𝜋
2
𝑅2 𝐸) 𝜋 2𝑅2
P P’
A
R
RESOLUCIÓN
P P’
R
Cuando el punto P vuelve a tocar la superficie, significa 
que la rueda se “desenrolló” totalmente sobre la superficie 
plana.
2𝜋𝑅
Para obtener la máxima área el punto P debe estar en la 
parte mas alta de la curva
𝐴
2𝑅
⇒ 𝐴𝑚á𝑥 =
2𝜋𝑅 2𝑅
2
= 2𝜋𝑅2
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐶
20
PROBLEMA 06
En el gráfico se muestra la
trayectoria que describe el punto P
perteneciente a la rueda al
completar el circuito en una pista
circular de radio R. Halle
𝑅
𝑟
, si r
es la longitud del radio de la
rueda.
𝐴) 2 𝐵) 3 𝐶) 4
𝐷) 5 𝐸) 6
R
O r
Trayectoria del 
punto P
P
RESOLUCIÓN
R
O
r
P
P’
Cuando el punto P vuelve a tocar 
la superficie curva, significa que 
la rueda se “desenrolló” 
totalmentesobre la superficie 
curva
𝐿𝑃𝑃′ = 2𝜋𝑟
De la figura se cumple: 2𝜋𝑟 =
𝜋
2
𝑅 ⇒
𝑅
𝑟
= 4
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐶
21
PROBLEMA 07
Calcule el número de vueltas que da la rueda de la figura al recorrer los
tramos 𝑦 𝐶𝐷, sabiendo que 𝐴𝐵 = 36𝜋 𝑚, 𝐶𝐷 = 𝐴𝐵, y la longitud del radio de la
rueda es 1m
𝐴)
212
8
𝐵)
313
8
𝐶)
412
8
𝐷)
515
8
𝐸)
613
8
A B
C
D
6 m 45°
, AB BC
22
A B
C
D
6 m
45°
3𝜋
4
5 𝑚
36𝜋1 𝑚
𝜋
2
5𝜋
36𝜋
𝑁𝑉 =
𝐿𝐶
2𝜋𝑟
=
36𝜋 +
𝜋
2
+ 5𝜋 +
3𝜋
4
+ 36𝜋
2𝜋(1)
=
313
8
RESOLUCIÓN
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐵
23
Calcule el número de vueltas
que da la rueda C, si la rueda A
barre un ángulo de 2 160°. (Las
ruedas A y B están unidas por
una faja, y las ruedas B y C
están unidas por un eje).
𝐴) 5,5 𝐵) 5 𝐶) 4,5
𝐷) 4 𝐸) 3
B
C
A
1u
2u
1,5u
RESOLUCIÓN
B
C
A
1u
2u
1,5u
Entre A y B:
𝜃𝐴 ∙ 𝑅𝐴 = 𝜃𝐵 ∙ 𝑅𝐵 ⇒ 𝜃𝐵 = 𝜃𝐴
𝑅𝐴
𝑅𝐵
⇒ 𝜃𝐵 = 2 160°
1
2
∴ 𝜃𝐵 = 1 080°Entre B y C:
𝜃𝐵 = 𝜃𝐶 = 1 080°
⇒ 𝑛𝐶 =
1 080°
360°
∴ 𝑛𝐶 = 3
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐸
PROBLEMA 08
24
En el sistema mostrado, después que
el bloque P asciende una cierta
longitud, el bloque Q baja la cuarta
parte de dicha longitud, lo cual
genera las regiones 𝑆1 𝑦 𝑆2. Calcule:
𝑆1
𝑆2
𝐴) 16 𝐵) 8 𝐶) 2
𝐷)
1
2
𝐸)
1
16
PROBLEMA 09
P
Q
𝑆2
𝑆1
𝑂1
𝐴 𝐵
𝑂2
𝐷 𝐶
RESOLUCIÓN
P
Q
𝑆2
𝑆1
𝑂1
𝐴 𝐵
𝑂2
𝐷 𝐶
𝐿
𝐿
𝐿
4
𝐿
4
𝜃
𝜃
De la configuración de las poleas se sabe que 
ambos giran el mismo ángulo
𝑆1
𝑆2
=
𝐿2
2𝜃
𝐿
4
2
2𝜃
= 16
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐴
25
PROBLEMA 10
En el mecanismo mostrado, la polea A
gira 45° y además las longitudes de
los radios de las poleas A, B, C, D y E
son respectivamente 3cm, 5cm, 2cm,
2cm y 10cm. ¿Qué longitud se
desplaza el bloque M (en cm)?
E
B C
A
D
M
𝐴)
𝜋
2
𝐵)
3𝜋
2
𝐶) 𝜋
𝐷)
7𝜋
4
𝐸)
5𝜋
4
RESOLUCIÓN
E
B C
A
D
M
3
5 2
2 10
𝜃𝐴 = 5𝛼
𝜃𝐵 = 3𝛼
𝜃𝐶 = 3𝛼
𝜃𝐷 = 3𝛼
𝜃𝐸 = 3𝛼
La longitud que se desplaza M:
𝐿𝑀 = 𝐿𝐸 = 𝜃𝐸 ∙ 𝑅𝐸
𝐿𝑀 = (3𝛼)(10) Como: 𝜃𝐴 = 5𝛼 =
𝜋
4
⇒ 𝛼 =
𝜋
20
⇒ 𝐿𝑀=
3𝜋
2 𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐵
26
PROBLEMA 11
En el sistema mostrado, los discos
A y D están unidos por una faja, y
los discos A y B están unidos por
un eje común, así como C y D.
Calcule el ángulo girado por el
disco A para que P y Q , cuya
diferencia de alturas es 28u, estén
al mismo nivel.
A
B C
D
1u
2u
3u
4u
Q
P
𝐴) 1𝑟𝑎𝑑 𝐶) 4𝑟𝑎𝑑𝐵) 2𝑟𝑎𝑑
𝐷) 6𝑟𝑎𝑑 𝐸) 8𝑟𝑎𝑑
RESOLUCIÓN
A
B C
D
1u
2u
3u
4u
Q
P
28𝐿𝐵
𝐿𝐶
Sistema A-B: 𝜃𝐴 = 𝜃𝐵
Sistema C-D: 𝜃𝐶 = 𝜃𝐷
Sistema A-D:
𝜃𝐴
𝜃𝐷
=
𝑅𝐷
𝑅𝐴
=
4
1
𝜃𝐴 = 4𝛼
𝜃𝐷 = 𝛼
Del gráfico:
𝐿𝐵 + LC = 28
𝜃𝐵 ∙ 𝑅𝐵 + 𝜃𝐶 ∙ 𝑅𝐶 = 28
4𝛼 3 + 𝛼 2 = 28
⇒ 𝛼 = 2
⇒ 𝜃𝐴 = 4𝛼 = 8
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐸
27
PROBLEMA 12
En la figura se muestra el sistema de
discos A, B, C, D y E y las longitudes
de los radios 2u, 5u, 4u, 3u y 8u
respectivamente. Luego que el sistema
se pone en movimiento, calcule el
número de vueltas que gira el disco C,
cuando la diferencia del número de
vueltas de los disco B y E es 35
vueltas.
𝐴) 175
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
𝐵) 210 𝐶) 245
𝐷) 300 𝐸) 350
28
RESOLUCIÓN 
𝐴
𝐵
𝐶
𝐷
𝐸
2𝑢
5𝑢
3𝑢
4𝑢
8𝑢
Asumiremos que el número de
vueltas que gira el disco A es 120n.
Elegimos 120, porque es el MCM 
de las longitudes de los radios de 
los discos
𝐺𝑖𝑟𝑎
120𝑛 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝐺𝑖𝑟𝑎
120𝑛 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝐺𝑖𝑟𝑎
200𝑛 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠 𝐺𝑖𝑟𝑎
200𝑛 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝐺𝑖𝑟𝑎
100𝑛 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
Por condición:
𝑛𝐵 − 𝑛𝐸 = 35
20𝑛 = 35
𝑛𝐶 = 200𝑛 = 350 𝑣𝑢𝑒𝑙𝑡𝑎𝑠
𝐶𝐿𝐴𝑉𝐸 𝐸